Mines Physique 1 PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

A2022 - PHYSIQUE I PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Fourier dans tous ses états

Données numériques

• Masse volumique de l'air : μ_0 = 1, 0 kg ⋅ m^(− 3).
• Capacité thermique massique du fer : c = 4, 0 × 10^2 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1).
• Masse volumique du fer : μ_f = 7, 9 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3).
• Conductivité thermique du fer : λ = 80 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1).
• Coefficient conducto-convectif à l'interface fer-air : h = 10 W ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 1).

I Analyse de Fourier et échantillonnage d'un signal électronique

• 1. On s'intéresse tout d'abord à l'opération consistant à multiplier le signal x(t) par la fonction p(t) = cos(2πf_1 t), de fréquence f_1 > f_0. Représenter sur un même diagramme les spectres respectifs des signaux x(t) et x_e(t) = x(t) × p(t).

• 2. Représenter le signal x_e(t) pour f_e = 4f_0, f_e = 2f_0 et f_e = 4/3f_0. Montrer qualitativement que, dans l'un des cas, le signal échantillonné n'est pas représentatif du signal analogique de départ.

Figure 1 - Signal d'échantillonnage.

• 3. Du fait de sa périodicité, le signal w(t) est décomposable en série de Fourier, de la forme

• 4. En s'inspirant des questions 2 et 3 , proposer une relation entre f_e et f_0 permettant d'assurer un bon échantillonnage du signal x(t). Cette relation est appelée «critère de Shannon-Nyquist ».

5. On considère dorénavant un signal temporel X(t) dont le spectre en fréquence X(f), représenté sur la figure 2, fait apparaître une fréquence maximale f_(max). Que devient le critère de Shannon-Nyquist dans cette situation? Représenter le spectre du signal échantillonné selon que ce critère soit ou non vérifié. Pour un signal sonore audible, proposer des valeurs raisonnables de f_(max) et f_e.

Figure 2 - Le spectre du signal X est borné en fréquence.

∀f ≥ f_(max), X(f) = 0

II Analyse de Fourier et acoustique

• 8. Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique.

• 9. On note χ_S le coefficient de compressibilité isentropique. Donner sa définition générale, puis son expression linéarisée dans l'approximation acoustique. Pourquoi est-il pertinent de l'introduire ici? Que mesure-t-il?
     ◻ − 10. Établir, en les justifiant, deux autres équations régissant le passage de l'onde sonore, puis les simplifier dans l'approximation acoustique. En déduire que p_1(x, t) est solution d'une équation de d'Alembert et exprimer la célérité c_s de l'onde en fonction de χ_S et de μ_0.

• 11. Déterminer l'expression de Z_a en fonction de μ_0 et c_s. Comment appelle-t-on cette grandeur en acoustique? L'interaction de l'onde incidente avec la cloison donne naissance à une onde réfléchie p_–_r(x, t) = p_–_(rm)e^(j(ωt + kx)) et une onde transmise p_–_t(x, t) = p_–_(tm)e^(j(ωt − kx)). Donner les expressions de v_–_r(x, t) et v_–_t(x, t) en fonction de Z_a, p_–_r(x, t) et p_–_t(x, t).

• 12. En traduisant la continuité de la vitesse en x ≈ 0 (au niveau de la cloison), déterminer une relation entre v_–_(im), v_–_(rm) et v_–_(tm). Pourquoi peut-on écrire cette condition aux limites en x ≈ 0 malgré le déplacement de la cloison?
• 13. En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la cloison en x ≈ 0, montrer que celle-ci joue le rôle d'un filtre sonore de fonction de transfert

• 14. On néglige désormais l'élasticité de la cloison. Dans quel cas est-ce légitime? Donner alors l'expression approchée de H_–(jω) et commenter le comportement de la cloison. Déterminer l'épaisseur e de la cloison (de masse volumique μ_c = 1200 kg ⋅ m^(− 3) ) pour que l'intensité sonore soit affaiblie de 40 dB pour une fréquence de 200 Hz .

III Analyse de Fourier et diffusion thermique

• 15. Déterminer l'expression de la constante D en fonction de la masse volumique μ, du coefficient de conductivité thermique λ et de la capacité thermique massique c du matériau considéré. On pourra raisonner par analyse dimensionnelle. En déduire l'expression du temps caractéristique de diffusion τ sur une longueur L. Faire l'application numérique pour une diffusion dans le fer sur une longueur L = 50 cm.

Figure 3 - Géométrie du problème étudié par Fourier : le tore à section carrée.

• 16. Rappeler la loi de Fourier pour la diffusion thermique. En déduire l'expression du vecteur densité de courant thermique j⃗_(th) puis dessiner l'allure des lignes de champ le long de l'anneau, en précisant leur orientation.

• 17. Déterminer les expressions approchées de dV ainsi défini et de la surface élémentaire dS_(lat) de son contact avec l'air. On rappelle que a≪R. En déduire que T(θ, t) vérifie l'équation

• 19. On donne sur la figure 4 l'allure de la représentation graphique associée aux solutions T(θ) et j_(th)(θ) (pour r fixé). On note T_1 = T(θ = 0) la valeur, imposée par le chauffage, en θ = 0. Commenter ces deux graphes puis les exploiter judicieusement pour déterminer, sur l'intervalle [0, + π], les constantes A et B introduites précédemment, en fonction de T_1, T_e, R et δ. En déduire la solution T(θ) sur l'intervalle [0, + π].

Figure 4 - Graphe des solutions : Différence de température à gauche, flux thermique surfacique à droite.

• 20. Sur les relevés expérimentaux de Joseph Fourier du 31 juillet 1806, on lit que deux heures après le début du chauffage, les valeurs de températures des différentes sections de l'anneau sont stationnaires. Montrer que cet ordre de grandeur était prévisible à condition de supposer le phénomène de diffusion prépondérant en régime transitoire.

• 21. Donner l'équation vérifiée par T(θ, t). On cherche les solutions à variable séparée de la forme T_n(θ, t) = f_n(θ)g_n(t). L'interprétation de l'indice n apparaîtra dans la donnée de la condition initiale nécessaire à la résolution complète de l'équation. Déterminer les expressions générales de f_n(θ) et g_n(t) puis montrer que T_n(θ, t) s'écrit sous la forme

• 22. À l'instant t = 0, la température initiale d'une section repérée par l'angle θ est une fonction T_0(θ), symétrique, de période 2π et dont le développement en série de Fourier est de la forme

• 23. Joseph Fourier remarque, en mesurant la température en fonction du temps en différents points de l'anneau, que T(θ, t) − T_m devient rapidement proportionnel à cos(θ). Commenter cette constatation.

FIN DE L'ÉPREUVE