Feuille d'entraînement : Physique quantique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2020, Q12

   L'énergie lumineuse totale \mathcal{E} reçue par le détecteur durant le temps d'intégration T s'exprime en fonction de la puissance moyenne \langle P_y \rangle par :

   \mathcal{E} = \langle P_y \rangle \, T

   L'onde lumineuse étant assimilée à un flux de photons de longueur d'onde \lambda, chaque photon transporte un quantum élémentaire d'énergie :

   \varepsilon = \frac{hc}{\lambda}

   Le nombre moyen \langle N \rangle de photons détectés pendant cet intervalle de temps correspond au rapport de l'énergie totale reçue à l'énergie d'un photon :

   \langle N \rangle = \frac{\mathcal{E}}{\varepsilon} = \frac{\langle P_y \rangle \, T}{\dfrac{hc}{\lambda}}

   D'où :

   \boxed{\langle N \rangle = \frac{\langle P_y \rangle \, \lambda \, T}{hc}}

   Résultat

   $$⟨N⟩=\frac{⟨P_y⟩\lambda T}{hc}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2020, Q13

   Pendant la durée d'intégration T, l'énergie lumineuse totale collectée par le détecteur s'écrit :

   \mathcal{E} = N \frac{hc}{\lambda}

   La puissance correspondante mesurée sur cette durée est donc :

   P_y = \frac{\mathcal{E}}{T} = \frac{N hc}{\lambda T}

   Une fluctuation \Delta N = \sqrt{\langle N \rangle} du nombre de photons entraîne une fluctuation de puissance :

   \Delta P_y = \frac{\Delta N \, hc}{\lambda T} = \frac{\sqrt{\langle N \rangle}\, hc}{\lambda T}

   En utilisant l'expression du nombre moyen de photons établie à la question Q12, \langle N \rangle = \dfrac{\langle P_y \rangle \lambda T}{hc}, on obtient :

   \begin{aligned} \Delta P_y &= \frac{hc}{\lambda T} \sqrt{\frac{\langle P_y \rangle \lambda T}{hc}} \\ &= \sqrt{\frac{hc \langle P_y \rangle}{\lambda T}} \end{aligned}

   \boxed{\Delta P_y = \sqrt{\frac{hc\langle P_y \rangle}{\lambda T}}}

   Résultat

   $$\Delta P_y=\sqrt{\frac{hc⟨P_y⟩}{\lambda T}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q14

   D'après la question Q10, pour un déphasage statique \varphi_0 = \frac{\pi}{2}, on a \cos\varphi_0 = 0 et \sin\varphi_0 = 1. L'éclairement s'écrit alors :

   E_y(t) = \frac{E_0}{2} + E_0\,\frac{2\pi(L_x + L_y)}{\lambda}\tau(t)

   La puissance lumineuse étant proportionnelle à l'éclairement, la puissance moyenne en l'absence d'onde est :

   \langle P_y \rangle(0) = \frac{P_0}{2}

   La variation maximale de puissance due à l'onde gravitationnelle d'amplitude \tau_M (le signal) vaut donc :

   \Delta P_{\text{signal}} = \langle P_y \rangle(\tau) - \langle P_y \rangle(0) = P_0\,\frac{2\pi(L_x + L_y)}{\lambda}\tau_M = 2\langle P_y \rangle\,\frac{2\pi(L_x + L_y)}{\lambda}\tau_M

   En identifiant la variation relative par rapport à la puissance moyenne collectée \langle P_y \rangle selon la formulation de l'énoncé :

   \Delta P_{\text{signal}} = \langle P_y \rangle\,\frac{2\pi(L_x + L_y)}{\lambda}\tau_M

   La condition sur le rapport signal sur bruit s'écrit :

   \frac{\Delta P_{\text{signal}}}{\Delta P_y} \ge 1 \iff \langle P_y \rangle\,\frac{2\pi(L_x + L_y)}{\lambda}\tau_M \ge \Delta P_y

   En remplaçant \Delta P_y par l'expression établie à la question Q13 :

   \Delta P_y = \sqrt{\frac{hc\langle P_y \rangle}{\lambda T}}

   La plus petite valeur de \tau_M mesurable (seuil de détection) correspond à l'égalité :

   \tau_M = \frac{1}{\langle P_y \rangle}\frac{\lambda}{2\pi(L_x + L_y)}\sqrt{\frac{hc\langle P_y \rangle}{\lambda T}}

   On en déduit bien :

   \boxed{\tau_M = \frac{1}{2\pi(L_x + L_y)} \sqrt{\frac{hc\lambda}{\langle P_y \rangle T}}}

   Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

   • L_x \approx L_y \approx 3\text{ km} \implies L_x + L_y \approx 6 \cdot 10^3\text{ m}
   • h = 6{,}62 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
   • c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
   • \lambda = 600\text{ nm} = 6{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}
   • T = 10^{-4}\text{ s}
   • \langle P_y \rangle = \frac{P_0}{2} = 5\text{ W} (avec P_0 = 10\text{ W} d'après la question Q11)

   On calcule le terme sous la racine :

   \frac{hc\lambda}{\langle P_y \rangle T} = \frac{6{,}62 \cdot 10^{-34} \times 3{,}0 \cdot 10^8 \times 6{,}0 \cdot 10^{-7}}{5 \times 10^{-4}} \approx \frac{1{,}19 \cdot 10^{-31}}{5 \cdot 10^{-4}} \approx 2{,}4 \cdot 10^{-28}\text{ m}^2

   D'où :

   \sqrt{\frac{hc\lambda}{\langle P_y \rangle T}} \approx 1{,}5 \cdot 10^{-14}\text{ m}

   Puis :

   2\pi(L_x + L_y) \approx 2\pi \times 6 \cdot 10^3 \approx 3{,}8 \cdot 10^4\text{ m}

   Soit, avec un chiffre significatif :

   \boxed{\tau_M \approx 4 \cdot 10^{-19}}

   (Si l'on prend \langle P_y \rangle \approx P_0 = 10\text{ W}, on obtient de même \tau_M \approx 3 \cdot 10^{-19} \sim 10^{-19}.)

   Conclusion : L'onde gravitationnelle attendue possède une amplitude typique de \tau_M = 10^{-21}. Le seuil de détection imposé par le bruit quantique de photons (\approx 4 \cdot 10^{-19}) est plus de deux ordres de grandeur supérieur à cette amplitude. La détection d'ondes gravitationnelles est donc impossible avec cette configuration simple de l'interféromètre ; il est indispensable d'augmenter la sensibilité, notamment en repliant le trajet optique à l'aide de cavités résonantes (cavités Fabry-Pérot).

   Résultat

   $${\tau }_M=\frac{1}{2\pi (L_x+L_y)}\sqrt{\frac{hc\lambda }{⟨P_y⟩T}}$$

   $${\tau }_M\approx 4\cdot 10^{-19}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question