Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2022

Dans le référentiel terrestre en rotation uniforme à la pulsation \Omega autour de l'axe (\vec{\mathrm{e}}_3), la force d'inertie d'entraînement s'exerçant sur une masse ponctuelle m située à la latitude \lambda s'écrit :

où H est la projection orthogonale du point M sur l'axe de rotation terrestre.

1. Négligence de la force d'inertie d'entraînement devant le poids

La distance à l'axe est H M \approx R_T \cos\lambda \le R_T. L'accélération centrifuge correspondante est majorée par :

Avec une rotation en un jour sidéral (T \approx 86{,}4 \times 10^3\text{ s}) :

On en déduit l'accélération centrifuge maximale :

En comparant à l'accélération de la pesanteur g \approx 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

De surcroît, les variations spatiales de la force d'inertie d'entraînement au cours des oscillations d'amplitude X \sim \ell \alpha conduisent à des termes de rappel d'ordre m\Omega^2 X, totalement négligeables devant le rappel gravitationnel m\omega_0^2 X \sim m \frac{g}{\ell} X puisque \frac{\Omega^2 \ell}{g} \sim 10^{-8} \ll 1.

2. Direction du poids selon l'axe Oz

D'après la figure 1(a), l'axe local Oz est porté par le rayon terrestre dirigé vers l'extérieur (direction radiale). L'attraction gravitationnelle pure est dirigée selon -\vec{\mathrm{e}}_z.

Le poids effectif mesuré par le fil à plomb est la résultante de l'attraction gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement : \vec{g}_{\text{eff}} = \vec{\mathcal{G}} + \Omega^2 \vec{HM}. L'angle de déviation \delta de la verticale locale par rapport à la direction radiale -\vec{\mathrm{e}}_z est donné au premier ordre par :

Cette déviation étant minime (\delta \ll 1), on peut considérer à une excellente approximation que :

On étudie la masse ponctuelle m dans le référentiel terrestre supposé galiléen (les forces d'inertie de Coriolis et d'entraînement étant négligées dans cette sous-partie).

Le système est soumis à deux forces :

• le poids : \vec{P} = m \vec{g} = -m g \vec{\mathrm{e}}_z ;
• la tension du fil : \vec{T} = - T \vec{\mathrm{e}}_r (avec T > 0).

D'après le principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) :

Le mouvement étant supposé plan et circulaire de rayon \ell autour du point de suspension S, la position s'écrit \vec{r} = \vec{SM} = \ell \vec{\mathrm{e}}_r. Le vecteur vitesse et le vecteur accélération s'écrivent :

D'après la figure 1(b), l'angle \alpha est repéré par rapport à la verticale descendante -\vec{\mathrm{e}}_z, de sorte que :

En projetant la relation vectorielle sur la base mobile (\vec{\mathrm{e}}_r, \vec{\mathrm{e}}_\alpha), on obtient le système d'équations scalaires :

D'après la question précédente, l'équation différentielle régissant l'évolution angulaire du pendule simple s'écrit :

Le pendule simple peut être approximé par un oscillateur harmonique dans la limite des petites oscillations, c'est-à-dire lorsque l'écart angulaire à la verticale reste très inférieur à un radian :

Dans cette limite, on effectue le développement limité au premier ordre en \alpha :

L'équation du mouvement devient alors linéaire :

On reconnaît l'équation différentielle canonique d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_0 :

Par identification, l'expression de la pulsation propre est :

La période propre des oscillations en découle directement :

Application numérique : Pour le pendule de Foucault installé au Panthéon, avec \ell = 67\text{ m} et g \approx 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on a :

En utilisant la donnée \sqrt{7} \approx 2,6 et l'approximation usuelle \pi \approx 3,14 :

Pour la pulsation propre associée :

Considérons le mouvement plan du pendule dans le repère local. En prenant la position d'équilibre de la masse comme origine sur l'axe vertical ascendant Oz, et en notant x la coordonnée horizontale dans le plan d'oscillation, les coordonnées de la masse m s'écrivent :

Dans la limite des petites oscillations (|\alpha| \ll 1), effectuons un développement limité au voisinage de \alpha = 0 :

Au premier ordre en \alpha, on a donc :

La coordonnée verticale z(t) ne varie qu'au deuxième ordre en \alpha, tandis que le déplacement horizontal est d'ordre un. Ainsi, au premier ordre en \alpha, le mouvement de la masse s'effectue dans le plan horizontal xOy (z = \text{cste}).

La pulsation propre d'oscillation du pendule, déterminée à la question 3 pour un fil de longueur \ell = 67\text{ m}, vaut :

La pulsation de rotation de la Terre sur elle-même sur une période d'un jour sidéral (T_{\text{Terre}} \approx 86\,400\text{ s} ou 86\,164\text{ s}), calculée à la question 1, vaut :

Le rapport entre ces deux pulsations s'écrit donc :

On en déduit que :

D'après la figure 1(a), le repère local (Oxyz) est orienté de la façon suivante :

• \vec{\mathrm{e}}_z est vertical ascendant (radial sortant) ;
• \vec{\mathrm{e}}_x est tangent au méridien et dirigé vers le Sud ;
• \vec{\mathrm{e}}_y est tangent au parallèle et dirigé vers l'Est.

L'axe de rotation terrestre étant dirigé selon \vec{\mathrm{e}}_3 (axe des pôles vers le Nord), le vecteur \vec{\mathrm{e}}_3 est contenu dans le plan méridien (O, \vec{\mathrm{e}}_x, \vec{\mathrm{e}}_z). À la latitude \lambda, l'angle entre le plan équatorial et \vec{\mathrm{e}}_z vaut \lambda, si bien que l'angle entre la verticale locale \vec{\mathrm{e}}_z et \vec{\mathrm{e}}_3 est \frac{\pi}{2} - \lambda. La composante le long du méridien vers le Sud (\vec{\mathrm{e}}_x) fait donc un angle \pi - \lambda avec \vec{\mathrm{e}}_3. Ainsi :

Le vecteur rotation de la Terre s'écrit alors :

D'après l'énoncé, la vitesse du pendule dans le référentiel terrestre est purement horizontale : \vec{v} = \dot{x}\vec{\mathrm{e}}_x + \dot{y}\vec{\mathrm{e}}_y. La force d'inertie de Coriolis s'exprime par :

Comme indiqué par l'énoncé, on néglige l'accélération et les mouvements selon \vec{\mathrm{e}}_z. En projetant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre, m\vec{a} = \vec{F} + \vec{F}_{ic}, où la résultante des autres forces admise par l'énoncé est \vec{F} = -m\omega_0^2 x\,\vec{\mathrm{e}}_x - m\omega_0^2 y\,\vec{\mathrm{e}}_y, on obtient pour les composantes horizontales :

En simplifiant par la masse m, on retrouve le système (1) :

avec :

D'après le système d'équations (1) établi à la question Q6 :

En formant la combinaison linéaire (L_1) + i\,(L_2) avec \underline{u} = x + iy, il vient :

L'équation différentielle vérifiée par \underline{u} est donc :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée s'écrit :

On peut mettre cette équation sous forme canonique :

En posant \Omega_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2}, les deux racines de l'équation caractéristique sont :

La solution générale s'exprime donc sous la forme :

où \underline{A} et \underline{B} sont deux constantes d'intégration complexes, et \Omega_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2}.

D'après la question Q7, la solution générale de l'équation du mouvement s'écrit :

où \Omega_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2}.

Les conditions initiales imposées sont :

Calculons la dérivée temporelle de \underline{u}(t) :

En évaluant en t = 0 :

En substituant la première relation dans la seconde :

On en déduit les constantes \underline{A} et \underline{B} :

En réinjectant ces constantes dans l'expression de \underline{u}(t) :

D'où l'expression exacte de l'affixe \underline{u}(t) :

D'après la question Q5, la pulsation de rotation terrestre est très inférieure à la pulsation propre du pendule :

Comme \tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda, on a a fortiori \tilde{\Omega} \ll \omega_0. On peut alors effectuer les approximations suivantes au premier ordre :

Dans l'expression de \underline{u}(t) obtenue à la question Q8, le terme imaginaire entre crochets est donc négligeable devant le terme en cosinus d'amplitude unitaire :

On en déduit l'expression simplifiée de \underline{u}(t) :

En séparant parties réelle et imaginaire \underline{u}(t) = x(t) + i y(t), les coordonnées cartésiennes dans le plan horizontal s'écrivent :

Interprétation physique :

• Mouvement quasi rectiligne instantané : À l'échelle de quelques périodes d'oscillation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \approx 16\text{ s}, la quantité \tilde{\Omega}t est pratiquement constante. Le pendule effectue ainsi un mouvement oscillatoire harmonique rectiligne selon une direction faisant l'angle \theta(t) = -\tilde{\Omega}t avec l'axe Ox.
• Rotation séculaire du plan d'oscillation : À plus grande échelle de temps, le plan d'oscillation tourne d'un mouvement de précession uniforme à la vitesse angulaire \tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda. Le signe négatif indique une rotation dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre pour un observateur regardant le sol de haut) dans l'hémisphère nord (\lambda > 0).

D'après la question Q9, le plan d'oscillation tourne à la vitesse angulaire \tilde{\Omega} = \Omega \sin\lambda dans le sens horaire (rétrograde).

Sur une durée \Delta t = T = 24\text{ h}, correspondant à une rotation complète de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique (\Omega T = 2\pi), l'angle \psi duquel a tourné le plan d'oscillation dans le référentiel terrestre s'écrit :

En degrés, cela correspond à :

Estimation numérique à Paris (\lambda = 49^\circ) :

En approximant \sin(49^\circ) par un développement au voisinage de 45^\circ :

On en déduit :

Points du globe où le plan revient à sa position initiale après 24 h :

• Aux pôles Nord et Sud (\lambda = \pm 90^\circ) : \sin\lambda = \pm 1, donc \psi = \pm 360^\circ = \pm 2\pi. Le plan effectue un tour complet en 24 h et revient exactement à sa position initiale (dans l'espace géocentrique, le plan d'oscillation reste fixe tandis que la Terre effectue un tour complet sous le pendule).
• À l'équateur (\lambda = 0^\circ) : \sin\lambda = 0, donc \psi = 0^\circ. La composante verticale de la rotation terrestre est nulle ; le plan d'oscillation ne tourne pas et conserve donc sa position initiale.
• Aux latitudes \lambda = ± 30^\circ : si l'on considère le plan d'oscillation comme une droite non orientée dans le plan horizontal, il est invariant par un demi-tour (\psi = \pm \pi = \pm 180^\circ). Comme \sin(\pm 30^\circ) = \pm 1/2, le plan coïncide à nouveau avec sa position initiale au bout de 24 h.

Les choix de Foucault s'expliquent par deux impératifs physiques :

• Une grande masse (m = 36\text{ kg}) pour minimiser l'amortissement : La force de traînée aérodynamique exercée par l'air dépend de la section efficace de la sphère (F_{\text{frott}} \propto r^2), alors que l'inertie et l'énergie mécanique dépendent de la masse (m \propto r^3). L'accélération de freinage varie donc comme :

  \frac{F_{\text{frott}}}{m} \propto \frac{1}{r} \propto m^{-1/3}

  Une masse élevée confère au pendule une grande inertie et un facteur de qualité très élevé, lui permettant d'osciller pendant plusieurs heures sans apport d'énergie extérieur. De plus, une masse importante le rend insensible aux courants d'air parasites dans l'édifice (le Panthéon).

• Une grande longueur (\ell = 67\text{ m}) pour concilier visibilité et linéarité :

  • Petites oscillations et grand déplacement : L'élongation spatiale x_{\max} \approx \ell \alpha_{\max} peut atteindre plusieurs mètres (rendant la déviation de quelques millimètres par oscillation spectaculaire et aisément mesurable pour le public) tout en conservant un angle très faible (\alpha_{\max} \sim 2^\circ à 3^\circ \ll 1\text{ rad}), garantissant l'isochronisme des oscillations.
  • Suppression de la précession parasite d'Airy : Tout écart à un plan d'oscillation parfait induit une trajectoire elliptique ; les termes non linéaires du pendule font alors tourner l'ellipse à une vitesse angulaire proportionnelle à \frac{\mathcal{A}}{\ell^2} (où \mathcal{A} est l'aire de l'ellipse). Une très grande longueur \ell minimise drastiquement cette précession parasite susceptible de masquer l'effet Coriolis.
  • Période élevée : La période propre T_0 \approx 16\text{ s} ralentit la vitesse de passage au centre pour une amplitude angulaire fixée, ce qui limite encore la traînée et facilite l'observation précise.

L'utilisation d'un tel pendule pour se repérer et se diriger sur Terre n'est absolument pas possible d'un point de vue physique, pour plusieurs raisons fondamentales :

• Absence de direction privilégiée (le pendule n'est pas une boussole) : L'espace horizontal est isotrope pour la force de rappel du pendule simple. Le plan d'oscillation ne s'aligne pas spontanément selon le méridien nord-sud : d'après la relation \theta(t) = -\Omega\sin\lambda\,t + \theta_0, il précesse continûment à une vitesse angulaire \tilde{\Omega} à partir d'une orientation initiale \theta_0 arbitraire. Il ne fournit donc aucune référence absolue de direction.

• Amortissement et temps de mesure : Le pendule tenu en main par le professeur Tournesol a une longueur typique \ell \sim 10\text{ cm} à 20\text{ cm} et une masse de quelques dizaines de grammes. Sa période d'oscillation propre est de l'ordre de :

  T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \approx 0{,}6\text{ à } 0{,}9\text{ s}

  En raison du frottement de l'air et de l'absence d'une grande inertie (contrairement aux 36\text{ kg} du pendule de Foucault), les oscillations s'atténuent en quelques dizaines de secondes. Or, la vitesse de précession à nos latitudes n'est que de l'ordre de 10^\circ à 15^\circ par heure (soit une fraction de degré sur la durée de l'oscillation), ce qui rend toute mesure de la rotation terrestre totalement indétectable.

• Bruits et mouvements parasites du manipulateur : Pour une vitesse d'oscillation de l'ordre de v \sim 0{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, l'accélération de Coriolis vaut :

  a_C \sim 2\Omega v \sim 2 \times (7{,}3 \times 10^{-5}) \times 0{,}5 \approx 7 \times 10^{-5}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

  Cette valeur infinitésimale est totalement masquée par les tremblements involontaires de la main et les accélérations dues à la marche du porteur, qui atteignent couramment 10^{-1} à 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (soit plus de mille fois l'effet recherché).

1. Schéma de la situation et définition du contour \gamma

Au cours d'une rotation complète de la Terre sur elle-même (durée de 24 h), le point d'attache du pendule situé à la latitude \lambda décrit dans le référentiel géocentrique un cercle horizontal \gamma, correspondant au parallèle de latitude \lambda. Ce contour délimite sur la sphère terrestre une calotte polaire (au pôle Nord).

2. Calcul de h(\gamma) sous forme d'intégrale double

En coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) associées au repère géocentrique, le rayon de la Terre est fixé à r = R_T. La latitude \lambda est reliée à la colatitude \theta par :

La calotte polaire nord entourée par le contour fermé \gamma correspond au domaine :

L'élément de surface sur la sphère s'écrit \mathrm{d}^2S = R_T^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. L'aire de cette calotte s'exprime donc par l'intégrale double :

La surface totale de la sphère terrestre étant S_{\text{tot}} = 4\pi R_T^2, le rapport h(\gamma) vaut :

Par identification avec la forme h(\gamma) = \dfrac{\chi}{4\pi}, on identifie :

3. Comparaison avec le résultat de la question 10

D'après la question Q10, le plan d'oscillation du pendule effectue en 24 h une rotation d'un angle dans le référentiel terrestre :

On remarque immédiatement la relation fondamentale :

Au dioptre d'entrée plan (normal à l'axe de la fibre), la loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit, l'indice de l'air étant égal à 1 :

D'après la géométrie de la fibre (figure 3), la normale au dioptre d'entrée est orthogonale à la normale à l'interface cœur-gaine. Les angles \theta_r et i_1 sont donc complémentaires :

Pour que le rayon se propage sans atténuation, il doit subir une réflexion totale à chaque réflexion sur l'interface cœur-gaine (n_1 > n_2). La condition de réflexion totale impose :

Comme i_1 \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], cette condition équivaut à :

En injectant cette relation dans la loi de réfraction au dioptre d'entrée, on obtient :

La fonction sinus étant strictement croissante sur \left[0, \frac{\pi}{2}\right], il vient :

Par définition de l'ouverture numérique ON = \sin \theta_c, on a :

1. Quantification de l'angle d'entrée \theta_{\text{in}} :

Dans le cœur d'indice n_1, la pulsation de l'onde est \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} et la norme du vecteur d'onde vaut :

D'après la figure 3, le rayon réfracté fait un angle \theta_r avec l'axe de la fibre Ox. La composante transverse du vecteur d'onde s'écrit donc :

La loi de Snell-Descartes à la face d'entrée (dioptre plan air-cœur en x=0) s'écrit :

On en déduit l'expression simple de k_y en fonction de l'angle incident :

Entre les points de réflexion J et K situés tous deux sur l'interface supérieure (y = r), l'onde traverse deux fois l'épaisseur totale du cœur (2r) : une descente de y = r à y = -r, suivie d'une remontée de y = -r à y = r. La distance cumulée selon Oy vaut donc :

La condition d'interférence constructive s'écrit :

soit :

L'angle d'entrée \theta_{\text{in}} ne peut donc prendre que les valeurs discrètes :

2. Nombre de modes guidés :

D'après la question 14, la propagation s'effectue sans atténuation par réflexion totale si :

Ce qui impose sur l'entier p :

Les entiers p autorisés sont donc p \in \{0, 1, \dots, p_{\max}\}, où p_{\max} = \left\lceil \frac{4r\,ON}{\lambda} - 1 \right\rceil. Le nombre total de modes guidés est donc :

où ON = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.

3. Condition de fibre monomode :

Pour que seul l'angle \theta_{\text{in}} = 0 (mode fondamental p = 0) puisse se propager, il faut et il suffit que le premier mode excité p = 1 ne vérifie pas la condition de réflexion totale, c'est-à-dire :

En prenant une inégalité stricte pour garantir l'absence totale du mode p=1 :

1. Temps de parcours du paquet d'onde axial (\theta_{\text{in}} = 0)

Le rayon pénètre sous incidence normale et se propage en ligne droite selon l'axe longitudinal de la fibre (Ox) sur la longueur \ell. Sa vitesse de propagation dans le cœur d'indice n_1 vaut v = \frac{c}{n_1} (où c désigne la vitesse de la lumière dans le vide). Le temps de vol est donc :

2. Temps de parcours du paquet d'onde le plus incliné (\theta_{\text{in}} = \theta_c)

À l'entrée de la fibre, la loi de Snell-Descartes donne :

où \theta_r est l'angle que fait le rayon avec l'axe de la fibre à l'intérieur du cœur. Lors de sa progression en zigzag par réflexions totales, la composante longitudinale de sa vitesse est v_x = v \cos\theta_r. La longueur totale de trajectoire optique parcourue pour franchir la distance axiale \ell vaut ainsi :

Le temps de propagation correspondant est donc :

puisque n_1 \sqrt{1 - \frac{ON^2}{n_1^2}} = \sqrt{n_1^2 - (n_1^2 - n_2^2)} = n_2.

3. Décalage temporel à l'arrivée

Le retard à l'arrivée entre les deux paquets d'onde s'exprime exactement par :

Dans le cadre usuel du guidage faible où les indices sont très proches (ON \ll n_1), un développement limité à l'ordre 1 en \left(\frac{ON}{n_1}\right)^2 fournit l'approximation classique :

4. Débit d'information maximal

Chaque bit étant encodé par un paquet d'onde (une impulsion lumineuse), ces impulsions subissent un élargissement temporel égal à \Delta t au bout d'une distance \ell. Pour éviter le brouillage et le recouvrement inter-symboles à la réception, l'intervalle temporel T_{\text{bit}} entre l'émission de deux bits consécutifs doit être supérieur à cet étalement :

Le débit d'information maximal D_{\max} = \frac{1}{T_{\text{bit},\min}} imposé par la dispersion intermodale est par conséquent :

Considérons le développement plan de la surface latérale du cylindre de rayon R sur exactement un tour d'hélice :

• le déplacement le long de l'axe (Oz) du cylindre vaut le pas p ;
• le déplacement selon le périmètre circulaire orthogonal vaut la circonférence 2\pi R.

L'hélice régulière se déploie alors selon un segment de droite rectiligne, formant l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont p et 2\pi R.

D'après le théorème de Pythagore, la longueur \ell de la fibre s'écrit :

L'angle \theta étant défini entre la direction de la fibre (l'hypoténuse) et l'axe (Oz) du cylindre (le côté de longueur p), on obtient directement :

soit, \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] :

Dans une fibre monomode, la lumière se propage le long de l'axe de la fibre : le vecteur d'onde \vec{k} est tangent à l'hélice à tout instant.

On en déduit deux propriétés géométriques fondamentales dans l'espace des vecteurs d'onde (k_x, k_y, k_z) :

• la norme du vecteur d'onde est constante, k = \|\vec{k}\| = \text{cste}, si bien que l'extrémité de \vec{k} reste sur la sphère de rayon k centrée à l'origine ;
• la composante k_z = k \cos\theta est constante tout au long de l'hélice régulière, ce qui contraint l'extrémité de \vec{k} à rester dans le plan horizontal k_z = \text{cste}.

De plus, la fibre effectue exactement un tour complet autour du cylindre : la composante transverse (k_x, k_y) effectue donc une révolution complète d'angle 2\pi avec un rayon constant k_\perp = k\sin\theta.

La trajectoire \gamma décrite par l'extrémité du vecteur d'onde \vec{k} est donc un cercle complet, situé dans le plan k_z = k\cos\theta, de rayon k\sin\theta (ce qui correspond à un parallèle de colatitude \theta sur la sphère de rayon k).

D'après la question précédente, le vecteur d'onde \vec{k} a une norme constante k et une composante k_z = k\cos\theta constante au cours de la propagation. L'extrémité de \vec{k} décrit donc sur la sphère de rayon k un cercle parallèle d'axe (Ok_z), situé à la colatitude \theta.

Dans le système de coordonnées sphériques (k, \theta', \varphi) de l'espace des vecteurs d'onde :

L'élément différentiel de surface sur la sphère de rayon k s'écrit :

La portion de sphère délimitée par le contour \gamma et comprenant le pôle nord (k_z = k, soit \theta' = 0) est une calotte sphérique définie par :

L'aire S_\gamma s'obtient par l'intégrale double :

soit finalement :

D'après les questions 17 et 19, la grandeur g_\gamma s'exprime en fonction de l'angle \theta sous la forme :

Pour faire varier la grandeur g_\gamma et acquérir les différents points de mesure, il a été nécessaire de faire varier l'angle du cône \theta. Expérimentalement, cela s'obtient en modifiant :

• soit le pas p de l'enroulement hélicoïdal (en étirant ou comprimant l'hélice le long de son axe) ;
• soit le rayon R du cylindre support (en enroulant la fibre sur des cylindres de différents diamètres).

Sur la figure 5, les points expérimentaux représentant la rotation \beta du plan de polarisation en fonction de g_\gamma sont parfaitement alignés selon une droite passant par l'origine. La lecture graphique donne :

• pour g_\gamma = 2, on lit \beta \approx 2\text{ rad} ;
• pour g_\gamma = 4, on lit \beta \approx 4\text{ rad} ;
• pour g_\gamma = 6, on lit \beta \approx 6\text{ rad}.

La droite est d'équation \beta = g_\gamma (avec une pente unitaire sans dimension).

En injectant l'expression de g_\gamma = 2\pi(1 - \cos\theta) issue de la question 19, on en déduit directement la relation :

Lorsque la trajectoire \gamma est confondue avec l'équateur de la sphère des vecteurs d'onde, le demi-angle d'ouverture vaut :

D'après la relation établie à la question Q20, l'angle de rotation du plan de polarisation entre l'entrée et la sortie de la fibre s'écrit :

Le plan de polarisation a ainsi effectué une rotation exacte d'un tour complet (2\pi\text{ rad}).

Par conséquent, à la sortie de la fibre :

Dans les deux situations, une grandeur vectorielle est transportée parallèlement le long d'une courbe fermée tracée sur une sphère :

• Pour le pendule de Foucault, le vecteur vitesse (ou la direction d'oscillation) appartient au plan tangent local à la sphère terrestre. L'entraînement par la rotation diurne astreint le point d'attache à décrire un parallèle \gamma à la latitude \lambda.
• Pour la fibre optique, le champ électrique (polarisation linéaire) est transverse et appartient au plan orthogonal au vecteur d'onde \vec{k}. Lorsque la lumière parcourt un tour d'hélice, le vecteur unitaire \vec{u} = \vec{k}/k décrit un cercle de colatitude \theta sur la sphère des directions de propagation.

Les analogies formelles entre ces deux phénomènes de non-holonomie géométrique sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :

Puisque le paramètre \vec{\lambda} est constant dans le temps, les états propres \phi_n(x; \vec{\lambda}) ainsi que les énergies propres E_n(\vec{\lambda}) ne dépendent pas de t.

En dérivant l'expression (3) de la fonction d'onde par rapport au temps, il vient :

En injectant cette relation dans l'équation de Schrödinger (5) :

Multiplions par \phi_m^\star(x; \vec{\lambda}) et intégrons spatialement sur [0, L]. En utilisant la relation d'orthonormalité (4), \int_0^L \phi_m^\star(x; \vec{\lambda})\,\phi_n(x; \vec{\lambda})\,\mathrm{d}x = \delta_{nm}, on obtient pour tout entier n \in \{1, \dots, N\} :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants, dont la solution s'écrit immédiatement :

En réinjectant cette expression dans la décomposition de \psi(x, t), on obtient la fonction d'onde à tout instant :

Lorsque c_n(0) = \delta_{np}, le système se trouve à t = 0 dans l'état propre \phi_p(x; \vec{\lambda}) associé à l'énergie E_p. D'après l'expression établie à la question précédente :

La fonction d'onde à tout instant t se réduit donc à un seul terme :

Le système reste donc indéfiniment dans le même état propre \phi_p : son évolution temporelle se limite à une modulation par un facteur de phase global \mathrm{e}^{-i E_p t/\hbar}. C'est un état stationnaire.

La densité volumique (ici linéique) de probabilité de présence de la particule s'écrit :

La densité de probabilité de présence est donc strictement indépendante du temps : la répartition spatiale de la particule est stationnaire.

La fonction d'onde s'écrit sous la forme décomposée sur la base des états stationnaires instantanés (3) :

Puisque le vecteur de paramètres \vec{\lambda} dépend du temps t, la dérivation de \psi(x, t) par rapport à t fait intervenir à la fois la dérivée des coefficients c_n(t) et celle des fonctions propres \phi_n(x; \vec{\lambda}(t)) via la règle de la chaîne rappelée dans le formulaire :

Le membre de gauche de l'équation de Schrödinger (5) s'exprime donc sous la forme :

En égalant cette expression au membre de droite de l'équation (5), on obtient :

Multiplions cette équation par \phi_p^*(x; \vec{\lambda}(t)) et intégrons sur [0, L]. En exploitant la condition d'orthonormalité (4), à savoir \int_0^L \phi_p^*(x; \vec{\lambda}(t)) \phi_n(x; \vec{\lambda}(t))\,\mathrm{d}x = \delta_{pn}, il vient :

L'équation projetée devient :

Soit, en isolant i\hbar \frac{\mathrm{d}c_p}{\mathrm{d}t} :

où l'on identifie :

(ou, de façon équivalente pour les indices permutés, \alpha_{np}(t) = i \left( \int_0^L \phi_n^*\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}_{\vec{\lambda}}\phi_p\,\mathrm{d}x \right) \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{\lambda}}{\mathrm{d}t}).

Lorsque les paramètres extérieurs sont constants au cours du temps (\vec{\lambda}(t) = \vec{\text{cste}}), les énergies propres E_n(\vec{\lambda}) sont indépendantes de t. L'intégrale intervenant dans l'exponentielle se simplifie immédiatement :

La variable d_n(t) s'écrit alors :

D'après la question Q23, la résolution de l'équation de Schrödinger à paramètres constants donne :

En injectant cette expression dans la définition de d_n(t), les facteurs de phase se compensent exactement :

On peut également vérifier ce résultat par dérivation directe :

Or, d'après l'équation différentielle de la question Q23, i\hbar \frac{\mathrm{d}c_n}{\mathrm{d}t} = E_n c_n \iff \frac{\mathrm{d}c_n}{\mathrm{d}t} = -\frac{i E_n}{\hbar}c_n, d'où :

Par conséquent, d_n(t) est bien indépendant du temps :

Par définition des coefficients d_p(t) introduits à la question Q26 :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Multiplions par i\hbar :

D'après l'équation (6) obtenue à la question Q25 :

En injectant cette relation et en divisant par i\hbar (sachant que -\frac{\hbar}{i\hbar} = i) :

Or, d'après la définition de d_n(t), on a c_n(t) = d_n(t)\,\mathrm{e}^{-\frac{i}{\hbar}\int_0^t E_n(\vec{\lambda}(t'))\,\mathrm{d}t'}. Il vient alors :

En introduisant les pulsations de Bohr associées aux transitions énergétiques :

on obtient l'équation d'évolution temporelle exacte vérifiée par les coefficients d_p(t) :

D'après la question Q27, l'équation exacte d'évolution des coefficients d_p(t) s'écrit :

Séparons dans la somme le terme n = \ell des autres composantes n \neq \ell :

Or, à l'instant initial, le système se trouve dans l'état propre \phi_\ell, soit :

D'après l'approximation précisée par l'énoncé :

• pour n = \ell, on a d_\ell(t) \approx d_\ell(0) = 1 ;
• pour n \neq \ell, |d_n(t)| = |c_n(t)| \ll 1.

Puisque les coefficients \alpha_{pn}(t) sont proportionnels à \dfrac{\mathrm{d}\vec{\lambda}}{\mathrm{d}t} (infiniment petits d'ordre 1 dans le régime d'évolution lente), les produits \alpha_{pn}(t) d_n(t) pour n \neq \ell sont des termes du second ordre, négligeables devant le terme d'ordre 1 correspondant à n = \ell.

Au premier ordre non nul, il ne subsiste donc que le terme n = \ell, ce qui donne bien pour p \neq \ell :

D'après les conditions initiales fixées dans le préambule, le système se trouve à t = 0 dans l'état propre \phi_\ell, de sorte que c_p(0) = \delta_{p\ell}. La définition de d_p(t) donnée à la question Q26 assure alors que :

Lorsque les grandeurs \alpha_{p\ell} et \omega_{p\ell} sont indépendantes du temps, l'intégrale présente dans l'argument de l'exponentielle de l'équation (8) se simplifie en \int_0^t \omega_{p\ell} \, \mathrm{d}t' = \omega_{p\ell} \, t. L'équation différentielle s'écrit alors :

En intégrant entre 0 et t, sachant que E_p \neq E_\ell donc \omega_{p\ell} \neq 0 :

Comme d_p(0) = 0, on obtient finalement, pour tout p \neq \ell :

On peut également factoriser par l'angle moitié :

D'après la définition introduite à la question Q26, on a d_p(t) = c_p(t)\,\mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}\int_0^t E_p(\vec{\lambda}(t'))\mathrm{d}t'}, ce qui implique :

En utilisant le résultat de la question Q29 pour p \neq \ell :

on calcule le module de d_p(t) :

Les niveaux d'énergie étant supposés deux à deux distincts (E_p \neq E_\ell), les pulsations de Bohr \omega_{p\ell} = \frac{E_p - E_\ell}{\hbar} ne s'annulent jamais.

L'approximation (7), à savoir |c_p(t)| \ll 1 pour tout p \neq \ell, est donc contrôlée par les paramètres sans dimension :

Rappelons l'expression établie à la question Q25 :

Le coefficient \alpha_{p\ell} est directement proportionnel à la vitesse d'évolution des paramètres \frac{\mathrm{d}\vec{\lambda}}{\mathrm{d}t}. Une condition suffisante pour que l'approximation adiabatique soit valable est que le vecteur \vec{\lambda}(t) évolue suffisamment lentement :

En introduisant le temps caractéristique \tau de variation de \vec{\lambda}(t) et l'écart minimal en énergie avec les autres niveaux \Delta E_{\min} = \min_{p \neq \ell} |E_p - E_\ell| > 0, cette condition s'écrit de manière équivalente :

D'après l'équation (6) établie à la question Q25, le coefficient c_\ell(t) vérifie :

Dans le cadre de l'approximation adiabatique, le système reste confiné dans l'état \phi_\ell au cours du temps, ce qui se traduit par c_\ell(t) \approx 1 et |c_n(t)| \ll 1 pour tout n \neq \ell. On peut donc négliger les termes non diagonaux n \neq \ell dans la somme :

L'équation différentielle devient ainsi :

D'après l'expression des coefficients de couplage trouvée à la question Q25, on a :

En appliquant la règle de la chaîne à la dépendance temporelle induite par les paramètres \vec{\lambda}(t) :

Le terme d'interaction s'écrit alors :

On identifie alors le vecteur \vec{\mathcal{A}}_\ell, à m composantes :

ce qui conduit bien à la forme demandée :

Montrons à présent que chaque composante (\vec{\mathcal{A}}_\ell)_j (pour 1 \le j \le m) est réelle. À tout instant et pour toute valeur des paramètres \vec{\lambda}, l'état stationnaire \phi_\ell est normé à l'unité :

Dérivons cette identité par rapport au paramètre réel \lambda_j :

Puisque \left( \phi_\ell^* \frac{\partial \phi_\ell}{\partial \lambda_j} \right)^* = \phi_\ell \frac{\partial \phi_\ell^*}{\partial \lambda_j}, le premier terme n'est autre que le complexe conjugué du second :

L'intégrale est donc un imaginaire pur. En la multipliant par i\hbar \in i\mathbb{R}, on obtient une quantité réelle :

D'après la question Q31, le coefficient c_\ell(t) vérifie l'équation différentielle :

En injectant la forme proposée c_\ell(t) = \mathrm{e}^{i F_\ell(t)}, la dérivée par rapport au temps s'écrit :

En reportant dans l'équation différentielle et en simplifiant par c_\ell(t) \neq 0, on obtient :

soit :

La condition initiale c_\ell(0) = 1 donne \mathrm{e}^{i F_\ell(0)} = 1, ce qui permet de choisir F_\ell(0) = 0. En intégrant entre 0 et t :

On fait apparaître les deux contributions définies dans l'énoncé :

Le déplacement élémentaire dans l'espace des paramètres le long du chemin \gamma étant \mathrm{d}\vec{\lambda} = \frac{\mathrm{d}\vec{\lambda}}{\mathrm{d}t'}(t')\,\mathrm{d}t', la phase géométrique s'écrit de façon intrinsèque :

La solution de l'équation différentielle s'écrit finalement :

1. Cas où le système est initialement dans un état stationnaire unique \phi_\ell :

D'après le résultat de la question Q32, la fonction d'onde s'écrit sous approximation adiabatique :

Les composantes du potentiel vecteur de Berry \vec{\mathcal{A}}_\ell étant réelles (question Q31), la phase géométrique \Phi_{\text{geom}}(t) = \frac{1}{\hbar}\int_\gamma \vec{\mathcal{A}}_\ell \cdot \mathrm{d}\vec{\lambda} est réelle, tout comme la phase dynamique \Phi_{\text{dyn}}(t).

La densité de probabilité de présence de la particule vaut :

2. Cas d'une superposition d'états (équation 13) :

Le système est préparé à t = 0 dans l'état :

Dans le cadre de l'approximation adiabatique, les transitions inter-états sont négligées (\alpha_{pn} \approx 0 pour p \neq n). Par linéarité de l'équation de Schrödinger, chaque état propre évolue indépendamment en acquérant sa propre phase dynamique et sa propre phase de Berry :

en notant la phase totale acquise par l'état k \in \{\ell, \ell'\} :

Calculons la densité de probabilité de présence \rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2 :

En introduisant le déphasage géométrique relatif \Delta\Phi_{\text{geom}} = \Phi_{\text{geom},\ell'} - \Phi_{\text{geom},\ell} et le déphasage dynamique relatif \Delta\Phi_{\text{dyn}} = \Phi_{\text{dyn},\ell'} - \Phi_{\text{dyn},\ell}, l'argument du terme croisé fait intervenir :

D'après l'équation (12) établie à la question 32, la phase géométrique acquise sur le chemin \gamma s'écrit :

Puisque m = 3, l'espace des paramètres est l'espace affine tridimensionnel \mathbb{R}^3. Le chemin \gamma étant un contour fermé parcouru entre t=0 et t=T (\vec{\lambda}(T) = \vec{\lambda}(0)), on peut appliquer le théorème de Stokes :

où \mathcal{S} désigne une surface quelconque orientée de \mathbb{R}^3 s'appuyant sur le bord \gamma (\partial\mathcal{S} = \gamma), l'élément de surface \mathrm{d}\vec{S} étant orienté selon la règle de la main droite par rapport au sens de parcours de \gamma.

En introduisant le champ de vecteurs \vec{\mathcal{B}}_\ell = \vec{\operatorname{rot}}\vec{\mathcal{A}}_\ell, on obtient :

L'évolution du pendule de Foucault et la phase de Berry en mécanique quantique reposent sur le concept fondamental de non-holonomie géométrique sous l'effet d'une modulation lente (adiabatique) de paramètres extérieurs le long d'une courbe fermée \gamma.

On peut dresser le tableau de correspondance suivant :