Feuille d'entraînement : Diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q45

   Rappelons la relation discrète établie à la question Q44 pour k \geqslant 2 :

   u_{k,m+1} - u_{k,m} = p \left( u_{k+1,m} + u_{k-1,m} - 2u_{k,m} \right)

   Par définition, u_{k,m} = u(x, t) avec x = ka et t = m\tau. Effectuons un développement de Taylor de la fonction continue u au voisinage de (x,t) :

   • Pour la variable temporelle, au pas \tau :

     u_{k,m+1} = u(x, t+\tau) = u(x,t) + \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2)

     ce qui donne pour le membre de gauche :

     u_{k,m+1} - u_{k,m} = \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2)

   • Pour la variable spatiale, au pas a :

     \begin{aligned} u_{k+1,m} = u(x+a, t) &= u(x,t) + a \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^3) \\ u_{k-1,m} = u(x-a, t) &= u(x,t) - a \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^3) \end{aligned}

     En sommant ces deux expressions :

     u_{k+1,m} + u_{k-1,m} - 2u_{k,m} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^4)

     les termes d'ordre impair s'annulant par symétrie.

   En réinjectant ces développements dans la relation discrète :

   \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2) = p a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^4)

   En divisant par \tau, on obtient :

   \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{p a^2}{\tau} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(\tau) + \mathcal{O}\left(\frac{a^4}{\tau}\right)

   À la limite continue \tau \to 0 et a \to 0, à condition de poser :

   \boxed{D = \frac{p a^2}{\tau}}

   on obtient l'équation aux dérivées partielles :

   \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

   Puisque par définition u(x,t) = \frac{M(x,t)}{n_0 a} = \frac{n(x,t)}{n_0}, la densité volumique n(x,t) = n_0 u(x,t) est directement proportionnelle à u(x,t). On retrouve ainsi exactement l'équation de diffusion (VI.1) :

   \boxed{\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial^2 n}{\partial x^2}}

   Résultat

   $$D=\frac{p{a}^2}{\tau }$$

   $$\frac{\partial n}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique-SI MP 2022, Q19

   Par définition, le flux particulaire surfacique \varphi(x, t) correspond au nombre algébrique de particules traversant l'unité de surface par unité de temps, selon l'axe des x croissants. La surface élémentaire transverse traversée entre deux cellules cubiques consécutives vaut S = a \times a = a^2, d'où :

   \varphi(x, t) = \frac{f(x, t)}{a^2}

   D'après le résultat de la question 18, f(x, t) = -\dfrac{p a}{\tau} \dfrac{\partial F}{\partial x}. La concentration volumique étant définie par C(x, t) = \dfrac{F(x, t)}{a^3}, soit F(x, t) = a^3 C(x, t), il vient :

   \begin{aligned} \varphi(x, t) &= -\frac{1}{a^2} \frac{p a}{\tau} \frac{\partial}{\partial x}\left(a^3 C(x, t)\right) \\ &= -\frac{p a^2}{\tau} \frac{\partial C}{\partial x}(x, t) \end{aligned}

   Par identification avec la relation constitutive de la diffusion (première loi de Fick) :

   \varphi(x, t) = -D \frac{\partial C}{\partial x}(x, t)

   on obtient l'expression du coefficient de diffusion D :

   \boxed{D = \frac{p a^2}{\tau}}

   La probabilité p étant sans dimension, la dimension du coefficient de diffusion D est :

   \boxed{[D] = \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-1}}

   Dans le Système international, D s'exprime en \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}.

   Résultat

   $$D=\frac{p{a}^2}{\tau }$$

   $$[D]={\mathrm{L}}^2\cdot {\mathrm{T}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique-SI MP 2022, Q20

   Considérons une population de porteurs libres de charge q, de concentration C(X), de mobilité \mu_q et de coefficient de diffusion D_q le long de l'axe unidimensionnel (OX) :

   • La densité de courant de conduction s'exprime, d'après la relation de Drude v = \mu_q E, par :

     j_{\text{cond}} = q\, C(X)\, v(X) = q\, \mu_q\, C(X)\, E(X)

   • Le flux particulaire surfacique de diffusion étant donné par la première loi de Fick \varphi(X) = -D_q \dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X} (équation (8)), la densité de courant de diffusion associée s'écrit :

     j_{\text{diff}} = q\, \varphi(X) = -q\, D_q \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X}

   À l'équilibre thermodynamique, en l'absence de tout apport extérieur d'énergie et de tout courant global, le courant associé à chaque type de porteur s'annule en tout point :

   j = j_{\text{cond}} + j_{\text{diff}} = 0 \iff q\, \mu_q\, C(X)\, E(X) - q\, D_q \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X} = 0

   Comme q \neq 0 et E(X) = -\dfrac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}X}, cette condition devient :

   \begin{aligned} -q\, \mu_q\, C(X) \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}X} &= q\, D_q \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X} \\ \frac{1}{C(X)} \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}X} &= -\frac{\mu_q}{D_q} \frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}X} \end{aligned}

   Intégrons cette relation différentielle entre X = X_{\mathrm{A}} et X = X_{\mathrm{D}} :

   \int_{C_{\mathrm{A}}}^{C_{\mathrm{D}}} \frac{\mathrm{d}C}{C} = -\frac{\mu_q}{D_q} \int_{\psi(X_{\mathrm{A}})}^{\psi(X_{\mathrm{D}})} \mathrm{d}\psi

   soit, en notant \psi_{\mathrm{D}} = \psi(X_{\mathrm{D}}), \psi_{\mathrm{A}} = \psi(X_{\mathrm{A}}) et V_{\mathrm{d}} = \psi_{\mathrm{D}} - \psi_{\mathrm{A}} :

   \ln\left(\frac{C_{\mathrm{D}}}{C_{\mathrm{A}}}\right) = -\frac{\mu_q}{D_q} (\psi_{\mathrm{D}} - \psi_{\mathrm{A}}) = -\frac{\mu_q}{D_q} V_{\mathrm{d}}

   En prenant l'exponentielle, on obtient le résultat attendu :

   \boxed{\frac{C_{\mathrm{D}}}{C_{\mathrm{A}}} = \exp\left( -\frac{\mu_q}{D_q} V_{\mathrm{d}} \right)}

   Résultat

   $$\frac{C_{\mathrm{D}}}{C_{\mathrm{A}}}=\exp \left(-\frac{{\mu }_q}{D_q}{V}_{\mathrm{d}}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique-SI MP 2022, Q27

   Considérons une tranche élémentaire de semi-conducteur située entre x et x + \mathrm{d}x, de section droite \mathcal{S} et de volume \mathrm{d}\mathcal{V} = \mathcal{S}\,\mathrm{d}x. Le nombre de trous libres présents dans ce volume à l'instant t vaut :

   N_{\mathrm{trous}}(t) = p_{\mathrm{N}}(x, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}x

   D'après l'hypothèse (H3), le domaine (4) est électriquement neutre et exempt de chute ohmique de potentiel, si bien que le champ électrique y est nul (E = 0). Le transport des trous minoritaires s'effectue donc uniquement par diffusion particulaire.

   Pendant l'intervalle de temps [t, t + \mathrm{d}t], la variation élémentaire \mathrm{d}N_{\mathrm{trous}} = N_{\mathrm{trous}}(t + \mathrm{d}t) - N_{\mathrm{trous}}(t) résulte :

   • du nombre de trous entrant en x : \delta N_{\mathrm{ent}} = \varphi(x, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;
   • du nombre de trous sortant en x + \mathrm{d}x : \delta N_{\mathrm{sort}} = \varphi(x + \mathrm{d}x, t)\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}t ;

   • du nombre de trous disparaissant par recombinaison volumique au taux S(x, t) :

     \delta N_{\mathrm{disp}} = S(x, t)\,\mathrm{d}\mathcal{V}\,\mathrm{d}t = \frac{\delta p_{\mathrm{N}}(x, t)}{\tau_{\mathrm{P}}}\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

   Le bilan de matière s'écrit ainsi :

   \mathrm{d}N_{\mathrm{trous}} = \delta N_{\mathrm{ent}} - \delta N_{\mathrm{sort}} - \delta N_{\mathrm{disp}}

   soit, en divisant par \mathcal{S}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t :

   \begin{aligned} \frac{\partial p_{\mathrm{N}}}{\partial t} &= - \frac{\varphi(x + \mathrm{d}x, t) - \varphi(x, t)}{\mathrm{d}x} - S(x, t) \\ &= - \frac{\partial \varphi}{\partial x} - \frac{\delta p_{\mathrm{N}}}{\tau_{\mathrm{P}}} \end{aligned}

   D'après l'équation (8), le flux particulaire surfacique de trous s'écrit :

   \varphi(x, t) = - D_{\mathrm{P}} \frac{\partial p_{\mathrm{N}}}{\partial x} = - D_{\mathrm{P}} \frac{\partial (\delta p_{\mathrm{N}})}{\partial x}

   puisque la concentration d'équilibre n_{\mathrm{i}}^2 / N_{\mathrm{D}} est uniforme. Il vient alors :

   \frac{\partial \delta p_{\mathrm{N}}}{\partial t} = D_{\mathrm{P}} \frac{\partial^2 \delta p_{\mathrm{N}}}{\partial x^2} - \frac{\delta p_{\mathrm{N}}}{\tau_{\mathrm{P}}}

   En régime stationnaire, \dfrac{\partial \delta p_{\mathrm{N}}}{\partial t} = 0, la fonction \delta p_{\mathrm{N}} ne dépend plus que de la variable d'espace x. L'équation devient :

   D_{\mathrm{P}} \frac{\mathrm{d}^2 \delta p_{\mathrm{N}}}{\mathrm{d}x^2} - \frac{\delta p_{\mathrm{N}}}{\tau_{\mathrm{P}}} = 0

   En introduisant la longueur caractéristique de diffusion-recombinaison L_{\mathrm{P}} = \sqrt{D_{\mathrm{P}} \tau_{\mathrm{P}}}, on obtient finalement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 \delta p_{\mathrm{N}}}{\mathrm{d}x^2} - \frac{\delta p_{\mathrm{N}}}{L_{\mathrm{P}}^2} = 0}

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^2\delta p_{\mathrm{N}}}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{\delta p_{\mathrm{N}}}{L_{\mathrm{P}}^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 MP 2021, Q10

   Unités et dimensions : La densité volumique de grains c(z) s'exprime en \mathrm{m^{-3}}. Le premier vecteur densité de flux de particules s'écrit :

   \vec{j}_c(z) = -c(z) v_\ell \, \widehat{e}_z

   Sa dimension est :

   [\vec{j}_c] = [c][v] = \mathrm{L^{-3}} \cdot \mathrm{L \cdot T^{-1}} = \mathrm{L^{-2} \cdot T^{-1}}

   L'unité commune aux deux vecteurs \vec{j}_c et \vec{j}_n dans le Système International est donc le \mathrm{m^{-2} \cdot s^{-1}} (nombre de grains par unité de surface et par unité de temps).

   D'après la loi de Fick, \vec{j}_n(z) = -D \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\widehat{e}_z, on en déduit la dimension du coefficient de diffusion :

   [D] = \frac{[\vec{j}_n]}{\left[\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z}\right]} = \frac{\mathrm{L^{-2} \cdot T^{-1}}}{\mathrm{L^{-4}}} = \mathrm{L^2 \cdot T^{-1}}

   L'unité de D dans le Système International est donc le \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}.

   Équilibre macroscopique et équation différentielle : À l'équilibre stationnaire macroscopique, dans un récipient fermé, le flux net de particules à travers toute section plane horizontale est nul, ce qui impose en tout point :

   \vec{j}_{\mathrm{tot}} = \vec{j}_c + \vec{j}_n = \vec{0} \quad \implies \quad \vec{j}_c(z) = -\vec{j}_n(z)

   En projetant sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z :

   -c(z) v_\ell - D \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} = 0

   On obtient ainsi l'équation différentielle du premier ordre :

   \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} + \frac{v_\ell}{D} c(z) = 0

   Expression du profil de concentration : En intégrant cette équation différentielle avec la condition initiale c(z = 0) = c_0 :

   c(z) = c_0 \exp\left(-\frac{v_\ell}{D} z\right)

   On identifie cette forme à c(z) = c_0 A(z) avec A(z) = \exp(-z/H_b), où :

   H_b = \frac{D}{v_\ell}

   D'après la question Q9, la vitesse limite de chute est v_\ell = \frac{m^* g}{\alpha}, avec le coefficient de frottement de Stokes \alpha = 6\pi\eta R_b. Il vient :

   v_\ell = \frac{m^* g}{6\pi\eta R_b}

   On en déduit l'expression de la hauteur caractéristique :

   \boxed{H_b = \frac{6\pi\eta R_b D}{m^* g}}

   et la concentration s'écrit :

   \boxed{c(z) = c_0 A(z) = c_0 \exp\left(-\frac{z}{H_b}\right)}

   Résultat

   $$H_b=\frac{6\pi \eta R_{b}D}{m^{\ast }g}$$

   $$c(z)=c_{0}A(z)=c_0\exp \left(-\frac{z}{H_b}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q7

   L'expression régissant la variation élémentaire du nombre d'électrons s'écrit :

   \mathrm{d}N = -\sigma \cdot n \cdot N \cdot \mathrm{d}x

   Effectuons une analyse dimensionnelle des différentes grandeurs :

   • N et \mathrm{d}N sont des nombres de particules, donc sans dimension : [N] = [\mathrm{d}N] = 1 ;
   • n est une densité particulaire volumique (nombre de particules par unité de volume) : [n] = \mathrm{L}^{-3} ;
   • \mathrm{d}x est une longueur de parcours : [\mathrm{d}x] = \mathrm{L}.

   On en déduit la dimension de \sigma :

   [\sigma] = \frac{[\mathrm{d}N]}{[n] \cdot [N] \cdot [\mathrm{d}x]} = \frac{1}{\mathrm{L}^{-3} \cdot 1 \cdot \mathrm{L}} = \mathrm{L}^2

   \boxed{[\sigma] = \mathrm{L}^2}

   Le coefficient \sigma est donc homogène à une surface (ou aire d'une section transversale), ce qui justifie pleinement l'appellation de « section » efficace.

   Résultat

   $$[\sigma ]={\mathrm{L}}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q8

   Dans l'anneau de stockage, la vitesse des électrons ultra-relativistes est assimilable à la vitesse de la lumière dans le vide (v \approx c). Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, chaque électron parcourt une distance :

   \mathrm{d}x = c\,\mathrm{d}t

   En injectant cette relation dans la loi donnée par l'énoncé, la variation du nombre d'électrons pendant \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}N = -\sigma\,n\,N\,c\,\mathrm{d}t

   Soit l'équation différentielle du premier ordre :

   \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} + \sigma n c\,N = 0

   Sachant qu'à t = 0 le faisceau comporte N(0) électrons, l'intégration donne immédiatement :

   N(t) = N(0)\,\exp(-\sigma n c\,t)

   Par définition, au bout de la durée de vie \tau, le nombre d'électrons a diminué de 37\,\%, il en reste donc 63\,\% :

   N(\tau) = (1 - 0{,}37)\,N(0) = 0{,}63\,N(0)

   On en déduit :

   \begin{aligned} \exp(-\sigma n c\,\tau) &= 0{,}63 \\ -\sigma n c\,\tau &= \ln(0{,}63) \end{aligned}

   D'où l'expression de la durée de vie \tau :

   \boxed{\tau = -\frac{\ln(0{,}63)}{\sigma n c}}

   Résultat

   $$\tau =-\frac{\ln (0,63)}{\sigma nc}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q9

   D'après la question Q8, la durée de vie du faisceau s'exprime par :

   \tau = \frac{0{,}46}{\sigma \, n \, c}

   Convertissons la section efficace dans le système international :

   \sigma = 2{,}0 \cdot 10^{-23}\text{ cm}^2 = 2{,}0 \cdot 10^{-27}\text{ m}^2

   En reprenant la densité particulaire du gaz résiduel calculée à la question Q6 (n \approx 1{,}5 \cdot 10^{13}\text{ m}^{-3}) et la célérité de la lumière c = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   \begin{aligned} \tau &= \frac{0{,}46}{2{,}0 \cdot 10^{-27} \times 1{,}5 \cdot 10^{13} \times 3{,}0 \cdot 10^8} \\ &= \frac{0{,}46}{9{,}0 \cdot 10^{-6}} \approx 5{,}1 \cdot 10^4\text{ s} \end{aligned}

   Avec un seul chiffre significatif :

   \boxed{\tau \approx 5 \cdot 10^4\text{ s}} \quad (\text{soit environ } 14\text{ h})

   Bien que des électrons soient progressivement perdus lors des collisions avec le gaz résiduel, l'intensité du faisceau peut être maintenue constante en réalisant des réinjections régulières (ou continues, fonctionnement dit en mode top-up) d'électrons accélérés par la chaîne préliminaire (Linac puis Booster) directement dans l'anneau de stockage.

   Résultat

   $$\tau \approx 5\cdot 10^4\text{ s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q14

   Le diamètre d'un atome dans ce modèle est de l'ordre de 2a_0 = 2,0\cdot 10^{-10}\text{ m}. Le nombre de collisions atomiques successives subies par une particule \alpha traversant en ligne droite une feuille d'or d'épaisseur L = 1\;\mu\text{m} = 1,0\cdot 10^{-6}\text{ m} s'estime par :

   N \sim \frac{L}{2a_0} = \frac{1,0\cdot 10^{-6}}{2,0\cdot 10^{-10}} = 5\cdot 10^3

   (ou N \sim 10^4 si l'on prend l'échelle a_0).

   En utilisant la valeur de la déviation élémentaire maximale obtenue à la question Q13 (\delta\theta \simeq 2,3\cdot 10^{-4}\text{ rad}), l'écart type de la déviation totale après N collisions vaut :

   \begin{aligned} \Delta\theta &= \delta\theta\sqrt{N} \\ &= 2,3\cdot 10^{-4} \times \sqrt{5\cdot 10^3} \simeq 1,6\cdot 10^{-2}\text{ rad} \end{aligned}

   En degrés, cela représente :

   \Delta\theta \simeq 1,6\cdot 10^{-2} \times \frac{180}{\pi} \simeq 0,9^\circ \sim 1^\circ

   \boxed{\Delta\theta \sim 1^\circ \quad (\text{soit }\sim 2\cdot 10^{-2}\text{ rad})}

   En vertu du théorème central limite, la déviation totale résultant d'une somme de N \gg 1 déviations indépendantes et centrées suit une loi normale d'écart type \Delta\theta \sim 1^\circ. La probabilité d'observer une déflexion de plusieurs dizaines de degrés (par exemple \theta \ge 30^\circ, soit plus de 30 écarts types) est régie par le facteur gaussien \exp\left(-\frac{\theta^2}{2\Delta\theta^2}\right) \sim \mathrm{e}^{-450} \approx 0.

   Il est donc rigoureusement impossible, dans le cadre du modèle du « plum pudding » de Thomson, d'observer des déviations importantes (et a fortiori des rétrodiffusions à 180^\circ).

   Résultat

   $$\Delta \theta \sim 1^{\circ }(\text{soit }\sim 2\cdot 10^{-2}\text{ rad})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q43

    L'équation (VI.1) est une équation de diffusion unidimensionnelle. On retrouve cette équation dans d'autres domaines de la physique :

    1. La diffusion thermique (ou conduction de la chaleur) :
       En combinant la loi phénoménologique de Fourier reliant la densité de flux thermique au gradient de température, \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda \vec{\nabla} T, et le premier principe de la thermodynamique (bilan d'énergie thermique local sans source), la température T(x,t) au sein d'un milieu homogène et isotrope obéit à l'équation de la chaleur :

       \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\mathrm{th}} \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

       où D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda}{\rho c} est la diffusivité thermique du matériau (\lambda étant la conductivité thermique, \rho la masse volumique et c la capacité thermique massique).

    2. La diffusion du champ magnétique dans un conducteur ohmique (effet de peau) :
       Dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) magnétiques, en combinant l'équation de Maxwell-Faraday, la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma \vec{E} et le théorème d'Ampère \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{j}, le champ magnétique \vec{B} (ainsi que la densité volumique de courant \vec{j}) obéit à une équation de diffusion :

       \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = D_{\mathrm{m}} \Delta \vec{B}

       où D_{\mathrm{m}} = \frac{1}{\mu_0 \gamma} est le coefficient de diffusion magnétique (\gamma étant la conductivité électrique et \mu_0 la perméabilité du vide).

    On peut également citer la diffusion de quantité de mouvement au sein d'un fluide visqueux sous l'effet de la viscosité cinématique \nu = \eta/\rho (équation de Navier-Stokes unidimensionnelle).

    Indice, stratégie et pièges de cette question