Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MPI 2025

Le champ électrostatique \vec{E} dérive du potentiel électrostatique V selon la relation locale :

Un électron possède une charge électrique q = -e. La force électrostatique subie par l'électron s'écrit donc :

Cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle électrostatique E_p définie, pour tout déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{r}, par :

Or, \mathrm{d}V = \vec{\nabla} V \cdot \mathrm{d}\vec{r}, ce qui conduit à :

En choisissant l'origine des énergies potentielles telle que E_p = 0 lorsque V = 0 (constante d'intégration nulle), on obtient :

Considérons un électron (charge q = -e) émis sans vitesse initiale en un point i de potentiel V_i, et accéléré jusqu'au point f de potentiel V_f.

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, l'électron est uniquement soumis à la force électrostatique conservative \vec{F} = -e\vec{E}, le poids étant totalement négligeable. L'énergie mécanique de l'électron se conserve :

Comme E_{c,i} = 0, et d'après l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q1 (E_p = -eV) :

La différence de potentiel accélératrice U = V_f - V_i vaut donc :

Par définition de l'électron-volt, une charge e accélérée sous une différence de potentiel de 1\text{ V} acquiert une énergie cinétique de 1\text{ eV}. Pour E_c = 1,0\text{ keV} :

avec V_f > V_i, une charge négative étant accélérée vers les potentiels croissants.

En mécanique classique, l'énergie cinétique d'un électron de masse m_e animé d'une vitesse v s'écrit :

D'après les données de l'énoncé :

• E_c = 100\text{ MeV} = 1{,}0\cdot 10^5\text{ keV} ;
• m_e c^2 = 5{,}1\cdot 10^2\text{ keV}.

On en déduit :

soit numériquement :

Cette vitesse étant strictement supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide c, ce résultat est physiquement impossible selon les principes de la relativité restreinte. La formule classique n'est donc plus applicable.

À partir de l'expression relativiste de l'énergie cinétique :

on isole le facteur de Lorentz \gamma :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé, à la sortie du Linac :

• E_c = 100\text{ MeV} = 1,0 \cdot 10^5\text{ keV} ;
• m_e c^2 = 5,1 \cdot 10^2\text{ keV} \approx 0,51\text{ MeV}.

On obtient :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Les électrons se déplacent à une vitesse v assimilable à celle de la lumière dans le vide : v \approx c. La trajectoire étant assimilée à un cercle de rayon R, la longueur parcourue lors d'un tour est L = 2\pi R.

La période de révolution d'un électron sur cette orbite s'écrit donc :

L'ensemble des N électrons porte une charge totale (en valeur absolue) Q = N e. Le passage de ces charges à travers une section droite de l'anneau pendant une période T définit une intensité moyenne :

On en déduit l'expression du nombre d'électrons N :

Application numérique :

En respectant la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

   • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
   • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

   • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

     U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

     où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

   • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

   • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

   • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

     e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
   • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

On étudie l'électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Le poids étant totalement négligeable devant les interactions électromagnétiques, l'électron n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

La puissance de cette force est identiquement nulle (\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0), ce qui implique que l'énergie cinétique est constante : la norme de la vitesse est conservée au cours du mouvement, soit v = v_0.

Le vecteur vitesse \vec{v} étant initialement selon \vec{e}_z et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_y selon \vec{e}_y, la vitesse reste constamment contenue dans le plan (xOz), orthogonal à \vec{B}. On a donc \vec{v} \perp \vec{B} à tout instant.

En admettant une trajectoire circulaire de rayon R_B, le mouvement est circulaire uniforme. Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n, \vec{u}_b), l'accélération est purement normale et centripète :

La force magnétique, également centripète, a pour norme F = e v_0 B_0. La projection du principe fondamental de la dynamique m_e \vec{a} = \vec{F} selon la normale rentrante \vec{u}_n donne :

En introduisant la norme de la quantité de mouvement p = m_e v_0, on obtient bien :

Pour un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire de rotation \omega_B est reliée à la vitesse scalaire par v_0 = R_B \omega_B, soit :

D'après la relation (1) établie à la question Q7 :

En utilisant l'approximation relativiste p \approx \dfrac{E_c}{c}, l'expression du champ magnétique nécessaire pour courber la trajectoire selon un rayon R_B devient :

Puisque E_c = 2,7\text{ GeV} = 2,7 \cdot 10^9\text{ eV}, on a directement :

Application numérique avec les données :

• \dfrac{E_c}{e} = 2,7 \cdot 10^9\text{ V}
• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• R_B = 5,4\text{ m}

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif :

1. Champ dans le plan xOy

Le plan xOy contient les axes des quatre bobines, et les spires le traversent orthogonalement. Par réflexion par rapport à ce plan, le sens de parcours des spires est inversé :

Le plan (xOy) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants (\Pi^*).

Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est parallèle aux plans d'antisymétrie des courants en tout point de ceux-ci :

2. Direction et sens du champ au voisinage de l'origine

• Sur l'axe Ox (y = 0, z = 0) :

  • Le plan (xOz) est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\Pi) : la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) est l'image par réflexion de celle du quatrième quadrant (x>0, y<0), avec des sens de circulation qui se correspondent par réflexion.

  • En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est orthogonal à ce plan. Ainsi, sur l'axe Ox, \vec{B} est orthogonal à (xOz) :

    \vec{B}(x, 0, 0) \parallel \vec{e}_y

    La direction est donc portée par l'axe Oy.

  • Sens : d'après le sens des courants (règle du tire-bouchon), la bobine du quatrième quadrant (x>0, y<0) crée un pôle Nord dirigé vers le centre (le champ en sort), tandis que la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) crée un pôle Sud vers le centre (le champ y entre). Les lignes de champ vont donc du bas vers le haut :

    • pour x > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_y ;
    • pour x < 0, les rôles des bobines s'inversent (pôle Nord en y>0, Sud en y<0) : \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_y.

• Sur l'axe Oy (x = 0, z = 0) :

  • De même, le plan (yOz) est un plan de symétrie des courants (\Pi).

  • En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal à (yOz) :

    \vec{B}(0, y, 0) \parallel \vec{e}_x

    La direction est donc portée par l'axe Ox.

  • Sens : la bobine du deuxième quadrant (x<0, y>0) présentant un pôle Nord vers le centre et celle du premier quadrant (x>0, y>0) un pôle Sud, les lignes de champ vont de gauche à droite :

    • pour y > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_x ;
    • pour y < 0, \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_x.

3. Valeur du champ à l'origine

L'origine O(0,0,0) appartient à la fois au plan (xOz) et au plan (yOz) :

Ces deux vecteurs unitaires étant orthogonaux, cela impose :

On retrouve également ce résultat par compensation exacte, à l'origine, des champs magnétiques créés par les quatre bobines identiques disposées symétriquement deux à deux en opposition.

Au voisinage de l'origine, dans l'espace vide de courants (\vec{j} = \vec{0}), le champ magnétique vérifie en régime stationnaire les deux équations locales fondamentales de la magnétostatique :

• L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

• L'équation de Maxwell-Ampère stationnaire :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}

Vérifions que l'expression proposée \vec{B} = (Ky + K')\vec{e}_x + (Kx + K')\vec{e}_y satisfait ces équations :

• Pour la divergence :

  \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x}(Ky + K') + \frac{\partial}{\partial y}(Kx + K') + 0 = 0

  L'équation \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 est donc bien vérifiée.

• Pour le rotationnel : comme le champ est indépendant de z et a une composante selon \vec{e}_z nulle, seules les dérivées par rapport à x et y interviennent :

  \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_x &= \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_y &= \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(Kx + K') - \frac{\partial}{\partial y}(Ky + K') = K - K = 0 \end{aligned}

  Ainsi, on a bien \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

Valeur de K' :

À l'origine des coordonnées (0,0,0), le champ théorique vaut :

D'après les symétries établies à la question Q9, le champ est nul à l'origine (\vec{B}(O) = \vec{0}), ce qui impose :

Le champ quadrupolaire au voisinage de l'origine s'écrit donc simplement :

D'après la question Q10, le champ magnétique au voisinage de l'origine s'écrit :

Au point A\left(0,\, \frac{\Delta y}{2},\, 0\right) : Le champ magnétique vaut :

Comme K > 0 et \Delta y > 0, \vec{B}(A) est dirigé suivant +\vec{e}_x.

La force magnétique subie par un électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} = v_0\,\vec{e}_z s'écrit :

Puisque le trièdre (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) est orthonormé direct, on a \vec{e}_z\wedge\vec{e}_x = \vec{e}_y, d'où :

La force exercée sur l'électron en A est donc dirigée vers le bas, vers l'origine O.

Au point B\left(0,\, -\frac{\Delta y}{2},\, 0\right) : De même, en B :

\vec{B}(B) est dirigé suivant -\vec{e}_x.

La force subie par l'électron vaut :

La force exercée sur l'électron en B est donc dirigée vers le haut, vers l'origine O.

Conclusion sur la focalisation : En tout point de l'axe Oy (avec y \neq 0), la composante de la force magnétique selon Oy s'écrit :

Comme -e\,v_0\,K < 0, cette force est une force de rappel linéaire ramenant les électrons vers le plan y = 0 : le quadrupôle assure donc une refocalisation du faisceau d'électrons dans la direction Oy.

Considérons un électron du faisceau possédant un écart transversal selon l'axe Ox, de coordonnées (x, 0, z) au voisinage de l'axe de propagation.

D'après le résultat de la question Q10, le champ magnétique créé par le quadrupôle sur l'axe Ox (y = 0) s'écrit :

L'électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} = v_0 \vec{e}_z (avec v_0 > 0) subit la force de Lorentz :

Comme \vec{e}_z \times \vec{e}_y = -\vec{e}_x, on obtient :

Puisque K > 0 et v_0 > 0, la force est dirigée dans le sens de +x\vec{e}_x :

• pour x > 0, la force est orientée vers les x croissants (\vec{F} \cdot \vec{e}_x > 0) ;
• pour x < 0, la force est orientée vers les x décroissants (\vec{F} \cdot \vec{e}_x < 0).

Cette force tend à éloigner les électrons de l'axe central x = 0 : le quadrupôle est donc défocalisant selon la direction Ox.

Dispositif correcteur (doublet de quadrupôles) : Un quadrupôle seul ne peut pas focaliser simultanément dans les deux directions transverses (théorème d'Earnshaw / divergence nulle du champ magnétique).

Pour pallier cet inconvénient, on dispose en série le long du faisceau deux quadrupôles successifs séparés d'une certaine distance D, le second étant décalé géométriquement par une rotation de 90^\circ autour de l'axe Oz (ou alimenté par des courants inversés, ce qui change le signe de K) :

• le premier quadrupôle est focalisant selon Oy et défocalisant selon Ox (noté F_y D_x) ;
• le second quadrupôle est défocalisant selon Oy et focalisant selon Ox (noté D_y F_x).

Ce système constitue un doublet focalisant (focalisation forte). Par analogie avec l'optique géométrique, l'association de deux lentilles de distances focales opposées f_1 = f et f_2 = -f séparées par une distance D possède une vergence équivalente donnée par la formule de Gullstrand :

L'effet net est donc globalement focalisant dans les deux directions Ox et Oy.

1. Rayonnement anisotrope : Un rayonnement est dit anisotrope si ses caractéristiques physiques, en particulier la puissance surfacique émise (ou intensité lumineuse), dépendent de la direction de l'espace considérée (par opposition à un rayonnement isotrope, dont les propriétés sont identiques dans toutes les directions). Dans le cas du rayonnement synchrotron, l'émission est fortement concentrée vers l'avant, le long du vecteur vitesse de la particule relativiste.
2. Rayonnement polarisé : Une onde électromagnétique est dite polarisée si le vecteur champ électrique \vec{E} décrit, en un point donné et au cours du temps, une trajectoire géométrique déterminée (rectiligne, elliptique ou circulaire) dans le plan d'onde perpendiculaire à la direction de propagation. Cela s'oppose à une onde naturelle ou non polarisée, pour laquelle l'orientation du champ électrique fluctue de manière aléatoire au cours du temps.

1. Direction des champs et composantes nulles :

La distribution de charges et de courants est entièrement localisée sur l'axe (Oz) : la charge positive +e est fixe en O, et l'électron de charge -e effectue un mouvement rectiligne sinusoïdal sur (Oz). Le vecteur densité de courant associé \vec{j} est donc dirigé selon \vec{e}_z.

Considérons le plan méridien \Pi_M = (O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) contenant l'axe (Oz) et le point d'observation M.

• Ce plan contient les charges ainsi que le vecteur vitesse \vec{v}(t) de l'électron : c'est un plan de symétrie pour la distribution de charges \rho et pour la distribution de courants \vec{j}.

• Le champ électrique \vec{E}(M) étant un vecteur polaire, il est contenu dans tout plan de symétrie de ses sources. Ainsi, \vec{E}(M) \in \Pi_M, ce qui impose une composante orthogonale à ce plan nulle :

  \boxed{E_\varphi = 0}

• Le champ magnétique \vec{B}(M) étant un pseudovecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie de ses sources. Le vecteur normal à \Pi_M étant \vec{e}_\varphi, le champ magnétique est purement orthoradial selon \vec{e}_\varphi, ce qui implique que ses composantes dans le plan \Pi_M sont nulles :

  \boxed{B_r = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta = 0}

2. Indépendance en \varphi :

La distribution de charges et de courants présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par toute rotation d'angle \varphi autour de cet axe.

D'après le principe de Curie, les champs créés possèdent les mêmes invariances que leurs sources. Par conséquent, exprimées dans la base sphérique locale adaptée (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi), les composantes non nulles des champs ne dépendent pas de la coordonnée azimutale \varphi :

Les composantes scalaires ne dépendent donc que des coordonnées r, \theta et du temps t.

Le mouvement de l'électron est décrit par le vecteur position :

La vitesse de l'électron s'obtient par dérivation temporelle :

Par une seconde dérivation temporelle, on obtient l'accélération de l'électron :

Pour un système de charges discrètes \{q_i\} situées en des points M_i, le moment dipolaire électrique est défini par :

La charge totale étant nulle (+e - e = 0), ce moment dipolaire est indépendant de l'origine O choisie. Pour la distribution constituée de la charge +e fixe en O et de la charge -e en P, il s'écrit :

En posant \vec{p}_0 = -el\,\vec{e}_z, le moment dipolaire varie sinusoïdalement selon \vec{p}(t) = \vec{p}_0\cos(\omega t).

L'amplitude de l'accélération de l'électron vaut a = \|\vec{a}\|_{\max} = l\omega^2, ce qui donne l = \frac{a}{\omega^2}. L'amplitude p_0 = \|\vec{p}_0\| = el du moment dipolaire s'exprime donc par :

1. Définition de la zone de rayonnement

L'émission dipolaire met en jeu deux échelles spatiales caractéristiques : la dimension de la source l et la longueur d'onde du rayonnement émis \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega}.

La zone de rayonnement (ou zone d'onde, ou champ lointain) est la région de l'espace située à une distance r du dipôle très grande devant la longueur d'onde :

(sachant que l'approximation dipolaire r \gg l est également vérifiée, avec ici l \ll \lambda). Dans cette région :

• les termes de champ électromagnétique décroissant en 1/r deviennent prépondérants devant les termes en 1/r^2 (champ d'induction) et en 1/r^3 (champ quasi-statique) ;
• le flux du vecteur de Poynting à travers une sphère de rayon r ne tend pas vers zéro lorsque r \to +\infty : il y a propagation d'une puissance rayonnée non nulle à l'infini.

2. Justification du terme r/c

Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse finie c.

• La source étant localisée autour de l'origine O (l \ll r), le signal reçu au point M situé à la distance r = OM à la date t a été émis par le dipôle à une date antérieure, dite date retardée :

  t_{\text{ret}} = t - \frac{r}{c}
• Le terme \dfrac{r}{c} représente la durée de propagation (ou temps de retard) mise par l'onde électromagnétique pour parcourir la distance r entre la source et le point d'observation.

L'argument de la fonction d'oscillation de la source \cos(\omega t) devient donc naturellement \cos\!\left(\omega\!\left(t - \frac{r}{c}\right)\right).

1. Structure locale d'onde plane

Les expressions données des champs dans la zone de rayonnement s'écrivent :

avec la direction de propagation radiale \vec{u} = \vec{e}_r. On constate que :

• Les champs sont strictement transverses à la direction de propagation radiale :

  \vec{E} \cdot \vec{e}_r = 0 \quad \text{et} \quad \vec{B} \cdot \vec{e}_r = 0
• Les vecteurs directeurs forment un trièdre orthonormé direct (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi) puisque \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta = \vec{e}_\varphi.

• La relation de structure reliant le champ électrique et le champ magnétique s'écrit :

  \vec{B} = \frac{\vec{e}_r \wedge \vec{E}}{c}

  ce qui implique également la relation d'amplitude E = c B.

À grande distance de la source (r \gg \lambda), sur une étendue spatiale petite devant la distance r, la courbure des surfaces d'onde sphériques est négligeable et l'amplitude en 1/r varie très peu : l'onde présente donc localement la structure d'une onde plane progressive se propageant selon \vec{e}_r.

2. Polarisation de l'onde

En tout point M(r,\theta,\varphi) fixé, le vecteur champ électrique \vec{E} conserve une direction constante portée par \vec{e}_\theta au cours du temps. L'onde émise est donc à :

3. Vérification de l'homogénéité des champs

• Pour le champ électrique \vec{E} : La perméabilité magnétique du vide \mu_0 s'exprime en \text{H}\cdot\text{m}^{-1} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} (car une f.é.m. d'auto-induction vérifie e = -L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \implies [L] = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}). Le moment dipolaire p_0 s'exprime en \text{C}\cdot\text{m} = \text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}, la pulsation \omega en \text{s}^{-1} et r en \text{m}.

  La dimension de l'amplitude s'écrit donc :

  \begin{aligned} \left[ \frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{r} \right] &= \frac{[\mu_0] \cdot [p_0] \cdot [\omega]^2}{[r]} \\ &= \frac{(\text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{A}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}) \cdot (\text{A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}) \cdot (\text{s}^{-2})}{\text{m}} \\ &= \text{V}\cdot\text{m}^{-1} \end{aligned}

  L'expression est bien homogène à un champ électrique (en \text{V}\cdot\text{m}^{-1}).

• Pour le champ magnétique \vec{B} : On a B = \frac{E}{c}. La dimension de B est donc :

  [B] = \frac{[E]}{[c]} = \frac{\text{V}\cdot\text{m}^{-1}}{\text{m}\cdot\text{s}^{-1}} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}

  car la loi de Faraday (\mathrm{d}\Phi = B\,\mathrm{d}S) donne [B] = \text{Wb}\cdot\text{m}^{-2} = \text{V}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-2} = \text{T}. L'expression est bien homogène à un champ magnétique (en teslas \text{T}).

Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde électromagnétique. Il est défini par :

En utilisant la base sphérique orthonormée directe dans laquelle \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r, et en injectant les expressions de \vec{E} et \vec{B} données dans l'énoncé :

La puissance surfacique moyenne émise est donnée par la norme de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. La moyenne temporelle du terme en cosinus au carré vaut \langle \cos^2(\dots) \rangle = \frac{1}{2}, d'où :

Cette grandeur dépend de la direction d'émission par le facteur \sin^2\theta ; elle est donc maximale pour \sin^2\theta = 1, c'est-à-dire dans la direction :

soit dans le plan équatorial orthogonal à l'axe d'oscillation du dipôle Oz.

Dans cette direction, la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting vaut :

En introduisant la relation p_0 \omega^2 = e a (établie à la question Q15) et la relation \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}, on peut également l'écrire sous la forme :

La puissance surfacique moyenne émise est donnée par la norme du vecteur de Poynting moyen :

Comme 0 < v < c, le dénominateur 1 - \frac{v}{c} \cos\theta > 0 est strictement minimal lorsque \cos\theta = 1, c'est-à-dire pour :

La puissance surfacique moyenne est donc maximale vers l'avant, dans la direction du vecteur vitesse \vec{v} de l'électron (tangente à la trajectoire au point d'émission).

En \theta = 0, la valeur maximale vaut :

D'après le résultat de la question Q18, la valeur maximale du rayonnement dipolaire classique s'écrit :

On en déduit la relation :

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), le facteur de Lorentz vérifie :

On obtient ainsi :

Dans le référentiel \mathcal{R} lié à l'électron, la particule émise avec l'angle \theta = \pi/2 possède une vitesse :

Le référentiel \mathcal{R} se déplaçant à la vitesse d'entraînement \vec{v} = v \, \vec{e}_x par rapport au référentiel \mathcal{R}', la loi de composition galiléenne des vitesses donne :

D'après le triangle rectangle formé par les composantes de \vec{v}_p' :

Dans le référentiel \mathcal{R}, l'émission est isotrope dans le plan xOy. L'ensemble des particules émises dans le demi-espace x > 0 correspond à la plage angulaire :

ce qui représente une fraction de 1/2 (soit 50\,\%) des particules totales émises.

Par symétrie et monotonie de la composition des vitesses, ces particules correspondent dans le référentiel \mathcal{R}' à un angle compris entre -\theta' et +\theta'.

La proportion de particules émises dans le cône de demi-angle \theta' par rapport à \mathcal{R}' est donc de :

Le raisonnement précédent repose sur la loi de composition galiléenne des vitesses, qui n'est pas applicable aux photons pour deux raisons fondamentales :

1. Invariance de la vitesse de la lumière : Pour des photons, la norme de la vitesse d'émission dans le référentiel \mathcal{R} de l'électron vaut v_p = c. La règle galiléenne conduit dans le référentiel \mathcal{R}' du laboratoire à une vitesse :

   \|\vec{v}_p'\| = \sqrt{v^2 + v_p^2} = \sqrt{v^2 + c^2} > c

   ce qui contredit le postulat d'Einstein stipulant que la vitesse de la lumière dans le vide est invariante par changement de référentiel galiléen et vaut strictement c.

2. Domaine ultrarelativiste de l'électron : L'électron dans l'anneau de stockage se déplace à une vitesse v extrêmement proche de c (avec \gamma \approx 5\cdot 10^4). La cinématique newtonienne est totalement invalide et il est indispensable d'utiliser les formules de transformation relativiste des vitesses de Lorentz-Einstein.

Dans le référentiel propre \mathcal{R} de l'électron, la moitié du rayonnement est émise dans le demi-espace avant (x > 0), c'est-à-dire pour des angles polaires vérifiant -\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}.

Pour les photons émis à la limite de ce domaine, à \theta = \pm \frac{\pi}{2}, la vitesse de propagation est égale à c, de sorte que ses composantes parallèle et perpendiculaire à \vec{v} = v\vec{e}_x s'écrivent :

Les lois de transformation des vitesses en relativité restreinte fournies par l'énoncé donnent dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}' :

L'angle \theta' formé par \vec{v}_p' avec l'axe Ox vérifie donc :

Dans le cas d'un électron ultrarelativiste, la vitesse de l'électron est extrêmement proche de celle de la lumière, soit v \approx c, et le facteur de Lorentz est très grand (\gamma \gg 1). L'angle \theta' est donc très petit devant 1 rad, ce qui autorise le développement à l'ordre 1 : \tan \theta' \approx \theta'. On obtient ainsi :

Application numérique : Pour \gamma = 5,0 \cdot 10^4 :

Conclusion : La moitié de l'énergie rayonnée par l'électron est concentrée dans un cône d'émission vers l'avant extrêmement étroit, d'un demi-angle de l'ordre de 20\text{ }\mu\text{rad}. Le rayonnement synchrotron possède donc une directivité exceptionnelle (effet dit « effet de phare relativiste »), ce qui lui confère une brillance et une luminance phénoménales dans la direction tangentielle à la trajectoire.

Le rayonnement est émis dans un cône de révolution d'axe colinéaire à la vitesse \vec{v} (tangente à la trajectoire) et de demi-angle au sommet \theta'. L'observateur situé au point lointain M (dans la direction fixe \vec{u}_M) ne perçoit ce rayonnement que si la droite de visée est contenue à l'intérieur du cône d'émission, soit :

D'après la figure 5 :

• au point A_1, l'observateur entre dans le cône d'émission : l'angle entre la vitesse \vec{v}(A_1) et \vec{u}_M vaut \theta' ;
• au point A_2, l'observateur quitte le cône d'émission : l'angle entre la vitesse \vec{v}(A_2) et \vec{u}_M vaut -\theta'.

Entre A_1 et A_2, le vecteur tangent à la trajectoire tourne donc d'un angle total :

La trajectoire étant circulaire de rayon R, l'angle au centre correspondant vaut également \Delta \alpha = 2\theta'. La longueur de l'arc de trajectoire A_1A_2 parcouru s'écrit donc :

L'observateur M étant situé à grande distance, les rayons émis en A_1 et A_2 vers M sont quasiment parallèles à la direction moyenne d'observation. Les signaux lumineux émis aux instants t_1 et t_2 parviennent en M aux instants :

D'après la question Q23, la longueur d'arc parcourue par l'électron à vitesse v est A_1 A_2 = 2R\theta'. La durée du trajet de l'électron entre A_1 et A_2 est donc :

Puisque l'angle d'ouverture \theta' est extrêmement petit (\theta' \sim 10^{-5}\text{ rad}), la projection de la trajectoire sur la ligne de visée vers M s'écrit au premier ordre en \theta' :

La durée du signal reçu par l'observateur s'en déduit :

En utilisant l'approximation \theta' \approx \frac{1}{\gamma}, on obtient bien :

Pour un électron ultrarelativiste (v \approx c), exprimons la différence (1 - v/c) à l'aide de la définition de \gamma :

Comme v \approx c, on a 1 + \frac{v}{c} \approx 2, d'où :

En injectant cette relation et v \approx c dans l'expression de \Delta t :

La fréquence f_{\max} associée à la durée d'impulsion \Delta t s'exprime par :

En utilisant l'expression établie à la question Q24, \Delta t \approx \dfrac{R}{c\gamma^3}, il vient :

Application numérique avec les données :

• c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• \gamma = 5,0 \cdot 10^4 \implies \gamma^3 = 1,25 \cdot 10^{14}
• R = 57\text{ m}

Avec un seul chiffre significatif imposé par l'énoncé :

La longueur d'onde associée dans le vide vaut :

Une fréquence supérieure à 10^{19}\text{ Hz} (ou une longueur d'onde inférieure à quelques picomètres) correspond au domaine des rayons gamma (ou rayons X très durs).

Le dispositif expérimental de spectrométrie par transformée de Fourier comprend les sous-ensembles suivants :

• La source collimatée : une source lumineuse placée au foyer objet d'une lentille convergente de collimation L_c, délivrant un faisceau de rayons parallèles (incidence normale sur les miroirs).

• L'interféromètre de Michelson en configuration lame d'air :

  • Une lame séparatrice semi-réfléchissante (S_p), inclinée à 45^\circ par rapport aux axes des faisceaux, qui sépare le faisceau incident en deux ondes de même amplitude (l'une transmise vers le miroir M_2, l'autre réfléchie vers le miroir M_1).
  • Deux miroirs plans orthogonaux de haute réflectivité : le miroir M_1 (usuellement fixe) et le miroir M_2 (mobile en translation selon son axe pour faire varier l'épaisseur d).
  • (Une lame compensatrice C_p, de même épaisseur et de même indice que S_p, peut être adjointe pour égaliser les trajets de verre dans les deux bras).

• Le dispositif de détection en sortie :

  • Une lentille convergente de focalisation L.
  • Une photodiode placée au foyer image F' de L, recueillant le flux de l'anneau central (correspondant à l'incidence normale).

L'interféromètre de Michelson est réglé en lame d'air d'épaisseur d, éclairé sous incidence normale (i = 0) par des rayons parallèles focalisés au foyer image F' de la lentille de sortie. L'indice de l'air étant n = 1, la différence de marche entre les deux ondes associées aux deux bras s'écrit :

Le déphasage correspondant entre les deux faisceaux est :

D'après la formule de Fresnel pour l'interférence de deux ondes, l'intensité lumineuse au point F' s'exprime par :

Le contraste (ou facteur de visibilité) des franges est défini par :

Pour obtenir un contraste maximal (C = 1, soit I_{\min} = 0), il est nécessaire que les deux ondes qui interfèrent aient la même amplitude (I_1 = I_2). Cette condition est réalisée si la lame séparatrice est parfaitement semi-réfléchissante et sans pertes (facteurs de transmission et de réflexion énergétiques égaux : R = T = 1/2) et si les deux miroirs présentent le même facteur de réflexion. La présence d'une lame compensatrice identique garantit en outre la parfaite symétrie optique des deux bras.

D'après l'expression obtenue à la question Q27, l'intensité au foyer F' s'écrit en incidence normale :

Comme d(t) = v_0 t et s(t) = K I(t), le signal photodiode prend la forme :

Ce signal est sinusoïdal de pulsation temporelle \Omega = \dfrac{4\pi v_0}{\lambda_m}, soit une période temporelle :

Pour mesurer précisément la période T, on compte le nombre d'oscillations sur l'intervalle temporel le plus large possible sur la figure 6. Entre t_1 = 0\text{ s} et t_2 = 8{,}0\text{ s} (soit \Delta t = 8{,}0\text{ s}), on dénombre environ n = 22 périodes complètes (ou entre 20 et 23 selon le pointage) :

On en déduit la longueur d'onde :

Avec la consigne d'un seul chiffre significatif :

(Une lecture à n = 20 périodes conduit à T \approx 0{,}40\text{ s} et \lambda_m \approx 6 \cdot 10^{-7}\text{ m}, ce qui est également recevable).

Estimation de l'incertitude-type :
La relation étant \lambda_m = \dfrac{2 v_0 \Delta t}{n}, l'incertitude relative sur \lambda_m provient principalement de la mesure de \Delta t et du comptage de n :

• Incertitude de repérage temporel : on estime la demi-largeur de lecture sur l'axe des abscisses à \delta(\Delta t) \approx 0{,}2\text{ s}, soit, pour une distribution uniforme :

  u(\Delta t) = \frac{\delta(\Delta t)}{\sqrt{3}} \approx \frac{0{,}2}{\sqrt{3}} \approx 0{,}1\text{ s} \quad \implies \quad \frac{u(\Delta t)}{\Delta t} \approx \frac{0{,}1}{8{,}0} \approx 1{,}5\,\%

• Incertitude sur le nombre de périodes : estimée à \delta n \approx 0{,}5 période, soit :

  u(n) = \frac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx 0{,}3 \quad \implies \quad \frac{u(n)}{n} \approx \frac{0{,}3}{22} \approx 1{,}4\,\%

En combinant ces deux contributions indépendantes :

D'où l'incertitude-type absolue :

Dans l'interféromètre de Michelson réglé en lame d'air sous incidence normale, la différence de marche introduite entre les deux bras à l'instant t vaut :

L'amplitude des oscillations du signal s(t) (le contraste des franges) décroît avec le temps en raison de la cohérence temporelle limitée de la source.

Sur l'interférogramme de la figure 7b, l'amplitude de modulation, maximale à t = 0 (valeur crête-à-crête de 2 unités), est divisée par deux vers t_{1/2} \approx 30\text{ s} à 35\text{ s}, et les interférences sont quasiment éteintes pour t_{\text{ext}} \approx 60\text{ s}.

En choisissant la demi-largeur de l'enveloppe temporelle (atténuation de moitié du contraste), on estime le temps caractéristique d'interférence à \Delta t \approx 30\text{ s}. La longueur de cohérence L_c correspondante s'exprime par :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \Delta t \approx 30\text{ s} :

En conservant un seul chiffre significatif :

(Remarque : si l'on prend le temps d'extinction quasi-totale des franges à t \approx 60\text{ s}, on trouve L_c \approx 8\cdot 10^{-5}\text{ m}, ce qui donne le même ordre de grandeur).

La longueur de cohérence est liée au temps de cohérence \tau_c par :

D'après la relation fournie, la largeur spectrale en fréquence vérifie :

Par ailleurs, la fréquence \nu et la longueur d'onde dans le vide \lambda sont reliées par \nu = \frac{c}{\lambda}. En différentiant au voisinage de la longueur d'onde moyenne \lambda_m :

En utilisant la valeur \lambda_m \approx 5\cdot 10^{-7}\text{ m} déterminée à la question Q28 :

Avec un seul chiffre significatif :

Pour que l'intégrale de Fourier bornée à l'intervalle [0, T] :

représente fidèlement le spectre continu (qui correspond formellement à une borne supérieure infinie), la durée d'acquisition T doit être grande devant :

1. La durée de cohérence de l'interférogramme (ou temps d'amortissement du signal) \tau_{\text{signal}} \approx \dfrac{L_c}{2 v_0} (qui vaut quelques dizaines de secondes d'après la figure 7b). Ainsi, le signal modulé s'est amorti et a pratiquement disparu pour t \ge T, ce qui rend négligeable la troncature temporelle et évite les effets d'apodisation (élargissement instrumental des raies).
2. La période d'oscillation du signal T_{\text{osc}} = \dfrac{\lambda_m}{2 v_0} \approx 0{,}36\text{ s} (déterminée à la question Q28). Cela garantit d'enregistrer un très grand nombre de périodes d'oscillation et d'obtenir une résolution spectrale instrumentale \delta f \approx \dfrac{1}{T} très petite devant la fréquence centrale f_0 = \dfrac{1}{T_{\text{osc}}}.

Le signal temporel est échantillonné aux instants réguliers t_n = n \dfrac{T}{N} pour n \in \llbracket 0, N-1 \rrbracket. Le pas d'échantillonnage temporel (ou période d'échantillonnage) vaut :

La fréquence d'échantillonnage correspondante est donc :

L'expression continue de la transformée de Fourier sur la durée d'enregistrement T est donnée par la relation (2) :

En découpant l'intervalle d'intégration [0, T] en N sous-intervalles [t_n, t_{n+1}[ de même durée \Delta t = T_e = \dfrac{T}{N}, l'intégrale s'écrit sous forme d'une somme :

Par la méthode des rectangles (somme de Riemann à gauche), on approxime la fonction intégrée sur chaque intervalle [t_n, t_{n+1}[ par sa valeur en t_n :

En remplaçant t_n = \dfrac{nT}{N}, t_{n+1} - t_n = \dfrac{T}{N} et s(t_n) = s_n, on retrouve bien la discrétisation souhaitée :

La limitation de la liste des fréquences à l'intervalle \left[0, \frac{f_e}{2}\right] s'explique par deux arguments complémentaires :

1. Théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist :
   D'après le critère de Shannon, pour discrétiser et reconstruire fidèlement un signal sans phénomène de repliement spectral (aliasing), la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le signal :

   f_e \geqslant 2 f_{\max} \quad \Longleftrightarrow \quad f_{\max} \leqslant \frac{f_e}{2}

   La fréquence f_{\mathrm{N}} = \frac{f_e}{2} est la fréquence de Nyquist, borne supérieure absolue des fréquences physiques analysables sans ambiguïté.

2. Réalité du signal et symétrie du spectre :
   Le signal mesuré par la photodiode s(t) est une grandeur physique à valeurs réelles. Sa transformée de Fourier possède donc une symétrie hermitienne :

   F(-f) = F(f)^* \quad \Longrightarrow \quad |F(-f)| = |F(f)|

   Pour un signal échantillonné à la fréquence f_e, le spectre calculé par transformée de Fourier discrète (TFD) est périodique de période f_e. Les composantes fréquentielles comprises entre \frac{f_e}{2} et f_e sont redondantes avec celles comprises entre 0 et \frac{f_e}{2} (car f \in \left[\frac{f_e}{2}, f_e\right] correspond par périodicité à f - f_e \in \left[-\frac{f_e}{2}, 0\right]).

Toute l'information spectrale utile et accessible est donc contenue dans la plage :

C'est précisément ce que met en œuvre la fonction rfft (real FFT) de la bibliothèque NumPy.

D'après le script Python fourni :

• Grandeur a = \text{Temps}[1] - \text{Temps}[0] :
  Elle correspond à l'intervalle de temps séparant deux mesures consécutives t_1 - t_0. Il s'agit de la période d'échantillonnage temporel (ou pas d'échantillonnage), notée usuellement T_e ou \mathrm{d}t :

  \boxed{a = T_e = \frac{T}{N}}

• Grandeur b = N \times a :
  Elle représente le produit du nombre total d'échantillons N par le pas de temps a = T_e. Il s'agit de la durée totale d'acquisition du signal, notée T dans l'énoncé :

  \boxed{b = T}

• Grandeur c = 1/a :
  Elle correspond à l'inverse de la période d'échantillonnage T_e. Il s'agit de la fréquence d'échantillonnage du signal, notée f_e :

  \boxed{c = f_e = \frac{1}{T_e}}

D'après les questions précédentes, l'épaisseur de la lame d'air évolue selon d(t) = v_0 t, de sorte que l'intensité lumineuse mesurée s'écrit :

La partie oscillante du signal présente donc une pulsation temporelle \omega = \frac{4\pi v_0}{\lambda_m}, soit une fréquence temporelle :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde moyenne :

Sur le spectre en fréquences fourni à la figure 8, on observe un pic très net centré à la fréquence :

Avec v_0 = 7,0\cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif :

Le nombre d'onde est défini par \sigma = \frac{1}{\lambda}. En différentiant cette relation :

Le pouvoir de résolution s'exprime donc directement en fonction des nombres d'onde :

D'après la figure 9 :

• Le nombre d'onde de la zone observée est \sigma \approx 1,13\cdot 10^5\text{ cm}^{-1}.

• Sur le zoom inférieur, les graduations principales sont espacées de 5\text{ cm}^{-1}. La largeur à mi-hauteur d'une raie d'absorption (ou l'écart minimal séparable) occupe environ un dixième de cet intervalle, soit :

  \delta\sigma \approx 0,3\text{ à } 0,5\text{ cm}^{-1}

On en déduit l'ordre de grandeur du pouvoir de résolution :

(une valeur comprise entre 10^5 et 10^6 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

Pour un prisme séparant les raies jaunes du sodium (\lambda \approx 5,9\cdot 10^2\text{ nm} \approx 6\cdot 10^2\text{ nm}) distantes de \delta\lambda_{\mathrm{Na}} = 6\text{ nm} :

Le spectromètre de la ligne DESIRS présente un pouvoir de résolution environ 10^3 fois supérieur (trois ordres de grandeur au-dessus) à celui d'un prisme classique de lycée.

L'absorption d'un photon de longueur d'onde \lambda (associé au nombre d'onde \sigma = 1/\lambda) communique à un électron une énergie :

Sur la figure 9 (en particulier sur l'agrandissement intermédiaire), on observe une série de raies d'absorption très resserrées qui s'accumulent (série de Rydberg d'états excités) vers une limite au-delà de laquelle l'électron est éjecté dans le continuum de l'état libre : c'est la limite de première ionisation. On lit sur la figure 9 le nombre d'onde de cette limite de convergence :

L'énergie de première ionisation s'exprime en joules puis en électron-volts :

Numériquement, avec les données du problème :

D'où :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

Interprétation de la valeur élevée : Le krypton (\text{Kr}, Z = 36) est un gaz noble. Sa configuration électronique fondamentale présente une sous-couche de valence entièrement remplie :

Cette structure à sous-couches fermées (octet 4s^2 4p^6) possède une très grande stabilité énergétique et une charge nucléaire effective élevée ressentie par les électrons périphériques. L'arrachement d'un premier électron requiert ainsi une énergie d'ionisation particulièrement élevée comparée à celle des éléments voisins du tableau périodique (alcalins notamment).

1. Définition du mot isotope :

Des isotopes sont des atomes (ou nucléides) possédant le même numéro atomique Z (même nombre de protons dans le noyau et même cortège électronique, donc appartenant au même élément chimique), mais un nombre de masse A différent (nombre de neutrons N = A - Z distinct).

2. Équations permettant de déterminer les pourcentages x et y :

Les pourcentages x, y, 22\,\% et 52\,\% représentent les abondances isotopiques naturelles relatives des quatre isotopes stables du plomb.

• La somme des pourcentages des constituants isotopiques vaut 100\,\% :

  x + y + 22 + 52 = 100 \iff x + y = 26

• La masse molaire atomique moyenne de l'élément plomb est la moyenne pondérée des masses molaires de chaque isotope par son abondance relative. En assimilant la masse molaire de chaque isotope ^{A}\text{Pb} à son nombre de masse A exprimé en \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} :

  M(\text{Pb}) = \frac{x}{100} \times 204 + \frac{y}{100} \times 206 + \frac{22}{100} \times 207 + \frac{52}{100} \times 208

  avec M(\text{Pb}) = 207,2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

Le système de deux équations à deux inconnues s'écrit donc :

Lors de la décharge de l'accumulateur :

• À l'électrode négative (anode), il y a oxydation du plomb métallique \mathrm{Pb_{(s)}} au degré d'oxydation 0 en sulfate de plomb \mathrm{PbSO_{4(s)}} au degré d'oxydation +\mathrm{II} :

  \boxed{\mathrm{Pb_{(s)}} + \mathrm{SO}_{4(\mathrm{aq})}^{2-} = \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{e}^-} \quad (1)

• À l'électrode positive (cathode), il y a réduction du dioxyde de plomb \mathrm{PbO_{2(s)}} (plomb au degré d'oxydation +\mathrm{IV}) en sulfate de plomb \mathrm{PbSO_{4(s)}} (+\mathrm{II}) :

  \boxed{\mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} + 4\,\mathrm{H}_{(\mathrm{aq})}^+ + \mathrm{SO}_{4(\mathrm{aq})}^{2-} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)}} \quad (2)

Les deux demi-réactions échangeant le même nombre d'électrons (n=2), la réaction globale de décharge s'obtient par la somme membre à membre de (1) et (2) :

Sous forme moléculaire non dissociée, cette réaction s'écrit également :

À l'électrode positive (cathode), le couple considéré est \mathrm{PbO}_{2(\mathrm{s})} / \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} associé à la demi-réaction :

Les solides et l'eau étant dans leur état standard (a = 1), la formule de Nernst donne :

À l'électrode négative (anode), le couple considéré est \mathrm{PbSO}_{4(\mathrm{s})} / \mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})} associé à la demi-réaction écrite dans le sens de la réduction :

Le potentiel d'équilibre s'écrit :

La force électromotrice de l'élément à l'abandon s'en déduit :

Avec les valeurs numériques fournies :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé :

(valeur non arrondie : e = 2{,}16\text{ V}).

Pour obtenir une batterie délivrant une tension de U = 12\text{ V}, les éléments doivent être associés en série afin que leurs forces électromotrices s'additionnent. Le nombre nécessaire d'éléments est :

On associe donc un nombre entier de cellules :

Lors d'une décharge à 50\,\%, la quantité de charge délivrée par la batterie est :

En convertissant en coulombs :

D'après la demi-réaction anodique (Q38) :

l'oxydation d'une mole de plomb libère n_e = 2\text{ moles} d'électrons. La quantité de matière de plomb oxydé dans un élément traversé par la charge q est donc :

La masse de plomb oxydé correspondante dans cet élément vaut :

Application numérique pour un élément :

La batterie de 12\text{ V} est constituée de N_{\text{él}} = 6 éléments associés en série (établi en Q39). Le même courant traversant successivement chacun des 6 éléments, la même charge q circule dans chaque cellule et la réaction d'oxydation a lieu dans chacune d'elles. La masse totale de plomb oxydé dans l'ensemble de la batterie est :

Application numérique :

En respectant la consigne d'un seul chiffre significatif :

(ou m_1(\mathrm{Pb}) \approx 8 \cdot 10^1\text{ g} si l'on ne considère qu'un unique élément).

D'après l'étiquette de la batterie représentée en figure 10, les caractéristiques nominales sont :

L'énergie électrique maximale délivrable par la batterie s'écrit :

L'énergie massique w est le quotient de cette énergie par la masse totale m = 9{,}8\text{ kg} de la batterie :

Application numérique :

En arrondissant à un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :