Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2022 (page 4/4 : Partie 5)

Par définition, la force d'inertie de Coriolis s'exerçant sur une particule fluide de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V animée d'une vitesse \vec{v} dans le référentiel terrestre en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} s'écrit :

La force volumique de Coriolis associée est donc :

D'après la question 6, l'axe de rotation terrestre \vec{e}_3 se décompose dans la base locale (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) sous la forme :

Le champ de vitesse du fluide dans l'approximation de couche mince est purement horizontal :

Calculons le produit vectoriel \vec{\Omega} \wedge \vec{v} :

En multipliant par -2\rho, on obtient :

Conformément à l'indication de l'énoncé, en négligeant la composante verticale (selon \vec{e}_z) devant l'accélération de la pesanteur, la force volumique de Coriolis se réduit à sa composante horizontale :

L'équation de Navier-Stokes (17) s'écrit :

Examinons la projection de chacun des termes selon l'axe vertical ascendant \vec{\mathrm{e}}_z :

• Le champ des vitesses est purement horizontal : \vec{v} = v_x(x,y)\,\vec{\mathrm{e}}_x + v_y(x,y)\,\vec{\mathrm{e}}_y, d'où v_z = 0 à tout instant. L'accélération locale selon z est donc identiquement nulle :

  \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\right) \cdot \vec{\mathrm{e}}_z = \frac{\partial v_z}{\partial t} = 0

• Le terme convectif projeté selon z vaut :

  \big((\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}\big) \cdot \vec{\mathrm{e}}_z = (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}}) v_z = 0

  Le membre de gauche est donc nul en projection sur \vec{\mathrm{e}}_z.

• Le gradient de pression selon z est :

  -\overrightarrow{\operatorname{grad}} p \cdot \vec{\mathrm{e}}_z = -\frac{\partial p}{\partial z}

• Le champ de pesanteur local est dirigé vers le centre de la Terre, soit à l'opposé de la verticale ascendante : \vec{g} = -g\,\vec{\mathrm{e}}_z, d'où :

  \rho \vec{g} \cdot \vec{\mathrm{e}}_z = -\rho g
• D'après l'énoncé (question 41), on néglige la composante verticale de la force de Coriolis : \vec{f}_{ic} \cdot \vec{\mathrm{e}}_z \approx 0.

En rassemblant ces termes, la projection de Navier-Stokes selon \vec{\mathrm{e}}_z conduit à l'équilibre hydrostatique vertical :

Puisque le fluide est considéré homogène et incompressible (\rho = \text{cste}) et que g est uniforme, l'intégration par rapport à la variable z s'écrit :

où p_2(x,y) est la constante d'intégration par rapport à z, dépendant a priori des coordonnées horizontales x et y.

La pression s'écrit donc bien sous la forme :

D'après la question Q42, la pression dans le fluide s'écrit sous la forme hydrostatique :

À la surface libre du fluide, en z = h(x,y), la pression est nulle (p(x,y,h(x,y)) = 0), d'où :

Le champ de pression dans la couche fluide s'exprime donc par :

Le gradient horizontal de pression (dans le plan xOy) vaut alors :

D'autre part, en négligeant la composante selon \vec{\mathrm{e}}_z de la force de Coriolis comme indiqué à la question Q41, la force de Coriolis volumique s'écrit :

Posons \vec{f} = f\vec{\mathrm{e}}_z. Calculons le produit vectoriel avec la vitesse \vec{v} = v_x\vec{\mathrm{e}}_x + v_y\vec{\mathrm{e}}_y :

En identifiant avec \frac{\vec{f}_{ic}}{\rho}, on constate que :

L'équation de Navier-Stokes (17) projetée sur le plan horizontal xOy (où \vec{g}\cdot\vec{\mathrm{e}}_{x,y} = 0) devient alors, après division par \rho :

En regroupant les termes à gauche, on obtient bien l'équation (18) :

avec :

Le vecteur densité de courant volumique de masse (ou densité de flux de masse) est donné par :

Considérons une tranche de fluide comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de largeur \Delta y le long de la direction d'invariance Oy, et s'étendant sur toute la hauteur de fluide, de z = 0 à la surface libre z = h(x,t).

La masse m(t) de fluide contenue dans cette tranche à l'instant t s'exprime par :

Le fluide étant au repos selon Oy (v_y = 0) et invariant selon y, aucun flux de matière ne traverse les faces latérales normales à Oy. De même, la vitesse verticale v_z étant négligée, aucun échange de masse ne s'effectue par le fond (z=0) ni par la surface libre (z=h).

Le bilan de masse sur l'intervalle de temps \mathrm{d}t s'écrit donc en fonction des débits massiques entrants et sortants :

À travers la section d'entrée S(x,t) = h(x,t)\,\Delta y, le débit massique s'écrit :

À travers la section de sortie à l'abscisse x + \mathrm{d}x :

Le bilan différentiel s'écrit alors :

Puisque la masse volumique \rho est constante et uniforme et que \Delta y \neq 0, on simplifie par \rho \, \Delta y \, \mathrm{d}x pour obtenir l'équation de conservation :

D'après le résultat de la question précédente (Q44), l'équation de conservation unidimensionnelle s'écrit :

Dans le cas d'un écoulement horizontal bidimensionnel de vitesse \vec{v} = v_x(x,y)\,\vec{\mathrm{e}}_x + v_y(x,y)\,\vec{\mathrm{e}}_y, l'opérateur \frac{\partial}{\partial x}(hv) se généralise naturellement en l'opérateur divergence bidimensionnelle appliqué au flux volumique surfacique intégré sur la hauteur :

L'équation prend bien la forme demandée \dfrac{\partial h}{\partial t} + \operatorname{div}\vec{J} = 0, avec :

L'état d'équilibre non perturbé correspond à un fluide au repos (\vec{v}_0 = \vec{0}) avec une épaisseur uniforme H = \text{cste}. Au passage d'une onde de faible amplitude, on pose :

la vitesse \vec{v} étant elle-même une grandeur du premier ordre de perturbation.

• Linéarisation de l'équation du mouvement (18) :

  Le gradient spatial de la hauteur de fluide vaut :

  \overrightarrow{\operatorname{grad}} h = \overrightarrow{\operatorname{grad}}(H + \eta) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\eta

  puisque H est constant dans l'espace.

  Le terme convectif (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} est du second ordre en vitesse (\mathcal{O}(v^2)) ; il est donc négligeable devant le terme d'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}. L'équation (18) linéarisée s'écrit alors :

  \boxed{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{f} \wedge \vec{v} = -g\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\eta}

• Linéarisation de l'équation de conservation (19) :

  D'après la question précédente, le vecteur flux de hauteur est \vec{J} = h\vec{v} = (H + \eta)\vec{v} = H\vec{v} + \eta\vec{v}.

  Le terme \eta\vec{v} est un produit de deux perturbations du premier ordre, donc d'ordre 2 (\mathcal{O}(\eta v)). Au premier ordre, on a donc simplement \vec{J} \approx H\vec{v}.

  Comme H est indépendant du temps et des coordonnées spatiales, il vient :

  \frac{\partial h}{\partial t} = \frac{\partial \eta}{\partial t} \quad \text{et} \quad \operatorname{div}\vec{J} \approx \operatorname{div}(H\vec{v}) = H\,\operatorname{div}\vec{v}

  L'équation (19) linéarisée devient ainsi :

  \boxed{\frac{\partial \eta}{\partial t} + H\,\operatorname{div}\vec{v} = 0}

D'après la question Q46, les équations linéarisées s'écrivent :

En l'absence de force de Coriolis (\vec{f} = \vec{0}), ces relations deviennent :

Dérivons l'équation (2) par rapport au temps :

En injectant l'expression de \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} donnée par l'équation (1), on obtient :

Or, \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\eta) = \Delta \eta = \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \eta}{\partial y^2} représente le laplacien scalaire bidimensionnel. L'équation se met sous la forme :

avec une vitesse caractéristique de propagation :

Cette équation est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes bidimensionnelle).

D'après la question Q47, la hauteur de perturbation \eta(x, y, t) vérifie l'équation de d'Alembert bidimensionnelle :

Cherchons une solution sous forme d'onde plane progressive harmonique (OPPH) :

avec \vec{r} = x\vec{\mathrm{e}}_x + y\vec{\mathrm{e}}_y, \vec{k} = k_x\vec{\mathrm{e}}_x + k_y\vec{\mathrm{e}}_y et k = \|\vec{k}\| = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}.

En injectant cette forme dans l'équation d'onde, on obtient :

Avec la convention usuelle d'une pulsation positive \omega \geq 0 (le sens de propagation étant fixé par l'orientation de \vec{k}), on obtient la relation de dispersion :

Pour une perturbation quelconque :

• La vitesse de phase vaut v_\varphi = \frac{\omega}{k} = c.
• La vitesse de groupe vaut v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c.

On a ainsi v_\varphi = v_g = c = \sqrt{gH}, valeurs strictement indépendantes du vecteur d'onde \vec{k} et de la pulsation \omega.

Le milieu est donc non dispersif et isotrope : toute perturbation de la surface libre se propage à la célérité constante c = \sqrt{gH} sans distorsion ni étalement au cours du temps.

D'après la question 46, les équations linéarisées du système s'écrivent :

Avec \vec{f} = f\,\vec{\mathrm{e}}_z et \vec{v} = v_x\,\vec{\mathrm{e}}_x + v_y\,\vec{\mathrm{e}}_y, le produit vectoriel s'explicite selon :

En projetant sur la base (\vec{\mathrm{e}}_x, \vec{\mathrm{e}}_y), l'équation du mouvement et l'équation de conservation de la masse fournissent le système de trois équations scalaires :

Injectons les nouvelles variables :

et utilisons la célérité c = \sqrt{gH} (d'où gH = c^2) :

• Pour l'équation de conservation de la masse :

  H\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial t} + H c \left(\frac{\partial \tilde{v}_x}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}_y}{\partial y}\right) = 0 \implies \frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial t} + c\left(\frac{\partial \tilde{v}_x}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{v}_y}{\partial y}\right) = 0

• Pour la composante selon Ox de l'équation du mouvement, en divisant par c :

  c\,\frac{\partial \tilde{v}_x}{\partial t} - (cf')(c\tilde{v}_y) = -gH\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial x} = -c^2\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial x} \implies \frac{\partial \tilde{v}_x}{\partial t} - c f' \tilde{v}_y = -c\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial x}

• De même pour la composante selon Oy :

  c\,\frac{\partial \tilde{v}_y}{\partial t} + (cf')(c\tilde{v}_x) = -gH\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial y} = -c^2\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial y} \implies \frac{\partial \tilde{v}_y}{\partial t} + c f' \tilde{v}_x = -c\,\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial y}

Le système couplé s'écrit donc sous la forme :

D'après la question précédente (Q49), les variables sans dimension (\tilde{\eta}, \tilde{v}_x, \tilde{v}_y) vérifient le système couplé :

Pour des solutions sous forme d'ondes planes progressives harmoniques proportionnelles à \mathrm{e}^{i(k_x x + k_y y - \omega t)}, les dérivées partielles se traduisent par les correspondances usuelles :

En injectant ces formes complexes dans les équations (1), (2) et (3) et en simplifiant par le terme de phase \mathrm{e}^{i(k_x x + k_y y - \omega t)}, on obtient :

• Pour l'équation de continuité (1) :

  -i\omega \tilde{\eta}_0 + c\left(i k_x \tilde{v}_{x,0} + i k_y \tilde{v}_{y,0}\right) = 0 \iff c k_x \tilde{v}_{x,0} + c k_y \tilde{v}_{y,0} = \omega \tilde{\eta}_0

• Pour la composante selon \vec{\mathrm{e}}_x (2) :

  -i\omega \tilde{v}_{x,0} - c f' \tilde{v}_{y,0} = -c(i k_x \tilde{\eta}_0)

  En divisant par -i (soit en multipliant par i) :

  \omega \tilde{v}_{x,0} - i c f' \tilde{v}_{y,0} = c k_x \tilde{\eta}_0 \iff c k_x \tilde{\eta}_0 + i c f' \tilde{v}_{y,0} = \omega \tilde{v}_{x,0}

• Pour la composante selon \vec{\mathrm{e}}_y (3) :

  -i\omega \tilde{v}_{y,0} + c f' \tilde{v}_{x,0} = -c(i k_y \tilde{\eta}_0)

  En divisant par -i :

  \omega \tilde{v}_{y,0} + i c f' \tilde{v}_{x,0} = c k_y \tilde{\eta}_0 \iff c k_y \tilde{\eta}_0 - i c f' \tilde{v}_{x,0} = \omega \tilde{v}_{y,0}

Ce système linéaire de trois équations se met directement sous forme matricielle :

Ce qui correspond exactement à l'équation aux valeurs propres recherchée :

L'équation aux valeurs propres M X_0 = \omega X_0 admet des solutions non triviales si et seulement si :

avec

En développant ce déterminant suivant la première ligne conformément au formulaire :

Calculons séparément chacun des trois mineurs d'ordre 2 :

En réinjectant ces expressions :

En posant k = \|\vec{k}\| = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}, et en remarquant que c f' = f, on a :

L'équation caractéristique s'écrit donc :

Pour c^2 k^2 + f^2 > 0, cette équation admet trois racines réelles distinctes que l'on range dans l'ordre croissant :

D'après la question Q51, en posant k = \|\vec{k}\|, les trois pulsations propres s'écrivent :

Mise en relation avec la question Q48 :

• En l'absence de force de Coriolis (f = 0), les branches \omega_1(k) et \omega_3(k) s'identifient aux droites asymptotes \omega = \pm c k établies à la question Q48. Le milieu est alors rigoureusement non dispersif : la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\omega}{k} = c et la vitesse de groupe v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c sont constantes et égales.
• Pour k \gg |f|/c (longueurs d'onde petites devant le rayon de déformation de Rossby R_D = c/|f|), \omega_3(k) \approx c k : la force de Coriolis devient négligeable devant les forces de pression et de gravité, et on retrouve asymptotiquement le comportement non dispersif de la question Q48.

Commentaires :

• Dispersion : La présence de rotation (f \neq 0) rend le milieu dispersif. En effet :

  v_\varphi(k) = \frac{\omega}{k} = \sqrt{c^2 + \frac{f^2}{k^2}} > c \quad \text{et} \quad v_g(k) = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{c^2 k}{\sqrt{c^2 k^2 + f^2}} = \frac{c^2}{v_\varphi} < c.

  Un paquet d'ondes s'étale donc au cours de sa propagation.

• Coupure fréquentielle (ondes de Poincaré) : Il apparaît une bande de fréquences interdites : aucune onde progressive ne peut exister pour 0 < |\omega| < |f|. À k \to 0, la pulsation tend vers |f| : le fluide effectue des oscillations purement inertielles.
• Mode stationnaire (\omega_2 = 0) : Cette branche sans propagation temporelle correspond à l'équilibre géostrophique, dans lequel le gradient de pression équilibre exactement la force de Coriolis (\vec{f} \wedge \vec{v} = -g\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\eta).

D'après les relations données par l'énoncé :

avec k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} et K = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + (f')^2}.

Les paramètres (K, \theta, \varphi) constituent les coordonnées sphériques usuelles dans l'espace tridimensionnel des paramètres (k_x, k_y, f') :

• la troisième coordonnée f' joue le rôle de l'axe polaire vertical (Oz) ;
• le plan (k_x O k_y) forme le plan équatorial ;
• K est le rayon de la sphère \mathcal{S}_K de centre O ;
• \theta \in [0, \pi] est la colatitude (angle zénithal), mesurée entre l'axe vertical ascendant Of' et le rayon vecteur \vec{OM} ;
• \varphi \in [0, 2\pi[ est l'azimut (longitude), mesuré dans le plan équatorial (k_x O k_y) depuis le demi-axe positif Ok_x jusqu'au projeté orthogonal H du point M dans ce plan.

On représente ci-dessous la sphère \mathcal{S}_K munie de ses axes et de ces deux angles :

Sur la sphère \mathcal{S}_K de rayon K, les coordonnées cartésiennes de l'espace des paramètres sont (k_x, k_y, f') (la troisième coordonnée le long de l'axe polaire est f', parfois notée k_z par analogie).

Unicité de \vec{\Psi}_3 hors des pôles : Pour tout point distinct des deux pôles, on a k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} \neq 0, donc \sin\theta = k/K \in ]0, 1]. L'angle polaire \theta \in ]0, \pi[ est défini de façon unique par \cos\theta = f'/K, et l'angle azimutal \varphi \in [0, 2\pi[ est défini de façon unique par :

Les trois composantes du vecteur propre \vec{\Psi}_3 donné par l'équation (21) :

sont des fonctions continues et 2\pi-périodiques en \varphi, univoques pour chaque couple (\theta, \varphi). Ainsi, en tout point de \mathcal{S}_K hors des pôles, le vecteur \vec{\Psi}_3 est défini de façon unique.

Comportement aux pôles : Aux deux pôles, k_x = k_y = 0, donc k = 0 et l'angle azimutal \varphi n'est pas défini (il peut prendre n'importe quelle valeur de [0, 2\pi[ selon la direction d'approche).

• Au pôle nord (f' = K, c'est-à-dire \theta = 0) : \sin\theta = 0 et \cos\theta = 1. L'expression de \vec{\Psi}_3 devient :

  \vec{\Psi}_3(\theta = 0, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ \cos\varphi + i\sin\varphi \\ \sin\varphi - i\cos\varphi \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ \mathrm{e}^{i\varphi} \\ -i\,\mathrm{e}^{i\varphi} \end{pmatrix} = \frac{\mathrm{e}^{i\varphi}}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -i \end{pmatrix}

  Ce vecteur dépend explicitement de l'angle \varphi : il n'a donc pas de valeur unique au pôle nord.

• Au pôle sud (f' = -K, c'est-à-dire \theta = \pi) : \sin\theta = 0 et \cos\theta = -1. L'expression de \vec{\Psi}_3 devient :

  \vec{\Psi}_3(\theta = \pi, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ \cos\varphi - i\sin\varphi \\ \sin\varphi + i\cos\varphi \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ \mathrm{e}^{-i\varphi} \\ i\,\mathrm{e}^{-i\varphi} \end{pmatrix} = \frac{\mathrm{e}^{-i\varphi}}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}

  Ce vecteur dépend également de l'angle \varphi : il n'a pas non plus de valeur unique au pôle sud.

Par conséquent, le pôle nord et le pôle sud sont bien les seuls points de \mathcal{S}_K où \vec{\Psi}_3 n'est pas défini de manière univoque.

Régularité de \vec{\Psi}_N au pôle nord : On définit \vec{\Psi}_N = \mathrm{e}^{-i\varphi} \vec{\Psi}_3. Au voisinage de \theta = 0, on a :

En utilisant les identités :

le vecteur \vec{\Psi}_N s'écrit :

Lorsque \theta \to 0 (pôle nord), on a \sin\theta \to 0, \cos^2(\theta/2) \to 1 et \sin^2(\theta/2) \to 0. Tous les termes dépendant de \varphi s'annulent :

Cette valeur est strictement indépendante de \varphi, donc \vec{\Psi}_N admet une unique valeur au pôle nord.

Au pôle sud de la sphère \mathcal{S}_K, on a \theta = \pi, ce qui donne \sin\pi = 0 et \cos\pi = -1. Étudions la limite de l'expression de \vec{\Psi}_3 donnée par l'équation (21) lorsque \theta \to \pi :

L'indétermination de \vec{\Psi}_3 au pôle sud est donc entièrement portée par le facteur de phase \mathrm{e}^{-i\varphi}, l'angle azimutal \varphi n'étant pas défini au pôle.

Pour compenser ce facteur de phase et rendre le vecteur propre régulier et univoque au pôle sud, il suffit de multiplier \vec{\Psi}_3 par \mathrm{e}^{i\varphi}. On propose donc le vecteur :

Vérifions qu'au pôle sud :

Cette valeur limite est strictement indépendante de \varphi, ce qui assure que \vec{\Psi}_S est continu et défini de manière unique au pôle sud. De plus, \vec{\Psi}_S diffère de \vec{\Psi}_3 uniquement par un facteur de phase global, il reste donc vecteur propre de la matrice M pour la même valeur propre \omega_3, et demeure normé à l'unité.

D'après les questions Q54 et Q55, les vecteurs réguliers aux pôles nord et sud s'écrivent :

Le vecteur propre \vec{\Psi}_3 donné par l'équation (21) est normé :

Dérivons \vec{\Psi}_N par rapport à \varphi :

Comme \vec{\Psi}_N^\star = \mathrm{e}^{i\varphi}\,\vec{\Psi}_3^\star, le produit hermitien vaut :

En injectant ce résultat dans la relation (23), on obtient l'expression de \vec{\mathcal{A}}_N en fonction de \vec{\Psi}_3 :

De la même manière pour l'hémisphère sud :

ce qui conduit à :

Par soustraction membre à membre, le terme en \vec{\Psi}_3^\star \cdot \frac{\partial \vec{\Psi}_3}{\partial \varphi} s'élimine exactement :

Comme -i(-2i) = 2i^2 = -2, on en déduit l'expression simple :

Calcul direct complémentaire On peut évaluer explicitement \vec{\Psi}_3^\star \cdot \frac{\partial \vec{\Psi}_3}{\partial \varphi}. Avec :

le produit scalaire donne, après simplification trigonométrique :

On retrouve ainsi les expressions explicites analogues aux potentiels de Dirac de la question Q38 :

D'après la question Q56, la différence entre les deux connexions s'écrit :

Calculons le rotationnel de cette différence en utilisant la formule fournie dans l'énoncé en coordonnées sphériques (K, \theta, \varphi) pour un vecteur \vec{D} = D_\varphi\,\vec{\mathrm{e}}_\varphi avec D_K = D_\theta = 0 :

Pour \vec{D} = \vec{\mathcal{A}}_N - \vec{\mathcal{A}}_S, on a D_\varphi = -\dfrac{2}{K\sin\theta} :

• La quantité \sin\theta\,D_\varphi = -\dfrac{2}{K} est indépendante de \theta, d'où :

  \frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,D_\varphi) = 0

• La quantité K D_\varphi = -\dfrac{2}{\sin\theta} est indépendante de K, d'où :

  \frac{\partial}{\partial K}(K D_\varphi) = 0

Toutes les composantes sont nulles, donc :

Calculons à présent explicitement ce champ \vec{\mathcal{B}} à partir de l'expression de \vec{\mathcal{A}}_N = \mathcal{A}_{N,\varphi}\,\vec{\mathrm{e}}_\varphi avec :

• Composante selon \vec{\mathrm{e}}_\theta :

  K\mathcal{A}_{N,\varphi} = -\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial}{\partial K}(K\mathcal{A}_{N,\varphi}) = 0

• Composante selon \vec{\mathrm{e}}_K :

  \sin\theta\,\mathcal{A}_{N,\varphi} = -\frac{1 - \cos\theta}{K} \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,\mathcal{A}_{N,\varphi}) = -\frac{\sin\theta}{K}

  On en déduit :

  \mathcal{B}_K = \frac{1}{K\sin\theta}\left(-\frac{\sin\theta}{K}\right) = -\frac{1}{K^2}

On obtient ainsi l'expression du champ commun :

Décomposons la surface fermée \mathcal{S}_K en l'hémisphère nord \mathcal{S}_N et l'hémisphère sud \mathcal{S}_S, tous deux orientés selon la normale sortante \vec{\mathrm{e}}_K :

Sur \mathcal{S}_N, \vec{\mathcal{B}} = \vec{\operatorname{rot}}\vec{\mathcal{A}}_N. D'après le théorème de Stokes, le flux s'exprime comme la circulation de \vec{\mathcal{A}}_N le long du bord de l'hémisphère nord, c'est-à-dire l'équateur \mathcal{C}_{\text{eq}} orienté dans le sens direct selon le vecteur unitaire \vec{\mathrm{e}}_\varphi :

Sur \mathcal{S}_S, \vec{\mathcal{B}} = \vec{\operatorname{rot}}\vec{\mathcal{A}}_S. La règle de la main droite associée à la normale sortante \vec{\mathrm{e}}_K confère au bord orienté de l'hémisphère sud le sens opposé -\mathcal{C}_{\text{eq}} :

Par sommation, le flux total devient :

D'après la question Q56, la différence entre les deux connexions s'écrit :

À l'équateur (\theta = \pi/2), \sin\theta = 1, et le déplacement élémentaire est \mathrm{d}\vec{\ell} = K\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{\mathrm{e}}_\varphi. La circulation s'intègre immédiatement pour \varphi \in [0, 2\pi] :

On en déduit la valeur du nombre de Chern \mathcal{C} défini par l'équation (24) :

Déduction physique :
D'après l'énoncé, l'entier \mathcal{C} est égal au nombre d'ondes différentes susceptibles de se propager spécifiquement au voisinage de l'équateur terrestre. On en déduit qu'il existe exactement 2 modes d'ondes équatoriales, ce qui justifie théoriquement l'existence des ondes de Yanaï et de Kelvin évoquées dans le préambule de la section 5.3.

Dans les deux problèmes, l'impossibilité de définir globalement un potentiel-vecteur régulier sur une surface sphérique fermée entourant une singularité conduit à une partition en deux hémisphères (recouvrement par deux cartes de jauge locale, dite construction du fibré de Dirac-Hopf), reliées à l'équateur par une transformation de jauge.

On synthétise les correspondances point par point dans le tableau ci-dessous :