Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2022 (page 2/4 : Partie 2)

Effets géométriques et topologiques en physique

59 questions corrigées
Sujet difficile
Faisable en PCSI : 10 questions sur 59
Vérifié question par question

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Sommaire

Page 1 : Partie 1
1. Partie 1 : Pendule de Foucault
  1.1 · Mouvement du pendule sans effet de la force d'inertie de Coriolis
  - Q1
  - Q2
  - Q3
  - Q4
  1.2 · Effet de la force d'inertie de Coriolis
  - Q5
  - Q6
  - Q7
  - Q8
  - Q9
  - Q10
  - Q11
  - Q12
  - Q13
Page 2 : Partie 2(page affichée)
1. Partie 2 : Rotation du plan de polarisation dans une fibre optique
  2.1 · Caractéristiques d'une fibre à saut d'indice
  - Q14
  - Q15
  - Q16
  2.2 · Propriétés géométriques de la lumière guidée
  - Q17
  - Q18
  - Q19
  - Q20
  - Q21
  - Q22
Page 3 : Parties 3 et 4
1. Partie 3 : Évolution temporelle en mécanique quantique
  3.1 · Approximation adiabatique
  - Q23
  - Q24
  - Q25
  - Q26
  - Q27
  - Q28
  - Q29
  - Q30
  3.2 · Phase de Berry
  - Q31
  - Q32
  - Q33
  - Q34
  - Q35
2. Partie 4 : Monopole magnétique
  - Q36
  - Q37
  - Q38
  - Q39
  - Q40
Page 4 : Partie 5
1. Partie 5 : Ondes dans l'atmosphère terrestre
  5.1 · Équations de Navier-Stokes en couche mince
  - Q41
  - Q42
  - Q43
  - Q44
  - Q45
  5.2 · Ondes de Rossby
  - Q46
  - Q47
  - Q48
  - Q49
  - Q50
  - Q51
  - Q52
  5.3 · Ondes de Yanaï et Kelvin
  - Q53
  - Q54
  - Q55
  - Q56
  - Q57
  - Q58
  - Q59

Partie 2 : Rotation du plan de polarisation dans une fibre optique

2.1 · Caractéristiques d'une fibre à saut d'indice

Question 14

Application directe≈ 4 min

Incontournable
Question de cours
Calcul littéral
Résultat donné : utilisable pour la suite
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : fibre optique, réflexion totale, ouverture numérique

Montrer que l'angle d'entrée dans la fibre $θ_{in}$ vérifie une inégalité $θ_{in} < θ_{c}$ pour que le rayon lumineux se propage dans la fibre optique sans atténuation. On définit l'ouverture numérique $O N = sin θ_{c}$ . Exprimer $O N$ en fonction de $n_{1}$ et $n_{2}$ .

Voir l'indice

Écrire la loi de Snell-Descartes à l'interface d'entrée puis la condition de réflexion totale à l'interface cœur-gaine n_1\sin i_1 > n_2.

Voir la stratégie

Appliquer la loi de Snell-Descartes de la réfraction au dioptre d'entrée air-cœur (indice extérieur égal à 1).
Utiliser la relation géométrique reliant l'angle de réfraction \theta_r et l'angle d'incidence i_1 sur l'interface cœur-gaine.
Établir la condition de réflexion totale à l'interface cœur-gaine pour obtenir la condition sur \theta_{\text{in}} et en déduire l'ouverture numérique ON.

Voir la réponse courte

Condition de réflexion totale au dioptre cœur-gaine couplée à Snell-Descartes en entrée, d'où ON = \sin\theta_c = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.

Voir le corrigé complet

Au dioptre d'entrée plan (normal à l'axe de la fibre), la loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit, l'indice de l'air étant égal à 1 :

1 \cdot \sin \theta_{\text{in}} = n_1 \sin \theta_r

D'après la géométrie de la fibre (figure 3), la normale au dioptre d'entrée est orthogonale à la normale à l'interface cœur-gaine. Les angles \theta_r et i_1 sont donc complémentaires :

i_1 + \theta_r = \frac{\pi}{2} \implies \sin \theta_r = \cos i_1

Pour que le rayon se propage sans atténuation, il doit subir une réflexion totale à chaque réflexion sur l'interface cœur-gaine (n_1 > n_2). La condition de réflexion totale impose :

\sin i_1 > \frac{n_2}{n_1}

Comme i_1 \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], cette condition équivaut à :

\cos i_1 < \sqrt{1 - \sin^2 i_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}

En injectant cette relation dans la loi de réfraction au dioptre d'entrée, on obtient :

\sin \theta_{\text{in}} = n_1 \cos i_1 < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

La fonction sinus étant strictement croissante sur \left[0, \frac{\pi}{2}\right], il vient :

\theta_{\text{in}} < \theta_c \quad \text{avec} \quad \sin \theta_c = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Par définition de l'ouverture numérique ON = \sin \theta_c, on a :

\boxed{ON = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}}

Résultat

O N = n_{1}^{2} - n_{2}^{2}

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Question 15

Exigeante≈ 10 min

Calcul littéral
Résultat donné : utilisable pour la suite

Notions : guidage d'onde, condition de quantification, onde stationnaire

Afin d'avoir une propagation non atténuée dans la fibre, l'onde doit vérifier une condition supplémentaire : il faut que $k_{y} Δ y$ soit un multiple de $2 π$ , où $k_{y}$ est la projection transverse (selon $O y$ ) du vecteur d'onde et $Δ y$ la distance cumulée selon l'axe $O y$ parcourue par l'onde entre $J$ et $K$ . Montrer que l'angle d'entrée $θ_{in}$ doit appartenir à un ensemble discret d'angles $θ_{p}$ à déterminer. Donner le nombre de modes qui peuvent se propager dans la fibre en fonction de $O N$ , $r$ , $n_{1}$ et $λ$ . Enfin, montrer que si le rayon de la fibre vérifie une inégalité $r < r_{c}$ , alors seul l'angle $θ_{in} = 0$ peut se propager dans la fibre.

Voir l'indice

Exprimer \Delta y = 4r pour un aller-retour transverse, relier k_y à \theta_{\text{in}} via les lois de réfraction, puis trouver la valeur seuil de r n'autorisant que le mode p=0.

Voir la stratégie

Relier la composante transverse k_y du vecteur d'onde à l'angle d'entrée \theta_{\text{in}} à l'aide de la loi de Snell-Descartes à l'interface d'entrée.
Déterminer la distance cumulée \Delta y parcourue selon Oy lors d'un aller-retour transverse entre deux réflexions successives sur la même interface (entre J et K), puis appliquer la condition de quantification k_y \Delta y = 2\pi p.
Exploiter la condition de réflexion totale \sin\theta_{\text{in}} < ON établie à la question précédente pour dénombrer les modes et en déduire le rayon de coupure r_c assurant un régime monomode.

Voir la réponse courte

Quantification transverse k_y \Delta y = 2\pi p sélectionnant des angles \theta_p discrets ; condition monomode r < r_c = \lambda/(2 ON).

Voir le corrigé complet

1. Quantification de l'angle d'entrée \theta_{\text{in}} :

Dans le cœur d'indice n_1, la pulsation de l'onde est \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} et la norme du vecteur d'onde vaut :

k = n_1 k_0 = \frac{2\pi n_1}{\lambda}

D'après la figure 3, le rayon réfracté fait un angle \theta_r avec l'axe de la fibre Ox. La composante transverse du vecteur d'onde s'écrit donc :

k_y = k \sin\theta_r = \frac{2\pi n_1}{\lambda}\sin\theta_r

La loi de Snell-Descartes à la face d'entrée (dioptre plan air-cœur en x=0) s'écrit :

1 \cdot \sin\theta_{\text{in}} = n_1 \sin\theta_r

On en déduit l'expression simple de k_y en fonction de l'angle incident :

k_y = \frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta_{\text{in}}

Entre les points de réflexion J et K situés tous deux sur l'interface supérieure (y = r), l'onde traverse deux fois l'épaisseur totale du cœur (2r) : une descente de y = r à y = -r, suivie d'une remontée de y = -r à y = r. La distance cumulée selon Oy vaut donc :

\Delta y = 2r + 2r = 4r

La condition d'interférence constructive s'écrit :

k_y \Delta y = 2\pi p, \quad p \in \mathbb{N}

soit :

\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta_p \cdot 4r = 2\pi p \iff \sin\theta_p = \frac{p\lambda}{4r}

L'angle d'entrée \theta_{\text{in}} ne peut donc prendre que les valeurs discrètes :

\boxed{\theta_p = \arcsin\left(\frac{p\lambda}{4r}\right), \quad p \in \mathbb{N}}

2. Nombre de modes guidés :

D'après la question 14, la propagation s'effectue sans atténuation par réflexion totale si :

\theta_p < \theta_c \iff \sin\theta_p < ON

Ce qui impose sur l'entier p :

\frac{p\lambda}{4r} < ON \iff p < \frac{4r\,ON}{\lambda}

Les entiers p autorisés sont donc p \in \{0, 1, \dots, p_{\max}\}, où p_{\max} = \left\lceil \frac{4r\,ON}{\lambda} - 1 \right\rceil. Le nombre total de modes guidés est donc :

\boxed{N = \left\lfloor \frac{4r\,ON}{\lambda} \right\rfloor + 1 \approx \frac{4r\,ON}{\lambda}}

où ON = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.

3. Condition de fibre monomode :

Pour que seul l'angle \theta_{\text{in}} = 0 (mode fondamental p = 0) puisse se propager, il faut et il suffit que le premier mode excité p = 1 ne vérifie pas la condition de réflexion totale, c'est-à-dire :

\sin\theta_1 \ge ON \iff \frac{\lambda}{4r} \ge ON \iff r \le \frac{\lambda}{4\,ON}

En prenant une inégalité stricte pour garantir l'absence totale du mode p=1 :

\boxed{r < r_c \quad \text{avec} \quad r_c = \frac{\lambda}{4\,ON}}

Résultat

θ_{p} = arcsin (\frac{p λ}{4 r}), p \in N

N = ⌊ \frac{4 r O N}{λ} ⌋ + 1 \approx \frac{4 r O N}{λ}

r < r_{c} avec r_{c} = \frac{λ}{4 O N}

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Question 16

Intermédiaire≈ 6 min

Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : dispersion intermodale, retard temporel, débit d'information

L'existence de plusieurs « modes » de propagation dans une fibre optique peut être à l'origine d'une limitation du débit d'information dans celle-ci. Soit une fibre de longueur $ℓ ≫ r$ telle que $r > r_{c}$ . En supposant qu'on envoie deux paquets d'onde dans la fibre avec respectivement $θ_{in} = 0$ et $θ_{in} = θ_{c}$ , déterminer le décalage temporel à l'arrivée entre les paquets d'onde en fonction de l'ouverture numérique. Considérant que chaque paquet d'onde encode un bit d'information, quel est le débit d'information maximal imposé par la question précédente ? On ne considérera par la suite que des fibres monomodes ( $r < r_{c}$ ).

Voir l'indice

Calculer la différence de temps de trajet entre le rayon d'incidence normale et le rayon d'angle critique, puis majorer le débit binaire par l'inverse de cet étalement temporel.

Voir la stratégie

Exprimer le trajet géométrique et le temps de propagation dans le cœur pour chacun des deux paquets d'onde : le mode axial (\theta_{\text{in}} = 0) et le mode le plus incliné (\theta_{\text{in}} = \theta_c).
En déduire le décalage temporel \Delta t = t_c - t_0 à l'arrivée (dispersion intermodale) en fonction de l'ouverture numérique ON.
Imposer la condition de non-chevauchement temporel des impulsions successives à la sortie pour obtenir le débit binaire maximal.

Voir la réponse courte

Différence de durée de trajet entre le rayon axial et le rayon à l'angle critique, limitant le débit binaire par D \sim 1/\Delta t.

Voir le corrigé complet

1. Temps de parcours du paquet d'onde axial (\theta_{\text{in}} = 0)

Le rayon pénètre sous incidence normale et se propage en ligne droite selon l'axe longitudinal de la fibre (Ox) sur la longueur \ell. Sa vitesse de propagation dans le cœur d'indice n_1 vaut v = \frac{c}{n_1} (où c désigne la vitesse de la lumière dans le vide). Le temps de vol est donc :

t_0 = \frac{\ell}{v} = \frac{n_1 \ell}{c}

2. Temps de parcours du paquet d'onde le plus incliné (\theta_{\text{in}} = \theta_c)

À l'entrée de la fibre, la loi de Snell-Descartes donne :

\sin\theta_c = n_1 \sin\theta_r = ON \implies \sin\theta_r = \frac{ON}{n_1}

où \theta_r est l'angle que fait le rayon avec l'axe de la fibre à l'intérieur du cœur. Lors de sa progression en zigzag par réflexions totales, la composante longitudinale de sa vitesse est v_x = v \cos\theta_r. La longueur totale de trajectoire optique parcourue pour franchir la distance axiale \ell vaut ainsi :

L_c = \frac{\ell}{\cos\theta_r} = \frac{\ell}{\sqrt{1 - \sin^2\theta_r}} = \frac{\ell}{\sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}}}

Le temps de propagation correspondant est donc :

t_c = \frac{L_c}{v} = \frac{n_1 \ell}{c \sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}}} = \frac{n_1^2 \ell}{c n_2}

puisque n_1 \sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}} = \sqrt{n_1^2 - (n_1^2 - n_2^2)} = n_2.

3. Décalage temporel à l'arrivée

Le retard à l'arrivée entre les deux paquets d'onde s'exprime exactement par :

\Delta t = t_c - t_0 = \frac{n_1 \ell}{c} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}}} - 1 \right)

\boxed{\Delta t = \frac{n_1 \ell}{c} \left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right) = \frac{n_1 \ell}{c} \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}}} - 1 \right)}

Dans le cadre usuel du guidage faible où les indices sont très proches (ON \ll n_1), un développement limité à l'ordre 1 en \left(\frac{ON}{n_1}\right)^2 fournit l'approximation classique :

\Delta t \approx \frac{\ell\,ON^2}{2 n_1 c}

4. Débit d'information maximal

Chaque bit étant encodé par un paquet d'onde (une impulsion lumineuse), ces impulsions subissent un élargissement temporel égal à \Delta t au bout d'une distance \ell. Pour éviter le brouillage et le recouvrement inter-symboles à la réception, l'intervalle temporel T_{\text{bit}} entre l'émission de deux bits consécutifs doit être supérieur à cet étalement :

T_{\text{bit}} \ge \Delta t

Le débit d'information maximal D_{\max} = \frac{1}{T_{\text{bit},\min}} imposé par la dispersion intermodale est par conséquent :

\boxed{D_{\max} = \frac{1}{\Delta t} = \frac{c}{n_1 \ell \left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)} \approx \frac{2 n_1 c}{\ell\,ON^2}}

Résultat

Δ t = \frac{n _{1} ℓ}{c} (\frac{n _{1}}{n _{2}} - 1) = \frac{n _{1} ℓ}{c} \frac{1}{1 - \frac{O N ^{2}}{n _{1}^{2}}} - 1

D_{m a x} = \frac{1}{Δ t} = \frac{c}{n _{1} ℓ ( \frac{n _{1}}{n _{2}} - 1 )} \approx \frac{2 n _{1} c}{ℓ O N ^{2}}

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2.2 · Propriétés géométriques de la lumière guidée

Question 17

Application directe≈ 4 min

Calcul littéral
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : hélice, cinématique

Exprimer la longueur $ℓ$ de la fibre ainsi que l'angle $θ$ en fonction du pas $p$ et du rayon $R$ du cylindre.

Voir l'indice

Développer la surface latérale du cylindre sur un plan pour obtenir un triangle rectangle de côtés p, 2\pi R et d'hypoténuse \ell.

Voir la stratégie

Pour déterminer la longueur de la fibre et l'angle d'inclinaison par rapport à l'axe du cylindre, on développe la surface latérale du cylindre dans un plan sur une période axiale (un pas p).

Voir la réponse courte

Développement plan du cylindre sur un pas : \ell = \sqrt{(2\pi R)^2 + p^2} et \tan\theta = 2\pi R/p.

Voir le corrigé complet

Considérons le développement plan de la surface latérale du cylindre de rayon R sur exactement un tour d'hélice :

le déplacement le long de l'axe (Oz) du cylindre vaut le pas p ;
le déplacement selon le périmètre circulaire orthogonal vaut la circonférence 2\pi R.

L'hélice régulière se déploie alors selon un segment de droite rectiligne, formant l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont p et 2\pi R.

D'après le théorème de Pythagore, la longueur \ell de la fibre s'écrit :

\boxed{\ell = \sqrt{p^2 + 4\pi^2 R^2}}

L'angle \theta étant défini entre la direction de la fibre (l'hypoténuse) et l'axe (Oz) du cylindre (le côté de longueur p), on obtient directement :

\cos\theta = \frac{p}{\ell} = \frac{p}{\sqrt{p^2 + 4\pi^2 R^2}} \quad \text{et} \quad \tan\theta = \frac{2\pi R}{p}

soit, \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] :

\boxed{\theta = \arctan\left(\frac{2\pi R}{p}\right) = \arccos\left(\frac{p}{\sqrt{p^2 + 4\pi^2 R^2}}\right)}

Résultat

ℓ = p^{2} + 4 π^{2} R^{2}

θ = arctan (\frac{2 π R}{p}) = arccos (\frac{p}{p ^{2} + 4 π ^{2} R ^{2}})

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Question 18

Application directe≈ 3 min

Raisonnement qualitatif
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : vecteur d'onde, géométrie

Le vecteur d'onde de la lumière est noté $k$ . Lorsque la lumière parcourt la fibre optique, quelle est la trajectoire décrite par l'extrémité du vecteur $k$ ? On note cette trajectoire $γ$ . On n'attend pas de calcul dans cette question.

Voir l'indice

Remarquer que la norme de \vec{k} et sa composante axiale k_z = k\cos\theta sont fixes, tandis que la direction transverse tourne régulièrement.

Voir la stratégie

Pour déterminer la trajectoire de l'extrémité de \vec{k} dans l'espace des vecteurs d'onde :

On utilise la conservation de la norme k = \|\vec{k}\| (milieu d'indice homogène) et de la composante axiale k_z le long de l'hélice régulière.
On déduit la forme géométrique de l'ensemble des points vérifiant ces deux contraintes lors d'un tour complet d'enroulement.

Voir la réponse courte

L'extrémité de \vec{k} décrit un cercle de colatitude \theta constante sur la sphère de rayon k.

Voir le corrigé complet

Dans une fibre monomode, la lumière se propage le long de l'axe de la fibre : le vecteur d'onde \vec{k} est tangent à l'hélice à tout instant.

On en déduit deux propriétés géométriques fondamentales dans l'espace des vecteurs d'onde (k_x, k_y, k_z) :

la norme du vecteur d'onde est constante, k = \|\vec{k}\| = \text{cste}, si bien que l'extrémité de \vec{k} reste sur la sphère de rayon k centrée à l'origine ;
la composante k_z = k \cos\theta est constante tout au long de l'hélice régulière, ce qui contraint l'extrémité de \vec{k} à rester dans le plan horizontal k_z = \text{cste}.

De plus, la fibre effectue exactement un tour complet autour du cylindre : la composante transverse (k_x, k_y) effectue donc une révolution complète d'angle 2\pi avec un rayon constant k_\perp = k\sin\theta.

La trajectoire \gamma décrite par l'extrémité du vecteur d'onde \vec{k} est donc un cercle complet, situé dans le plan k_z = k\cos\theta, de rayon k\sin\theta (ce qui correspond à un parallèle de colatitude \theta sur la sphère de rayon k).

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Question 19

Intermédiaire≈ 5 min

Calcul littéral
Schéma ou tracé
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : angle solide, sphère

Représenter $γ$ sur la sphère de rayon $k = ∥ k ∥$ dans l'espace à trois dimensions de coordonnées cartésiennes $(k_{x}, k_{y}, k_{z})$ . Exprimer et calculer en fonction de $θ$ l'aire $S_{γ}$ de la portion de sphère délimitée par $γ$ comprenant le pôle nord ( $k_{x} = 0, k_{y} = 0, k_{z} = k$ ).

Voir l'indice

Calculer l'aire de la calotte sphérique délimitée par le colatitude \theta via S_\gamma = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\theta k^2\sin\theta'\,\mathrm{d}\theta'.

Voir la stratégie

Représenter dans l'espace (k_x, k_y, k_z) la sphère de rayon k = \|\vec{k}\| ainsi que la courbe \gamma, qui est un parallèle situé à la colatitude \theta constante.
Exprimer l'élément de surface \mathrm{d}S en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon k.
Intégrer cet élément de surface sur la calotte polaire nord délimitée par \gamma (\theta' \in [0, \theta] et \varphi \in [0, 2\pi]).

Voir la réponse courte

Calcul de l'aire de la calotte par intégration en coordonnées sphériques : S_\gamma = 2\pi k^2 (1 - \cos\theta).

Voir le corrigé complet

D'après la question précédente, le vecteur d'onde \vec{k} a une norme constante k et une composante k_z = k\cos\theta constante au cours de la propagation. L'extrémité de \vec{k} décrit donc sur la sphère de rayon k un cercle parallèle d'axe (Ok_z), situé à la colatitude \theta.

Dans le système de coordonnées sphériques (k, \theta', \varphi) de l'espace des vecteurs d'onde :

\left\{ \begin{aligned} k_x &= k\sin\theta'\cos\varphi \\ k_y &= k\sin\theta'\sin\varphi \\ k_z &= k\cos\theta' \end{aligned} \right.

L'élément différentiel de surface sur la sphère de rayon k s'écrit :

\mathrm{d}S = k^2 \sin\theta'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi

La portion de sphère délimitée par le contour \gamma et comprenant le pôle nord (k_z = k, soit \theta' = 0) est une calotte sphérique définie par :

\theta' \in [0, \theta] \quad \text{et} \quad \varphi \in [0, 2\pi]

L'aire S_\gamma s'obtient par l'intégrale double :

\begin{aligned} S_\gamma &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_0^\theta k^2 \sin\theta'\,\mathrm{d}\theta' \\ &= 2\pi k^2 \Big[ -\cos\theta' \Big]_0^\theta \end{aligned}

soit finalement :

\boxed{S_\gamma = 2\pi k^2 (1 - \cos\theta)}

Résultat

S_{γ} = 2 π k^{2} (1 - cos θ)

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Question 20

Intermédiaire≈ 6 min

Calcul littéral
Exploitation de document
Démarche expérimentale

Notions : polarisation de la lumière, phase géométrique, angle solide

Bien que le vecteur $k$ revienne à sa valeur d'origine en sortie de la fibre, on remarque que le plan de polarisation de la lumière est différent entre l'entrée et la sortie de la fibre. Sur la figure 5 est tracé l'angle de rotation $β$ du plan de polarisation de la lumière en fonction de $g_{γ} = S_{γ} / k^{2}$ . Quelle(s) modification(s) du système expérimental a permis de prendre ces données ? Déduire de ces données une relation entre la rotation de l'axe de polarisation $β$ et l'angle $θ$ .

Voir l'indice

Identifier la pente de la droite \beta(g_\gamma) sur la figure 5 pour obtenir \beta = g_\gamma, puis remplacer g_\gamma par son expression en fonction de \theta.

Voir la stratégie

Exprimer la grandeur g_\gamma en fonction des paramètres géométriques du dispositif (R et p) afin d'identifier les paramètres expérimentaux modifiables.
Réaliser une lecture graphique de la figure 5 (nature de la courbe, pente) pour en déduire la relation liant \beta à g_\gamma.
Combiner ce résultat avec l'expression de g_\gamma(\theta) établie à la question précédente pour obtenir \beta(\theta).

Voir la réponse courte

Modification du pas ou du rayon de l'hélice ; lecture de pente donnant la proportionnalité directe \beta = -S_\gamma/k^2 = -2\pi(1 - \cos\theta).

Voir le corrigé complet

D'après les questions 17 et 19, la grandeur g_\gamma s'exprime en fonction de l'angle \theta sous la forme :

g_\gamma = \frac{S_\gamma}{k^2} = 2\pi(1 - \cos\theta) = 2\pi\left(1 - \frac{p}{\sqrt{p^2 + 4\pi^2 R^2}}\right)

Pour faire varier la grandeur g_\gamma et acquérir les différents points de mesure, il a été nécessaire de faire varier l'angle du cône \theta. Expérimentalement, cela s'obtient en modifiant :

soit le pas p de l'enroulement hélicoïdal (en étirant ou comprimant l'hélice le long de son axe) ;
soit le rayon R du cylindre support (en enroulant la fibre sur des cylindres de différents diamètres).

Sur la figure 5, les points expérimentaux représentant la rotation \beta du plan de polarisation en fonction de g_\gamma sont parfaitement alignés selon une droite passant par l'origine. La lecture graphique donne :

pour g_\gamma = 2, on lit \beta \approx 2\text{ rad} ;
pour g_\gamma = 4, on lit \beta \approx 4\text{ rad} ;
pour g_\gamma = 6, on lit \beta \approx 6\text{ rad}.

La droite est d'équation \beta = g_\gamma (avec une pente unitaire sans dimension).

En injectant l'expression de g_\gamma = 2\pi(1 - \cos\theta) issue de la question 19, on en déduit directement la relation :

\boxed{\beta = 2\pi(1 - \cos\theta)}

Résultat

β = 2 π (1 - cos θ)

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Question 21

Application directe≈ 2 min

Raisonnement qualitatif

Notions : polarisation de la lumière, phase géométrique

Lorsque $γ$ est confondue avec l'équateur de la sphère, qu'observe-t-on sur le plan de polarisation ?

Voir l'indice

Évaluer l'expression de \beta pour \theta = \pi/2 (équateur de la sphère des vecteurs d'onde).

Voir la réponse courte

Pour \theta = \pi/2, l'angle solide vaut 2\pi et la rotation est de -2\pi \equiv 0, la polarisation retrouve sa direction d'entrée.

Voir le corrigé complet

Lorsque la trajectoire \gamma est confondue avec l'équateur de la sphère des vecteurs d'onde, le demi-angle d'ouverture vaut :

\theta = \frac{\pi}{2}

D'après la relation établie à la question Q20, l'angle de rotation du plan de polarisation entre l'entrée et la sortie de la fibre s'écrit :

\beta = 2\pi\left(1 - \cos\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi\text{ rad} = 360^\circ

Le plan de polarisation a ainsi effectué une rotation exacte d'un tour complet (2\pi\text{ rad}).

Par conséquent, à la sortie de la fibre :

\boxed{\text{Le plan de polarisation retrouve exactement son orientation initiale (polarisation inchangée).}}

Résultat

Le plan de polarisation retrouve exactement son orientation initiale (polarisation inchang \overset{e}{ˊ} e).

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Question 22

Intermédiaire≈ 5 min

Raisonnement qualitatif

Notions : analogie formelle, phase géométrique, pendule de foucault

Dresser un tableau explicitant les quantités analogues entre ce problème et celui du pendule de Foucault.

Voir l'indice

Construire un tableau comparant l'espace réel (Terre) et l'espace des vecteurs d'onde, la trajectoire fermée, l'angle solide associé et l'angle de rotation géométrique.

Voir la stratégie

Pour mettre en correspondance les deux systèmes physiques, on identifie dans chaque situation :

L'espace support de l'évolution (la sphère sur laquelle se fait le déplacement) ;
La grandeur vectorielle transportée « parallèlement » à elle-même (soumise à une contrainte d'orthogonalité locale) ;
Le contour fermé \gamma décrit au cours du cycle ;
L'angle solide sous-tendu par ce contour sur la sphère ;
La manifestation de la non-holonomie (l'angle géométrique mesuré après un cycle complet).

Voir la réponse courte

Correspondance entre plan d'oscillation et polarisation, vecteur unitaire vertical et vecteur d'onde, angle solide terrestre et angle solide de \vec{k}.

Voir le corrigé complet

Dans les deux situations, une grandeur vectorielle est transportée parallèlement le long d'une courbe fermée tracée sur une sphère :

Pour le pendule de Foucault, le vecteur vitesse (ou la direction d'oscillation) appartient au plan tangent local à la sphère terrestre. L'entraînement par la rotation diurne astreint le point d'attache à décrire un parallèle \gamma à la latitude \lambda.
Pour la fibre optique, le champ électrique (polarisation linéaire) est transverse et appartient au plan orthogonal au vecteur d'onde \vec{k}. Lorsque la lumière parcourt un tour d'hélice, le vecteur unitaire \vec{u} = \vec{k}/k décrit un cercle de colatitude \theta sur la sphère des directions de propagation.

Les analogies formelles entre ces deux phénomènes de non-holonomie géométrique sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :

Caractéristique	Pendule de Foucault (Partie 1)	Fibre optique enroulée (Partie 2)
Espace des paramètres (sphère)	Sphère terrestre réelle de rayon R_T centrée en O	Sphère des directions du vecteur d'onde de rayon k = \\|\vec{k}\\|
Vecteur transporté	Direction du plan d'oscillation \vec{u}_{\text{osc}} (tangent à la surface terrestre)	Vecteur de polarisation \vec{E} (transverse, orthogonal à \vec{k})
Condition de transport	Mouvement sans couple externe selon la verticale locale	Équation d'onde en milieu isotrope guidé (polarisation parallèle au sens de Levi-Civita)
Trajectoire fermée \gamma	Parallèle de latitude \lambda parcouru en T = 24\text{ h}	Cercle de colatitude \theta parcouru sur un tour d'hélice de pas p
Angle de colatitude	\theta_{\text{colat}} = \dfrac{\pi}{2} - \lambda	\theta (angle entre l'axe du cylindre et la fibre)
Angle solide sous-tendu	\chi = 2\pi(1 - \sin\lambda) = 2\pi(1 - \cos\theta_{\text{colat}})	g_\gamma = \dfrac{S_\gamma}{k^2} = 2\pi(1 - \cos\theta)
Effet géométrique (non-holonomie)	Rotation du plan d'oscillation par rapport au repère galiléen : -\chi = -\Omega(\gamma) (soit \psi = 2\pi\sin\lambda dans le repère terrestre)	Rotation du plan de polarisation de la lumière : \beta = g_\gamma = \Omega(\gamma)

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Corrigé rédigé par WikiPrépa ; ce n'est pas un corrigé officiel du concours. Mis à jour le 25 septembre 2026.