Feuille d'entraînement : Interférences lumineuses

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q42

   Pour pouvoir observer des interférences lumineuses stables et contrastées à partir de deux faisceaux, plusieurs conditions pratiques doivent être satisfaites :

   1. Cohérence mutuelle (source unique) : les deux ondes lumineuses doivent avoir une différence de phase constante au cours du temps à l'émission. En pratique, cela impose d'utiliser une même source primaire (ici un laser) dédoublée par division d'amplitude (à l'aide de lames séparatrices dans un interféromètre) ou par division du front d'onde.

   2. Cohérence temporelle (différence de marche bornée) : la différence de marche \delta entre les deux faisceaux doit rester très inférieure à la longueur de cohérence \ell_c = c\tau_c de la source lumineuse :

      |\delta| \ll \ell_c

      Cette condition est d'autant plus facile à respecter que la source est quasi-monochromatique (un laser présente une longueur de cohérence pouvant aller de quelques centimètres à plusieurs mètres).

   3. Recouvrement spatial : les deux faisceaux doivent se superposer géométriquement sur la zone de détection (ici la photodiode).
   4. Polarisations non orthogonales : d'après les lois de Fresnel-Arago, deux ondes polarisées selon des directions orthogonales n'interfèrent pas. Les états de polarisation des deux faisceaux doivent donc avoir une composante commune (idéalement, des polarisations identiques).
   5. Intensités comparables : pour obtenir un contraste V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} proche de 1, les intensités I_1 et I_2 des deux faisceaux doivent être du même ordre de grandeur.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q44

   D'après la formule de Fresnel avec deux faisceaux de même intensité I_1 = I_2 = I_0, l'intensité lumineuse résultante s'écrit :

   I(t) = 2I_0\bigl(1 + \cos(\Delta\varphi(t))\bigr)

   En utilisant l'expression du déphasage fournie et la loi horaire de chute libre z(t) = \frac{1}{2}gt^2 (question Q43), on obtient :

   \Delta\varphi(t) = \frac{4\pi}{\lambda_0}z(t) = \frac{2\pi g}{\lambda_0}t^2

   La tension mesurée par la photodiode, proportionnelle à l'intensité lumineuse, présente les caractéristiques suivantes :

   • Bornes et contraste : le terme en cosinus oscille entre -1 et +1. L'intensité oscille donc entre une valeur minimale I_{\min} = 0 et une valeur maximale I_{\max} = 4I_0. Le contraste est maximal (V = 1), ce qui correspond sur la figure 14 à une tension oscillant entre 0\text{ V} et 8\text{ V}.

   • Évolution temporelle et fréquence instantanée : la pulsation instantanée du signal est donnée par :

     \omega_{\text{inst}}(t) = \frac{\mathrm{d}\Delta\varphi}{\mathrm{d}t} = \frac{4\pi}{\lambda_0}\dot{z}(t) = \frac{4\pi g}{\lambda_0}t

     soit une fréquence instantanée :

     f_{\text{inst}}(t) = \frac{\omega_{\text{inst}}(t)}{2\pi} = \frac{2g}{\lambda_0}t = \frac{2v(t)}{\lambda_0}

     La vitesse de chute v(t) = gt du catadioptre augmente linéairement avec le temps sous l'effet de la pesanteur. Par conséquent, la fréquence instantanée croît linéairement au cours du temps (et la pseudo-période diminue) : le défilement des franges d'interférence sur le détecteur est de plus en plus rapide, ce qui se traduit par des oscillations de plus en plus resserrées sur l'enregistrement.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q45

   L'ordre d'interférence est défini par :

   p(t) = \frac{\Delta\varphi(t)}{2\pi} = \frac{2z(t)}{\lambda_0} = \frac{g t^2}{\lambda_0}

   À l'instant initial t = 0, on a z(0) = 0, donc p(0) = 0. Le signal est alors à un maximum d'intensité (U = 8\text{ V}, correspondant à \cos(\Delta\varphi) = 1).

   Chaque passage successif par un maximum d'intensité correspond à une augmentation de l'ordre d'interférence d'une unité (\Delta p = 1). En comptant les maxima sur la figure 14 à partir de t = 0 exclu jusqu'à la fin de l'acquisition à t_f = 1{,}0\text{ ms} :

   • le premier maximum se situe vers t \approx 0{,}25\text{ ms} ;
   • on dénombre 15 maxima successifs sur la durée de l'enregistrement, le 15e pic se trouvant juste avant la fin de l'enregistrement (t \approx 0{,}99\text{ ms}) ;
   • à t_f = 1{,}0\text{ ms}, le signal est au début de sa décroissance, ce qui correspond à une fraction de frange supplémentaire négligeable.

   L'ordre d'interférence a donc varié de :

   \boxed{\Delta p \approx 15}

   (ou plus finement \Delta p \approx 15{,}3 à 15{,}4 en estimant la position exacte de la fin du signal).

   De la relation p(t_f) - p(0) = \Delta p = \dfrac{g t_f^2}{\lambda_0}, on déduit l'expression de l'accélération de la pesanteur :

   g = \frac{\lambda_0 \, \Delta p}{t_f^2}

   Application numérique avec \lambda_0 = 638\text{ nm} = 638 \times 10^{-9}\text{ m}, t_f = 1{,}0\text{ ms} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ s} et \Delta p = 15 :

   \begin{aligned} g &= \frac{638 \times 10^{-9} \times 15}{(1{,}0 \times 10^{-3})^2} = 9{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 9{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   En tenant compte de la fraction de frange à t = 1{,}0\text{ ms} (\Delta p \approx 15{,}36) :

   g = \frac{638 \times 10^{-9} \times 15{,}36}{10^{-6}} = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   \boxed{g \approx 9{,}6\text{ à } 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

   Résultat

   $$\Delta p\approx 15$$

   $$g\approx 9,6\text{ aˋ }9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q47

   L'ordre d'interférence p(t) est défini par :

   p(t) = \frac{\Delta\varphi(t)}{2\pi} = \frac{2 z(t)}{\lambda_0} + p_0

   où p_0 est une constante de phase.

   En utilisant l'expression de z(t) établie à la question Q46, z(t) = \frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + z_0, l'ordre d'interférence s'écrit sous la forme d'un polynôme du second degré en t :

   p(t) = \frac{g}{\lambda_0}t^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t + C

   avec C = \frac{2z_0}{\lambda_0} + p_0.

   Pour les trois instants de mesure t_1, t_2 et t_3, on a ainsi :

   \begin{aligned} p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}t_1^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_1 + C \\ p_2 &= \frac{g}{\lambda_0}t_2^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_2 + C \\ p_3 &= \frac{g}{\lambda_0}t_3^2 + \frac{2v_0}{\lambda_0}t_3 + C \end{aligned}

   Soustrayons p_1 à p_2 et p_3 afin d'éliminer la constante inconnue C :

   \begin{aligned} p_2 - p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}\left(t_2^2 - t_1^2\right) + \frac{2v_0}{\lambda_0}(t_2 - t_1) = (t_2 - t_1)\left[\frac{g}{\lambda_0}(t_2 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0}\right] \\ p_3 - p_1 &= \frac{g}{\lambda_0}\left(t_3^2 - t_1^2\right) + \frac{2v_0}{\lambda_0}(t_3 - t_1) = (t_3 - t_1)\left[\frac{g}{\lambda_0}(t_3 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0}\right] \end{aligned}

   En divisant respectivement par (t_2 - t_1) et (t_3 - t_1), les taux de variation moyens s'écrivent :

   \begin{aligned} \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} &= \frac{g}{\lambda_0}(t_2 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0} \\ \frac{p_3 - p_1}{t_3 - t_1} &= \frac{g}{\lambda_0}(t_3 + t_1) + \frac{2v_0}{\lambda_0} \end{aligned}

   Par soustraction membre à membre de ces deux relations, le terme contenant la vitesse initiale v_0 s'élimine :

   \frac{p_3 - p_1}{t_3 - t_1} - \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = \frac{g}{\lambda_0}\left(t_3 - t_2\right)

   En réduisant le membre de gauche au même dénominateur :

   \frac{(p_3 - p_1)(t_2 - t_1) - (p_2 - p_1)(t_3 - t_1)}{(t_3 - t_1)(t_2 - t_1)} = \frac{g}{\lambda_0}(t_3 - t_2)

   On en déduit l'expression demandée pour l'accélération de la pesanteur g :

   \boxed{g = \lambda_0 \frac{(p_3 - p_1)(t_2 - t_1) - (p_2 - p_1)(t_3 - t_1)}{(t_3 - t_1)(t_2 - t_1)(t_3 - t_2)}}

   Résultat

   $$g={\lambda }_0\frac{(p_3-p_1)(t_2-t_1)-(p_2-p_1)(t_3-t_1)}{(t_3-t_1)(t_2-t_1)(t_3-t_2)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question