Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2023

Considérons le référentiel lié à la voile, supposée fixe dans un premier temps. Le plan de la voile, de surface S, est orthogonal à la direction du vent incident de vitesse \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}} \widehat{e}_x.

Pendant la durée \tau, les particules d'air susceptibles d'atteindre la voile sont celles qui se trouvent à l'intérieur d'un cylindre d'axe (Ox), de base la voile de surface S et de longueur L = v_{\mathrm{v}} \tau (en négligeant les effets de bord).

Le volume de ce cylindre de collision s'écrit :

La masse totale d'air contenue dans ce volume est :

Chaque particule d'air ayant une masse m, le nombre N de particules entrant en collision avec la voile pendant la durée \tau est :

Hypothèses nécessaires :

• La voile est considérée fixe dans le référentiel d'étude galiléen lié à la Terre.
• Les particules d'air ont toutes pour vitesse initiale \vec{v}_i = \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\widehat{e}_x.
• Le choc est parfaitement inélastique : la particule cède intégralement sa quantité de mouvement à la voile, de sorte que sa vitesse finale immédiatement après collision est \vec{v}_f = \vec{0}.
• Le transfert de quantité de mouvement s'effectue sur la durée caractéristique \tau du choc, et la force exercée est modélisée par sa valeur moyenne temporelle sur cet intervalle.
• Le poids de la molécule et les interactions intermoléculaires sont négligés devant la force de contact lors de l'impact.

La variation de quantité de mouvement de la molécule au cours de la collision s'écrit :

D'après le théorème de la quantité de mouvement sous forme intégrée (théorème de l'impulsion) sur la durée \tau, la force moyenne \vec{f}_{\mathrm{voile} \to \mathrm{mol}} exercée par la voile sur la molécule vérifie :

En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force \vec{f} exercée par la molécule d'air sur la voile est l'opposée de cette action :

D'où :

Pendant le temps caractéristique \tau associé à la collision d'une particule, le nombre moyen de particules interagissant simultanément avec la voile est N. Chacune exerce en moyenne une force \vec{f} sur la voile selon la direction \widehat{e}_x.

La force propulsive totale \vec{F} exercée par le vent sur la voile est donc la résultante des forces associées à ces N impacts simultanés :

En utilisant les expressions obtenues aux questions précédentes :

on obtient :

1. Expression de la surface S de la voile

La voile est un triangle isocèle constitué de deux côtés de longueur a séparés par un angle au sommet \alpha. Son aire est donnée par la formule classique de l'aire d'un triangle :

2. Expression de la surface S' grisée

Notons V le sommet supérieur de la voile (extrémité du mât de longueur a) et M le point d'intersection entre la verticale passant par O et le côté supérieur reliant V au troisième sommet. La surface S' correspond à l'aire du triangle OVM. Dans ce triangle :

• la longueur du mât est OV = a ;
• l'angle au sommet O vaut \widehat{VOM} = \theta ;
• l'angle au sommet V vaut \widehat{OVM} = \alpha ;
• le troisième angle vaut donc \widehat{OMV} = \pi - (\alpha + \theta).

D'après la loi des sinus dans le triangle OVM :

L'aire S' du triangle OVM s'écrit alors :

3. Condition définissant la configuration \mathscr{S}

Puisque le vent est uniforme et perpendiculaire à la voile, la force propulsive est uniformément répartie sur la surface de celle-ci. Une répartition symétrique de cette force de part et d'autre de l'axe vertical (O, \widehat{e}_z) impose une égale répartition des surfaces :

En remplaçant par les expressions obtenues :

Comme \sin\alpha \neq 0 et a \neq 0, cela se simplifie en :

En divisant par \cos\theta_{\mathrm{d}} \neq 0 :

On en déduit l'expression souhaitée :

4. Application numérique pour \alpha = 60^{\circ}

Pour \alpha = 60^{\circ}, on a \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} et \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}. Ainsi :

Comme \theta_{\mathrm{d}} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on obtient :

Soit \mathcal{R} le référentiel lié au plan d'eau (considéré galiléen) et \mathcal{R}' le référentiel en translation à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}} lié à la planche à voile.

D'après la loi de composition des vitesses en mécanique classique :

Le vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}} correspond à la vitesse de l'air relativement à la planche, c'est-à-dire dans \mathcal{R}' :

Dans la configuration de navigation par vent arrière étudiée ici, \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\,\widehat{e}_x et \vec{v}_{\mathrm{p}} = v_{\mathrm{p}}\,\widehat{e}_x, d'où :

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la planche à voile est animée d'un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}} = v_{\mathrm{p}} \widehat{e}_x. D'après la première loi de Newton (principe d'inertie), la somme des forces horizontales appliquées à la planche s'annule :

En tenant compte du fait que l'écoulement d'air agissant sur la voile est déterminé par le vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}} = (v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}}) \widehat{e}_x (d'après la question Q5, avec v_{\mathrm{v}} > v_{\mathrm{p}} > 0), la force propulsive (1) s'écrit :

La force résistive d'après l'équation (2) s'écrit :

La projection de l'équilibre dynamique selon l'axe horizontal \widehat{e}_x donne :

Comme v_{\mathrm{v}} - v_{\mathrm{p}} > 0 et v_{\mathrm{p}} > 0, prenons la racine carrée des deux membres :

On obtient ainsi :

Toutes les grandeurs intervenant dans la définition de \sigma (\rho_{\mathrm{e}}, \rho_{\mathrm{a}}, C_{\mathrm{p}}, C_{\mathrm{v}}, S_{\mathrm{p}}, S) étant strictement positives, on a :

Il est donc impossible pour la planche à voile d'aller plus vite que le vent dans cette allure de vent arrière.

Par composition des vitesses classiques, la vitesse du vent dans le référentiel lié à la planche (vent apparent \vec{v}_{\mathrm{va}}) s'exprime en fonction de la vitesse du vent réel \vec{v}_{\mathrm{v}} et de la vitesse de la planche \vec{v}_{\mathrm{p}} par :

Calculons la norme au carré de ce vecteur :

D'après la définition de la navigation au près donnée par l'énoncé, on a :

ce qui conduit à :

Puisque la planche est en mouvement (v_{\mathrm{p}} > 0), en présence de vent (v_{\mathrm{v}} > 0), et que pour 0 < \beta_0 < \pi/2 on a \cos \beta_0 > 0, la quantité ajoutée à v_{\mathrm{v}}^2 est strictement positive :

On en déduit immédiatement v_{\mathrm{va}}^2 > v_{\mathrm{v}}^2, et les normes étant strictement positives :

Dans le référentiel lié à la Terre supposé galiléen, le système {planche, voile, véliplanchiste} est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}}.

D'après le principe fondamental de la dynamique (ou première loi de Newton), la résultante des forces extérieures appliquées au système est nulle :

Dans la direction verticale, le poids du système est compensé par la poussée d'Archimède et la portance hydrodynamique de la planche. Dans le plan horizontal, le bilan se résume à la force propulsive aérodynamique \vec{F}_{\mathrm{pro}} exercée par le vent sur la voile et la force hydrodynamique résistive \vec{F}_{\mathrm{res}} exercée par l'eau sur la planche et sa dérive :

L'intensité (norme) de la force résistive est donc strictement égale à celle de la force propulsive :

Pour la construction des vecteurs demandés :

• Le vecteur vitesse de la planche \vec{v}_{\mathrm{p}} est dirigé selon la « Direction du mouvement de la planche » indiquée sur la figure 3, vers l'avant.

• Par définition du vent apparent, \vec{v}_{\mathrm{va}} = \vec{v}_{\mathrm{v}} - \vec{v}_{\mathrm{p}}, ce qui donne pour le vent réel :

  \vec{v}_{\mathrm{v}} = \vec{v}_{\mathrm{va}} + \vec{v}_{\mathrm{p}}

  Le vecteur \vec{v}_{\mathrm{v}} s'obtient donc par la somme vectorielle de \vec{v}_{\mathrm{va}} et \vec{v}_{\mathrm{p}}.

• Le vecteur force résistive \vec{F}_{\mathrm{res}} est directement opposé au vecteur \vec{F}_{\mathrm{pro}} : même direction, même norme, sens opposé.

D'après la question Q8, un déplacement à vitesse constante \vec{v}_{\mathrm{p}} impose l'équilibre des forces horizontales :

La force résistive totale exercée par l'eau sur la planche et sa dérive s'écrit \vec{F}_{\mathrm{res}} = \vec{F}_{\|} + \vec{F}_{\perp}, où \vec{F}_{\|} est colinéaire à la direction de déplacement et \vec{F}_{\perp} est orthogonale à cette direction :

En projetant la condition d'équilibre sur la direction orthogonale au déplacement \widehat{e}_{\perp,\mathrm{p}}, on obtient :

Or, lors d'une navigation au près, la force aérodynamique globale \vec{F}_{\mathrm{pro}} = \vec{F}_{\mathrm{por}} + \vec{F}_{\mathrm{tra}} n'est pas purement alignée avec la vitesse \vec{v}_{\mathrm{p}} de la planche (la portance de la voile crée une composante transversale non nulle, orientée vers le sous-vent) :

Pour équilibrer cette composante transversale et empêcher la planche d'accélérer latéralement, il est nécessaire que la force hydrodynamique perpendiculaire soit non nulle :

Comme l'énoncé précise que C_{\mathrm{p},\perp}(\beta_{\mathrm{e}} = 0) = 0, cette force ne peut exister que si :

D'après la question Q7, la composition des vitesses \vec{v}_{\mathrm{va}} = \vec{v}_{\mathrm{v}} - \vec{v}_{\mathrm{p}} et la définition de l'angle de navigation \beta_0 conduisent à :

Par ailleurs, pour un déplacement à vitesse constante, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ensemble \{planche + gréement\} projeté dans le plan horizontal donne (question Q8) :

Les composantes de chaque force étant définies dans des bases orthonormées :

• Pour la force aérodynamique propulsive issue de la voile :

  \|\vec{F}_{\mathrm{pro}}\| = \sqrt{F_{\mathrm{por}}^2 + F_{\mathrm{tra}}^2} = \frac{1}{2} \rho_{\mathrm{a}} S v_{\mathrm{va}}^2 \sqrt{C_{\mathrm{v},\perp}^2(\beta) + C_{\mathrm{v},\|}^2(\beta)}

• Pour la force hydrodynamique résistive issue de la planche et de sa dérive :

  \|\vec{F}_{\mathrm{res}}\| = \sqrt{F_{\|}^2 + F_{\perp}^2} = \frac{1}{2} \rho_{\mathrm{e}} S_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2 \sqrt{C_{\mathrm{p},\|}^2(\beta_{\mathrm{e}}) + C_{\mathrm{p},\perp}^2(\beta_{\mathrm{e}})}

L'égalité des normes impose alors :

soit :

avec :

En remplaçant v_{\mathrm{va}}^2 par son expression cinématique, on retrouve bien :

D'après la relation (5) établie à la question précédente :

Pour une planche en mouvement en présence de vent, les normes des vitesses sont strictement positives : v_{\mathrm{p}} > 0 et v_{\mathrm{v}} > 0.

De plus, l'angle de navigation vérifie 0 < \beta_0 < \frac{\pi}{2}, ce qui implique :

Le terme v_{\mathrm{v}}^2 + 2 v_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{v}} \cos \beta_0 est donc la somme de deux grandeurs strictement positives :

On en déduit que le membre de gauche de l'équation (5) vérifie :

soit :

En divisant par v_{\mathrm{p}}^2 > 0, on obtient bien l'inégalité demandée :

La relation (5) établie à la question Q10 s'écrit :

En divisant cette équation par v_{\mathrm{v}}^2 > 0 et en posant le rapport de vitesse x = \frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{v}}} > 0, on obtient l'équation du second degré :

Posons le trinôme :

D'après la question Q11, on a \sigma_1 > 1, si bien que le coefficient dominant \sigma_1 - 1 est strictement positif. La parabole associée à P est donc orientée vers le haut.

Le terme constant vaut P(0) = -1 < 0. Le produit des racines étant -\frac{1}{\sigma_1 - 1} < 0, le trinôme admet deux racines réelles de signes opposés : une racine strictement négative et une unique racine physiquement acceptable x_0 > 0.

Par stricte croissance de P sur [x_0, +\infty[ et sachant que P(0) < 0, la racine positive vérifie x_0 > 1 si et seulement si P(1) < 0 :

La condition pour que la vitesse de la planche soit supérieure à celle du vent (v_{\mathrm{p}} > v_{\mathrm{v}}) s'écrit donc :

D'après l'équation (5) établie à la question Q10, la vitesse v_{\mathrm{p}} de la planche vérifie en régime uniforme :

Puisque \sigma_1 > 1 (question Q11), le discriminant réduit de cette équation du second degré s'écrit :

Le produit des racines étant négatif \left(-\frac{v_{\mathrm{v}}^2}{\sigma_1 - 1} < 0\right), l'unique racine physiquement acceptable (v_{\mathrm{p}} > 0) est :

Pour \sigma_1 fixé, étudions les variations de la fonction g(u) = u + \sqrt{u^2 + \sigma_1 - 1} pour u = \cos\beta_0 \in ]0, 1[ :

La fonction g est strictement croissante par rapport à u = \cos\beta_0. Or, sur l'intervalle \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, la fonction \beta_0 \mapsto \cos\beta_0 est strictement décroissante. Par composition, la vitesse v_{\mathrm{p}} est une fonction strictement décroissante de l'angle \beta_0.

Pour maximiser la vitesse de la planche à voile, il convient donc de :

D'après la relation (5) établie à la question Q10 :

En introduisant le rapport adimensionné x = \frac{v_{\mathrm{p}}}{v_{\mathrm{v}}} > 0, cette relation se réécrit :

Pour une direction de navigation \beta_0 \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ fixée, on a \cos\beta_0 > 0. La fonction g est continûment dérivable sur \mathbb{R}_+^* et sa dérivée vaut :

La fonction g est donc strictement décroissante de x \in ]0, +\infty[ vers ]\lim_{x\to+\infty} g(x), \lim_{x\to 0^+} g(x)[ = ]1, +\infty[.

Par conséquent, la vitesse de la planche v_{\mathrm{p}} = x\, v_{\mathrm{v}} est une fonction strictement décroissante de \sigma_1 : pour augmenter la vitesse v_{\mathrm{p}}, il faut diminuer \sigma_1.

Compte tenu de la borne inférieure \sigma_1 > 1 (question Q11), pour obtenir la vitesse maximale, il faut :

Considérons le volume fixe \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z dans le référentiel d'étude. La masse de fluide contenue dans ce volume à la date t est :

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, la variation de masse à l'intérieur du volume est :

Cette variation provient exclusivement des transferts convectifs à travers les six faces délimitant le volume :

• À travers les faces orthogonales à \widehat{e}_x (d'aire \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z) :

  \begin{aligned} \delta m_{x,\text{entrant}} &= \rho(x, z, t)\,u_x(x, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t, \\ \delta m_{x,\text{sortant}} &= \rho(x+\mathrm{d}x, z, t)\,u_x(x+\mathrm{d}x, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t \\ &= \left[ \rho u_x + \frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}\mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t, \end{aligned}

  soit un apport net selon x :

  \delta m_{x,\text{net}} = \delta m_{x,\text{entrant}} - \delta m_{x,\text{sortant}} = -\frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t.

• À travers les faces orthogonales à \widehat{e}_y (d'aire \mathrm{d}x\,\mathrm{d}z) : la composante de la vitesse suivant y étant nulle (u_y = 0), il n'y a aucun flux de matière dans cette direction :

  \delta m_{y,\text{net}} = 0.

• À travers les faces orthogonales à \widehat{e}_z (d'aire \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y) : de manière analogue à la direction x :

  \begin{aligned} \delta m_{z,\text{entrant}} &= \rho(x, z, t)\,u_z(x, z, t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t, \\ \delta m_{z,\text{sortant}} &= \left[ \rho u_z + \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}\mathrm{d}z \right] \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}t, \end{aligned}

  soit un apport net selon z :

  \delta m_{z,\text{net}} = -\frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t.

Par conservation de la matière, \mathrm{d}m = \delta m_{x,\text{net}} + \delta m_{y,\text{net}} + \delta m_{z,\text{net}}, ce qui donne :

En divisant par le volume \mathrm{d}\tau = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z et par la durée \mathrm{d}t, on obtient la loi locale de conservation de la matière :

D'après l'équation de conservation de la masse établie à la question Q15 :

En développant les dérivées des produits, il vient :

On reconnaît dans les trois premiers termes la dérivée particulaire (ou totale) de la masse volumique :

L'incompressibilité du fluide signifie que le volume d'une particule fluide se conserve au cours de son mouvement, soit :

Remarque : si le fluide est de surcroît homogène, sa masse volumique est constante dans tout le domaine (\rho = \text{cste}), ce qui entraîne directement \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0, \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 et \frac{\partial \rho}{\partial z} = 0.

L'équation de continuité se réduit alors à :

Comme la masse volumique du fluide est non nulle (\rho \neq 0), on obtient bien :

D'après l'hypothèse d'écoulement irrotationnel, le champ de vitesse dérive d'un potentiel scalaire \phi(x,z,t) :

Compte tenu de l'invariance selon la direction (O, \widehat{e}_y), les composantes de la vitesse s'écrivent :

D'après le résultat de la question Q16, le fluide étant incompressible, la divergence du champ de vitesse est nulle :

En injectant les expressions des composantes de la vitesse en fonction de \phi, on obtient :

Or, l'opérateur laplacien scalaire appliqué à \phi(x,z,t) est donné par :

Le potentiel des vitesses vérifie ainsi l'équation de Laplace :

Considérons l'équation d'Euler (6) donnée par l'énoncé pour un fluide homogène de masse volumique \rho constante :

En divisant cette relation par la masse volumique \rho, constante dans l'espace et le temps, on obtient :

Exprimons chaque terme sous la forme d'un gradient :

• L'écoulement étant irrotationnel, \vec{u} = \vec{\mathrm{grad}}\,\phi. Par permutation des dérivées spatiales et temporelle (théorème de Schwarz), il vient :

  \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)

• Le champ de pesanteur dérive de l'altitude z :

  g \widehat{e}_z = \vec{\mathrm{grad}}(gz)

• Le fluide étant homogène (\rho = \mathrm{cste}) :

  \frac{1}{\rho}\vec{\mathrm{grad}}(p) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\frac{p}{\rho}\right)

En regroupant l'ensemble des termes sous l'opérateur gradient par linéarité, l'équation s'écrit :

La nullité du gradient spatial implique que la quantité entre parenthèses ne dépend pas des coordonnées d'espace (x, z). Elle ne dépend donc que du temps t :

Dans le cas d'un écoulement stationnaire (\partial / \partial t = 0), les grandeurs ne dépendent plus du temps, donc f(t) = \mathrm{cste}. On retrouve alors le théorème de Bernoulli (ou relation de Bernoulli) :

La surface libre est une surface matérielle : les particules fluides qui la constituent restent en surface au cours de leur mouvement (il n'y a pas de transfert de masse à travers l'interface).

Définissons la fonction scalaire :

L'équation de la surface libre est ainsi F(x,z,t) = 0. Le caractère matériel de la surface libre impose que la dérivée particulaire de F soit nulle sur cette interface :

D'après l'expression de la dérivée particulaire rappelée par l'énoncé, pour tout champ scalaire F(x,z,t) :

Calculons les dérivées partielles de F(x,z,t) = z - \eta(x,t) :

En substituant ces dérivées dans la dérivée totale particulaire, il vient :

Comme l'écoulement est irrotationnel, la vitesse dérive d'un potentiel \vec{u} = \vec{\mathrm{grad}}(\phi), soit u_x = \dfrac{\partial \phi}{\partial x} et u_z = \dfrac{\partial \phi}{\partial z}. On obtient immédiatement la relation cherchée sur la surface libre z = \eta(x,t) :

En l'absence d'effets de viscosité et en négligeant les forces de tension superficielle (effets capillaires), la composante normale de la contrainte est continue à la traversée de la surface libre. La pression dans le fluide à la surface libre z = \eta(x,t) s'identifie donc à la pression atmosphérique p_0, supposée constante et uniforme :

D'après la question Q18 et le préambule qui suit, l'équation d'Euler intégrée (relation de Bernoulli instationnaire) s'écrit dans tout le fluide :

En évaluant cette égalité sur la surface libre en z = \eta(x,t), où la pression vaut p(x, \eta, t) = p_0, on obtient :

Le terme statique \dfrac{p_0}{\rho} se compense de part et d'autre, ce qui conduit directement à la relation demandée :

D'après la question Q17, l'écoulement étant incompressible et irrotationnel, le potentiel des vitesses \phi(x,z,t) vérifie l'équation de Laplace bidimensionnelle dans le plan (x,z) :

On cherche une solution sous la forme séparée proposée par l'énoncé :

En calculant les dérivées partielles spatiales, il vient :

En injectant ces expressions dans l'équation de Laplace, on obtient :

Pour les points où \phi \neq 0 (c'est-à-dire X \neq 0 et Z \neq 0), divisons cette relation par X(x,t) Z(z) :

Le membre de gauche est une fonction qui dépend a priori de x et de t, mais est totalement indépendante de la variable spatiale z. Le membre de droite est une fonction qui dépend uniquement de z, indépendante de x et de t.

Pour que cette égalité soit satisfaite en tout point et à tout instant, les deux membres doivent être égaux à une même constante, notée \mu, indépendante de x, de z et de t :

On en déduit immédiatement le système différentiel recherché :

où \mu est une constante ne dépendant ni des coordonnées spatiales ni du temps.

Les deux conditions aux limites linéarisées à la surface libre au repos (z = 0) sont :

Considérons la première condition (condition cinématique). Avec l'onde de surface progressive \eta(x,t) = A \cos(kx - \omega t), la vitesse verticale de la surface libre s'écrit :

Par ailleurs, avec la décomposition par séparation des variables \phi(x,z,t) = X(x,t) Z(z), la composante verticale du gradient du potentiel en z=0 vaut :

où \left.\frac{\mathrm{d} Z}{\mathrm{d} z}\right|_{z=0} = \gamma = \text{cste}.

En égalant ces deux expressions valables pour tous x et t :

Cette égalité est identiquement vérifiée pour :

De plus, la dérivée spatiale seconde de cette fonction s'écrit :

ce qui satisfait bien l'équation différentielle spatiale établie à la question précédente :

Par identification directe, on en déduit l'expression de la constante \gamma :

D'après les questions Q21 et Q22, la fonction Z(z) vérifie l'équation différentielle :

La solution générale peut s'écrire sous la forme de combinaisons linéaires de fonctions hyperboliques centrées en z = -H :

où C_1 et C_2 sont deux constantes réelles. Sa dérivée par rapport à z vaut :

La condition aux limites (7) au fond du réservoir impose l'annulation de la vitesse verticale en z = -H, valable pour tout x et tout t :

Or, en z = -H :

La fonction Z(z) se réduit donc à :

En utilisant le résultat de la question Q22, la condition à la surface au repos s'écrit :

On en déduit la constante C_1 :

En posant \zeta = \frac{A\omega}{k}, on obtient bien la forme requise :

Le potentiel des vitesses décrivant la vague linéaire est ainsi :

D'après la question Q23, le potentiel des vitesses de la vague linéaire s'écrit :

En évaluant ce potentiel en z=0, on obtient :

La dérivée temporelle de ce potentiel en surface vaut donc :

En injectant cette dérivée dans la condition aux limites dynamique linéarisée en z=0 :

Or, le profil de la surface libre est donné par :

L'identification de ces deux expressions pour toute position x et tout instant t impose :

d'où la relation de dispersion :

La vitesse de phase d'une onde monochromatique est définie par :

En utilisant la relation de dispersion obtenue à la question Q24, \omega^2 = gk\tanh(kH), on en déduit l'expression générale de la vitesse de phase :

La longueur d'onde étant reliée au nombre d'onde par \lambda = 2\pi/k, le produit adimensionné s'écrit :

1. Cas d'une faible profondeur (eau peu profonde : H \ll \lambda) On a dans ce cas kH \ll 1. Au premier ordre de développement limité :

L'expression de la vitesse de phase devient alors :

2. Cas d'une grande profondeur (eau profonde : H \gg \lambda) On a cette fois kH \gg 1. La fonction tangente hyperbolique tend asymptotiquement vers 1 :

L'expression de la vitesse de phase se réduit à :

Par définition, la vitesse de groupe de l'onde est donnée par :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q24, on a :

En dérivant cette relation par rapport à la variable d'espace k, il vient :

Sachant que \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}\tanh(X) = 1 - \tanh^2(X) = \dfrac{1}{\cosh^2(X)}, on obtient :

En mettant le terme g\tanh(kH) en facteur :

En utilisant l'identité trigonométrique \sinh(2kH) = 2\sinh(kH)\cosh(kH), on a :

D'où :

En divisant par 2\omega et en reconnaissant le rapport \dfrac{g\tanh(kH)}{\omega} = \dfrac{\omega^2/k}{\omega} = \dfrac{\omega}{k} = v_{\varphi} :

Par identification avec la relation demandée v_g = \dfrac{v_{\varphi}}{n}\left[1 + \dfrac{nkH}{\sinh(2kH)}\right], on déduit immédiatement que :

L'expression de la vitesse de groupe en profondeur arbitraire est donc :

Étudions à présent le rapport \dfrac{v_g}{v_{\varphi}} = \dfrac{1}{2} \left[ 1 + \dfrac{2kH}{\sinh(2kH)} \right] en fonction de la profondeur adimensionnée X = kH > 0 :

• En eau très peu profonde (kH \ll 1) : Au premier ordre, \sinh(2kH) \underset{kH \to 0}{\sim} 2kH, d'où :

  \lim_{kH \to 0} \frac{v_g}{v_{\varphi}} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1

• En eau très profonde (kH \gg 1) : L'exponentielle l'emporte au dénominateur et \dfrac{2kH}{\sinh(2kH)} \underset{kH \to +\infty}{\longrightarrow} 0, d'où :

  \lim_{kH \to +\infty} \frac{v_g}{v_{\varphi}} = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}

La fonction u \mapsto \dfrac{u}{\sinh u} étant strictement décroissante sur ]0, +\infty[, le rapport v_g/v_{\varphi} décroît de manière monotone. Les valeurs extrêmes du rapport sont :

Dans le cadre de la théorie linéaire, la surface résultante est la superposition des deux vagues :

En utilisant la formule trigonométrique \cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\cos\left(\frac{p+q}{2}\right), il vient :

Supposons, sans perte de généralité, k_1 > k_2. La relation de dispersion \omega^2 = gk\tanh(kH) montre que \omega(k) est une fonction strictement croissante de k, de sorte que \omega_1 > \omega_2. En posant :

les nombres d'ondes et pulsations étant strictement positifs, on vérifie immédiatement que :

La vague résultante s'écrit bien sous la forme demandée :

avec les paramètres :

À un instant t fixé (choisi arbitrairement à t=0 quitte à translater l'origine des coordonnées), le profil spatial correspond à un signal modulé en amplitude (phénomène de battements spatiaux) :

• Une onde porteuse rapide de pulsation spatiale k' et de longueur d'onde \lambda' = \frac{2\pi}{k'}.
• Une enveloppe lente d'amplitude modulée 2A\cos(kx) dont la période spatiale fondamentale est \lambda = \frac{2\pi}{k} (l'écart entre deux nœuds consécutifs de l'enveloppe valant \lambda/2).

1. Signification des lignes pointillées

Pour une onde plane progressive de profil \eta(\vec{R}, t) = A\cos(\vec{k}\cdot\vec{R} - \omega t), la phase spatio-temporelle est constante le long de plans orthogonaux au vecteur d'onde \vec{k}.

Dans le plan horizontal (x,y), ces plans se réduisent à des droites : les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'onde représentent donc les lignes d'onde (ou fronts d'onde, correspondant par exemple aux lignes de crêtes des vagues), c'est-à-dire les ensembles de points d'égale phase à un instant t donné :

2. Condition de continuité à l'interface

L'interface entre les deux milieux se situe en x = 0. Le vecteur position s'écrit \vec{R} = x\widehat{e}_x + y\widehat{e}_y. D'après la figure 4, les angles i_1 et i_2 étant définis par rapport à la direction orthogonale à l'interface (axe x), les composantes des vecteurs d'onde sont :

À l'interface x = 0, les profils de surface dans les deux zones valent :

La continuité du profil d'onde \eta impose, en l'absence d'onde réfléchie, l'égalité \eta_1(0, y, t) = \eta_2(0, y, t) pour tout y \in \mathbb{R} et tout instant t :

• En évaluant les valeurs maximales atteintes par ces signaux, on obtient immédiatement l'égalité des amplitudes :

  \boxed{A_1 = A_2}

• Cette égalité étant vérifiée pour tout y et tout t, les phases doivent coïncider à 2\pi près pour tout y, ce qui impose l'égalité des composantes tangentielles des vecteurs d'onde :

  k_1 \sin i_1 = k_2 \sin i_2 \iff \frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{k_2}{k_1}.

3. Relation entre les angles et les profondeurs

D'après le préambule, le fluide est dans le régime des faibles profondeurs (k_1 H_1 \ll 1 et k_2 H_2 \ll 1). La relation de dispersion établie à la question Q25 donne :

Puisque la pulsation \omega est identique dans les deux zones, le rapport des normes des vecteurs d'onde s'écrit :

On en déduit la relation recherchée :

La fonction f est donc :

D'après le résultat de la question Q28, la traversée d'une variation de profondeur vérifie :

En modélisant la diminution progressive de la profondeur jusqu'au rivage comme une succession continue de strates de profondeur décroissante H(x), cette relation se généralise sous la forme d'un invariant de propagation :

À l'approche du bord de mer, la profondeur H(x) diminue (H \to 0). Par conséquent :

• le rapport \sin i(x) = \mathrm{cste} \times \sqrt{H(x)} diminue ;

• l'angle i (compris entre 0 et \pi/2) décroît et tend vers zéro :

  \lim_{H \to 0} i = 0

La direction de propagation du vecteur d'onde \vec{k} se redresse donc continûment pour devenir normale à la ligne de côte (colinéaire à \widehat{e}_x).

En l'absence de dissipation et d'onde réfléchie, le flux moyen d'énergie mécanique traversant l'interface x = 0 sur une largeur \mathrm{d}y se conserve intégralement entre la zone 1 (x < 0) et la zone 2 (x > 0) :

En remplaçant l'énergie mécanique surfacique par E_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}\rho g A^2, on obtient :

On en déduit le rapport des amplitudes dans les deux zones :

Évolution de l'amplitude à l'approche du rivage D'après les questions 25 et 26, dans le régime d'eau peu profonde (kH \ll 1) qui caractérise l'approche des côtes, l'onde n'est pas dispersive et la vitesse de groupe est égale à la vitesse de phase :

À l'approche du rivage, la profondeur H diminue (H \to 0), ce qui entraîne une diminution de la vitesse de groupe v_g. Par conservation du flux d'énergie, l'amplitude varie selon la loi de Green :

Par conséquent, l'amplitude de la vague augmente à mesure qu'elle s'approche du rivage.

Commentaire et comparaison avec la question 28 À la question 28, la simple continuité du profil de surface libre \eta(x,t) en x = 0 imposait A_1 = A_2, prédisant ainsi une amplitude invariante :

• Ce résultat A_1 = A_2 est un artefact du modèle très idéalisé de la question 28 : imposer à la fois l'absence totale de réflexion et la continuité brute de \eta à travers une marche de profondeur abrupte est incompatible avec la conservation du flux d'énergie.
• En réalité, pour une variation lente et continue de la profondeur (pente douce du fond marin vers la plage), la réflexion est effectivement négligeable (approximation WKB / adiabatique). C'est alors le bilan d'énergie qui régit l'évolution de la houle : le ralentissement de l'onde conduit à un resserrement de l'énergie et à une élévation de la hauteur de la vague (effet de haut-fond ou shoaling), jusqu'à ce que les non-linéarités provoquent son déferlement.