Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2023 (page 2/2 : Partie 3)

Considérons une tranche élémentaire de matériau comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section droite d'aire S selon le plan (Oxy), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z. Le milieu étant un solide indéformable, les capacités thermiques à volume et à pression constantes sont confondues (c_v \approx c_p).

Pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système fermé s'écrit :

• La variation d'énergie interne s'exprime par :

  \mathrm{d}U = (\rho\,\mathrm{d}V)\,c_p\,\mathrm{d}T = \rho c_p S\,\mathrm{d}z\,\frac{\partial T}{\partial t}(z,t)\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique net reçu par conduction à travers les faces en z et z+\mathrm{d}z s'écrit, en notant \vec{\jmath}_Q = j_{Q,z}\,\vec{u}_z le vecteur densité de flux thermique :

  \delta Q_{\text{cond}} = \left[ j_{Q,z}(z,t) - j_{Q,z}(z+\mathrm{d}z,t) \right] S\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_{Q,z}}{\partial z} S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

• Le travail électrique reçu et converti en chaleur par effet Joule correspond à un apport volumique d'énergie :

  \delta W_J = P_J(z)\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = P_J(z)\,S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t

En divisant par S\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}t, le bilan d'énergie locale s'écrit :

D'après la loi de Fourier, la conduction thermique dans ce milieu homogène et isotrope de conductivité k s'écrit :

En injectant cette relation dans le bilan local, on obtient l'équation de la chaleur avec terme source :

Interprétation physique de chaque terme :

• \rho c_p \dfrac{\partial T(z, t)}{\partial t} : terme d'accumulation thermique volumique, traduisant la variation temporelle d'énergie interne emmagasinée par unité de volume du solide.
• -k \dfrac{\partial^2 T(z, t)}{\partial z^2} = \operatorname{div}\vec{\jmath}_Q : terme de diffusion thermique par conduction (loi de Fourier), correspondant au bilan de transfert d'énergie net évacué par conduction hors du volume élémentaire.
• P_J(z) : terme source de puissance volumique, représentant la chaleur dégagée localement par effet Joule due aux courants de Foucault induits.

L'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive signifie que l'épaisseur de peau \delta est très faible devant la longueur caractéristique de diffusion thermique dans le matériau. La puissance volumique P_J(z), non négligeable uniquement pour z \lesssim \delta, est donc concentrée dans une pellicule infiniment mince au voisinage immédiat de la surface z = 0.

À l'échelle macroscopique, ce terme source volumique se modélise par une densité surfacique de puissance P_s localisée en z=0, soit formellement :

où \delta_D(z) désigne la distribution de Dirac en z = 0.

La puissance totale dissipée par unité de surface de l'interface s'obtient en intégrant la puissance volumique sur toute la profondeur du conducteur :

L'énoncé introduit la notation :

qui sera conservée pour la suite de l'épreuve afin d'assurer la cohérence avec les conditions aux limites de la question suivante.

La température initiale étant constante et uniforme (T_0 = \mathrm{cte}), la variable d'écart \widehat{T}(z, t) = T(z, t) - T_0 vérifie directement :

Sous l'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive (question 20), la puissance volumique P_J(z) est reportée à la frontière z = 0 sous forme d'un flux surfacique P_s. Pour tout z > 0, la source volumique est donc nulle, et l'équation établie à la question 19 devient :

Justifions à présent les conditions initiales et aux limites :

• Condition initiale (t = 0) : Avant le début du chauffage, la pièce métallique est à l'équilibre thermique à la température ambiante T_0, soit T(z, 0) = T_0, d'où :

  \widehat{T}(z, t = 0) = 0

• Condition à l'infini (z \to +\infty) : Le milieu étant semi-infini, l'onde thermique ne pénètre qu'à distance finie pour tout temps fini t ; le métal très éloigné de l'interface reste à la température ambiante T_0, soit :

  \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0

• Condition à l'interface (z = 0) : Le matériau étant supposé isolé thermiquement de l'extérieur vers z < 0, la puissance surfacique inductive P_s injectée en surface doit intégralement pénétrer dans le conducteur selon +\vec{u}_z par conduction thermique. D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique surfacique entrant vaut \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(z, t) = -k \frac{\partial T}{\partial z} \vec{u}_z = -k \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z} \vec{u}_z. La continuité du flux en z = 0 impose donc :

  j_{\mathrm{th}, z}(0^+, t) = P_s \iff -k \left.\frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0} = P_s \iff \left.k \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0} = -P_s

On retrouve bien le système complet de conditions aux limites proposé par l'énoncé :

D'après la question Q21, le champ d'écart de température \widehat{T}(z, t) vérifie pour z > 0 l'équation de la diffusion sans terme source :

En introduisant la diffusivité thermique du matériau D = \frac{k}{\rho c_p}, cette équation s'écrit :

Par transformation de Laplace par rapport au temps t, et en utilisant la condition initiale \widehat{T}(z, t=0) = 0 :

L'équation aux dérivées partielles devient une équation différentielle ordinaire par rapport à la variable d'espace z :

Pour s > 0, la solution générale s'écrit :

La condition limite à l'infini \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 impose \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, s) = 0, ce qui implique B(s) = 0. Il reste donc :

La condition à l'interface en z = 0, valable pour tout t > 0, est :

Comme P_s est constant pour t > 0, sa transformée de Laplace est \mathcal{L}\{P_s\} = \frac{P_s}{s} (d'après la ligne A = \text{constante} de la table). En transformant la condition aux limites :

Or, en dérivant l'expression de \widehat{T}(z, s) par rapport à z :

On en déduit :

En remarquant que \frac{k}{\sqrt{D}} = \sqrt{k \rho c_p} (effusivité thermique du milieu), on peut exprimer A(s) sous la forme :

La solution dans le domaine de Laplace est donc :

D'après la question Q22, l'expression de la transformée de Laplace du champ de température s'écrit :

Au voisinage de z = 0, effectuons un développement limité à l'ordre 1 en z de l'exponentielle :

En multipliant par le préfacteur, on obtient le développement limité à l'ordre 1 en z de \widehat{T}(z, s) :

Pour inverser cette transformée de Laplace terme à terme, on utilise les correspondances données dans la table de l'énoncé :

• Pour le premier terme : avec f(s) = \dfrac{A\sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}}, la fonction temporelle correspondante est f(t) = A\sqrt{t}. On a ici :

  \frac{P_s}{\sqrt{k \rho c_p}} \frac{1}{s^{3/2}} = \frac{A \sqrt{\pi}}{2 s^{3/2}} \implies A = \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}}

  Ce terme a donc pour transformée de Laplace inverse :

  \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

• Pour le second terme proportionnel à z : avec la ligne \dfrac{A}{s} \longleftrightarrow A = \text{cte}, on identifie A = -\dfrac{P_s z}{k}. La transformée de Laplace inverse est donc :

  -\frac{P_s}{k} z

On en déduit l'expression temporelle au voisinage de z = 0 :

À un instant t > 0 fixé, le profil spatial de température \widehat{T}(z, t) est caractérisé par :

• En z = 0 : d'après la question Q23, la température de surface vaut

  \widehat{T}(0, t) = \frac{2P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

• Pente en z = 0 : imposée par la condition aux limites de flux (loi de Fourier, question Q21) :

  \left.\frac{\partial \widehat{T}}{\partial z}\right|_{z=0^+} = -\frac{P_s}{k} < 0

  Cette pente est strictement négative et remarquable car indépendante du temps t.

• Pour z \to +\infty : la condition aux limites impose

  \lim_{z \to +\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 \quad \text{avec} \quad \lim_{z \to +\infty} \frac{\partial \widehat{T}}{\partial z} = 0

  L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale.

• Longueur caractéristique de diffusion : l'échauffement pénètre dans le métal sur une profondeur de diffusion thermique \delta_{\text{th}} \sim \sqrt{D t} = \sqrt{\frac{k t}{\rho c_p}}.

Le profil spatial \widehat{T}(z, t) est strictement décroissant et convexe. L'allure correspondante est représentée ci-dessous :

D'après le résultat de la question Q23, la température à l'interface z = 0 s'exprime en fonction du temps selon :

Commentaire sur la dépendance en temps :

• La température de surface croît en \sqrt{t}. Cette loi en racine carrée est caractéristique d'un apport d'énergie surfacique constant se propageant par diffusion thermique dans un milieu semi-infini.
• À l'origine (t \to 0^+), la dérivée temporelle \frac{\mathrm{d}\widehat{T}}{\mathrm{d}t} \propto \frac{1}{\sqrt{t}} diverge : l'échauffement initial en surface est extrêmement rapide car la chaleur injectée est d'abord confinée sur une épaisseur de diffusion infinitésimale \ell_{\text{th}} \sim \sqrt{D t}.

• Aux temps longs (t \to +\infty), on a :

  \lim_{t \to +\infty} \widehat{T}(z=0, t) = +\infty

  En l'absence de pertes thermiques vers l'extérieur (le système étant supposé thermiquement isolé), le matériau emmagasine continûment de l'énergie, de sorte qu'il n'existe aucun état stationnaire.

Atteinte de la température de fusion : Puisque \widehat{T}(z=0, t) croît indéfiniment, elle dépasse nécessairement, au bout d'une durée finie t_f, l'écart correspondant à la fusion de l'acier (T_f \approx 1500\,^\circ\text{C}) :

L'équation de la diffusion thermique vérifiée par \widehat{T}(z, t) pour z > 0 reste inchangée par rapport à la question 21 :

Avec la condition initiale \widehat{T}(z, 0) = 0, la transformée de Laplace \widehat{T}(z, s) vérifie pour z > 0 (d'après la question 22) :

La condition de régularité à l'infini \lim_{z\to+\infty} \widehat{T}(z, t) = 0 impose toujours d'éliminer la composante divergente, d'où :

Prenons à présent la transformée de Laplace de la nouvelle condition aux limites en z = 0 :

En utilisant la linéarité de la transformation de Laplace et le fait que P_s est constant pour t > 0 (dont la transformée est P_s/s) :

Or, d'après la forme générale de \widehat{T}(z, s) :

La condition à l'interface devient :

En remarquant que k\sqrt{\frac{s}{D}} = k\sqrt{\frac{\rho c_p s}{k}} = \sqrt{k\rho c_p s}, on en déduit :

La nouvelle solution dans le domaine de Laplace est donc :

D'après la question Q26, la transformée de Laplace du champ d'écart de température s'écrit :

Formons la quantité s\widehat{T}(z, s) :

Pour z \ge 0 fixé, faisons tendre s vers 0 :

Le théorème de la valeur finale fournit directement :

Soit, pour la température absolue T(z, t) = T_0 + \widehat{T}(z, t) :

D'après la question Q26, l'expression de la transformée de Laplace du champ de température en présence de pertes conducto-convectives est :

Lorsque s \to +\infty, le terme \sqrt{k\rho c_p s} devient prépondérant devant le coefficient d'échange h au dénominateur :

On en déduit le comportement équivalent :

Cette limite redonne exactement l'expression obtenue à la question Q22 pour le matériau thermiquement isolé de son environnement (h = 0).

D'après le théorème de la valeur initiale en transformation de Laplace, la limite s \to +\infty gouverne la dynamique aux temps courts (t \to 0). Aux premiers instants du chauffage, l'échauffement de surface \widehat{T}(0, t) = T(0, t) - T_0 est infinitésimal. Les pertes conducto-convectives surfaciques, modélisées par la loi de Newton :

sont donc négligeables devant la puissance volumique/surfacique injectée P_s. L'intégralité du flux incident sert initialement à échauffer la matière par diffusion thermique pure, ce qui explique pourquoi l'évolution aux temps courts est rigoureusement identique à celle en l'absence de convection :

D'après les questions précédentes, l'élévation de température à l'interface z = 0 présente deux régimes asymptotiques remarquables :

• Aux temps courts (t \to 0) (d'après Q28) :

  \widehat{T}(0, t) \underset{t \to 0}{\sim} \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{t}

  La courbe part de l'origine avec une pente infinie (tangente verticale en t=0) et croît comme \sqrt{t}.

• Aux temps longs (t \to +\infty) (d'après Q27) :

  \lim_{t \to +\infty} \widehat{T}(0, t) = \frac{P_s}{h}

  La courbe tend de manière monotone vers l'asymptote horizontale d'ordonnée \widehat{T}_\infty = \dfrac{P_s}{h}.

Le temps caractéristique marquant la transition entre le régime dominé par la conduction massique et le régime saturé par la convection est donné par l'égalité \frac{2 P_s}{\sqrt{\pi k \rho c_p}} \sqrt{\tau} \sim \frac{P_s}{h}, soit :

Condition pour atteindre la fusion de l'acier :

La température absolue atteinte par la pièce métallique en surface au cours du temps est :

Comme la fonction \widehat{T}(0, t) est strictement croissante et plafonne à T_\infty = T_0 + \dfrac{P_s}{h}, la température de fusion T_f (de l'ordre de 1500\,^\circ\text{C}) ne peut être atteinte que si la température stationnaire limite est supérieure ou égale à T_f :

On en déduit la condition nécessaire sur la puissance surfacique injectée :

Les pertes surfaciques à l'interface vers l'air ambiant à la température T_0 = 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K} se composent de :

• la puissance conducto-convective :

  \varphi_{\text{conv}} = h(T - T_0)

• la puissance radiative nette émise vers l'environnement (assimilé à un corps noir à T_0) avec \epsilon = 1 :

  \varphi_{\text{ray}} = \sigma_0 (T^4 - T_0^4)

1. À basse température (T \approx 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K}) :

Pour un faible écart de température T - T_0 \ll T_0, on peut linéariser la loi de Stefan-Boltzmann :

ce qui permet d'introduire un coefficient d'échange radiatif :

Ce coefficient est du même ordre de grandeur que le coefficient convectif h = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

2. À haute température (T = 1200\,^\circ\text{C} = 1473\text{ K}) :

Calculons numériquement les densités de flux :

Le terme radiatif l'emporte très largement sur le terme convectif :

(De façon équivalente, le coefficient radiatif effectif h_{\text{rad}} = \varphi_{\text{ray}}/(T - T_0) \approx 230\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \gg h).

3. Hypothèses simplificatrices :

• À basse température (T \lesssim 200\text{ à } 300\,^\circ\text{C}) : le rayonnement peut être linéarisé. Les deux modes de transfert sont comparables et peuvent être regroupés en un coefficient d'échange global linéaire :

  \boxed{h_{\text{global}} = h + 4\sigma_0 T_0^3 \approx 16\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}}

  ce qui préserve la linéarité du problème thermique.

• À haute température (T \gtrsim 800\text{ à } 1200\,^\circ\text{C}) : les pertes convectives sont négligeables devant les pertes radiatives :

  \boxed{\varphi_{\text{pertes}} \approx \sigma_0 T^4 \gg \varphi_{\text{conv}}}

  Le problème devient alors fortement non linéaire en surface.

1. Cohérence avec les observations du forgeron

D'après la loi de Wien établie en Q1, le maximum d'émission se déplace vers les courtes longueurs d'onde lorsque la température augmente :

Bien que \lambda_{\max} reste situé dans le proche infrarouge, le spectre s'étend largement vers le domaine visible (0{,}4 - 0{,}8\,\mu\text{m}). De plus, l'irradiance spectrale dans le visible croît de façon spectaculaire avec T (queue de Wien variant en e^{-hc/\lambda k_B T}).

Le métal commence à rougeoyer visiblement dès 500\text{--}600\text{ }^\circ\text{C} (point de Draper), devient rouge vif vers 800\text{ }^\circ\text{C}, orange-jaune vers 1000\text{ }^\circ\text{C} et blanc éclatant vers 1300\text{--}1500\text{ }^\circ\text{C}. Il est donc tout à fait cohérent que la couleur du métal soit parfaitement observable et serve d'indicateur thermique bien avant d'atteindre la température de fusion T_f \approx 1500\text{ }^\circ\text{C}.

2. Rôle du rayonnement sur la puissance de chauffe

À l'interface de la pièce, le bilan des flux thermiques en régime quasi-stationnaire s'écrit :

Comme montré à la question Q30, le terme radiatif évolue en T^4 et domine écrasantement le terme convectif à haute température :

• À T = 1500\text{ }^\circ\text{C} \approx 1773\text{ K}, la perte convective est :

  \varphi_{\text{conv}} = h(T - T_0) \approx 10 \times 1480 \approx 15\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2}

• La perte radiative vaut quant à elle :

  \varphi_{\text{ray}} \approx \sigma_0 T^4 \approx 5{,}67 \cdot 10^{-8} \times (1773)^4 \approx 560\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2}

Le rayonnement constitue donc la cause principale de déperdition thermique à haute température (\varphi_{\text{ray}} \gg \varphi_{\text{conv}}).

Par conséquent, la puissance inductive surfacique P_s doit croître de façon très importante pour compenser les pertes radiatives et continuer à élever la température. Le rayonnement agit comme un puissant mécanisme de saturation thermique : pour atteindre une température donnée T, la puissance minimale à injecter est imposée par le terme radiatif :

D'après la question Q11, l'épaisseur de peau dans le conducteur s'écrit :

La distribution des courants induits et de la puissance Joule volumique P_J(z) \propto \exp(-2z/\delta) dépend donc crucialement de l'état magnétique du matériau.

1. Cas T \ll T_c (matériau entièrement ferromagnétique) :

• L'acier est à l'état ferromagnétique avec \mu_r \gg 1 (de l'ordre de 100 à 1000). L'épaisseur de peau \delta_{\text{ferro}} est très faible (typiquement de l'ordre de quelques dixièmes de millimètre).
• Les courants induits et la puissance Joule sont extrêmement confinés au voisinage immédiat de la surface (z \lesssim \delta_{\text{ferro}}), validant pleinement l'hypothèse de source surfacique P_s de la partie 3.
• Distribution de température : le gradient de température en surface est très marqué (|\partial T/\partial z|_{z=0} \approx P_s/k), la surface s'échauffe très rapidement par rapport au cœur du matériau, et la chaleur se propage lentement vers l'intérieur par diffusion thermique (profil fortement décroissant avec la profondeur z).

2. Cas T \gg T_c (matériau entièrement paramagnétique) :

• L'acier a transité vers la phase paramagnétique pour laquelle \mu_r \approx 1. L'épaisseur de peau augmente brutalement d'un facteur \sqrt{\mu_r} \approx 10 :

  \delta_{\text{para}} \approx \sqrt{\mu_r} \, \delta_{\text{ferro}} \gg \delta_{\text{ferro}}
• Les courants induits et les pertes Joule ne sont plus confinés à l'extrême surface mais sont distribués sur une profondeur volumique bien plus grande (\sim \delta_{\text{para}}).
• Distribution de température : la puissance étant délivrée en volume sur une couche épaisse, le gradient thermique au voisinage de l'interface est beaucoup plus faible et le profil de température au sein du métal est nettement plus uniforme et adouci.

3. Cas T \approx T_c (coexistence de deux zones lors de la chauffe) :

• La température décroissant avec z, la zone superficielle (0 \le z < z_c) dépasse T_c et devient paramagnétique (\mu_r \approx 1), tandis que le cœur (z > z_c) reste sous T_c et demeure ferromagnétique (\mu_r \gg 1).
• L'onde électromagnétique traverse la couche superficielle paramagnétique sans subir d'atténuation notable (car \delta_{\text{para}} \gg z_c), puis pénètre dans la région ferromagnétique sous-jacente où elle est brutalement absorbée sur une épaisseur \delta_{\text{ferro}} au-delà de z_c.
• La zone de dissipation Joule maximale migre donc de la surface vers le front mobile z = z_c(t) situé à la température T_c.
• Distribution de température : le profil présente un palier ou un coude au niveau du front z_c(t). La dissipation interne favorise la propagation rapide de l'échauffement vers le cœur, régulant naturellement la surchauffe de surface et homogénéisant la pièce métallique.