Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2020 (page 2/3 : Partie II)

Notons D_{TE} la distance séparant la Terre de Proxima du Centaure. D'après l'inégalité triangulaire appliquée au triangle Soleil–Terre–Étoile, cette distance est encadrée par :

L'écart relatif maximal entre la distance Terre–étoile et la distance Soleil–étoile s'écrit donc :

À l'aide des données de l'énoncé (D_E = 3,99 \times 10^{13}\text{ km} et D_{TS} = 1,50 \times 10^{8}\text{ km}) :

Cet écart relatif est de l'ordre de 4 \times 10^{-6}, soit environ 0{,}0004\,\%, ce qui est totalement négligeable devant la précision à trois chiffres significatifs avec laquelle est donnée la distance de l'étoile (4{,}22\text{ a.l.}).

L'étoile Proxima Centauri est située à une distance D_E \approx 4{,}22\text{ a.l.} \approx 4{,}0 \times 10^{16}\text{ m} de l'instrument d'optique, ce qui est immensément grand devant la distance focale f'_1 = 8\text{ m} de la lentille objectif L_1. L'étoile constitue donc un objet situé à l'infini sur l'axe optique (\overline{O_1 A} \to -\infty).

La relation de conjugaison de Descartes avec origines au centre optique s'écrit :

Comme \lim_{\overline{O_1 A} \to -\infty} \frac{1}{\overline{O_1 A}} = 0, on obtient directement :

Le point A_1, image du centre A de l'étoile, est donc confondu avec le foyer principal image F'_1 de la lentille L_1.

Par conséquent, l'image intermédiaire A_1 B_1 est située dans le plan focal image de la lentille objectif L_1 :

Le centre A de l'étoile étant situé sur l'axe optique et B désignant un point situé sur le bord (limbe) de l'étoile, la distance AB correspond au rayon R_E de l'étoile.

La distance D_E séparant l'étoile de l'instrument étant gigantesque devant R_E, le rayon angulaire \theta sous lequel est vu le rayon de l'étoile s'écrit, dans le cadre de l'approximation des petits angles :

Le rayon lumineux issu de B passant par le centre optique O_1 de la lentille L_1 n'est pas dévié et émerge en faisant un angle \theta avec l'axe optique.

Ce rayon coupe le plan focal image de la lentille L_1, où se forme l'image intermédiaire (d'après la question Q14), au point image B_1. Dans le triangle rectangle O_1 A_1 B_1 (rectangle en A_1 = F'_1), on a :

En utilisant l'approximation des petits angles (\theta \ll 1\text{ rad}), il vient immédiatement :

Application numérique :

L'image intermédiaire A_1B_1 joue le rôle d'objet pour la lentille divergente L_2. Le grandissement transversal associé à L_2 est donné par :

L'image définitive A'B' devant être non inversée par rapport à A_1B_1 et agrandie d'un facteur 4, le grandissement est strictement positif et vaut :

On en déduit la relation entre les positions image et objet :

Injectons cette relation dans la formule de conjugaison de Descartes appliquée à la lentille L_2 de distance focale f'_2 :

Il vient ainsi :

Avec f'_2 = -0{,}02\text{ m} = -2{,}0\text{ cm}, on obtient :

On vérifie au passage la réalité de l'image :

L'image A'B' se forme bien après la lentille L_2 dans le sens de propagation de la lumière ; elle est donc bien réelle.

D'après la question Q14, l'image intermédiaire est située dans le plan focal image de la première lentille, soit \overline{O_1 A_1} = f'_1 = 8\text{ m}. Par relation de Chasles :

En effectuant l'application numérique :

La distance séparant les deux lentilles est donc :

D'après les résultats de la question Q16 :

• la lentille L_2 est divergente, de foyers \overline{O_2 F'_2} = f'_2 = -2{,}0\text{ cm} et \overline{O_2 F_2} = -f'_2 = +2{,}0\text{ cm} ;
• A_1 B_1 est un objet virtuel pour L_2, situé entre la lentille et son foyer objet : \overline{O_2 A_1} = +1{,}5\text{ cm} ;
• A' B' est une image réelle, droite et agrandie : \overline{O_2 A'} = +6{,}0\text{ cm} avec un grandissement \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{A_1B_1}} = +4.

Pour construire l'image du point objet virtuel B_1, on utilise deux rayons lumineux incidents (issus de la lentille L_1) convergeant vers B_1 :

1. un rayon incident passant par le centre optique O_2 en direction de B_1, qui traverse la lentille sans être dévié et émerge en direction de B' ;
2. un rayon incident parallèle à l'axe optique à la hauteur de B_1, qui convergeait vers B_1 en l'absence de L_2 ; après traversée de la lentille divergente, il émerge en semblant provenir du foyer principal image F'_2 et coupe le premier rayon au point B'.

L'image définitive A'B' se forme bien par intersection effective des rayons lumineux réfractés en aval de la lentille : elle est réelle, droite (\gamma > 0) et agrandie.

D'après la question Q15, la demi-taille (rayon) de l'image intermédiaire est :

La lentille de projection L_2 réalise un grandissement transversal de \gamma = 4 (question Q16). La taille du rayon de l'image définitive A'B' sur la plaque est donc :

Le diamètre géométrique total de l'image de l'étoile vaut ainsi :

La plaque photographique est constituée de cristaux de chlorure d'argent de taille élémentaire :

On constate que la dimension géométrique de l'image est très inférieure à la résolution spatiale intrinsèque du détecteur :

L'image géométrique de l'étoile est entièrement contenue à l'intérieur d'un seul grain d'émulsion photographique : elle ne peut pas être résolue spatialement.

Le capteur CCD possède une surface totale égale à celle de la plaque photographique originelle :

Ce capteur comporte N = 100\text{ millions} = 1{,}00 \times 10^8\text{ pixels}. En supposant des pixels carrés de côté p, la surface élémentaire d'un pixel s'écrit :

La taille d'un pixel est donc :

D'après les questions Q15 et Q18, le diamètre géométrique de l'image définitive de l'étoile est :

On constate que la taille géométrique de l'image est nettement inférieure aux dimensions d'un pixel du capteur :

L'image géométrique est entièrement contenue à l'intérieur d'un seul pixel.

Soit \mathcal{E}_{\odot} l'émittance énergétique surfacique du Soleil dans le visible et \Pi_{\odot} = 600\text{ W}\cdot\mathrm{m}^{-2} la puissance surfacique reçue sur Terre. En assimilant le rayonnement à une émission isotrope dans le demi-espace extérieur :

En faisant l'hypothèse d'une émittance énergétique dans le visible comparable pour Proxima Centauri (\mathcal{E}_E \approx \mathcal{E}_{\odot}), la puissance surfacique reçue sur Terre en provenance de Proxima Centauri s'écrit :

Application numérique :

D'où la puissance surfacique reçue de l'étoile :

La surface collectrice de la lentille d'entrée L_1 de diamètre D_1 = 50\text{ cm} = 0{,}50\text{ m} est :

La puissance totale reçue par l'instrument est donc :

L'énergie d'un photon à la longueur d'onde moyenne d'observation \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} vaut :

Le débit de photons incidents est ainsi remarquablement proche d'une valeur ronde :

Pour une durée d'exposition \Delta t = 12\text{ min} = 720\text{ s} et une efficacité quantique \mathrm{QE} = 30\% = 0{,}30, le nombre d'électrons générés dans le signal est :

La charge électrique totale correspondante produite par le capteur est :

La lentille d'entrée L_1, de contour circulaire de diamètre D_1 = 50\text{ cm}, diaphragme l'onde incidente et donne lieu au phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy).

Le demi-angle au sommet du premier anneau sombre (rayon angulaire de la tache d'Airy) s'écrit :

Avec \lambda_{\text{obs}} = 600\text{ nm} et D_1 = 0{,}50\text{ m} :

Or, le diamètre angulaire apparent de Proxima Centauri vaut (d'après les données de la partie II.C) :

On constate que \theta_{\text{diff}} \gg \alpha (la limite de diffraction est environ 300 fois plus grande que l'étoile).

Au niveau du plan du capteur, après le grandissement transversal |\gamma_2| = 4 imposé par la lentille L_2, le diamètre de la tache d'Airy vaut :

Cette tache s'étend sur une dizaine de grains photographiques (d_{\text{grain}} = 10\text{ }\mu\mathrm{m}) ou sur une trentaine de pixels du capteur CCD (p \approx 2{,}9\text{ }\mu\mathrm{m}).

D'après la figure 4 et le texte de l'énoncé, la parallaxe P_E mesure l'écart angulaire total observé pour Proxima Centauri entre deux positions O_1 et O_2 diamétralement opposées de la Terre sur son orbite. Le triangle O_1 S E est rectangle en S, le côté opposé à l'angle en E est le rayon de l'orbite terrestre S O_1 = D_{TS}, et l'angle sous-tendu par ce rayon depuis l'étoile est la demi-parallaxe \theta = \frac{P_E}{2}.

On a donc :

L'angle étant extrêmement petit (P_E \ll 1\text{ rad}), on effectue l'approximation \tan\left(\frac{P_E}{2}\right) \approx \frac{P_E}{2} :

Convertissons la parallaxe P_E en radians :

Avec D_{TS} = 1{,}50 \times 10^{8}\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m} :

Convertissons cette distance en années-lumière (1\text{ an} \approx 365{,}25\text{ j} = 3{,}156 \times 10^{7}\text{ s}) :

Cette valeur est en excellent accord avec celle fournie dans le préambule de la partie II (D_E = 3{,}99 \times 10^{13}\text{ km} = 4{,}22\text{ a.l.}), l'écart relatif n'étant que de :

D'après la première loi de Kepler, dans le référentiel de Copernic (héliocentrique, supposé galiléen), la Terre décrit une trajectoire fermée qui est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

En coordonnées polaires (r, \theta) de pôle le foyer solaire et d'axe orienté vers le périhélie, la distance Terre-Soleil s'exprime par :

où p est le paramètre de la conique et e son excentricité (0 < e < 1).

L'orbite terrestre n'étant pas parfaitement circulaire (l'excentricité vaut e \approx 0{,}0167 \neq 0), la distance r varie continûment au cours d'une révolution annuelle :

• elle passe par un minimum au périhélie (début janvier) :

  r_{\min} = a(1 - e) \approx 1{,}47 \times 10^8\text{ km}

• elle passe par un maximum à l'aphélie (début juillet) :

  r_{\max} = a(1 + e) \approx 1{,}52 \times 10^8\text{ km}

où a \approx D_{TS} = 1{,}50 \times 10^8\text{ km} est le demi-grand axe de l'orbite.

La source ponctuelle S étant située à l'infini sur l'axe optique, les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et atteignent les deux ouvertures T_1 et T_2 en phase :

Les trous T_1 et T_2 diffractent la lumière dans toutes les directions. Les rayons lumineux qui convergent au point M, situé à l'ordonnée x dans le plan focal image de la lentille convergente L_1, forment avant la lentille un faisceau de rayons parallèles entre eux, faisant avec l'axe optique un angle \theta donné par les conditions de Gauss :

D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde associées à ce faisceau sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation \theta. Le chemin optique entre un tel plan d'onde \Sigma et le foyer secondaire M est identique pour tous les rayons :

En traçant le plan d'onde passant par T_1, celui-ci coupe le rayon issu de T_2 en un point noté H, tel que (T_1 H) est perpendiculaire à ce rayon. On a alors [T_1 M] = [H M]. La différence de marche entre les deux rayons au point M s'écrit donc :

Dans le triangle rectangle T_1 T_2 H, l'angle en T_1 vaut \theta, d'où :

Par définition, l'ordre d'interférence en un point M éclairé par une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda est le quotient de la différence de chemin optique \delta_S(M) par \lambda :

La source S étant située à l'infini sur l'axe optique, l'onde incidente est plane et arrive en incidence normale sur le plan des trous d'Young T_1 et T_2, de sorte que :

D'après le résultat de la question Q24, les deux rayons émergent de la lentille avec un angle d'inclinaison \theta \simeq \frac{x}{f'_1} dans les conditions de Gauss et convergent au point M du plan focal image. La différence de marche géométrique entre ces deux rayons s'écrit :

On en déduit l'expression de l'ordre d'interférence produit par la source S en tout point M d'abscisse x :

D'après l'expression de l'ordre d'interférence établie à la question Q25 :

on déduit les caractéristiques géométriques de la figure d'interférences dans le plan focal image de L_1 :

• Lignes d'égal ordre d'interférence : p_S(M) ne dépend que de la coordonnée x. Les lignes d'intensité constante sont donc des droites rectilignes perpendiculaires à la direction joignant les deux trous T_1 et T_2.
• Franges brillantes et sombres : les franges brillantes correspondent à p_S(M) = k avec k \in \mathbb{Z} et les franges sombres à p_S(M) = k + \frac{1}{2}. On observe ainsi une alternance régulière de franges brillantes et sombres.
• Frange centrale : en x = 0 (foyer image F'_1), p_S(0) = 0, la frange centrale est brillante et achromatique.
• Interfrange : la distance séparant deux franges brillantes consécutives est constante et s'écrit :

La figure d'interférences est donc constituée de franges rectilignes, équidistantes, parallèles entre elles et perpendiculaires à la ligne joignant les deux trous T_1 et T_2.

Les deux trous d'Young T_1 et T_2 étant de taille identique, ils émettent chacun une onde de même intensité I_1 = I_2 = \dfrac{I_0}{2}, où I_0 représente l'intensité lumineuse moyenne dans le plan d'observation.

D'après la formule de Fresnel pour des interférences à deux ondes synchrones et cohérentes, le déphasage entre les deux ondes en un point M s'écrit :

où p_S(M) est l'ordre d'interférence établi en question Q25 et i = \dfrac{\lambda f'_1}{a} l'interfrange défini en question Q26.

L'intensité lumineuse au point M s'exprime donc par :

ou, sous forme équivalente :

La différence de marche totale entre le rayon (2) passant par T_2 et le rayon (1) passant par T_1 s'écrit :

• En amont : les rayons incidents issus de S' forment un faisceau parallèle incliné d'un angle \theta_0 = \alpha/2. La surface d'onde incidente \Sigma_1 passant par T_1 est un plan orthogonal à ces rayons. En notant H_1 le projeté orthogonal de T_1 sur le rayon incident passant par T_2, la différence de marche amont s'identifie à la longueur du segment :

  \delta_{\text{amont}} = H_1 T_2 \simeq a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \simeq a\,\frac{\alpha}{2}

• En aval : d'après le théorème de Malus appliqué au stigmatisme rigoureux entre une onde plane inclinée de \theta \simeq x/f'_1 et son point de convergence M dans le plan focal image, le chemin optique depuis un plan d'onde fictif \Sigma_2 orthogonal à cette direction jusqu'au point M est constant. En notant H_2 le projeté orthogonal de T_1 sur cette direction, la différence de marche aval s'identifie à :

  \delta_{\text{aval}} = [T_2 M] - [T_1 M] = H_2 T_2 \simeq a \sin\theta \simeq a\,\frac{x}{f'_1}

La différence de marche totale entre les deux rayons interférant en M est ainsi représentée par :

L'ordre d'interférence produit en un point M par une onde monochromatique de longueur d'onde \lambda est défini par :

où \delta_{S'}(M) = [S' T_2 M] - [S' T_1 M] est la différence de chemin optique entre les deux rayons issus de S' et interférant en M.

Comme établi à la question Q28, cette différence de marche se décompose en une contribution amont et une contribution aval :

• En amont : l'onde plane issue de S' arrive sur le plan des trous d'Young avec un angle d'incidence \theta_0 = \alpha/2 par rapport à l'axe optique. Le front d'onde atteint la fente T_1 avant la fente T_2, d'où :

  \delta_{\text{amont}} = (S' T_2) - (S' T_1) = a \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \simeq a \, \frac{\alpha}{2}

  dans l'approximation des petits angles (\alpha \ll 1).

• En aval : d'après le théorème de Malus et le résultat de la question Q24 pour un point M situé à la cote x dans le plan focal image de L_1 :

  \delta_{\text{aval}} = [T_2 M] - [T_1 M] \simeq a \, \frac{x}{f'_1}

La différence de marche totale vaut ainsi :

On en déduit l'expression de l'ordre d'interférence :

Les deux sources ponctuelles S et S' étant situées en deux points distincts de l'étoile, leurs émissions lumineuses sont mutuellement incohérentes. L'intensité totale observée au point M s'obtient donc par sommation des intensités issues de chaque source :

D'après la question Q27, chaque source prise individuellement donne un système de franges rectilignes de même interfrange i = \frac{\lambda \, f'_1}{a} et de même contraste :

L'intensité résultante s'écrit alors :

Le contraste des franges d'interférence s'annule, ce qui correspond à un brouillage complet, lorsque le facteur modulateur s'annule :

Physiquement, les maxima d'intensité du système de franges produit par S coïncident avec les minima du système produit par S'. La plus petite valeur positive non nulle de l'écart d'ordre d'interférence est :

En utilisant le résultat de la question Q29, p_{S'}(M) - p_S(M) = \frac{a\,\alpha}{2\lambda}, on obtient :

La plus petite distance a entre les ouvertures conduisant au brouillage est donc :

D'après la question Q30, la plus petite valeur de la distance a entre les ouvertures conduisant au brouillage est :

Convertissons le diamètre angulaire \alpha en radians :

Avec \lambda_{\mathrm{obs}} = 600\text{ nm} = 6{,}00 \times 10^{-7}\text{ m} :

En tenant compte de l'incertitude sur \alpha (\Delta \alpha / \alpha \simeq 0{,}08 / 1{,}02 \simeq 8\,\%, soit \Delta a \simeq 10\text{ m}) :

Commentaires :

• Cette distance a \sim 120\text{ m} est de l'ordre de la centaine de mètres. Il est techniquement impossible de fabriquer un télescope à miroir unique (monolithique) d'une telle envergure (les plus grands miroirs monolithiques actuels atteignent environ 8\text{ à }10\text{ m} de diamètre).
• C'est tout l'intérêt de l'interférométrie stellaire (mode interférométrique du VLT, le VLTI) : en combinant de façon cohérente les faisceaux lumineux issus de plusieurs télescopes distincts distants de plus d'une centaine de mètres, on synthétise une ouverture équivalente géante de diamètre a, ce qui permet de mesurer des diamètres angulaires extrêmement faibles (de l'ordre du millième de seconde d'arc).

Une étoile réelle est une source étendue spatialement incohérente : deux points sources distincts n'ont aucune relation de phase fixe, si bien que l'intensité lumineuse totale dans le plan d'observation résulte de la superposition des intensités (et non des amplitudes) produites par chaque point de l'étoile :

Chaque point source d'abscisse angulaire \theta \in [-\alpha/2,\, +\alpha/2] engendre un système de franges rectilignes de même interfrange i = \frac{\lambda f'_1}{a}, mais décalé spatialement de \Delta x(\theta) = -f'_1 \theta.

Pour la valeur a \simeq \frac{\lambda}{\alpha}, deux points distants angulairement de \Delta \theta = \frac{\alpha}{2} (comme le centre S et le bord S') produisent deux systèmes de franges décalés d'un demi-interfrange :

Les maxima lumineux de l'un coïncident alors exactement avec les minima de l'autre.

Or, on peut décomposer par la pensée le disque stellaire en couples de régions homologues distantes de l'ordre de \alpha/2 : pour chacune de ces paires de sous-sources, les figures d'interférences se compensent mutuellement, ce qui conduit à une uniformisation de l'éclairement et donc au brouillage global de la figure d'interférences.