Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique BCPST 2025, Q39

   La surface totale d'une sphère de rayon R centrée sur l'émetteur \mathrm{S} vaut :

   \Sigma(R) = 4\pi R^2

   D'après l'énoncé, le cône d'émission intercepte une fraction 1/G de cette surface sphérique. L'aire de la calotte sphérique traversée par le faisceau à la distance R est donc :

   \Sigma_{{cône}}(R) = \frac{\Sigma(R)}{G} = \frac{4\pi R^2}{G}

   La puissance totale émise P_0 étant répartie uniformément sur cette portion de sphère, la puissance par unité de surface s'écrit :

   p_0(R) = \frac{P_0}{\Sigma_{{cône}}(R)} = \frac{P_0 \, G}{4\pi R^2}

   En remplaçant le gain géométrique G par son expression donnée par l'équation (16), G = \dfrac{4\pi S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2}, on obtient :

   p_0(R) = \frac{P_0}{4\pi R^2} \times \frac{4\pi S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2}

   d'où finalement :

   \boxed{p_0(R) = \frac{P_0 \, S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2 R^2}}

   Résultat

   $$p_0(R)=\frac{P_0{S}_{\mathrm{a}}}{{\lambda }^2{R}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique BCPST 2025, Q40

   D'après le résultat de la question 39, la puissance par unité de surface de l'onde incidente au niveau de la cible C située à la distance R_{\mathrm{C}} vaut :

   p_0(R_{\mathrm{C}}) = \frac{P_0 S_{\mathrm{a}}}{\lambda^2 R_{\mathrm{C}}^2}

   La puissance totale renvoyée par la cible de surface effective \sigma s'écrit alors :

   P_{\mathrm{d}} = \sigma \, p_0(R_{\mathrm{C}}) = \frac{P_0 S_{\mathrm{a}} \sigma}{\lambda^2 R_{\mathrm{C}}^2}

   Cette puissance P_{\mathrm{d}} est réémise de manière isotrope dans toutes les directions orientées vers le haut, c'est-à-dire dans un angle solide de 2\pi\text{ sr}. À la distance R_{\mathrm{C}}, elle se répartit donc uniformément sur une demi-sphère de surface :

   \mathcal{S}_{\text{demi-sphère}} = 2\pi R_{\mathrm{C}}^2

   La puissance par unité de surface p_{\mathrm{d}}(R_{\mathrm{C}}) du signal d'écho parvenant au niveau du satellite est donc :

   p_{\mathrm{d}}(R_{\mathrm{C}}) = \frac{P_{\mathrm{d}}}{2\pi R_{\mathrm{C}}^2} = \frac{P_0 S_{\mathrm{a}} \sigma}{2\pi \lambda^2 R_{\mathrm{C}}^4}

   L'antenne du satellite ayant pour surface géométrique S_{\mathrm{a}} et sa normale étant orientée selon la direction (\mathrm{SC}), la surface apparente interceptant l'écho est exactement S_{\mathrm{a}}. La puissance reçue P_{\mathrm{e}} par l'antenne vaut donc :

   P_{\mathrm{e}} = p_{\mathrm{d}}(R_{\mathrm{C}}) \times S_{\mathrm{a}}

   Soit finalement :

   \boxed{P_{\mathrm{e}} = \frac{P_0 S_{\mathrm{a}}^2 \sigma}{2\pi \lambda^2 R_{\mathrm{C}}^4}}

   Résultat

   $$P_{\mathrm{e}}=\frac{P_0{S}_{\mathrm{a}}^2\sigma }{2\pi {\lambda }^2{R}_{\mathrm{C}}^4}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique BCPST 2025, Q41

   D'après la géométrie de la visée (figure 10), la distance de la cible au satellite s'exprime par :

   R_{\mathrm{C}} = \frac{H}{\cos\theta}

   Pour H = 700\text{ km} = 7{,}0 \times 10^5\text{ m} et \theta = 30^{\circ} :

   R_{\mathrm{C}} = \frac{7{,}0 \times 10^5}{\cos 30^{\circ}} \simeq 8{,}08 \times 10^5\text{ m}

   D'après le résultat de la question Q40, le rapport de puissance s'écrit :

   K = \frac{P_{\mathrm{e}}}{P_0} = \frac{S_{\mathrm{a}}^2 \, \sigma}{2\pi \lambda^2 R_{\mathrm{C}}^4}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   • S_{\mathrm{a}} = 10\text{ m}^2 ;
   • \sigma = 10^3\text{ m}^2 ;
   • \lambda = 6{,}0\text{ cm} = 6{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} (déterminée à la question Q32) ;
   • R_{\mathrm{C}} \simeq 8{,}08 \times 10^5\text{ m}.

   On calcule le numérateur et le dénominateur :

   \begin{aligned} S_{\mathrm{a}}^2 \, \sigma &= (10)^2 \times 10^3 = 1{,}0 \times 10^5\text{ m}^6 \\ 2\pi \lambda^2 R_{\mathrm{C}}^4 &= 2\pi \times (6{,}0 \times 10^{-2})^2 \times (8{,}08 \times 10^5)^4 \simeq 9{,}7 \times 10^{21}\text{ m}^6 \end{aligned}

   On en déduit :

   K = \frac{1{,}0 \times 10^5}{9{,}7 \times 10^{21}} \simeq 1{,}0 \times 10^{-17}

   \boxed{K \sim 10^{-17}}

   Commentaire : La puissance reçue par le satellite est extraordinairement faible : pour une puissance émise P_0 = 4\text{ kW}, la puissance de l'écho n'est que de :

   P_{\mathrm{e}} = K P_0 \simeq 4 \times 10^{-14}\text{ W} = 40\text{ fW}

   Cette atténuation drastique (de l'ordre de -170\text{ dB}) découle de la décroissance géométrique en 1/R_{\mathrm{C}}^4, caractéristique d'un aller-retour en onde sphérique sur une distance orbitale considérable (R_{\mathrm{C}} \simeq 800\text{ km}). La détection d'un signal aussi ténu nécessite des récepteurs à très faible bruit thermique (amplificateurs cryogéniques ou LNA) ainsi que des méthodes de filtrage adapté et de compression d'impulsion afin d'extraire l'écho du bruit de fond.

   Résultat

   $$K\sim 10^{-17}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question