Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2022

Le signal d'entrée est purement sinusoïdal :

Son spectre d'amplitude comporte une unique raie à la fréquence f_0, d'amplitude 1.

Le signal obtenu après multiplication s'écrit :

En utilisant la relation trigonométrique \cos a \cos b = \frac{1}{2}\big[\cos(a-b) + \cos(a+b)\big] et compte tenu de la condition f_1 > f_0, on obtient :

Le signal x_e(t) est donc composé de deux raies spectrales :

• une composante à la fréquence f_1 - f_0 > 0, d'amplitude \frac{1}{2} ;
• une composante à la fréquence f_1 + f_0, d'amplitude \frac{1}{2}.

On représente les deux spectres d'amplitude sur le diagramme ci-dessous :

Puisque la durée d'impulsion vérifie T \ll T_e, le signal échantillonné est constitué d'une succession d'impulsions très étroites localisées aux instants t_k = k T_e d'amplitudes respectives :

• Cas f_e = 4f_0 (T_e = T_0/4) : Les échantillons sont prélevés quatre fois par période :

  x_e(t_k) = \cos\left(k \frac{\pi}{2}\right) \in \{1,\, 0,\, -1,\, 0,\, 1,\, \dots\}.

• Cas f_e = 2f_0 (T_e = T_0/2) : Les échantillons sont prélevés deux fois par période, aux extrema du signal :

  x_e(t_k) = \cos(k\pi) = (-1)^k \in \{1,\, -1,\, 1,\, -1,\, \dots\}.

• Cas f_e = \frac{4}{3}f_0 (T_e = \frac{3}{4}T_0) : L'intervalle de temps entre deux prélèvements vaut les trois quarts de la période :

  x_e(t_k) = \cos\left(k \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-k \frac{\pi}{2}\right) \in \{1,\, 0,\, -1,\, 0,\, 1,\, \dots\}.

Interprétation qualitative : Pour f_e = 4f_0 et f_e = 2f_0, les valeurs échantillonnées restituent la périodicité T_0 du signal.

En revanche, pour f_e = \frac{4}{3}f_0, la suite des échantillons \{1, 0, -1, 0, 1\} s'étale sur 4 pas d'échantillonnage, soit sur une durée :

Un observateur interpolant les échantillons perçoit un signal sinusoïdal de fréquence apparente :

Le signal échantillonné n'est donc pas représentatif du signal analogique initial : il y a un effet d'illusion fréquentielle (repliement du spectre ou aliasing).

En injectant le développement de w(t) dans l'expression de x_e(t), on obtient :

D'après la question 1, le produit de deux cosinus se linéarise en :

En se limitant aux valeurs 0 \le k \le 2, le spectre unilatéral (fréquences positives) de x_e(t) contient les composantes suivantes :

• pour k=0 : fréquence f_0 d'amplitude a_0 ;
• pour k=1 : fréquences |f_e - f_0| et f_e + f_0, d'amplitude \frac{a_1}{2} ;
• pour k=2 : fréquences |2f_e - f_0| et 2f_e + f_0, d'amplitude \frac{a_2}{2}.

1. Cas f_e = 4f_0 : Les fréquences associées sont :

• k=0 : f_0 ;
• k=1 : 4f_0 - f_0 = 3f_0 et 4f_0 + f_0 = 5f_0 ;
• k=2 : 8f_0 - f_0 = 7f_0 et 8f_0 + f_0 = 9f_0.

Dans la fenêtre [0, f_e], les deux raies sont à f_0 et 3f_0. Elles sont nettement séparées et situées de part et d'autre de f_e/2 = 2f_0 : il n'y a aucun chevauchement.

2. Cas f_e = \frac{4}{3}f_0 : Les fréquences associées sont :

• k=0 : f_0 ;
• k=1 : |f_e - f_0| = \left|\frac{4}{3} - 1\right|f_0 = \frac{1}{3}f_0 et f_e + f_0 = \frac{7}{3}f_0 ;
• k=2 : 2f_e - f_0 = \frac{8}{3}f_0 - f_0 = \frac{5}{3}f_0 et 2f_e + f_0 = \frac{11}{3}f_0.

Dans ce second cas (f_e = \frac{4}{3}f_0), le motif issu de k=0 (raie à f_0) a dépassé la borne \frac{f_e}{2} = \frac{2}{3}f_0, tandis que la raie issue de la modulation par k=1 (à f_e - f_0 = \frac{1}{3}f_0) est descendue en dessous de \frac{f_e}{2}. Les motifs centrés en 0 et en f_e se croisent et se chevauchent.

Dans la fenêtre [0, f_e], ce repliement de spectre (ou effet de miroir) s'effectue symétriquement autour de :

qui vaut ici \frac{2}{3}f_0 (dite fréquence de Nyquist).

D'après l'étude menée aux questions précédentes :

• Sur le plan temporel (question 2), pour f_e = \frac{4}{3}f_0 < 2f_0, les échantillons prélevés décrivent une sinusoïde apparente de fréquence f_{\text{app}} = \frac{f_0}{3} \neq f_0, conduisant à une perte irréversible de l'information (spectre faussé).

• Sur le plan fréquentiel (question 3), le premier motif répliqué est centré en f_e et possède une composante basse à la fréquence f_e - f_0. Pour éviter tout chevauchement (repliement spectral) entre la composante d'origine f_0 et cette composante répliquée dans la bande de base [0, f_e/2], il faut que :

  f_e - f_0 \ge f_0

On en déduit la relation fondamentale assurant un bon échantillonnage du signal sinusoïdal x(t), connue sous le nom de critère de Shannon-Nyquist :

En pratique, pour éviter toute ambiguïté de phase ou difficulté de filtrage dans le cas limite f_e = 2f_0, on impose une inégalité stricte f_e > 2f_0.

1. Généralisation du critère de Shannon-Nyquist

Le signal X(t) a un spectre à bande de base borné par la fréquence maximale f_{\max} : son spectre est contenu dans la bande [0, f_{\max}] (ou [-f_{\max}, f_{\max}] en représentation bilatérale).

L'échantillonnage à la fréquence f_e duplique le spectre initial autour de chaque harmonique k f_e (k \in \mathbb{N}^*), créant des motifs latéraux délimités par [k f_e - f_{\max}, k f_e + f_{\max}]. Pour éviter tout chevauchement (repliement spectral) entre le spectre utile [0, f_{\max}] et la première réplique inférieure [f_e - f_{\max}, f_e + f_{\max}], la borne inférieure du premier motif répliqué doit être supérieure ou égale à la borne supérieure du spectre utile :

Le critère de Shannon-Nyquist s'écrit donc :

2. Représentation des spectres échantillonnés

Le spectre échantillonné X_e(f) comporte le spectre d'origine ainsi que ses répliques centrées en f_e, 2f_e, \dots

3. Ordres de grandeur pour un signal sonore audible

L'oreille humaine perçoit les sons de fréquences comprises approximativement entre 20\text{ Hz} et 20\text{ kHz}. Pour un signal sonore audible :

• La fréquence maximale à conserver est :

  \boxed{f_{\max} \approx 20\text{ kHz}}

• D'après le critère de Shannon-Nyquist, la fréquence d'échantillonnage doit vérifier f_e \ge 40\text{ kHz}. En pratique, afin de permettre un filtrage anti-repliement analogique réaliste (pente finie), on choisit typiquement :

  \boxed{f_e = 44{,}1\text{ kHz}} \quad \text{(norme CD audio) ou } \boxed{f_e = 48\text{ kHz}}

D'après la question Q5, lorsque le critère de Shannon-Nyquist est satisfait (f_e \ge 2f_{\max}), le spectre du signal échantillonné X_e(f) est constitué :

• du spectre utile a_0 X(f), centré en f = 0 et confiné dans la bande passante [0, f_{\max}] ;
• d'une infinité de répliques fréquentielles centrées sur les harmoniques de la fréquence d'échantillonnage k f_e (k \in \mathbb{N}^*), la première s'étendant à partir de f = f_e - f_{\max}.

Puisque f_e \ge 2f_{\max}, on a f_e - f_{\max} \ge f_{\max} : il n'y a aucun recouvrement spectral. Il existe donc une zone spectrale séparatrice entre la bande utile et les répliques :

Pour récupérer fidèlement le signal analogique de départ X(t), il suffit d'intercaler un filtre passe-bas (appelé filtre de lissage ou filtre de reconstruction) dont les caractéristiques sont :

• Nature du filtre : filtre passe-bas, idéalement d'ordre élevé afin de rejeter le plus possible la première réplique dès f = f_e - f_{\max}.

• Fréquence de coupure f_c : elle doit être strictement supérieure à f_{\max} pour laisser intact le signal d'origine, et strictement inférieure à f_e - f_{\max} pour éliminer toutes les répliques périodiques :

  \boxed{f_{\max} \le f_c \le f_e - f_{\max}}

  On choisit couramment la fréquence de Nyquist f_c = \frac{f_e}{2}.

• Gain dans la bande passante : le gain statique doit être constant et valoir G_0 = \frac{1}{a_0} pour rétablir l'amplitude initiale du signal X(t).
• Phase : la phase doit dépendre linéairement de la fréquence dans la bande passante [0, f_{\max}] pour garantir un temps de propagation de groupe constant et éviter toute distorsion temporelle.

Chaque échantillon est codé sur r = 16\text{ bits}, soit :

L'enregistrement étant réalisé en stéréo (soit N_v = 2 voies indépendantes), le volume d'octets prélevé à chaque instant d'échantillonnage est :

Pendant la durée \Delta t, le nombre total d'échantillons prélevés par voie est N_{\text{ech}} = f_e \Delta t. La taille totale minimale \mathcal{T} du fichier musical s'exprime donc par :

Avec :

• \Delta t = 75\text{ min} = 75 \times 60\text{ s} = 4\,500\text{ s},
• f_e = 44{,}1\text{ kHz} = 44\,100\text{ Hz}.

Calculons la taille en octets :

Selon la définition standard du Système International (1\text{ Mo} = 10^6\text{ octets}) :

Remarque : En adoptant la convention informatique binaire (1\text{ Mio} = 2^{20}\text{ octets} = 1\,048\,576\text{ octets}), on obtiendrait \mathcal{T} = \frac{793\,800\,000}{1\,048\,576}\text{ Mo} \approx 757\text{ Mo} \approx 760\text{ Mo}.

1. Définition de l'approximation acoustique

L'approximation acoustique consiste à supposer que le passage de l'onde sonore n'engendre que de très faibles perturbations par rapport à l'état de repos du fluide :

• la surpression acoustique reste négligeable devant la pression au repos : |p_1| \ll P_0 ;
• la variation relative de masse volumique est très faible : |\mu_1| \ll \mu_0 ;
• la vitesse particulaire reste très petite devant la célérité du son : |v_1| \ll c_s (nombre de Mach acoustique M = |v_1|/c_s \ll 1).

Cette hypothèse permet de linéariser les équations locales de la mécanique des fluides (équation de conservation de la masse, équation d'Euler et équation d'état) en négligeant tous les termes d'ordre supérieur ou égal à deux, notamment le terme convectif (\vec{v}_1\cdot\vec{\nabla})\vec{v}_1 \approx \vec{0} et la dérivée convective (\vec{v}_1\cdot\vec{\nabla})\mu_1 \approx 0.

2. Ordres de grandeur pour un son audible

Pour une oreille humaine saine, les pressions acoustiques audibles s'étendent du seuil d'audibilité (0 dB, |p_1| \approx 2\times 10^{-5}\text{ Pa}) au seuil de douleur (environ 120 dB, |p_1| \approx 20\text{ Pa}). Pour une conversation courante (niveau d'environ 60 dB) :

• Surpression acoustique :

  \boxed{|p_1| \sim 10^{-2}\text{ à } 10^{-1}\text{ Pa}} \quad (\text{soit } 10^{-5}\text{ à } 20\text{ Pa sur toute la plage audible}).

• Vitesse particulaire : liée à la surpression par |v_1| \approx \frac{|p_1|}{\mu_0 c_s}. Avec \mu_0 = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

  \boxed{|v_1| \sim 10^{-5}\text{ à } 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}} \quad (\text{très inférieure à } c_s).

• Perturbation de masse volumique : liée à la surpression par |\mu_1| \approx \frac{|p_1|}{c_s^2} :

  \boxed{|\mu_1| \sim 10^{-7}\text{ à } 10^{-5}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}} \quad (\text{très inférieure à } \mu_0).

Ces valeurs confirment a posteriori la parfaite validité des critères de l'approximation acoustique dans le domaine audible usuel.

3. Domaine de fréquence des ondes audibles

Le domaine des fréquences audibles par l'oreille humaine s'étend classiquement de :

En deçà de 20 Hz se situent les infrasons, et au-delà de 20 kHz, les ultrasons.

1. Définition générale de \chi_S

Par définition thermodynamique, pour un système fermé de volume V et de masse m (donc de masse volumique \mu = m/V) :

Comme \mathrm{d}\mu = -\frac{m}{V^2}\,\mathrm{d}V = -\frac{\mu}{V}\,\mathrm{d}V, on a également :

2. Expression linéarisée dans l'approximation acoustique

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'ordre 1 : P = P_0 + p_1 et \mu = \mu_0 + \mu_1 avec |p_1| \ll P_0 et |\mu_1| \ll \mu_0. Un développement de Taylor au premier ordre autour de l'état d'équilibre (P_0, \mu_0) donne :

On en déduit l'expression linéarisée :

3. Pertinence de son introduction

Le passage d'une onde acoustique est un phénomène rapide à l'échelle des échanges thermiques conductifs : le temps caractéristique de diffusion de la chaleur à l'échelle d'une longueur d'onde est très grand devant la période temporelle de l'onde sonore (\tau_{\text{diff}} \sim \lambda^2 / D_{\text{th}} \gg T_{\text{onde}}). Chaque élément de fluide subit donc des transformations adiabatiques. De plus, les gradients et la viscosité étant très faibles à cette échelle de perturbation, ces transformations s'effectuent sans création d'entropie appréciable : elles sont réversibles, donc isentropiques. Il est donc tout à fait pertinent d'utiliser le coefficient isentropique \chi_S pour relier les variations de masse volumique et de pression.

4. Signification physique

Le coefficient \chi_S (exprimé en \mathrm{Pa}^{-1}) mesure la compressibilité du fluide à entropie constante, c'est-à-dire l'aptitude relative du fluide à faire varier son volume (ou sa masse volumique) sous l'effet d'une variation de pression :

Plus \chi_S est élevé, plus le milieu est facilement compressible.

1. Équation de conservation de la masse :

Elle traduit la conservation de la matière dans un écoulement sans source ni puits :

En géométrie unidimensionnelle selon (Ox) avec \mu = \mu_0 + \mu_1(x,t) et \vec{v}_1 = v_1(x,t)\,\widehat{e}_x :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, on néglige le terme d'ordre 2, \mu_1 v_1 \ll \mu_0 v_1 (car |\mu_1| \ll \mu_0) :

2. Équation de la dynamique (équation d'Euler) :

L'air est modélisé par un fluide parfait (effets visqueux dissipatifs négligeables à l'échelle de l'onde) et le poids des particules de fluide est négligeable devant les forces de pression acoustique. La relation fondamentale de la dynamique appliquée à une particule fluide s'écrit :

En projection selon \widehat{e}_x :

Dans l'approximation acoustique, le terme convectif d'accélération v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} est négligeable devant l'accélération locale \frac{\partial v_1}{\partial t} (car |v_1| \ll c_s), et \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} est un terme du second ordre :

3. Obtention de l'équation de d'Alembert :

D'après la question Q9, la transformation isentropique donne \mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1. En injectant cette relation dans l'équation de continuité linéarisée, on obtient :

Dérivons cette équation par rapport au temps t :

Par ailleurs, dérivons l'équation d'Euler linéarisée par rapport à x :

En combinant ces deux relations (le théorème de Schwarz s'appliquant aux fonctions régulières), il vient :

On reconnaît l'équation de propagation de d'Alembert :

avec une célérité c_s donnée par la formule de Laplace :

D'après l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question Q10, le champ de vitesse et le champ de surpression sont liés par :

Pour l'onde incidente \underline{p}_{\mathrm{i}}(x,t) = p_{\mathrm{im}} \mathrm{e}^{j(\omega t - kx)} et \underline{v}_{\mathrm{i}}(x,t) = \frac{p_{\mathrm{im}}}{Z_{\mathrm{a}}} \mathrm{e}^{j(\omega t - kx)}, la dérivation s'écrit \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow j\omega et \frac{\partial}{\partial x} \leftrightarrow -jk. L'équation d'Euler devient :

Sachant que \frac{\omega}{k} = c_s, on obtient :

Par identification avec la relation de définition \underline{v}_{\mathrm{i}}(x,t) = \frac{\underline{p}_{\mathrm{i}}(x,t)}{Z_{\mathrm{a}}}, il vient :

Cette grandeur est appelée l'impédance acoustique caractéristique (ou spécifique) du fluide.

Pour l'onde réfléchie \underline{p}_{\mathrm{r}}(x,t) = \underline{p}_{\mathrm{rm}} \mathrm{e}^{j(\omega t + kx)}, l'onde se propage selon les x décroissants, d'où \frac{\partial}{\partial x} \leftrightarrow +jk. L'équation d'Euler donne :

Pour l'onde transmise \underline{p}_{\mathrm{t}}(x,t) = \underline{p}_{\mathrm{tm}} \mathrm{e}^{j(\omega t - kx)}, l'onde se propage selon les x croissants dans le même fluide (l'air, donc de même impédance Z_{\mathrm{a}}) :

L'épaisseur de la cloison vérifie e \ll \lambda : elle vibre donc en bloc sans déformation interne, avec une vitesse d'ensemble selon \widehat{e}_x donnée par :

En l'absence de cavitation ou de décollement du fluide à l'interface, la vitesse normale du fluide est continue au contact de chaque face de la cloison :

Le champ de vitesse vaut \underline{v}(x,t) = \underline{v}_{\mathrm{i}}(x,t) + \underline{v}_{\mathrm{r}}(x,t) pour x < 0 et \underline{v}(x,t) = \underline{v}_{\mathrm{t}}(x,t) pour x > 0. Évalué en x \approx 0, l'égalité des vitesses du fluide de part et d'autre de la cloison s'écrit :

En factorisant par le terme temporel \mathrm{e}^{j\omega t}, on en déduit immédiatement la relation entre les amplitudes complexes de vitesse :

Légitimité de l'écriture en x \approx 0 : La position réelle de la cloison est x = X(t). Effectuons un développement de Taylor du champ de vitesse au voisinage de sa position d'équilibre x = 0 :

L'ordre de grandeur de l'amplitude du déplacement est X_{\mathrm{m}} \sim \frac{v_{\mathrm{m}}}{\omega}. Par conséquent :

d'après l'approximation acoustique (v_1 \ll c_s, établie à la question Q8). Le terme correctif X(t) \frac{\partial \underline{v}}{\partial x} \sim k X_{\mathrm{m}} v_{\mathrm{m}} est donc du second ordre en perturbation acoustique. Au premier ordre de la théorie linéaire, il est tout à fait légitime de linéariser la condition aux limites et de l'appliquer en la position moyenne d'équilibre x = 0.

Considérons la cloison de masse m, d'épaisseur e \ll \lambda et de surface S, assimilée à un solide indéformable en translation le long de l'axe (Ox) repéré par \underline{X}(t) = \underline{X}_{\mathrm{m}} \mathrm{e}^{j\omega t}.

Le bilan des forces projeté selon \widehat{e}_x s'écrit :

• Force pressante exercée par l'air à gauche (x = 0^-) :

  \vec{F}_{\mathrm{g}\to\mathrm{c}} = P(0^-, t) S \, \widehat{e}_x = \left[ P_0 + p_{\mathrm{i}}(0,t) + p_{\mathrm{r}}(0,t) \right] S \, \widehat{e}_x

• Force pressante exercée par l'air à droite (x = 0^+) :

  \vec{F}_{\mathrm{d}\to\mathrm{c}} = - P(0^+, t) S \, \widehat{e}_x = - \left[ P_0 + p_{\mathrm{t}}(0,t) \right] S \, \widehat{e}_x

• Force de rappel élastique :

  \vec{F}_{\text{rappel}} = - K X(t) \, \widehat{e}_x

La pression statique P_0 s'élimine. Le théorème de la résultante cinétique s'écrit en représentation complexe :

D'après la question Q12, la continuité de la vitesse en x \approx 0 fournit :

En substituant \underline{p}_{\mathrm{rm}} dans le bilan dynamique :

L'équation du mouvement devient :

En réorganisant les termes :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert :

Par identification avec la forme demandée \underline{H}(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)}, on obtient :

Le module de la fonction de transfert vaut :

Discussion physique :

• La cloison se comporte acoustiquement comme un filtre passe-bande du deuxième ordre centré sur sa pulsation propre \omega_0.
• À basse fréquence (\omega \ll \omega_0), |\underline{H}| \approx \frac{\omega}{\omega_0 Q} \to 0 : le rappel élastique rigidifie la cloison, qui reste quasi-immobile et réfléchit l'essentiel de l'onde incidente.
• À haute fréquence (\omega \gg \omega_0), |\underline{H}| \approx \frac{\omega_0}{\omega Q} \to 0 : l'inertie de masse de la cloison l'empêche d'osciller efficacement, la transmission est fortement atténuée (régime de la « loi de masse »).
• Pour \boldsymbol{\omega = \omega_0} : l'effet élastique et l'effet inertiel se compensent rigoureusement (K - m\omega_0^2 = 0). Il y a résonance mécanique : on a alors |\underline{H}(\omega_0)| = 1 et \underline{p}_{\mathrm{tm}} = \underline{p}_{\mathrm{im}} (avec \underline{p}_{\mathrm{rm}} = 0). La cloison devient parfaitement transparente à l'onde acoustique.

1. Validité de l'approximation :

L'équation du mouvement de la cloison projetée sur l'axe (Ox) fait intervenir la force d'inertie -m\omega^2 \underline{X} et la force de rappel élastique -K\underline{X}. Négliger l'élasticité revient à supposer que la force de rappel est négligeable devant l'inertie de la cloison :

Cette approximation est donc légitime pour des ondes sonores de pulsation \omega très supérieure à la pulsation propre \omega_0 du système mécanique formé par la cloison et ses fixations.

2. Expression approchée de \underline{H}(\mathrm{j}\omega) et comportement :

Pour \omega \gg \omega_0, le terme \frac{\omega_0}{\omega} devient négligeable devant \frac{\omega}{\omega_0}. En utilisant l'expression du facteur de qualité Q = \frac{m\omega_0}{2SZ_{\mathrm{a}}} issue de la question Q13, le dénominateur se simplifie :

La fonction de transfert approchée s'écrit alors :

La cloison se comporte comme un filtre passe-bas acoustique du premier ordre, de pulsation de coupure :

Pour \omega \gg \omega_{\mathrm{c}}, le gain |\underline{H}(\mathrm{j}\omega)| \approx \frac{2SZ_{\mathrm{a}}}{m\omega} décroît en 1/\omega (atténuation de 20\text{ dB} par décade, soit 6\text{ dB} par octave). La cloison isole d'autant mieux que la fréquence du son est élevée et que sa masse surfacique m/S = \mu_{\mathrm{c}} e est grande : c'est la « loi de masse » de l'isolation phonique.

3. Détermination de l'épaisseur e de la cloison :

L'intensité acoustique moyenne d'une onde plane progressive est proportionnelle au carré de l'amplitude de surpression : I = \frac{p_{\mathrm{m}}^2}{2Z_{\mathrm{a}}}. Le coefficient de transmission en intensité est donc :

Un affaiblissement sonore de 40\text{ dB} se traduit par :

Puisque |\underline{H}| = 10^{-2} \ll 1, le terme imaginaire est très grand devant 1, d'où :

On en déduit l'expression littérale de l'épaisseur :

Application numérique :

L'impédance acoustique de l'air vaut Z_{\mathrm{a}} = \mu_0 c_s. En adoptant la valeur usuelle de la célérité du son dans l'air à température ambiante c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et avec \mu_0 = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, on a Z_{\mathrm{a}} = 340\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après l'équation de la diffusion unidimensionnelle :

la constante D (diffusivité thermique) a pour dimension :

Exprimons les dimensions des grandeurs physiques mises en jeu :

Le produit \mu c, capacité thermique volumique, a pour dimension :

Le rapport \frac{\lambda}{\mu c} a donc la dimension :

Un bilan d'énergie sur une tranche de matériau d'épaisseur \mathrm{d}x (\mu c \, \mathrm{d}x \, \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x} \mathrm{d}x = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\mathrm{d}x) confirme que le facteur numérique sans dimension vaut 1 :

Par analyse des ordres de grandeur de l'équation de diffusion sur une longueur caractéristique L et une durée caractéristique \tau :

On adopte l'expression usuelle du temps caractéristique de diffusion :

Application numérique : Pour le fer, avec les données numériques fournies :

• \mu = 7{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• c = 4{,}0 \times 10^2\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},
• \lambda = 80\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},
• L = 50\text{ cm} = 0{,}50\text{ m}.

La diffusivité thermique du fer vaut :

Le temps caractéristique est alors :

En conservant deux chiffres significatifs :

La loi phénoménologique de Fourier s'écrit :

où \lambda est la conductivité thermique du fer (\lambda > 0).

D'après l'énoncé, la température T(\theta, t) est uniforme sur toute section droite de l'anneau, de sorte qu'elle ne dépend ni de r ni de z : \frac{\partial T}{\partial r} = 0 et \frac{\partial T}{\partial z} = 0. Comme l'épaisseur de la section est très petite devant le rayon moyen (a \ll R), on peut approximer la coordonnée radiale par r \approx R. L'expression du gradient en coordonnées cylindriques se réduit alors à :

On en déduit l'expression du vecteur densité de courant thermique :

L'anneau est chauffé en \theta = 0 qui constitue la zone la plus chaude. La chaleur diffuse des zones chaudes vers les zones froides, c'est-à-dire de \theta = 0 vers le point diamétralement opposé \theta = \pm\pi :

• pour \theta \in ]0, \pi[, la température décroît avec \theta (\partial T/\partial \theta < 0), donc \vec{j}_{\mathrm{th}} est orienté dans le sens trigonométrique (+\widehat{e}_{\theta}) ;
• pour \theta \in ]-\pi, 0[, la température croît avec \theta (\partial T/\partial \theta > 0), donc \vec{j}_{\mathrm{th}} est orienté dans le sens horaire (-\widehat{e}_{\theta}).

Les lignes de champ de \vec{j}_{\mathrm{th}} sont des cercles concentriques guidés par la géométrie torique de l'anneau, divergeant du point chaud \theta = 0 et convergeant vers le point froid \theta = \pm \pi.

Puisque le côté de la section carrée vérifie a \ll R, le rayon de courbure est assimilable au rayon moyen R en tout point de la section. La longueur curviligne de la tranche angulaire comprise entre \theta et \theta + \mathrm{d}\theta vaut donc \mathrm{d}\ell = R\,\mathrm{d}\theta.

• Le volume élémentaire de cette tranche de section droite S = a^2 s'écrit :

  \boxed{\mathrm{d}V = a^2 R\,\mathrm{d}\theta}

• Le contour de la section droite a pour périmètre \mathcal{P} = 4a. La surface latérale élémentaire en contact avec l'air environnant est donc :

  \boxed{\mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} = 4a R\,\mathrm{d}\theta}

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système fermé constitué par la matière contenue dans ce volume élémentaire \mathrm{d}V, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}V, entre les instants t et t + \mathrm{d}t. En l'absence de travail utile :

• La variation d'énergie interne s'exprime par :

  \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t = \mu c\,a^2 R\,\mathrm{d}\theta\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique reçu par conduction à travers les sections d'entrée en \theta et de sortie en \theta + \mathrm{d}\theta s'écrit à l'aide du flux conductif \Phi(\theta,t) = \vec{j}_{\mathrm{th}}(\theta,t)\cdot (a^2\,\widehat{e}_{\theta}) = -\frac{\lambda a^2}{R}\frac{\partial T}{\partial \theta} (d'après la question Q16) :

  \begin{aligned} \delta Q_{\mathrm{cond}} &= \left[\Phi(\theta,t) - \Phi(\theta+\mathrm{d}\theta,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{\lambda a^2}{R}\frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• Le transfert thermique échangé avec l'air extérieur à travers la surface latérale s'obtient via la loi de Newton :

  \delta Q_{\mathrm{lat}} = -\delta \Phi\,\mathrm{d}t = -h\left(T(\theta,t) - T_e\right)\mathrm{d}S_{\mathrm{lat}}\,\mathrm{d}t = -4h a R\left(T(\theta,t) - T_e\right)\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}t

En rassemblant ces contributions dans le bilan thermique :

En divisant chaque terme par le volume \mathrm{d}V = a^2 R\,\mathrm{d}\theta et par la durée \mathrm{d}t, on obtient :

En régime stationnaire, la température ne dépend plus du temps, soit \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0. L'équation établie à la question Q17 devient :

En introduisant la grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{a\lambda}{4h}}, le terme \dfrac{4h}{a} s'écrit \dfrac{\lambda}{\delta^2}. En divisant l'ensemble de l'équation par \lambda, il vient :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre constant. La solution générale s'écrit :

ou, sous forme équivalente :

où A et B (ou A' et B') sont deux constantes d'intégration réelles homogènes à une température.

Dimension de \delta : L'argument de l'exponentielle \dfrac{R\theta}{\delta} doit être sans dimension. Comme \theta est un angle (sans dimension, [\theta] = 1) et que le rayon R est une longueur ([R] = \mathrm{L}), on en déduit immédiatement :

On peut également le vérifier à partir de sa définition :

• [a] = \mathrm{L} ;
• [\lambda] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1} ;
• [h] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{T}^{-3}\cdot\Theta^{-1}.

Le rapport [\lambda/h] = \mathrm{L}, d'où :

Commentaire des graphes de la figure 4 :

• Symétrie et parité : le profil d'écart de température \theta \mapsto T(\theta) - T_e est une fonction paire, traduisant la symétrie géométrique du tore et du chauffage par rapport au plan \theta = 0. D'après la question Q16, le vecteur densité de courant thermique s'écrit \vec{j}_{\mathrm{th}}(\theta) = j_{\mathrm{th}}(\theta)\,\widehat{e}_\theta avec :

  j_{\mathrm{th}}(\theta) = -\frac{\lambda}{R}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\theta}

  La dérivée d'une fonction paire étant impaire, la composante j_{\mathrm{th}}(\theta) est bien représentée par une fonction impaire.

• Comportement en \theta = 0 : la source thermique ponctuelle en \theta = 0 crée un apport de flux se séparant vers les deux moitiés du tore. Cela engendre une discontinuité de la composante j_{\mathrm{th}} en \theta = 0 (j_{\mathrm{th}}(0^+) > 0 et j_{\mathrm{th}}(0^-) < 0), ce qui se manifeste sur le graphe de la température par un point anguleux (discontinuité de la dérivée spatiale).

• Comportement en \theta = ± \pi : par symétrie et continuité au point diamétralement opposé à la source, les flux thermiques issus de \theta > 0 et de \theta < 0 se compensent exactement, ce qui impose j_{\mathrm{th}}(\pi) = 0, soit une tangente horizontale pour T(\theta) en \theta = \pi :

  \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\theta}\right|_{\theta = \pi} = 0

Détermination des constantes A et B sur [0, +\pi] :

D'après la question Q18, la solution s'écrit :

Sa dérivée par rapport à \theta est :

Les deux conditions aux limites s'écrivent :

La seconde équation donne B = A\,\mathrm{e}^{\frac{2\pi R}{\delta}}. En réinjectant dans la première :

On en déduit l'expression des constantes A et B :

Expression de la température sur [0, +\pi] :

En remplaçant A et B dans l'expression de T(\theta) :

D'où l'expression finale de la température sur l'intervalle [0, +\pi] :

Le chauffage étant localisé en \theta = 0, la chaleur se propage par conduction le long des deux demi-anneaux vers le point le plus éloigné, situé à \theta = \pi. La distance maximale parcourue le long du tore vaut :

Avec le rayon moyen R = 16\text{ cm} = 0{,}16\text{ m}, cette longueur maximale vaut :

En supposant la diffusion thermique prépondérante pendant le régime transitoire, le temps caractéristique nécessaire à l'établissement de la température sur l'ensemble de l'anneau est le temps de diffusion \tau sur cette distance L. D'après le résultat de la question 15 :

L'application numérique réalisée à la question 15 pour une barre de fer de longueur L = 50\text{ cm} donne :

Cet ordre de grandeur de quelques heures est parfaitement compatible avec l'observation expérimentale de Joseph Fourier, qui constate l'obtention du régime stationnaire deux heures après le début du chauffage.

L'anneau étant enfoui dans le sable (isolant parfait sans fuite thermique latérale), les échanges conducto-convectifs avec l'extérieur sont nuls (h = 0). D'après l'équation établie à la question Q17, T(\theta,t) vérifie donc :

où D = \frac{\lambda}{\mu c} est la diffusivité thermique du fer introduite à la question Q15.

On cherche une solution sous la forme à variables séparées T_n(\theta,t) = f_n(\theta) g_n(t). En injectant cette forme dans l'équation de diffusion :

En divisant par f_n(\theta) g_n(t) \neq 0 :

Le membre de gauche ne dépend que de t et celui de droite uniquement de \theta ; ils sont donc tous deux égaux à une même constante de séparation réelle, notée -\frac{1}{\tau_n} avec \tau_n > 0 afin d'éviter toute divergence physique de la température lorsque t \to +\infty.

Évolution temporelle g_n(t) : La fonction g_n(t) vérifie l'équation différentielle :

où C_t est une constante.

Dépendance angulaire f_n(\theta) : La fonction f_n(\theta) vérifie :

En posant d_n = \sqrt{D \tau_n}, cette équation s'écrit :

La solution générale est une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales :

L'énoncé précisant la condition de symétrie T(-\theta,t) = T(\theta,t), la fonction f_n est paire, d'où C_n = 0.

Expression de la solution élémentaire T_n(\theta,t) : En regroupant les constantes multiplicatives sous la constante B_n = A_n C_t, on obtient la forme requise :

Relation entre \tau_n et d_n et analyse dimensionnelle : Par définition de d_n, la relation liant \tau_n et d_n est :

• L'argument \frac{R\theta}{d_n} de la fonction cosinus étant sans dimension et \theta étant un angle sans dimension, R\theta représente une longueur d'arc : d_n a donc la dimension d'une longueur, [d_n] = \mathrm{L}.
• L'argument \frac{t}{\tau_n} de l'exponentielle étant sans dimension, \tau_n a la dimension d'un temps, [\tau_n] = \mathrm{T} (ce qui est cohérent avec [D] = \mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}).

1. Signification de la constante T_m :

Dans la décomposition en série de Fourier de la fonction 2\pi-périodique T_0(\theta), la constante T_m représente la valeur moyenne spatiale de la température initiale le long de l'anneau :

L'anneau étant parfaitement calorifugé dans le sable (aucun échange thermique avec l'extérieur), l'énergie interne totale de l'anneau se conserve au cours du temps. Par conséquent, la température moyenne de l'anneau reste constante :

Lorsque t \to +\infty, les gradients de température s'annulent par diffusion et l'anneau atteint un état d'équilibre thermique uniforme : T_m est donc également la température finale d'équilibre de l'anneau.

2. Justification de la forme de la solution générale :

• L'équation de diffusion thermique obtenue à la question Q21,

  \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\mu c R^2} \frac{\partial^2 T}{\partial \theta^2},

  est une équation aux dérivées partielles linéaire et homogène.

• D'après le principe de superposition, toute combinaison linéaire de solutions est encore solution.
• La constante T_m est trivialement une solution stationnaire de cette équation (dérivées temporelle et spatiale nulles).
• Chaque terme T_n(\theta,t) établi en Q21 est une solution particulière vérifiant les conditions de symétrie (T(-\theta,t) = T(\theta,t)) et de continuité le long du tore.

Par linéarité, la somme infinie T(\theta,t) = T_m + \sum_{n=1}^\infty T_n(\theta,t) est bien solution de l'équation de la diffusion.

3. Détermination de B_n, d_n et \tau_n :

À l'instant initial t = 0, la solution s'écrit, compte tenu de l'expression de T_n(\theta,t) issue de la question Q21 :

En identifiant cette expression avec le développement en série de Fourier de la condition initiale :

l'unicité du développement en série de Fourier impose, pour tout entier n \ge 1 :

D'après la relation établie à la question Q21, \tau_n = \frac{\mu c\, d_n^2}{\lambda}, on en déduit immédiatement :

D'après la question Q22, la température dans l'anneau isolé s'écrit sous la forme :

avec un temps caractéristique de relaxation pour chaque mode n donné par :

La hiérarchie des temps caractéristiques montre que pour tout harmonique supérieur (n \ge 2), le temps de relaxation est considérablement plus court que celui du fondamental (n = 1) :

Dès que le temps écoulé vérifie quelques fois \tau_2 (c'est-à-dire pour t \gg \tau_2), les facteurs exponentiels \mathrm{e}^{-t/\tau_n} avec n \ge 2 deviennent négligeables devant \mathrm{e}^{-t/\tau_1} :

La somme est alors très rapidement dominée par son premier terme (n = 1) :

Ce terme est bien directement proportionnel à \cos(\theta), ce qui confirme l'observation de Fourier.