Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2020 (page 2/2 : Partie II)

D'après l'énoncé, la photographie de la figure 9 a été prise lors de la phase d'éclipse totale de Lune : l'ensemble du disque lunaire est entièrement immergé dans le cône d'ombre de la Terre (il reste néanmoins visible en raison de la lumière réfractée et diffusée par l'atmosphère terrestre).

Dans la chronologie définie sur la figure 8b :

• Le point 2 correspond au premier contact intérieur, c'est-à-dire au début de la totalité ;
• Le point 3 correspond au dernier contact intérieur, c'est-à-dire à la fin de la totalité.

Par conséquent, la photographie de la figure 9 se situe :

1. Angle caractéristique de diffraction \theta_d

Pour une onde plane de longueur d'onde \lambda diffractée par un obstacle circulaire de diamètre D_T = 2R_T, l'angle caractéristique du faisceau diffracté (demi-angle au sommet du cône de diffraction ou angle d'Airy) est donné par :

En choisissant pour le domaine visible \lambda \approx 500\text{ nm} = 5\times 10^{-7}\text{ m} et avec R_T \approx 6{,}37\times 10^6\text{ m} :

2. Taille caractéristique a_d dans le plan d'observation \mathscr{P}_e

Dans le plan \mathscr{P}_e, situé à la distance r_L = TL \approx 3{,}84\times 10^8\text{ m} de la Terre, l'étalement transverse induit par la diffraction vaut :

3. Éclairement du disque lunaire durant la totalité

Cette zone d'étalement de l'ordre de quelques dizaines de micromètres est infinitésimale devant le rayon de la Lune (R_L \approx 1{,}74\times 10^6\text{ m}) ainsi que devant les dimensions du cône d'ombre terrestre (plusieurs milliers de kilomètres).

Les effets de diffraction sont cantonnés à l'extrême limite géométrique de l'ombre : aucune intensité lumineuse significative n'est déviée vers le cœur du cône d'ombre où se trouve la Lune.

4. Autres sources possibles d'éclairage

En l'absence d'atmosphère terrestre, d'autres sources de lumière célestes pourraient résiduellement éclairer la Lune :

• la couronne solaire, dont l'étendue angulaire dépasse largement le disque solaire et qui n'est pas intégralement masquée par la Terre ;
• le fond stellaire (la lumière des étoiles et de la Voie Lactée) ;
• la lumière zodiacale (diffusion de la lumière solaire par les poussières interplanétaires) ;
• les autres planètes du Système solaire (notamment Vénus et Jupiter).

L'atmosphère est en équilibre mécanique dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La loi fondamentale de la statique des fluides projetée sur l'axe vertical ascendant s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait de masse molaire M_a, l'équation d'état s'écrit :

La température T étant uniforme et stationnaire (atmosphère isotherme), la dérivation par rapport à Z conduit à :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides, on obtient l'équation différentielle :

L'intégration entre l'altitude 0 et Z donne immédiatement la loi de nivellement barométrique :

avec :

Application numérique : Avec T = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et g = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, sa masse volumique au niveau de la mer s'écrit :

Avec P(0) = 1{,}0\times 10^5\text{ Pa}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et T = 20 + 273{,}15 \approx 293\text{ K} :

D'après le profil établi à la question Q17, la masse volumique à l'altitude de l'Everest Z_E = 8\,848\text{ m} vaut :

Avec H_c \approx 8{,}6\text{ km} (obtenu en Q17), le rapport vaut \frac{Z_E}{H_c} \approx \frac{8{,}85}{8{,}57} \approx 1{,}03 \approx 1. En utilisant l'approximation fournie \exp(-1) \approx \frac{1}{3} :

Calculons la masse volumique réelle à partir des conditions mesurées au sommet (P_E = 321\text{ hPa} = 3{,}21\times 10^4\text{ Pa} et T_E = -23^\circ\text{ C} = 250\text{ K}) :

De même, la pression théorique prédite par le modèle isotherme est P_{\text{modèle}}(Z_E) \approx \frac{1\,000\text{ hPa}}{3} \approx 333\text{ hPa}, très proche de la valeur mesurée de 321\text{ hPa} (écart de moins de 4\,\%, et environ 11\,\% sur la masse volumique).

Cependant, le modèle isotherme n'est pas réaliste sur le plan thermique : la température réelle chute de 20^\circ\text{ C} au niveau de la mer à -23^\circ\text{ C} au sommet, soit un écart de plus de 40\text{ K}. L'atmosphère basse (troposphère) présente un gradient thermique vertical d'environ -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}, lié aux mouvements convectifs, mieux décrit par un modèle d'atmosphère adiabatique ou polytropique.

L'onde se propage dans le vide selon la direction et le sens de l'axe (O, \boldsymbol{e}_x) avec la célérité c. Le vecteur d'onde s'écrit donc :

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \boldsymbol{e}_y, avec une phase nulle à l'origine (x=0, t=0) et une amplitude E_m > 0. Son expression réelle est donc :

D'après la structure d'une onde plane progressive monochromatique dans le vide (issue de l'équation de Maxwell-Faraday \boldsymbol{\nabla}\wedge\boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}), le champ magnétique est relié au champ électrique par :

Comme la base (\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z) est orthonormée directe, on a \boldsymbol{e}_x \wedge \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z. L'expression réelle du champ magnétique s'écrit ainsi :

avec pour relation entre les amplitudes :

À une date t fixée (par exemple t = 0), les champs \boldsymbol{E} et \boldsymbol{B} sont sinusoïdaux en fonction de la position x, en phase spatiale, orthogonaux entre eux et transverses (perpendiculaires à la direction de propagation \boldsymbol{e}_x). La période spatiale est la longueur d'onde dans le vide \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}.

Par définition, le vecteur de Poynting dans le vide s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique et magnétique établies à la question Q19 :

avec \boldsymbol{e}_y \wedge \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x, on obtient directement :

L'intensité I_0 d'une onde électromagnétique correspond à la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting :

Comme la moyenne d'un cosinus au carré sur une période vaut \frac{1}{2}, il vient :

Application numérique : Avec les données du sujet :

• \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1},
• c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• I_0 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2},

on calcule :

L'ordre de grandeur de l'amplitude du champ électrique est donc :

Considérons un volume mésoscopique \mathrm{d}V de gaz atmosphérique situé à l'abscisse x. Il contient un nombre \mathrm{d}N_a de molécules d'air, soit une quantité de matière :

où \mathscr{N}_A désigne la constante d'Avogadro.

La masse correspondante de ce volume d'air s'écrit en fonction de la masse molaire de l'air M_a :

Par définition de la masse volumique \rho_a(x) = \frac{\mathrm{d}m_a}{\mathrm{d}V} et de la densité volumique moléculaire \eta_a(x) = \frac{\mathrm{d}N_a}{\mathrm{d}V}, on obtient :

On en déduit l'expression de \eta_a(x) :

Considérons une tranche d'atmosphère comprise entre les plans d'abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox) de propagation de l'onde. Le volume de cette tranche est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Le nombre de molécules de gaz atmosphérique et le nombre de poussières contenus dans cette tranche s'écrivent respectivement :

Pendant la propagation, l'onde perd de la puissance par deux mécanismes indépendants :

• la puissance moyenne totale diffusée par les molécules de la tranche :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{diff}} = \mathscr{P}_a\,\mathrm{d}N_a = k_a \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4 I(x)\,\eta_a(x)\,S\,\mathrm{d}x

• la puissance moyenne totale absorbée par les poussières de la tranche :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{abs}} = \mathscr{P}_p\,\mathrm{d}N_p = k_p I(x)\,\eta_p(x)\,S\,\mathrm{d}x

En régime permanent, le bilan de puissance électromagnétique moyenne pour le système ouvert délimité par la tranche s'écrit :

avec \mathscr{P}_{\text{entrante}} = I(x)\,S et \mathscr{P}_{\text{sortante}} = I(x+\mathrm{d}x)\,S. En substituant :

En simplifiant par S, on obtient la relation liant I(x+\mathrm{d}x) à I(x) :

ce qui correspond sous forme différentielle à :

D'après le bilan effectué à la question Q22, l'intensité lumineuse I(x) satisfait l'équation différentielle :

En séparant les variables, il vient pour I(x) > 0 :

Par intégration entre \xi = 0 et \xi = x :

En prenant l'exponentielle de cette relation, on obtient bien la forme de la loi de Beer-Lambert :

avec pour expression de la densité optique :

La réfraction de la lumière par l'atmosphère s'explique par les points suivants :

• Inhomogénéité de la masse volumique : sous l'effet de la pesanteur, la masse volumique de l'air \rho_a(Z) décroît avec l'altitude Z, comme modélisé à la question Q17 par le profil \rho_a(Z) = \rho_a(0)\exp(-Z/H_c).

• Variation de l'indice optique : l'indice de réfraction de l'air dépend directement de la masse volumique locale selon la relation de Gladstone-Dale fournie par l'énoncé :

  n(Z) = 1 + \varepsilon_\lambda \frac{\rho_a(Z)}{\rho_a(0)}

  L'indice n(Z) décroît donc de façon continue lorsque l'altitude Z augmente.

• Déviation des rayons : l'atmosphère forme un milieu transparent inhomogène à gradient d'indice vertical (\boldsymbol{\nabla} n \neq \boldsymbol{0}, orienté vers le sol). D'après les lois de l'optique géométrique (ou le principe de Fermat), la trajectoire d'un rayon lumineux s'incurve continûment vers les régions où l'indice de réfraction est le plus élevé, c'est-à-dire vers le bas : c'est le phénomène de réfraction atmosphérique.

1. Expression de \sqrt{\frac{r^2}{r_0^2}-1} :

Par définition, r = R_T + Z et r_0 = R_T + Z_0. Avec u = Z - Z_0, on a :

Comme Z_0 \ll R_T et u \le Z \ll R_T, on a \frac{u}{R_T + Z_0} \simeq \frac{u}{R_T} \ll 1. Au premier ordre :

Il vient ainsi :

2. Expression de \mathrm{d}n en fonction de \mathrm{d}\rho_a :

La loi reliant l'indice de réfraction à la masse volumique est :

Pour une longueur d'onde fixée (\varepsilon_\lambda = \text{cte}), la différentiation donne directement :

3. Expression de \mathrm{d}\rho_a :

D'après le modèle d'atmosphère isotherme établi à la question Q17 :

En substituant Z = Z_0 + u, on factorise par la masse volumique au point le plus bas de la trajectoire M_0 :

Pour un rayon donné, Z_0 est constant. En différenciant par rapport à u, on obtient :

D'après les résultats de la question Q25, on a :

et

Les bornes d'intégration s'expriment en fonction de u = Z - Z_0 :

• lorsque n = 1 (milieu non réfractif, hors de l'atmosphère), Z \to +\infty donc u \to +\infty ;
• lorsque n = n_0 = n(Z_0) (au point d'approche minimale M_0), Z = Z_0 donc u = 0.

En injectant ces expressions dans la formule de la déviation totale et en utilisant le signe moins de \mathrm{d}n pour rétablir l'ordre croissant des bornes :

On effectue le changement de variable sans dimension v = \frac{u}{H_c}, d'où u = H_c v, \mathrm{d}u = H_c\,\mathrm{d}v et \sqrt{u} = \sqrt{H_c}\sqrt{v} :

On en déduit :

On identifie ainsi l'expression sous la forme \theta_d(Z_0, \lambda) \approx \Theta(Z_0)\varepsilon_\lambda avec :

La fonction \Theta(Z_0) est une fonction exponentielle strictement décroissante de l'altitude minimale Z_0. Or, pour qu'un rayon traverse l'atmosphère sans être occulté par la Terre solide, son altitude doit vérifier Z_0 \geqslant 0. La déviation est donc maximale pour le rayon rasant le sol terrestre :

D'après le résultat de la question Q26, l'angle de déviation totale s'écrit :

où la fonction \Theta(Z_0) = \sqrt{\dfrac{2\pi R_T}{H_c}}\exp\left(-\dfrac{Z_0}{H_c}\right) ne dépend que de la géométrie de la trajectoire (caractérisée par Z_0).

La dépendance chromatique intervient uniquement dans le terme \varepsilon_\lambda, donné par :

En différenciant \varepsilon_\lambda par rapport à \lambda :

Pour deux rayons incidents passant par le même point M_0 (même Z_0) et dont les longueurs d'onde diffèrent d'une petite variation \delta\lambda, la variation au premier ordre de l'angle de déviation \delta\theta_d s'obtient par différentiation :

On peut également exprimer cet écart en fonction de la déviation \theta_d(Z_0,\lambda) elle-même :

Considérons le plan contenant l'axe ST passant par le centre du Soleil S, le centre de la Terre T et le point N (centre du disque lunaire éclipsé).

1. Angle sous lequel le limbe terrestre est vu depuis N :

Pour un rayon passant à une altitude Z_0 \ll R_T au-dessus de la Terre, la distance à l'axe ST est r_0 = R_T + Z_0 \approx R_T. Pour que ce rayon atteigne le point N, son inclinaison finale vers l'axe ST doit valoir :

2. Inclinaison des rayons incidents :

Le Soleil étant une source étendue sous-tendant un demi-angle \theta_S \approx 16' depuis la Terre, les rayons incidents frappant le haut de l'atmosphère font un angle \alpha avec la direction de l'axe ST compris dans l'intervalle :

où \alpha > 0 correspond à un rayon convergeant initialement vers l'axe.

3. Déviation atmosphérique requise :

Après traversée de l'atmosphère, le rayon subit une déviation vers les zones plus denses (vers la Terre, donc vers l'axe ST) d'un angle \theta_d \ge 0. L'angle final du rayon par rapport à l'axe ST est donc :

Pour que le rayon atteigne le point N, il faut \theta_{\text{final}} = \theta_T, soit :

Selon le point d'émission sur le disque solaire, la déviation nécessaire est donc comprise entre :

Or, d'après les données de l'énoncé, la déviation atmosphérique maximale vaut \theta_{d,M} \approx 70' au ras du sol (Z_0 = 0) et varie continûment jusqu'à 0' à haute altitude :

Comme \theta_{d,\min} = 41' \le 70', il existe un intervalle d'altitudes Z_0 pour lesquelles la déviation est suffisante pour envoyer la lumière solaire en N :

D'après la loi de transfert radiatif établie à la question Q23, l'intensité spectrale reçue au point N s'écrit :

où I_\lambda(\lambda) est l'éclairement spectral solaire hors atmosphère (graphe de gauche) et \exp[-d_o(\lambda)] le facteur d'atténuation spectrale lié à la traversée atmosphérique (graphe de droite).

À l'aide des deux courbes de la figure 12, on relève plusieurs couples de valeurs dans le domaine du visible et du proche infrarouge :

On reporte ces points sur le repère fourni par le document réponse :

Conclusion sur la couleur de la Lune : Le spectre de la lumière transmise et réfractée vers le centre du cône d'ombre N est rigoureusement nul pour les courtes et moyennes longueurs d'onde (\lambda \lesssim 550\text{ nm}), qui correspondent au violet, au bleu et au vert : ces radiations sont quasi intégralement éliminées par la diffusion de Rayleigh (\mathscr{P}_a \propto \lambda^{-4}).

Seules les plus grandes longueurs d'onde du spectre visible (\lambda \gtrsim 600\text{ nm}), correspondant au rouge et au proche infrarouge, parviennent à traverser la basse atmosphère terrestre sans être totalement diffusées.