Feuille d'entraînement : Diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q1

   La première loi de Fick exprime que le flux de particules s'effectue dans le sens opposé au gradient de concentration :

   \vec{\jmath}(x, t) = - D \, \vec{\nabla} C(x, t) = - D \, \frac{\partial C}{\partial x}(x, t) \, \vec{e}_x

   soit, en projection sur l'axe (Ox) :

   \boxed{j(x, t) = - D \, \frac{\partial C}{\partial x}(x, t)}

   Les unités du Système International (S.I.) pour chaque grandeur sont :

   • C(x, t) : concentration atomique (ou volumique) en \mathrm{m^{-3}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-3}}) ;
   • \vec{\jmath}(x, t) et j(x, t) : vecteur densité de courant de particules (flux surfacique de matière) en \mathrm{m^{-2} \cdot s^{-1}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}}) ;
   • D : coefficient de diffusion (diffusivité) en \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}} ;
   • x : abscisse spatiale en \mathrm{m}.

   Résultat

   $$j(x,t)=-D\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q2

   On choisit comme système le volume de contrôle mésoscopique (système ouvert) constitué par la tranche fixe de substrat comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite S orthogonale à l'axe (Ox), et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

   Le nombre d'atomes de phosphore présents dans ce volume à l'instant t vaut :

   \mathrm{d}N(t) = C(x,t)\,S\,\mathrm{d}x

   Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation de cette population s'écrit :

   \mathrm{d}(\mathrm{d}N) = \mathrm{d}N(t + \mathrm{d}t) - \mathrm{d}N(t) = \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

   Comme il n'y a ni création ni disparition d'atomes au sein du substrat (absence de source ou de réaction chimique), cette variation est uniquement due aux échanges de matière à travers les frontières :

   • en x, le nombre d'atomes entrant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{ent}} = j(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
   • en x + \mathrm{d}x, le nombre d'atomes sortant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{sort}} = j(x + \mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

   Le bilan de conservation de la matière s'écrit alors :

   \begin{aligned} \mathrm{d}(\mathrm{d}N) &= \delta N_{\text{ent}} - \delta N_{\text{sort}} \\ \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= \left[j(x,t) - j(x + \mathrm{d}x,t)\right] S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= - \frac{\partial j}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En simplifiant par le facteur non nul S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière à une dimension :

   \boxed{\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2025, Q11

   Le transport d'ions \text{Na}^+ par diffusion moléculaire est régi par la première loi de Fick. Le flux molaire s'effectue dans le sens des concentrations décroissantes :

   \boxed{\vec{j}_+^{(D)} = - D_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}} c_+}

   Résultat

   $${\vec{j}}_{+}^{(D)}=-D_{+}\overrightarrow{\mathrm{grad}}{c}_{+}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2025, Q13

   À l'équilibre thermodynamique, en l'absence de réaction chimique et de mouvement macroscopique, le flux de particules de chaque espèce s'annule localement :

   \vec{j}_+ = \vec{j}_+^{(D)} + \vec{j}_+^{(E)} = \vec{0}

   D'après les questions Q11 et Q12, la densité de flux total s'écrit :

   \begin{aligned} \vec{j}_+ &= - D_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}} c_+ - e \mu_+ c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi \\ &= - D_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}} c_+ - \mu_+ k_B T c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi \end{aligned}

   où l'on a utilisé la relation (2) : e\overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi = k_B T \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi.

   D'après la loi de Boltzmann, la concentration à l'équilibre vaut c_+ = c_\infty \exp(-\psi). Son gradient s'exprime donc par :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}} c_+ = c_\infty \overrightarrow{\operatorname{grad}}\!\left(e^{-\psi}\right) = - c_\infty e^{-\psi} \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi = - c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi

   En reportant cette relation dans l'expression du flux total, on obtient :

   \vec{j}_+ = D_+ c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi - \mu_+ k_B T c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi = (D_+ - \mu_+ k_B T) c_+ \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi = \vec{0}

   Cette égalité devant être vérifiée en tout point, y compris là où \overrightarrow{\operatorname{grad}}\psi \neq \vec{0}, on en déduit :

   \boxed{D_+ = \mu_+ k_B T} \quad \text{soit} \quad \boxed{\mu_+ = \frac{D_+}{k_B T}}

   Résultat

   $$D_{+}={\mu }_{+}{k}_{B}T$$

   $${\mu }_{+}=\frac{D_{+}}{k_{B}T}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q27

   Considérons un volume de contrôle fixe délimité par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S_{\perp} perpendiculaire à l'axe (\mathrm{O}x), soit un volume élémentaire \mathrm{d}\tau = S_{\perp}\,\mathrm{d}x.

   Le nombre de molécules de fluorescéine contenues dans ce volume à l'instant t vaut :

   \mathrm{d}N(t) = C(x,t)\,S_{\perp}\,\mathrm{d}x

   Pendant la durée \mathrm{d}t, en l'absence de création ou de destruction de fluorescéine, la variation du nombre de molécules résulte exclusivement du flux de particules à travers les parois en x et x+\mathrm{d}x orienté selon \vec{u}_x :

   \mathrm{d}N(t+\mathrm{d}t) - \mathrm{d}N(t) = \left[ j_x(x,t) - j_x(x+\mathrm{d}x,t) \right] S_{\perp}\,\mathrm{d}t

   où j_x(x,t) = \vec{j}(x,t)\cdot\vec{u}_x désigne la composante selon (\mathrm{O}x) du vecteur densité de courant.

   En divisant par S_{\perp}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t et en faisant tendre \mathrm{d}x et \mathrm{d}t vers zéro, on obtient l'équation locale de conservation de la matière :

   \frac{\partial C}{\partial t}(x,t) + \frac{\partial j_x}{\partial x}(x,t) = 0

   D'après la première loi de Fick (équation 6), le transfert étant unidimensionnel suivant l'axe (\mathrm{O}x) :

   \vec{j} = -D\,\frac{\partial C}{\partial x}\,\vec{u}_x \implies j_x(x,t) = -D\,\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)

   En supposant le coefficient de diffusion D uniforme et constant dans le milieu, on reporte cette expression dans l'équation de conservation :

   \frac{\partial C}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial x}\left(-D\,\frac{\partial C}{\partial x}\right) = 0

   On en déduit l'équation de diffusion unidimensionnelle :

   \boxed{\frac{\partial C}{\partial t}(x,t) = D\,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(x,t)}

   Résultat

   $$\frac{\partial C}{\partial t}(x,t)=D\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q23

   La première loi de Fick exprime la densité volumique de courant de diffusion de particules \vec{j}_d en fonction du gradient de la densité particulaire n^* :

   \boxed{\vec{j}_d = -D\,\vec{\mathrm{grad}}\,n^*}

   Dans le cadre unidimensionnel le long de l'axe vertical (Oz), cette loi se réduit à :

   \vec{j}_d = -D\,\frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_z

   Les grandeurs intervenant dans cette expression ont pour dimensions fondamentales :

   • la densité particulaire n^*, représentant un nombre de molécules (adimensionné) par unité de volume :

     \boxed{[n^*] = \mathrm{L}^{-3}}

   • le gradient spatial \vec{\mathrm{grad}}, opérateur homogène à l'inverse d'une longueur :

     \boxed{[\vec{\mathrm{grad}}] = \mathrm{L}^{-1}}

   • le vecteur densité de courant de particules \vec{j}_d, comptant un nombre de molécules traversant une surface unitaire par unité de temps :

     \boxed{[\vec{j}_d] = \mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1}}

   • le coefficient de diffusion D, déduit par analyse dimensionnelle de la loi de Fick [\vec{j}_d] = [D]\cdot[n^*]\cdot\mathrm{L}^{-1} :

     \boxed{[D] = \frac{[\vec{j}_d]}{[n^*]\,\mathrm{L}^{-1}} = \frac{\mathrm{L}^{-2}\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{L}^{-3}\cdot\mathrm{L}^{-1}} = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}}

   Résultat

   $${\vec{j}}_d=-D\overrightarrow{\mathrm{grad}}{n}^{\ast }$$

   $$[n^{\ast }]={\mathrm{L}}^{-3}$$

   $$[\overrightarrow{\mathrm{grad}}]={\mathrm{L}}^{-1}$$

   $$[{\vec{j}}_d]={\mathrm{L}}^{-2}\cdot {\mathrm{T}}^{-1}$$

   $$[D]=\frac{[{\vec{j}}_d]}{[n^{\ast }]{\mathrm{L}}^{-1}}=\frac{{\mathrm{L}}^{-2}\cdot {\mathrm{T}}^{-1}}{{\mathrm{L}}^{-3}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}}={\mathrm{L}}^2\cdot {\mathrm{T}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q25

   À l'équilibre, le courant total de particules s'annule en tout point :

   \vec{j}_\text{tot} = \vec{j}_g + \vec{j}_d = \vec{0}

   En utilisant les expressions établies aux questions Q22 et Q23 :

   \vec{j}_g = -n^*(z) g_0 \tau\,\vec{e}_z \quad \text{et} \quad \vec{j}_d = -D \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_z

   la projection selon l'axe vertical ascendant \vec{e}_z donne :

   -n^*(z) g_0 \tau - D \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} = 0

   D'après la relation D = u^2 \tau introduite à la question Q24, le paramètre \tau se simplifie :

   -n^*(z) g_0 \tau - u^2 \tau \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} = 0 \iff \frac{\mathrm{d}n^*}{\mathrm{d}z} + \frac{g_0}{u^2} n^*(z) = 0

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est :

   n^*(z) = C \exp\left(-\frac{g_0}{u^2} z\right)

   En imposant la condition à la limite au niveau du sol (z = 0), n^*(0) = n_0^*, il vient C = n_0^*. On retrouve bien la loi exponentielle sous la forme :

   \boxed{n^*(z) = n_0^* \exp\left(-\frac{z}{H}\right)}

   avec une hauteur caractéristique (ou hauteur d'échelle) :

   \boxed{H = \frac{u^2}{g_0}}

   Résultat

   $$n^{\ast }(z)=n_0^{\ast }\exp \left(-\frac{z}{H}\right)$$

   $$H=\frac{u^2}{g_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie PSI 2022, Q17

   En régime permanent et en l'absence de circulation horizontale (\vec{u} = \vec{0}), la compensation des courants convectif et diffusif impose que la densité de flux totale de particules soit nulle à chaque profondeur z :

   \vec{j}_{\text{tot}}(z) = \vec{j}(z) + \vec{j}_D(z) = \vec{0}

   En utilisant les expressions établies aux questions Q15 et Q16 :

   \begin{aligned} n(z)\,v_l\,\vec{e}_z - D\,\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z}\,\vec{e}_z &= \vec{0} \\ \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}z} - \frac{v_l}{D}\,n(z) &= 0 \end{aligned}

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution générale s'écrit :

   n(z) = C \exp\left(\frac{v_l}{D}\,z\right)

   où C est une constante d'intégration. En appliquant la condition à la cote d'entrée z = 0, n(0) = n_0, on obtient C = n_0. D'où l'expression de la densité de particules :

   \boxed{n(z) = n_0 \exp\left(\frac{v_l}{D}\,z\right)}

   Comme v_l > 0 et D > 0, la fonction n(z) est une exponentielle strictement croissante de la profondeur z. Les particules s'accumulent au fond du bassin (z = d_b).

   Résultat

   $$n(z)=n_0\exp \left(\frac{v_l}{D}z\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie PSI 2021, Q33

   La première loi de Fick modélise le phénomène de diffusion de matière d'origine thermique. Elle relie le vecteur densité de courant de particules \vec{j} au gradient de la densité volumique de particules n :

   \boxed{\vec{j} = -D \, \vec{\mathrm{grad}}(n)}

   Pour un problème unidimensionnel selon l'axe vertical (Oz), cette relation se projette sous la forme :

   \vec{j} = -D \, \frac{\partial n}{\partial z} \, \vec{e}_z

   Les grandeurs intervenant dans cette loi et leurs unités dans le Système International (\mathrm{SI}) sont :

   • \vec{j} : vecteur densité volumique de flux (ou de courant) de particules, en \mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}} (ou \mathrm{mol\acute{e}cules\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}) ;
   • D : coefficient de diffusion de l'espèce considérée dans le milieu, en \mathrm{m^2\cdot s^{-1}} ;
   • n : concentration volumique de particules (nombre de molécules par unité de volume), en \mathrm{m^{-3}} ;
   • \vec{\mathrm{grad}}(n) : gradient de la concentration volumique, en \mathrm{m^{-4}}.

   Résultat

   $$\vec{j}=-D\overrightarrow{\mathrm{grad}}(n)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie PSI 2020, Q5

    L'équation admise :

    D \frac{\partial^2 \vec{j}(x, t)}{\partial x^2} = \frac{\partial \vec{j}(x, t)}{\partial t}

    est une équation de diffusion (également appelée équation de la chaleur ou équation de Fick unidimensionnelle).

    Pour déterminer l'unité de D, réalisons une analyse dimensionnelle :

    [D]\,\frac{[j]}{L^2} = \frac{[j]}{T} \iff [D] = L^2\cdot T^{-1}

    Dans le Système International d'unités (SI), l'unité de D est donc le :

    \boxed{\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}}

    Résultat

    $${\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question