Corrigé détaillé ENS Physique BCPST 2025 (page 2/4 : Partie 1 (questions 14 à 24))

La force de traînée exercée par un fluide de masse volumique \rho_{\mathrm{g}} sur un obstacle se déplaçant à la vitesse v a pour norme :

où S est le maître-couple (section droite frontale perpendiculaire à l'écoulement) et C_x le coefficient de traînée.

Pour une particule sphérique de diamètre d, le maître-couple correspond à la surface d'un disque de diamètre d :

La force de traînée s'oppose au mouvement de la particule ; la particule chutant vers le bas, la force est donc dirigée verticalement vers le haut. En norme (ou intensité), elle s'écrit :

En projection sur un axe vertical orienté vers le bas (dans le sens de la vitesse v), sa composante algébrique est :

Le graphique de la figure (2) est tracé en coordonnées logarithmiques (\log_{10} - \log_{10}).

Dans ce repère, une fonction de la forme C_x = \frac{C_1}{\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}} = C_1\,\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}^{-1} conduit à la relation affine :

Il s'agit donc d'une droite de pente -1.

Justification de la forme de la loi :

• Sur le domaine \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} \lesssim 1, la courbe expérimentale se confond avec la droite en tirets.

• Mesurons la pente de cette droite en tirets à l'aide de deux points remarquables :

  • pour \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = 10^{-1}, on lit C_x \simeq 2{,}4 \times 10^2 ;
  • pour \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = 10^0 = 1, on lit C_x \simeq 2{,}4 \times 10^1 = 24.

  La pente vaut :

  a = \frac{\log_{10}(24) - \log_{10}(240)}{\log_{10}(1) - \log_{10}(10^{-1})} = \frac{-1}{1} = -1

  La dépendance affine de pente -1 en coordonnées logarithmiques justifie pleinement l'expression C_x = \frac{C_1}{\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}}.

Valeur du coefficient C_1 : Pour \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = 1, on a directement \log_{10}(\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}) = 0, d'où C_x(1) = C_1.

Sur la grille logarithmique, à \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = 1, la droite coupe l'axe entre la deuxième et la troisième ligne secondaire de la décade [10^1, 10^2] (correspondant à 20 et 30), très précisément à :

Considérons une particule solide sphérique de diamètre d, de volume V_{\mathrm{s}} = \frac{\pi d^3}{6} et de masse m = \rho_{\mathrm{s}} V_{\mathrm{s}}, en chute verticale dans le gaz du nuage à la vitesse limite v_{\mathrm{s}} (orientée vers le bas).

Le bilan des forces projeté selon l'axe vertical descendant s'écrit :

• le poids de la particule :

  P = m g = \rho_{\mathrm{s}} \frac{\pi d^3}{6} g

• la poussée d'Archimède exercée par le gaz du nuage :

  \Pi_{\mathrm{A}} = \rho_{\mathrm{g}} \frac{\pi d^3}{6} g

• la force de traînée fluide (résultante vers le haut), d'après la question Q14 :

  F_{\mathrm{T}} = \frac{1}{2} C_x \rho_{\mathrm{g}} S v_{\mathrm{s}}^2 = \frac{1}{2} C_x \rho_{\mathrm{g}} \left( \frac{\pi d^2}{4} \right) v_{\mathrm{s}}^2

Dans le régime \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} \lesssim 1, en utilisant l'expression du coefficient de traînée C_x = \frac{C_1}{\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}} et celle du nombre de Reynolds particulaire \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = \frac{\rho_{\mathrm{g}} d v_{\mathrm{s}}}{\eta_{\mathrm{g}}} :

À la vitesse limite de sédimentation v_{\mathrm{s}}, l'accélération de la particule est nulle. Le principe fondamental de la dynamique se réduit à l'équilibre des forces :

En introduisant \Delta\rho = \rho_{\mathrm{s}} - \rho_{\mathrm{g}}, il vient :

En simplifiant par \pi d, on obtient :

D'après le résultat de la question Q16 avec C_1 = 24, la vitesse limite de sédimentation s'écrit :

avec \Delta\rho = \rho_{\mathrm{s}} - \rho_{\mathrm{g}}.

• Calcul de la vitesse limite de sédimentation v_{\mathrm{s}} :

Avec les données numériques fournies :

• \rho_{\mathrm{s}} = 900\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \rho_{\mathrm{g}} = 0,6\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, soit \Delta\rho = 899{,}4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \simeq 900\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2},
• d = 300\;\mu\text{m} = 3,0 \times 10^{-4}\text{ m},
• \eta_{\mathrm{g}} = 4 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

On obtient :

• Calcul du nombre de Reynolds particulaire \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} :

Par définition :

• Calcul du coefficient de traînée C_x issu de la relation (5) :

• Commentaire vis-à-vis de l'hypothèse \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} \lesssim 1 :

La valeur obtenue pour le nombre de Reynolds particulaire (\mathrm{Re}_{\mathrm{p}} \simeq 5) est supérieure à 1. L'hypothèse de l'écoulement rampant de Stokes (\mathrm{Re}_{\mathrm{p}} \lesssim 1) n'est donc pas strictement vérifiée : les effets inertiels locaux dans le sillage de la particule ne sont plus totalement négligeables devant les effets visqueux.

1. Détermination graphique de C_x :

D'après la question Q17, le nombre de Reynolds particulaire associé à la vitesse calculée dans l'approximation de Stokes vaut :

Sur la figure 2 (tracée en échelle logarithmique \log_{10}-\log_{10}) :

• on repère sur l'axe des abscisses la graduation correspondant à \mathrm{Re}_{\mathrm{p}} = 5 (cinquième graduation secondaire entre 10^0 = 1 et 10^1 = 10) ;
• à cette abscisse, la courbe en tirets (loi de Stokes C_x = 24/\mathrm{Re}_{\mathrm{p}}) donne bien C_x \simeq 4{,}8, mais la courbe en trait plein (comportement réel de la sphère) s'en écarte vers le haut ;
• sur la courbe réelle en trait plein, on lit sur l'axe des ordonnées une valeur comprise entre 6,5 et 7 :

2. Comparaison des vitesses de sédimentation :

À la vitesse limite de sédimentation v_{\mathrm{s}}, le bilan des forces verticales projeté selon la verticale descendante s'écrit :

En exprimant la force de traînée selon la formule générale donnée à la question Q14 :

Le second membre étant fixé uniquement par les caractéristiques de la particule et du fluide :

• la nouvelle valeur du coefficient de traînée (C_x \simeq 7) est supérieure à celle issue de la formule de Stokes (C_x \simeq 4{,}8) ;
• la force de freinage exercée par le fluide à vitesse donnée est donc plus grande que dans le modèle visqueux pur ;
• pour équilibrer le poids apparent, la vitesse de sédimentation réelle doit donc être plus faible.

Le nuage est modélisé par un pavé droit de longueur L(t), de largeur constante W_0 selon l'axe (\mathrm{O}y) et de hauteur h(t). La surface de contact entre la base du nuage et le sol horizontal (z=0) est donc :

Chaque particule solide chute verticalement vers le sol à la vitesse constante v_{\mathrm{s}}. Pendant la durée infinitésimale \mathrm{d}t, les particules qui atteignent le sol sont celles qui se trouvaient initialement à une altitude z \le v_{\mathrm{s}} \mathrm{d}t. Elles sont donc issues d'un volume élémentaire adjacent au sol :

Comme la turbulence maintient la fraction volumique solide \phi(t) spatialement uniforme dans tout le nuage, le volume total de solide contenu dans cette tranche s'écrit :

Les particules étant des sphères identiques de diamètre d, le volume propre d'une particule est :

Le nombre \mathrm{d}N_{\mathrm{s}} de particules solides atteignant le sol entre t et t + \mathrm{d}t est le rapport de ces volumes :

d'où l'expression recherchée :

Le volume total du nuage est supposé constant au cours de l'écoulement :

Soit v_{\mathrm{p}} = \frac{\pi d^3}{6} le volume d'une particule solide. Le volume total occupé par les particules dans le nuage est V_{\mathrm{s}}(t) = \phi(t) V, de sorte que le nombre total de particules solides présentes dans le nuage à l'instant t s'écrit :

Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, les particules qui se déposent au sol ne participent plus à la dynamique du nuage. Le bilan sur le nombre de particules s'écrit donc :

En utilisant l'expression de \mathrm{d}N_{\mathrm{s}} établie à la question Q19 (\mathrm{d}N_{\mathrm{s}} = \frac{\phi(t)\, L(t)\, W_0\, v_{\mathrm{s}}\, \mathrm{d}t}{v_{\mathrm{p}}}), il vient :

En divisant par \mathrm{d}t et en simplifiant par v_{\mathrm{p}}, on obtient :

On identifie ainsi l'expression de la constante B :

Par définition (question Q5), la fraction volumique solide d'excès s'écrit \psi(t) = \phi(t) - \phi_{\min}, où \phi_{\min} est une constante. On a donc :

En injectant ces relations dans l'équation différentielle (6), on obtient :

D'après la question précédente, la fraction volumique d'excès \psi(t) vérifie l'équation différentielle :

avec B = \dfrac{v_{\mathrm{s}}}{L_0 h_0} > 0.

1. Sens de variation et annulation en temps fini :

• Pour tout t \ge 0, le nuage s'étale donc sa longueur vérifie L(t) \ge L_0 > 0.
• Puisque la fraction volumique d'excès est positive ou nulle (\psi(t) \ge 0) et que \phi_{\min} > 0, la parenthèse reste strictement positive : \psi(t) + \phi_{\min} \ge \phi_{\min} > 0.

• Par conséquent, la dérivée temporelle est strictement négative et majorée par une constante strictement négative :

  \frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t} \le -B L_0 \phi_{\min} < 0

La fonction \psi(t) est donc strictement décroissante. De plus, sa dérivée ne s'annulant pas au voisinage de \psi = 0, \psi(t) atteint nécessairement la valeur 0 en un instant fini t_{\text{arrêt}} (avec t_{\text{arrêt}} \le \dfrac{\psi_0}{B L_0 \phi_{\min}}). La condition physique \psi \ge 0 impose ensuite \psi(t) = 0 pour tout t \ge t_{\text{arrêt}}.

2. Justification de l'existence d'une longueur d'arrêt : D'après l'équation (4), la vitesse de progression du front s'écrit :

Lorsque \psi(t) s'annule à l'instant t_{\text{arrêt}} :

• la gravité effective s'annule : g' = g \dfrac{\Delta\rho}{\rho_0} \psi = 0 ;

• la force motrice d'étalement disparaît, entraînant l'annulation de la vitesse du front :

  \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}(t_{\text{arrêt}}) = 0

La longueur de la coulée cesse alors de croître et plafonne à une valeur finie :

Il existe donc bien une longueur d'arrêt (ou extension maximale) pour la nuée ardente.

D'après l'équation (4) régissant la propagation du front :

D'après l'équation (6) reformulée en fonction de la fraction volumique d'excès \psi à la question Q20 :

En utilisant la relation rappelée par l'énoncé :

En séparant les variables L et \psi, on obtient :

Cette équation s'identifie bien à la relation (7) de l'énoncé :

avec :

En rappelant les expressions obtenues aux questions Q10 et Q20 (A = F \sqrt{g \frac{\Delta\rho}{\rho_0} L_0 h_0} et B = \frac{v_{\mathrm{s}}}{L_0 h_0}), on a également :

D'après la question Q21, la coulée pyroclastique s'arrête lorsque sa fraction volumique solide d'excès s'annule, soit \psi(t_{\text{arrêt}}) = 0. À cet instant, la longueur du nuage atteint sa valeur maximale L(t_{\text{arrêt}}) = L_{\max}.

À l'instant initial t = 0, la longueur est L(0) = L_0 et la fraction volumique d'excès vaut \psi(0) = \psi_0.

En intégrant l'équation différentielle (7) obtenue à la question Q22 entre l'instant initial et l'instant d'arrêt, il vient :

Le membre de gauche s'intègre immédiatement :

En utilisant la définition de la fonction G(x, b) donnée par l'équation (8) :

le membre de droite s'écrit simplement K \, G(\psi_0, \phi_{\min}). On obtient donc :

Soit, en isolant L_{\max} :

D'où l'expression de la longueur d'extension maximale :

D'après l'équation (8), la fonction G(\psi_0, \phi_{\min}) s'écrit :

où la variable X vaut :

Sur la figure 3, pour X \simeq 3{,}16, on lit sur l'axe des ordonnées :

Le calcul direct confirme cette valeur :

On en déduit la valeur de G(\psi_0, \phi_{\min}) :

Calculons à présent les deux termes intervenant dans la relation (9) :

• Avec L_0 = 1\text{ km} = 10^3\text{ m} :

  L_0^{5/2} = (10^3)^{5/2} = 10^{7{,}5} \simeq 3{,}16 \times 10^7\text{ m}^{5/2}

• Pour le second terme, avec K = 10^{11}\text{ m}^{5/2} :

  \frac{5K}{2} G(\psi_0, \phi_{\min}) = 2{,}5 \times 10^{11} \times 0{,}120 = 3{,}0 \times 10^{10}\text{ m}^{5/2}

On constate que L_0^{5/2} \ll \frac{5K}{2} G(\psi_0, \phi_{\min}) (le terme initial est inférieur au second d'un facteur 1000). Il vient ainsi :