Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2025 (page 2/3 : Partie 1 (questions 20 à 36))

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, la particule émise avec l'angle \theta = \pi/2 possède une vitesse :

Le référentiel \mathcal{R} se déplaçant à la vitesse d'entraînement \vec{v} = v \, \vec{e}_x par rapport au référentiel \mathcal{R}', la loi de composition galiléenne des vitesses donne :

D'après le triangle rectangle formé par les composantes de \vec{v}_p' :

Dans le référentiel \mathcal{R}, l'émission est isotrope dans le plan xOy. L'ensemble des particules émises dans le demi-espace x > 0 correspond à la plage angulaire :

ce qui représente une fraction de 1/2 (soit 50\,\%) des particules totales émises.

Par symétrie et monotonie de la composition des vitesses, ces particules correspondent dans le référentiel \mathcal{R}' à un angle compris entre -\theta' et +\theta'.

La proportion de particules émises dans le cône de demi-angle \theta' par rapport à \mathcal{R}' est donc de :

Le raisonnement précédent repose sur la loi de composition galiléenne des vitesses, qui n'est pas applicable aux photons pour deux raisons fondamentales :

1. Invariance de la vitesse de la lumière : Pour des photons, la norme de la vitesse d'émission dans le référentiel \mathcal{R} de l'électron vaut v_p = c. La règle galiléenne conduit dans le référentiel \mathcal{R}' du laboratoire à une vitesse :

   \|\vec{v}_p'\| = \sqrt{v^2 + v_p^2} = \sqrt{v^2 + c^2} > c

   ce qui contredit le postulat d'Einstein stipulant que la vitesse de la lumière dans le vide est invariante par changement de référentiel galiléen et vaut strictement c.

2. Domaine ultrarelativiste de l'électron : L'électron dans l'anneau de stockage se déplace à une vitesse v extrêmement proche de c (avec \gamma \approx 5\cdot 10^4). La cinématique newtonienne est totalement invalide et il est indispensable d'utiliser les formules de transformation relativiste des vitesses de Lorentz-Einstein.

Dans le référentiel propre \mathcal{R} de l'électron, la moitié du rayonnement est émise dans le demi-espace avant (x > 0), c'est-à-dire pour des angles polaires vérifiant -\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}.

Pour les photons émis à la limite de ce domaine, à \theta = \pm \frac{\pi}{2}, la vitesse de propagation est égale à c, de sorte que ses composantes parallèle et perpendiculaire à \vec{v} = v\vec{e}_x s'écrivent :

Les lois de transformation des vitesses en relativité restreinte fournies par l'énoncé donnent dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}' :

L'angle \theta' formé par \vec{v}_p' avec l'axe Ox vérifie donc :

Dans le cas d'un électron ultrarelativiste, la vitesse de l'électron est extrêmement proche de celle de la lumière, soit v \approx c, et le facteur de Lorentz est très grand (\gamma \gg 1). L'angle \theta' est donc très petit devant 1 rad, ce qui autorise le développement à l'ordre 1 : \tan \theta' \approx \theta'. On obtient ainsi :

Application numérique : Pour \gamma = 5,0 \cdot 10^4 :

Conclusion : La moitié de l'énergie rayonnée par l'électron est concentrée dans un cône d'émission vers l'avant extrêmement étroit, d'un demi-angle de l'ordre de 20\text{ }\mu\text{rad}. Le rayonnement synchrotron possède donc une directivité exceptionnelle (effet dit « effet de phare relativiste »), ce qui lui confère une brillance et une luminance phénoménales dans la direction tangentielle à la trajectoire.

Le rayonnement est émis dans un cône de révolution d'axe colinéaire à la vitesse \vec{v} (tangente à la trajectoire) et de demi-angle au sommet \theta'. L'observateur situé au point lointain M (dans la direction fixe \vec{u}_M) ne perçoit ce rayonnement que si la droite de visée est contenue à l'intérieur du cône d'émission, soit :

D'après la figure 5 :

• au point A_1, l'observateur entre dans le cône d'émission : l'angle entre la vitesse \vec{v}(A_1) et \vec{u}_M vaut \theta' ;
• au point A_2, l'observateur quitte le cône d'émission : l'angle entre la vitesse \vec{v}(A_2) et \vec{u}_M vaut -\theta'.

Entre A_1 et A_2, le vecteur tangent à la trajectoire tourne donc d'un angle total :

La trajectoire étant circulaire de rayon R, l'angle au centre correspondant vaut également \Delta \alpha = 2\theta'. La longueur de l'arc de trajectoire A_1A_2 parcouru s'écrit donc :

L'observateur M étant situé à grande distance, les rayons émis en A_1 et A_2 vers M sont quasiment parallèles à la direction moyenne d'observation. Les signaux lumineux émis aux instants t_1 et t_2 parviennent en M aux instants :

D'après la question Q23, la longueur d'arc parcourue par l'électron à vitesse v est A_1 A_2 = 2R\theta'. La durée du trajet de l'électron entre A_1 et A_2 est donc :

Puisque l'angle d'ouverture \theta' est extrêmement petit (\theta' \sim 10^{-5}\text{ rad}), la projection de la trajectoire sur la ligne de visée vers M s'écrit au premier ordre en \theta' :

La durée du signal reçu par l'observateur s'en déduit :

En utilisant l'approximation \theta' \approx \frac{1}{\gamma}, on obtient bien :

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), exprimons la différence (1 - v/c) à l'aide de la définition de \gamma :

Comme v \approx c, on a 1 + \frac{v}{c} \approx 2, d'où :

En injectant cette relation et v \approx c dans l'expression de \Delta t :

La fréquence f_{\max} associée à la durée d'impulsion \Delta t s'exprime par :

En utilisant l'expression établie à la question Q24, \Delta t \approx \dfrac{R}{c\gamma^3}, il vient :

Application numérique avec les données :

• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• \gamma = 5,0 \cdot 10^4 \implies \gamma^3 = 1,25 \cdot 10^{14}
• R = 57\text{ m}

Avec un seul chiffre significatif imposé par l'énoncé :

La longueur d'onde associée dans le vide vaut :

Une fréquence supérieure à 10^{19}\text{ Hz} (ou une longueur d'onde inférieure à quelques picomètres) correspond au domaine des rayons gamma (ou rayons X très durs).

Le dispositif expérimental de spectrométrie par transformée de Fourier comprend les sous-ensembles suivants :

• La source collimatée : une source lumineuse placée au foyer objet d'une lentille convergente de collimation L_c, délivrant un faisceau de rayons parallèles (incidence normale sur les miroirs).

• L'interféromètre de Michelson en configuration lame d'air :

  • Une lame séparatrice semi-réfléchissante (S_p), inclinée à 45^\circ par rapport aux axes des faisceaux, qui sépare le faisceau incident en deux ondes de même amplitude (l'une transmise vers le miroir M_2, l'autre réfléchie vers le miroir M_1).
  • Deux miroirs plans orthogonaux de haute réflectivité : le miroir M_1 (usuellement fixe) et le miroir M_2 (mobile en translation selon son axe pour faire varier l'épaisseur d).
  • (Une lame compensatrice C_p, de même épaisseur et de même indice que S_p, peut être adjointe pour égaliser les trajets de verre dans les deux bras).

• Le dispositif de détection en sortie :

  • Une lentille convergente de focalisation L.
  • Une photodiode placée au foyer image F' de L, recueillant le flux de l'anneau central (correspondant à l'incidence normale).

L'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air d'épaisseur d, éclairé sous incidence normale (i = 0) par des rayons parallèles focalisés au foyer image F' de la lentille de sortie. L'indice de l'air étant n = 1, la différence de marche entre les deux ondes associées aux deux bras s'écrit :

Le déphasage correspondant entre les deux faisceaux est :

D'après la formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes, l'intensité lumineuse au point F' s'exprime par :

Le contraste (ou facteur de visibilité) des franges est défini par :

Pour obtenir un contraste maximal (C = 1, soit I_{\min} = 0), il est nécessaire que les deux ondes qui interfèrent aient la même amplitude (I_1 = I_2). Cette condition est réalisée si la lame séparatrice est parfaitement semi-réfléchissante et sans pertes (facteurs de transmission et de réflexion énergétiques égaux : R = T = 1/2) et si les deux miroirs présentent le même facteur de réflexion. La présence d'une lame compensatrice identique garantit en outre la parfaite symétrie optique des deux bras.

D'après l'expression obtenue à la question Q27, l'intensité au foyer F' s'écrit en incidence normale :

Comme d(t) = v_0 t et s(t) = K I(t), le signal photodiode prend la forme :

Ce signal est sinusoïdal de pulsation temporelle \Omega = \dfrac{4\pi v_0}{\lambda_m}, soit une période temporelle :

Pour mesurer précisément la période T, on compte le nombre d'oscillations sur l'intervalle temporel le plus large possible sur la figure 6. Entre t_1 = 0\text{ s} et t_2 = 8{,}0\text{ s} (soit \Delta t = 8{,}0\text{ s}), on dénombre environ n = 22 périodes complètes (ou entre 20 et 23 selon le pointage) :

On en déduit la longueur d'onde :

Avec la consigne d'un seul chiffre significatif :

(Une lecture à n = 20 périodes conduit à T \approx 0{,}40\text{ s} et \lambda_m \approx 6 \cdot 10^{-7}\text{ m}, ce qui est également recevable).

Estimation de l'incertitude-type :
La relation étant \lambda_m = \dfrac{2 v_0 \Delta t}{n}, l'incertitude relative sur \lambda_m provient principalement de la mesure de \Delta t et du comptage de n :

• Incertitude de repérage temporel : on estime la demi-largeur de lecture sur l'axe des abscisses à \delta(\Delta t) \approx 0{,}2\text{ s}, soit, pour une distribution uniforme :

  u(\Delta t) = \frac{\delta(\Delta t)}{\sqrt{3}} \approx \frac{0{,}2}{\sqrt{3}} \approx 0{,}1\text{ s} \quad \implies \quad \frac{u(\Delta t)}{\Delta t} \approx \frac{0{,}1}{8{,}0} \approx 1{,}5\,\%

• Incertitude sur le nombre de périodes : estimée à \delta n \approx 0{,}5 période, soit :

  u(n) = \frac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx 0{,}3 \quad \implies \quad \frac{u(n)}{n} \approx \frac{0{,}3}{22} \approx 1{,}4\,\%

En combinant ces deux contributions indépendantes :

D'où l'incertitude-type absolue :

Dans l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air sous incidence normale, la différence de marche introduite entre les deux bras à l'instant t vaut :

L'amplitude des oscillations du signal s(t) (le contraste des franges) décroît avec le temps en raison de la cohérence temporelle limitée de la source.

Sur l'interférogramme de la figure 7b, l'amplitude de modulation, maximale à t = 0 (valeur crête-à-crête de 2 unités), est divisée par deux vers t_{1/2} \approx 30\text{ s} à 35\text{ s}, et les interférences sont quasiment éteintes pour t_{\text{ext}} \approx 60\text{ s}.

En choisissant la demi-largeur de l'enveloppe temporelle (atténuation de moitié du contraste), on estime le temps caractéristique d'interférence à \Delta t \approx 30\text{ s}. La longueur de cohérence L_c correspondante s'exprime par :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t \approx 30\text{ s} :

En conservant un seul chiffre significatif :

(Remarque : si l'on prend le temps d'extinction quasi-totale des franges à t \approx 60\text{ s}, on trouve L_c \approx 8\cdot 10^{-5}\text{ m}, ce qui donne le même ordre de grandeur).

La longueur de cohérence est liée au temps de cohérence \tau_c par :

D'après la relation fournie, la largeur spectrale en fréquence vérifie :

Par ailleurs, la fréquence \nu et la longueur d'onde dans le vide \lambda sont reliées par \nu = \frac{c}{\lambda}. En différentiant au voisinage de la longueur d'onde moyenne \lambda_m :

En utilisant la valeur \lambda_m \approx 5\cdot 10^{-7}\text{ m} déterminée à la question Q28 :

Avec un seul chiffre significatif :

Pour que l'intégrale de Fourier bornée à l'intervalle [0, T] :

représente fidèlement le spectre continu (qui correspond formellement à une borne supérieure infinie), la durée d'acquisition T doit être grande devant :

1. La durée de cohérence de l'interférogramme (ou temps d'amortissement du signal) \tau_{\text{signal}} \approx \dfrac{L_c}{2 v_0} (qui vaut quelques dizaines de secondes d'après la figure 7b). Ainsi, le signal modulé s'est amorti et a pratiquement disparu pour t \ge T, ce qui rend négligeable la troncature temporelle et évite les effets d'apodisation (élargissement instrumental des raies).
2. La période d'oscillation du signal T_{\text{osc}} = \dfrac{\lambda_m}{2 v_0} \approx 0{,}36\text{ s} (déterminée à la question Q28). Cela garantit d'enregistrer un très grand nombre de périodes d'oscillation et d'obtenir une résolution spectrale instrumentale \delta f \approx \dfrac{1}{T} très petite devant la fréquence centrale f_0 = \dfrac{1}{T_{\text{osc}}}.

Le signal temporel est échantillonné aux instants réguliers t_n = n \dfrac{T}{N} pour n \in \llbracket 0, N-1 \rrbracket. Le pas d'échantillonnage temporel (ou période d'échantillonnage) vaut :

La fréquence d'échantillonnage correspondante est donc :

L'expression continue de la transformée de Fourier sur la durée d'enregistrement T est donnée par la relation (2) :

En découpant l'intervalle d'intégration [0, T] en N sous-intervalles [t_n, t_{n+1}[ de même durée \Delta t = T_e = \dfrac{T}{N}, l'intégrale s'écrit sous forme d'une somme :

Par la méthode des rectangles (somme de Riemann à gauche), on approxime la fonction intégrée sur chaque intervalle [t_n, t_{n+1}[ par sa valeur en t_n :

En remplaçant t_n = \dfrac{nT}{N}, t_{n+1} - t_n = \dfrac{T}{N} et s(t_n) = s_n, on retrouve bien la discrétisation souhaitée :

La limitation de la liste des fréquences à l'intervalle \left[0, \frac{f_e}{2}\right] s'explique par deux arguments complémentaires :

1. Théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist :
   D'après le critère de Shannon, pour discrétiser et reconstruire fidèlement un signal sans phénomène de repliement spectral (aliasing), la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le signal :

   f_e \geqslant 2 f_{\max} \quad \Longleftrightarrow \quad f_{\max} \leqslant \frac{f_e}{2}

   La fréquence f_{\mathrm{N}} = \frac{f_e}{2} est la fréquence de Nyquist, borne supérieure absolue des fréquences physiques analysables sans ambiguïté.

2. Réalité du signal et symétrie du spectre :
   Le signal mesuré par la photodiode s(t) est une grandeur physique à valeurs réelles. Sa transformée de Fourier possède donc une symétrie hermitienne :

   F(-f) = F(f)^* \quad \Longrightarrow \quad |F(-f)| = |F(f)|

   Pour un signal échantillonné à la fréquence f_e, le spectre calculé par transformée de Fourier discrète (TFD) est périodique de période f_e. Les composantes fréquentielles comprises entre \frac{f_e}{2} et f_e sont redondantes avec celles comprises entre 0 et \frac{f_e}{2} (car f \in \left[\frac{f_e}{2}, f_e\right] correspond par périodicité à f - f_e \in \left[-\frac{f_e}{2}, 0\right]).

Toute l'information spectrale utile et accessible est donc contenue dans la plage :

C'est précisément ce que met en œuvre la fonction rfft (real FFT) de la bibliothèque NumPy.

D'après le script Python fourni :

• Grandeur a = \text{Temps}[1] - \text{Temps}[0] :
  Elle correspond à l'intervalle de temps séparant deux mesures consécutives t_1 - t_0. Il s'agit de la période d'échantillonnage temporel (ou pas d'échantillonnage), notée usuellement T_e ou \mathrm{d}t :

  \boxed{a = T_e = \frac{T}{N}}

• Grandeur b = N \times a :
  Elle représente le produit du nombre total d'échantillons N par le pas de temps a = T_e. Il s'agit de la durée totale d'acquisition du signal, notée T dans l'énoncé :

  \boxed{b = T}

• Grandeur c = 1/a :
  Elle correspond à l'inverse de la période d'échantillonnage T_e. Il s'agit de la fréquence d'échantillonnage du signal, notée f_e :

  \boxed{c = f_e = \frac{1}{T_e}}

D'après les questions précédentes, l'épaisseur de la lame d'air évolue selon d(t) = v_0 t, de sorte que l'intensité lumineuse mesurée s'écrit :

La partie oscillante du signal présente donc une pulsation temporelle \omega = \frac{4\pi v_0}{\lambda_m}, soit une fréquence temporelle :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde moyenne :

Sur le spectre en fréquences fourni à la figure 8, on observe un pic très net centré à la fréquence :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif :

Le nombre d'onde est défini par \sigma = \frac{1}{\lambda}. En différentiant cette relation :

Le pouvoir de résolution s'exprime donc directement en fonction des nombres d'onde :

D'après la figure 9 :

• Le nombre d'onde de la zone observée est \sigma \approx 1,13\cdot 10^5\text{ cm}^{-1}.

• Sur le zoom inférieur, les graduations principales sont espacées de 5\text{ cm}^{-1}. La largeur à mi-hauteur d'une raie d'absorption (ou l'écart minimal séparable) occupe environ un dixième de cet intervalle, soit :

  \delta\sigma \approx 0,3\text{ à } 0,5\text{ cm}^{-1}

On en déduit l'ordre de grandeur du pouvoir de résolution :

(une valeur comprise entre 10^5 et 10^6 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

Pour un prisme séparant les raies jaunes du sodium (\lambda \approx 5,9\cdot 10^2\text{ nm} \approx 6\cdot 10^2\text{ nm}) distantes de \delta\lambda_{\mathrm{Na}} = 6\text{ nm} :

Le spectromètre de la ligne DESIRS présente un pouvoir de résolution environ 10^3 fois supérieur (trois ordres de grandeur au-dessus) à celui d'un prisme classique de lycée.

L'absorption d'un photon de longueur d'onde \lambda (associé au nombre d'onde \sigma = 1/\lambda) communique à un électron une énergie :

Sur la figure 9 (en particulier sur l'agrandissement intermédiaire), on observe une série de raies d'absorption très resserrées qui s'accumulent (série de Rydberg d'états excités) vers une limite au-delà de laquelle l'électron est éjecté dans le continuum de l'état libre : c'est la limite de première ionisation. On lit sur la figure 9 le nombre d'onde de cette limite de convergence :

L'énergie de première ionisation s'exprime en joules puis en électron-volts :

Numériquement, avec les données du problème :

D'où :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Interprétation de la valeur élevée : Le krypton (\text{Kr}, Z = 36) est un gaz noble. Sa configuration électronique fondamentale présente une sous-couche de valence entièrement remplie :

Cette structure à sous-couches fermées (octet 4s^2 4p^6) possède une très grande stabilité énergétique et une charge nucléaire effective élevée ressentie par les électrons périphériques. L'arrachement d'un premier électron requiert ainsi une énergie d'ionisation particulièrement élevée comparée à celle des éléments voisins du tableau périodique (alcalins notamment).