Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2023 (page 2/2 : Partie 1 (questions 15 à 20) et partie 2)

D'après les relations (11), on a :

1. Équation vérifiée par \alpha(t) :

En dérivant l'expression de \alpha(t) = a(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\frac{E_a}{\hbar}t} par rapport au temps :

En utilisant la première équation du système (10), \dfrac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t} + \mathrm{i}\dfrac{E_a}{\hbar}a(t) = \mathrm{i}\Omega_R\cos(\omega t)b(t), il vient :

En développant le cosinus sous forme d'exponentielles complexes, \cos(\omega t) = \dfrac{\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{2} :

D'où l'équation pour \alpha(t) :

2. Équation vérifiée par \beta(t) :

De même, en dérivant \beta(t) = b(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\left(\frac{E_a}{\hbar}+\omega\right)t} :

En substituant la seconde équation du système (10), \dfrac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}t} = -\mathrm{i}\dfrac{E_b}{\hbar}b(t) + \mathrm{i}\Omega_R\cos(\omega t)a(t) :

Sachant que \delta\omega = \omega - \omega_0 et \cos(\omega t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\omega t} = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{+2\mathrm{i}\omega t}}{2}, on obtient :

3. Identification des termes lents et rapides :

• Les termes en facteur de 1 dans les crochets ainsi que le terme en \mathrm{i}\delta\omega oscillent à des pulsations nulles ou de l'ordre de |\delta\omega| \ll \omega, et de \Omega_R \ll \omega : ce sont les termes à variation lente.
• Les termes en \mathrm{e}^{\pm 2\mathrm{i}\omega t} oscillent à la pulsation 2\omega (de l'ordre de 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) : ce sont les termes à variation rapide (antirésonnants).

16-a) D'après les postulats de la mécanique quantique à une dimension :

• La densité volumique (ici linéique) de probabilité de présence de l'électron en x à l'instant t s'exprime par le module au carré de la fonction d'onde :

  \boxed{\rho(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \psi^*(x, t)\psi(x, t)}

• La probabilité élémentaire \mathrm{d}\mathcal{P} de trouver l'électron dans l'intervalle [x, x + \mathrm{d}x] à l'instant t est donc :

  \boxed{\mathrm{d}\mathcal{P} = |\psi(x, t)|^2\,\mathrm{d}x}

• La valeur moyenne \langle D_x \rangle de la composante du dipôle électrique atomique D_x = -ex s'obtient en intégrant sur toutes les positions possibles :

  \boxed{\langle D_x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x, t)\,(-ex)\,\psi(x, t)\,\mathrm{d}x}

16-b) En injectant la décomposition \psi(x, t) = a(t)\varphi_a(x) + b(t)\varphi_b(x) dans l'expression de \langle D_x \rangle, on développe :

En identifiant les éléments de matrice D_{ij} définis par la relation (9), on obtient :

16-c) D'après les définitions (11) des variables \alpha(t) et \beta(t) :

• Interprétation physique : \alpha^*\alpha = p_a et \beta^*\beta = p_b représentent respectivement les probabilités de présence (ou populations) de trouver l'atome dans l'état stationnaire \varphi_a et dans l'état stationnaire \varphi_b.

• Relation : Le système étant modélisé par un système à deux niveaux normalisé (p_a + p_b = 1, d'après la question 13-c), on a :

  \boxed{\alpha^*\alpha + \beta^*\beta = 1}

16-d) D'après la question 14-a, la parité des états impose des moments dipolaires permanents nuls (D_{aa} = D_{bb} = 0), et le dipôle de transition est réel et symétrique : D_{ab} = D_{ba} = d \in \mathbb{R}. Il vient :

En inversant les relations (11) :

On calcule les produits croisés :

L'expression de \langle D_x \rangle devient :

Les termes de population \alpha^*\alpha et \beta^*\beta n'intervenant pas, la valeur moyenne \langle D_x \rangle du dipôle est uniquement reliée à la cohérence C = \beta^*\alpha (et à son conjugué C^*).

16-e) En posant C = \frac{1}{2}(u + \mathrm{i}v) avec (u, v) \in \mathbb{R}^2, on exprime la somme :

En multipliant par d, on retrouve bien la relation (13) :

17-a) Équations en régime permanent pour p_a, p_b et C

L'évolution temporelle de l'état quantique résulte de la somme de trois contributions :

• l'interaction dipolaire avec le champ électromagnétique (relations (14)) :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = -\mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(C - C^*), \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = +\mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(C - C^*), \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_{\text{int}} = -\mathrm{i}\delta\omega C - \mathrm{i}\frac{\Omega_R}{2}(p_a - p_b)

• la relaxation due à l'émission spontanée et aux collisions (relations (15)) :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_1 p_a, \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_1 p_b, \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_R = -\gamma_2 C

• les termes sources d'apport d'atomes :

  \left.\frac{\mathrm{d}p_a}{\mathrm{d}t}\right|_S = +\Lambda_a, \quad \left.\frac{\mathrm{d}p_b}{\mathrm{d}t}\right|_S = +\Lambda_b, \quad \left.\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t}\right|_S = 0

En régime permanent (stationnaire), toutes les dérivées temporelles sont nulles (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = 0), ce qui conduit au système :

17-b) Solution stationnaire sans onde électromagnétique (\Omega_R = 0)

En posant \Omega_R = 0 dans le système précédent, les termes de couplage s'annulent :

Justification physique : Les atomes alimentés par les termes sources sont créés indépendamment dans les états propres d'énergie \varphi_a ou \varphi_b, sans relation de phase mutuelle (mélange statistique incohérent). La cohérence C = \beta^* \alpha, qui mesure l'existence d'une superposition quantique cohérente avec cohérence de phase entre les deux états, n'est donc induite que par l'interaction dipolaire avec le champ électrique oscillant de l'onde lumineuse (\Omega_R \neq 0).

17-c) Valeur moyenne du dipôle en régime stationnaire

En reportant les expressions de u et v données par l'énoncé dans la relation (13) :

on obtient directement :

17-d) Polarisation du milieu et susceptibilité complexe

Le moment dipolaire par unité de volume est :

P(t) est une combinaison linéaire de \cos(\omega t) et \sin(\omega t), elle est donc sinusoïdale et oscille bien à la pulsation \omega.

Pour déterminer la représentation complexe \underline{P}, rappelons la convention adoptée dans le sujet (équation (2)) : une grandeur réelle A(t) = A_1 \cos(\omega t) + A_2 \sin(\omega t) est associée à l'amplitude complexe \underline{A} telle que A(t) = \mathrm{Re}\left( \underline{A}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \right). Puisque \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} = \cos(\omega t) - \mathrm{i}\sin(\omega t), on a :

Ici, avec P(t) = n d [u \cos(\omega t) - v \sin(\omega t)], l'amplitude complexe associée s'écrit :

Comme C = \frac{1}{2}(u + \mathrm{i}v), on remarque que u - \mathrm{i}v = 2 C^*.

On cherche à identifier sous la forme :

Or au point z=0 et pour \varphi_0 = 0, le champ électrique s'écrit :

Il vient donc :

En utilisant la définition de la pulsation de Rabi \Omega_R = \dfrac{d E_0}{\hbar}, on a \dfrac{n d}{\epsilon_0 E_0} = \dfrac{n d^2}{\epsilon_0 \hbar \Omega_R}.

En séparant parties réelle et imaginaire \underline{\chi} = \chi' + \mathrm{i}\chi'', on a :

En substituant les expressions de u et v :

18-a) Équation différentielle sur \mathcal{E}(z)

Avec \underline{E}(z,t) = \mathcal{E}(z)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} et \underline{P}(z,t) = \epsilon_0 \underline{\chi}\,\mathcal{E}(z)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, les dérivées temporelles secondes s'écrivent :

En injectant dans l'équation de propagation (16) et en simplifiant par \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, sachant que \mu_0 \epsilon_0 = \frac{1}{c^2} :

En posant k = \frac{\omega}{c}, on obtient :

18-b) Équation vérifiée par \underline{k}

En cherchant une solution de la forme \mathcal{E}(z) = E_0\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\underline{k}z}, la dérivée seconde spatiale vaut :

L'équation différentielle implique directement :

Pour une onde se propageant dans le sens des z croissants, on retient \underline{k} = \frac{\omega}{c}\underline{n} = k\,\underline{n}.

18-c) Expressions de k' et k'' et condition d'amplification

Pour un milieu dilué tel que |\underline{\chi}| \ll 1, l'indice optique complexe se développe au premier ordre selon :

Puisque \underline{k} = k\,\underline{n} = k' + \mathrm{i}k'', on identifie les parties réelle et imaginaire :

L'amplitude complexe s'écrit alors :

L'amplitude réelle de l'onde varie en \mathrm{e}^{-k'' z} = \mathrm{e}^{-k\frac{\chi''}{2}z}. L'onde se propageant dans le sens des z croissants (z > 0), elle est amplifiée si cette amplitude est une fonction croissante de z, ce qui impose :

Si cette inégalité n'est pas satisfaite :

• si \chi'' > 0, l'onde est atténuée au cours de sa propagation (effet d'absorption) ;
• si \chi'' = 0, l'amplitude reste constante (propagation sans perte ni gain dans un milieu transparent).

18-d) Inversion de populations

D'après le résultat de la question Q17 :

Toutes les grandeurs n, d^2, \epsilon_0, \hbar, \gamma_1, \gamma_2 étant strictement positives, le signe de \chi'' est identique à celui de m_0 = p_a^0 - p_b^0. Ainsi :

• Définition des populations : La population d'un niveau d'énergie donné représente le nombre d'atomes par unité de volume se trouvant dans cet état. Pour les états a et b, ces densités sont respectivement N_a = n\,p_a et N_b = n\,p_b. Avoir p_b > p_a équivaut donc à N_b > N_a : il s'agit d'une inversion de population.

• Impossibilité à l'équilibre thermique : À l'équilibre thermodynamique à la température absolue T, la distribution de Boltzmann impose le rapport des populations :

  \frac{N_b^{\text{eq}}}{N_a^{\text{eq}}} = \exp\left(-\frac{E_b - E_a}{k_B T}\right) = \exp\left(-\frac{\hbar\omega_0}{k_B T}\right)

  Comme E_b > E_a, l'argument de l'exponentielle est strictement négatif, d'où N_b^{\text{eq}} < N_a^{\text{eq}} pour toute température finie. Même à la limite théorique d'une température infinie (T \to +\infty), ce rapport ne ferait que tendre vers 1 par valeurs inférieures. Par conséquent, à l'équilibre thermique, m_0 > 0 et \chi'' > 0 : une vapeur chauffée est toujours absorbante et ne peut en aucun cas amplifier l'onde. L'obtention d'un milieu amplificateur requiert un apport d'énergie hors équilibre (pompage optique ou électrique).

18-e) Fonction de transfert \underline{H} et gain en intensité G_I

Avec \mathcal{E}_e = \mathcal{E}(0) et \mathcal{E}_s = \mathcal{E}(\ell_a) = \mathcal{E}_e\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\underline{k}\ell_a} :

L'intensité lumineuse étant proportionnelle au carré du module du champ complexe, le coefficient d'amplification de l'intensité s'en déduit immédiatement :

Ce qui donne :

Comme \chi'' < 0, l'exposant -k\chi''\ell_a est strictement positif et l'on a bien un gain G_I > 1.

19-a) Allure des variations de \chi'' et \chi' et résonance

D'après les résultats de la question Q17, avec m_0 = p_a^0 - p_b^0 < 0 (inversion de population réalisée) :

Posons |m_0| = -m_0 = p_b^0 - p_a^0 > 0 et \Gamma^2 = \gamma_2^2 + \frac{\gamma_2}{\gamma_1}\Omega_R^2.

• \chi''(\delta\omega) est une fonction paire, strictement négative. Elle présente un extremum (un minimum algébrique, soit un maximum en valeur absolue) en \delta\omega = 0 :

  \chi''(0) = -\frac{n d^2 |m_0|}{\epsilon_0 \hbar} \frac{\gamma_2}{\Gamma^2}

  et tend vers 0 lorsque |\delta\omega| \to +\infty.

• \chi'(\delta\omega) est une fonction impaire, nulle en \delta\omega = 0, positive pour \delta\omega > 0 et négative pour \delta\omega < 0. Elle admet un maximum en \delta\omega = +\Gamma et un minimum en \delta\omega = -\Gamma.

Le coefficient d'amplification de l'onde G_I = \exp(-k\chi''\ell_a) (question Q18) est maximal lorsque |\chi''| est maximal, c'est-à-dire pour \delta\omega = 0, soit \omega = \omega_0. Le système présente donc bien un comportement résonnant à la pulsation de transition \omega_0.

19-b) Largeur à mi-hauteur et saturation

La valeur maximale de l'amplification correspond à |\chi''(0)| = \frac{n d^2 |m_0|}{\epsilon_0 \hbar} \frac{\gamma_2}{\Gamma^2}. La condition de demi-hauteur |\chi''(\delta\omega)| = \frac{1}{2}|\chi''(0)| s'écrit :

La largeur totale à mi-hauteur en pulsation est donc :

Comme \Omega_R^2 = \frac{d^2 E_0^2}{\hbar^2} = \frac{d^2 I(z)}{\hbar^2}, on a \Delta\omega_S = 2\sqrt{\gamma_2^2 + \frac{\gamma_2 d^2}{\gamma_1 \hbar^2}I(z)} : la largeur à mi-hauteur dépend explicitement de l'intensité I(z).

Elle en dépend de manière significative dès lors que le terme d'interaction n'est plus négligeable devant \gamma_2^2, soit :

En l'absence de saturation (I \to 0, soit \Omega_R \to 0) :

19-c) Susceptibilité non linéaire et intensité de saturation

Mettons \underline{\chi} = \chi' + \mathrm{i}\chi'' sous la forme factorisée :

On identifie la susceptibilité linéaire \underline{\chi}_\ell obtenue pour \Omega_R \to 0 :

En utilisant \Omega_R^2 = \frac{d^2 I}{\hbar^2}, le terme non linéaire s'écrit :

On en déduit l'intensité de saturation I_S :

On a donc bien établi la relation :

19-d) Intégration de l'équation de propagation et régimes limites

L'équation différentielle s'écrit :

En séparant les variables :

On intègre entre z = 0 (I(0) = I_e) et z = \ell_a (I(\ell_a) = I_s) :

Notons que -k\chi''_\ell > 0 car \chi''_\ell < 0 en présence d'inversion de population.

• Régime linéaire (faible intensité, I(z) \ll I_S) :
  Le terme (I_s - I_e)/I_S est négligeable devant le logarithme, ce qui conduit à :

  \ln\left(\frac{I(\ell_a)}{I_e}\right) \simeq -k\chi''_\ell \ell_a \implies \boxed{I(\ell_a) \simeq I_e \, \mathrm{e}^{-k\chi''_\ell \ell_a}}

  L'intensité croît exponentiellement avec la longueur du milieu (loi de Beer-Lambert amplificatrice).

• Régime saturé (forte intensité, I(z) \gg I_S) :
  Le terme logarithmique devient négligeable devant (I_s - I_e)/I_S, d'où :

  \frac{I_s - I_e}{I_S} \simeq -k\chi''_\ell \ell_a \implies \boxed{I(\ell_a) \simeq I_e - k\chi''_\ell I_S \ell_a}

  L'intensité varie alors linéairement avec l'épaisseur \ell_a. Le gain en intensité vaut ainsi :

  \boxed{G_I = \frac{I_s}{I_e} \simeq 1 - \frac{k\chi''_\ell I_S}{I_e}\ell_a}

  qui varie lui aussi linéairement avec \ell_a.

20-a) Expression de \mathcal{E}'_e et identification des blocs de retour

L'onde d'amplitude complexe \mathcal{E}_s à la sortie de l'amplificateur (z = \ell_a) effectue un tour complet dans la cavité avant de revenir en z = 0 avec l'amplitude \mathcal{E}'_e. Durant ce trajet :

• Elle se propage dans l'air (n_{\text{air}} = 1) sur une longueur géométrique L - \ell_a, accumulant un déphasage de propagation \mathrm{e}^{+\mathrm{i}k(L - \ell_a)} ;
• Elle subit une réflexion partielle sur le miroir de couplage \mathrm{M_c}, de coefficient de réflexion en amplitude r = -\sqrt{R} \simeq -\sqrt{1-T} ;
• Elle subit trois réflexions sur les miroirs \mathrm{M'}, chacune apportant un coefficient de réflexion r' = -\sqrt{R'} \simeq -1 (car A' \simeq 2\times 10^{-4} \ll 1, soit R' \simeq 1).

Le coefficient de réflexion global pour l'ensemble des quatre miroirs vaut donc :

L'amplitude complexe réinjectée en z = 0 s'écrit par conséquent :

Dans la modélisation en boucle de réaction de la question 1, la boucle de retour reliant la sortie de l'amplificateur (\mathcal{E}_s) à son entrée (\mathcal{E}'_e) est constituée de trois blocs élémentaires en cascade :

1. Le bloc de propagation dans l'air : \underline{H}_{\text{prop}} = \mathrm{e}^{+\mathrm{i}k(L - \ell_a)} ;
2. Le bloc de réflexion sur le miroir de couplage \mathrm{M_c} : \underline{H}_{\mathrm{M_c}} = -\sqrt{1-T} ;
3. Le bloc de réflexion sur les trois miroirs \mathrm{M'} : \underline{H}_{\mathrm{M'}} = (r')^3 \simeq -1.

La fonction de transfert globale de la boucle de retour est le produit :

20-b) Fonction de transfert en boucle ouverte sur un tour de cavité

D'après la relation (18) de l'énoncé, la traversée de l'amplificateur fournit :

En combinant cette relation avec l'expression de \mathcal{E}'_e, le gain de boucle sur un tour s'exprime par :

On met ce rapport sous la forme \underline{H}(\omega) = A\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\varphi}, avec :

A et \varphi sont bien réels, et A > 0.

20-c) Équations régissant le point de fonctionnement stationnaire

En régime stationnaire entretenu, le champ doit se reproduire de manière identique après un tour de cavité : \mathcal{E}'_e = \mathcal{E}_e, soit \underline{H}(\omega) = 1 = 1\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi N} (N \in \mathbb{Z}). On obtient les deux conditions de Barkhausen :

1. Condition de phase :

   \varphi = 2\pi N \iff \boxed{\frac{\omega}{c}\left(L + \frac{\chi'_S}{2}\ell_a\right) = 2\pi N} \quad (N \in \mathbb{N}^*)

   Cette équation fixe la pulsation d'oscillation \omega du laser.

2. Condition de module (A = 1) :

   \sqrt{1-T}\,\mathrm{e}^{-k\frac{\chi''_S}{2}\ell_a} = 1 \iff \mathrm{e}^{-k\chi''_S \ell_a} = \frac{1}{1-T} \simeq 1 + T

   Comme (-k\chi''_S)\ell_a \ll 1, le développement au premier ordre donne :

   \boxed{-k\chi''_S \ell_a = -\ln(1-T) \simeq T}

   Puisque \chi''_S = \frac{\chi''_\ell}{1 + \frac{I(0)}{I_S}}, cette égalité détermine l'intensité lumineuse intracavité I(0) :

   I(0) = I_S \left(\frac{-k\chi''_\ell \ell_a}{T} - 1\right)

   et fixe ainsi le niveau de saturation du milieu amplificateur.

20-d) Analyse physique

(i) Pulsation du laser et tiraillement de fréquence

Pour la cavité vide en anneau (\chi'_S = 0), la pulsation propre du mode N est :

En présence du milieu amplificateur, la condition de phase donne :

Comme |\chi'_S| \ll 1 (milieu dilué) et \ell_a \le L, le terme correctif \frac{|\chi'_S|\ell_a}{2L} \ll 1, d'où :

Interprétation physique : Le milieu actif possède un indice réel n' = 1 + \frac{\chi'_S}{2} \neq 1, ce qui modifie le chemin optique par tour de \Delta L_{\text{opt}} = (n'-1)\ell_a = \frac{1}{2}\chi'_S\ell_a. Pour conserver l'accord de phase sur un tour (L_{\text{opt}} = N\lambda), la longueur d'onde et donc la pulsation \omega sont légèrement décalées par rapport à \omega_N. Cet effet est appelé tiraillement de fréquence (frequency pulling), la fréquence laser étant tirée vers le centre de la raie atomique \omega_0.

(ii) Compensation des pertes et bilan énergétique

La condition de gain A = 1 s'écrit \mathrm{e}^{-k\chi''_S \ell_a} = \frac{1}{1-T}. Or, le gain en intensité sur la traversée de l'amplificateur est I(\ell_a) = I(0)\,\mathrm{e}^{-k\chi''_S \ell_a}. On en déduit :

Interprétation en termes de bilan d'énergie :

• I(\ell_a) - I(0) représente le flux d'énergie surfacique net apporté au champ intracavité par l'émission stimulée lors de la traversée de l'amplificateur.
• T\,I(\ell_a) = I_{\text{out}} est exactement l'intensité transmise hors de la cavité par le miroir de couplage \mathrm{M_c}, constituant le faisceau utile de sortie.

En régime permanent continu, l'énergie injectée dans le mode optique par émission stimulée compense rigoureusement l'énergie qui s'échappe de la cavité sous forme de faisceau laser (les pertes par absorption étant négligeables).

1. Schéma-bloc du système asservi

La structure canonique de l'asservissement comprend une chaîne directe formée du comparateur, du correcteur C(p) et du système physique H(p), ainsi qu'une chaîne de retour munie du capteur K(p) mesurant le signal de sortie S(p) :

2. Formation du signal d'erreur

Le comparateur soustrait à la consigne Co(p) le signal de mesure M(p) = K(p) S(p) délivré par le capteur. Le signal d'erreur (ou écart) \varepsilon(p) est donc formé selon :

3. Rôle du capteur et du correcteur

• Capteur K(p) : Il prélève l'information sur la grandeur de sortie S(p) et la convertit en un signal de mesure M(p) (souvent électrique) compatible et homogène à la consigne Co(p), avec un temps de réponse idéalement négligeable.
• Correcteur C(p) : Il traite le signal d'erreur \varepsilon(p) pour délivrer au système le signal de commande approprié, afin d'assurer la stabilité en boucle fermée et d'optimiser les performances (précision statique, rapidité, amortissement).

4. Fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée

Par définition, la fonction de transfert en boucle ouverte F_O(p) est le rapport entre le signal réinjecté au comparateur M(p) et le signal d'erreur \varepsilon(p) lorsque la boucle est rompue :

En boucle fermée, la relation dans la chaîne directe s'écrit :

En regroupant les termes en S(p) :

On en déduit la fonction de transfert en boucle fermée F(p) = \frac{S(p)}{Co(p)} :

Dressons le bilan des temps caractéristiques mentionnés :

• Période d'oscillation optique : T_0 \simeq 2\text{ fs} (f_0 \simeq 5\times 10^{14}\text{ Hz}) ;
• Temps d'aller-retour dans la cavité : \tau \simeq 5\text{ ns} (\nu_{\text{ISL}} = 200\text{ MHz}) ;
• Temps de relaxation atomique de la cohérence : \tau_2 < \tau_1 \simeq 10\text{ ns} ;
• Temps de relaxation des populations atomiques : \tau_1 \simeq 10\text{ ns} ;
• Temps d'amortissement de l'énergie dans la cavité : \tau_W \simeq 100\text{ ns}.

Le temps caractéristique le plus long est celui associé au confinement de l'énergie dans la cavité optique :

D'après le principe du pôle dominant, la dynamique temporelle la plus lente impose la fréquence caractéristique la plus basse, qui fixe la bande passante du système. La pulsation de coupure à -3\text{ dB} du laser est donc :

ce qui correspond à une fréquence de coupure :

D'après les résultats des questions Q9 et Q10, on remarque que cette fréquence de coupure coïncide précisément avec la demi-largeur de résonance de la cavité :

La fonction de transfert d'un système passe-bas du premier ordre s'écrit alors en variable de Laplace p sous la forme :

où H_0 représente le gain statique du laser.

D'après la condition de phase établie à la question Q20-c (ou le résultat de la question Q3 pour une cavité vide), la fréquence de fonctionnement \nu du laser monomode oscillant sur le mode d'ordre N est très proche de la fréquence propre du mode :

où L est la longueur développée de la cavité et c la célérité de la lumière dans le vide.

Une variation relative \mathrm{d}L de cette longueur entraîne une variation relative de fréquence opposée :

Le paramètre physique sur lequel il faut agir en temps réel pour corriger l'écart \nu - \nu_0 est donc la longueur développée L de la cavité laser (ou, de façon équivalente, la position de l'un des miroirs de la cavité le long de l'axe optique, généralement contrôlée par une cale piézoélectrique).

24-a) Amplitude de déplacement du miroir mobile

La fréquence de résonance du mode N de la cavité laser s'écrit :

où L est la longueur développée de la cavité. Par différentiation, la variation de fréquence induite par une variation \Delta L de la longueur développée vaut :

Pour balayer un intervalle spectral libre complet \nu_{\text{ISL}} = \frac{c}{L} (cf. question Q7-b), la variation requise de longueur développée vérifie :

Le faisceau intra-cavité étant en incidence normale sur le miroir \mathrm{M}', un déplacement mécanique de ce miroir d'une amplitude \Delta z modifie la distance aller-retour de 2\Delta z, si bien que :

On en déduit l'amplitude de déplacement nécessaire :

Application numérique : avec \lambda_\ell \simeq 600\text{ nm} :

24-b) Signe de la constante K et expression de la correction \delta U_\epsilon

1. Signe du signal d'erreur : Le signal transmis \theta(\nu - \nu_0) par la cavité de référence est maximal en \nu = \nu_0. Sa dérivée \epsilon(\nu - \nu_0) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\nu} (représentée en sortie du bloc DS sur la figure 4) présente les propriétés suivantes :

   • si \nu < \nu_0 (flanc montant du pic) : \epsilon(\nu - \nu_0) > 0 ;
   • si \nu = \nu_0 (sommet du pic) : \epsilon(0) = 0 ;
   • si \nu > \nu_0 (flanc descendant du pic) : \epsilon(\nu - \nu_0) < 0.

2. Action de la tension U sur la fréquence \nu :

   • D'après l'énoncé, l'épaisseur e de la cale piézoélectrique décroît lorsque la tension U augmente (\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}U} < 0).
   • La figure 5 montre que le support fixe se situe à gauche (z=0) et le miroir mobile à droite (z=e), le faisceau incident arrivant de la droite. Une diminution de l'épaisseur e déplace donc le miroir vers la gauche, ce qui agrandit la cavité intra-laser : \delta L = -2\,\delta e. Par suite, \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}U} > 0.
   • Comme \nu = N\frac{c}{L}, la fréquence décroît lorsque L augmente : \frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}L} < 0.

   • Par composition :

     U \nearrow \;\implies\; e \searrow \;\implies\; L \nearrow \;\implies\; \nu \searrow

     Une augmentation de tension \delta U > 0 entraîne une baisse de fréquence \delta \nu < 0.

3. Condition de stabilité de l'asservissement : Supposons que la fréquence du laser dérive vers le haut (\nu > \nu_0). L'asservissement doit ramener la fréquence vers \nu_0, donc provoquer une diminution de fréquence (\delta \nu < 0), ce qui exige une augmentation de tension :

   \delta U_\epsilon > 0

   Or pour \nu > \nu_0, le signal d'erreur est négatif : \epsilon(\nu - \nu_0) < 0. Pour que \delta U_\epsilon = K \epsilon(\nu - \nu_0) > 0, il faut impérativement que :

   \boxed{K < 0}

   Vérification réciproque : si \nu < \nu_0, \epsilon > 0 ; avec K < 0, \delta U_\epsilon < 0, ce qui augmente e, réduit L et fait croître \nu vers \nu_0. Le système réalise bien une rétroaction stabilisatrice (boucle fermée négative).

En posant K = -|K|, l'expression de la correction s'écrit :

1. Fonction de transfert en boucle ouverte

La transmittance en boucle ouverte F_O(\mathrm{j}\Omega) associée à la boucle d'asservissement correspond au produit des fonctions de transfert rencontrées le long de la boucle :

Remarque : si l'on s'intéresse à la réponse à la perturbation Q(\mathrm{j}\Omega) en l'absence de réaction (boucle coupée, soit K=0), la relation entrée-sortie directe est simplement S(\mathrm{j}\Omega) = H(\mathrm{j}\Omega)\,Q(\mathrm{j}\Omega).

2. Fonction de transfert en boucle fermée vis-à-vis de la perturbation

La consigne Co est purement statique, donc sa fluctuation à la pulsation \Omega > 0 est nulle :

Le comparateur fournit alors le signal d'erreur :

Le sommateur situé en amont du système H(\mathrm{j}\Omega) reçoit la commande corrigée et la perturbation Q(\mathrm{j}\Omega) :

En regroupant les termes en S(\mathrm{j}\Omega) :

On en déduit la fonction de transfert en boucle fermée F(\mathrm{j}\Omega) = \frac{S(\mathrm{j}\Omega)}{Q(\mathrm{j}\Omega)} :

3. Choix du gain pour amortir la perturbation

L'amplitude de l'effet de la perturbation sur la sortie est donnée par :

Pour amortir efficacement la perturbation par rapport au régime libre non asservi (où |S| = |H|\,|Q|), il faut rendre |1 + F_O(\mathrm{j}\Omega)| \gg 1. On doit donc choisir un gain de boucle très grand devant 1 à la pulsation \Omega considérée :

Pour la boucle de retour (capteur de transmittance K(\mathrm{j}\Omega)), cela impose de choisir un gain |K(\mathrm{j}\Omega)| suffisamment grand, tel que :

Sous cette condition, la fonction de transfert en boucle fermée se simplifie en :

ce qui assure une forte atténuation de la perturbation Q(\mathrm{j}\Omega) sur la fréquence du laser.

1. Correcteur Proportionnel (\mathrm{P}) : C(p) = K_p

• Mérites : Très simple à mettre en œuvre ; augmenter K_p augmente le gain de boucle, ce qui réduit l'erreur de fréquence et atténue les perturbations.
• Limites : L'erreur statique reste non nulle (\varepsilon_{\infty} \propto \frac{1}{1 + K_{\mathrm{BO}}}). De plus, une augmentation excessive de K_p réduit les marges de stabilité (marge de phase et marge de gain) en augmentant la pulsation de coupure au voisinage des pôles secondaires du système, risquant d'induire des oscillations.

2. Correcteur Proportionnel-Intégral (\mathrm{PI}) : C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)

• Mérites : Grâce à l'intégration pure (pôle en p=0), le gain en boucle ouverte devient infini en régime statique (\Omega = 0). Cela garantit :

  • une erreur statique rigoureusement nulle (\nu = \nu_0) ;
  • un rejet total des dérives lentes (bruits thermiques à très basse fréquence).
• Limites et stabilité : L'intégrateur introduit un retard de phase de 90^\circ en basse fréquence. Néanmoins, en réglant la constante de temps d'intégration T_i de façon à compenser le pôle dominant du laser (T_i \simeq \tau_W \simeq 100\text{ ns}), on évite l'accumulation excessive de déphasage et on garantit une excellente stabilité (marge de phase typique de 45^\circ à 60^\circ).

3. Correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé (\mathrm{PID}) ou \mathrm{PI} + avance de phase

• Mérites : L'action dérivée apporte une avance de phase dans la zone de coupure, ce qui augmente la marge de phase, stabilise le système et permet d'élargir la bande passante de la boucle fermée. Le laser peut ainsi compenser des perturbations acoustiques et mécaniques plus rapides (jusqu'à plusieurs dizaines ou centaines de kilohertz).
• Limites : L'action dérivée amplifie le bruit de mesure haute fréquence (bruit de grenaille de la photodiode) ; elle doit donc impérativement être filtrée par un pôle haute fréquence (p / (1 + \tau_d p)).

Conclusion et préconisation : Le correcteur le plus indiqué pour cet asservissement est le correcteur Proportionnel-Intégral (\mathrm{PI}) (ou un \mathrm{PID} avec filtre passe-bas sur la dérivée). Il concourt parfaitement au cahier des charges : annulation rigoureuse de l'erreur statique sans compromettre la stabilité.