Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2023 (page 3/3 : Partie III)

CO2 et réchauffement climatique

37 questions corrigées
Faisable en Sup (Partie I sur les oscillateurs couplés et début de la Partie III sur la statique des fluides)
Vérifié question par question

Comment utiliser ce corrigé

Cherchez d'abord chaque question seul. Bloqué ? Ouvrez l'indice, puis la stratégie, et seulement ensuite le corrigé complet. Cochez les questions réussies pour estimer votre note. Comment sont rédigés nos corrigés

Partie III : Effet de serre

Question 29

La modélisation de l'effet de serre passe par celle de l'atmosphère terrestre. Nous traitons celle-ci, de manière simplifiée, comme un gaz parfait de masse molaire $M = 30 g \cdot mol^{- 1}$ , dont la pression $P$ et la température $T$ ne dépendent que de l'altitude $z$ . Nous faisons en outre l'approximation que le gradient de température vertical est constant, $d T (z) / d z = - Γ$ , avec $Γ = 6 K \cdot km^{- 1}$ . Le poids de l'atmosphère fait augmenter sa pression lorsque l'altitude diminue, et nous admettons que le gradient de pression, qui s'obtient en effectuant un bilan de forces, est donné par $d P (z) / d z = - M g N (z)$ , où $N (z)$ est la concentration molaire à l'altitude $z$ , et $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ est l'accélération de la pesanteur. En éliminant $z$ entre ces deux équations, montrer que la température est une fonction de la pression de la forme $T (z) / T (0) = (P (z) / P (0))^{β}$ , où $β$ est une constante dont on déterminera l'expression en fonction de $Γ$ , $M$ , $g$ , et de la constante des gaz parfaits $R = 8 J \cdot mol^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Voir l'indice

Utiliser la loi des gaz parfaits pour exprimer N(z) en fonction de P(z) et T(z), puis éliminer l'altitude z pour former une relation différentielle entre \mathrm{d}T/T et \mathrm{d}P/P.

Voir la stratégie

Exprimer la concentration molaire N(z) en fonction de P(z) et T(z) à l'aide de l'équation d'état des gaz parfaits.
Éliminer la variable d'altitude z en formant le rapport des dérivées \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} et \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}.
Séparer les variables pour obtenir une équation différentielle entre T et P, puis intégrer entre le sol (z=0) et l'altitude z.

Voir le corrigé complet

L'atmosphère étant modélisée comme un gaz parfait, l'équation d'état reliant la pression P, le volume V, la quantité de matière n et la température T s'écrit :

P(z) = \frac{n}{V} R T(z) = N(z) R T(z) \implies N(z) = \frac{P(z)}{R T(z)}

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides fournie par l'énoncé, on obtient :

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\frac{M g}{R T(z)} P(z)

L'énoncé précise par ailleurs que le gradient vertical de température est constant :

\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\Gamma

En éliminant l'altitude z par division membre à membre des deux gradients :

\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} = \frac{\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}}{\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}} = \frac{-\dfrac{M g}{R T} P}{-\Gamma} = \frac{M g}{R \Gamma} \frac{P}{T}

En séparant les variables :

\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R \Gamma}{M g} \frac{\mathrm{d}P}{P}

On intègre cette relation entre le niveau du sol (z = 0, où P=P(0) et T=T(0)) et l'altitude z :

\int_{T(0)}^{T(z)} \frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R \Gamma}{M g} \int_{P(0)}^{P(z)} \frac{\mathrm{d}P}{P}

ce qui donne immédiatement :

\ln\left(\frac{T(z)}{T(0)}\right) = \frac{R \Gamma}{M g} \ln\left(\frac{P(z)}{P(0)}\right) = \ln\left[\left(\frac{P(z)}{P(0)}\right)^{\frac{R \Gamma}{M g}}\right]

En prenant l'exponentielle, on retrouve la loi polytropique recherchée :

\boxed{\frac{T(z)}{T(0)} = \left(\frac{P(z)}{P(0)}\right)^\beta \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{R \Gamma}{M g}}

Résultat

\frac{T ( z )}{T ( 0 )} = (\frac{P ( z )}{P ( 0 )})^{β} avec β = \frac{R Γ}{M g}

Signaler une erreur Sommaire

Question 30

Calculer la valeur numérique de $β$ et représenter la variation de la température en fonction de la pression.

Voir l'indice

Calculer numériquement le coefficient \beta à partir des valeurs données et tracer l'allure concave de T(P).

Voir le corrigé complet

D'après l'expression établie à la question précédente :

\beta = \frac{R \Gamma}{M g}

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé, exprimées dans le système international :

R = 8\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
\Gamma = 6\text{ K}\cdot\text{km}^{-1} = 6 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}^{-1} ;
M = 30\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 30 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

L'application numérique donne :

\begin{aligned} \beta &= \frac{8 \times 6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-3} \times 10} = \frac{48}{300} = 0{,}16 \end{aligned}

\boxed{\beta = 0{,}16}

La relation entre température et pression s'écrit :

T(P) = T(0) \left(\frac{P}{P(0)}\right)^{\beta}

Comme 0 < \beta < 1, la température T est une fonction strictement croissante de la pression P, concave, présentant une tangente verticale en P = 0 et passant par le point (P(0),\, T(0)).

Résultat

β = 0, 16

Signaler une erreur Sommaire

Question 31

On note $Φ$ la puissance surfacique moyenne reçue du Soleil par la Terre, dont une fraction $α$ est réfléchie vers l'espace. Quelle est la température $T_{E}$ d'un corps noir qui rayonne une puissance surfacique identique à celle absorbée par la Terre ?

Voir l'indice

Écrire l'égalité entre la puissance surfacique absorbée (1-\alpha)\Phi et la loi de Stefan-Boltzmann pour le corps noir réémis.

Voir le corrigé complet

La puissance surfacique moyenne absorbée par la Terre s'obtient en retranchant la fraction réfléchie (l'albédo \alpha) de la puissance surfacique incidente moyenne \Phi :

\Phi_{\mathrm{abs}} = (1 - \alpha)\Phi

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance surfacique totale (ou émittance) rayonnée par un corps noir à l'équilibre à la température T_E dans un demi-espace vaut :

M^\circ(T_E) = \sigma T_E^4

où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

En égalant la puissance surfacique rayonnée par ce corps noir à celle absorbée par la Terre, M^\circ(T_E) = \Phi_{\mathrm{abs}}, il vient :

\sigma T_E^4 = (1 - \alpha)\Phi

d'où l'expression de la température d'émission équivalente T_E :

\boxed{T_E = \left( \frac{(1 - \alpha)\Phi}{\sigma} \right)^{1/4}}

Résultat

T_{E} = (\frac{( 1 - α ) Φ}{σ})^{1/4}

Signaler une erreur Sommaire

Question 32

Exprimer $μ (z)$ en fonction de $P (z)$ , $x$ , $M$ et $g$ . En déduire la pression $P (h)$ à l'altitude $h$ .

Voir l'indice

Intégrer le gradient de pression entre l'altitude z et l'infini pour relier l'intégrale de matière au-dessus de z à P(z), puis appliquer le critère \mu(h) = \mu_c.

Voir la stratégie

Exprimer le nombre de moles de \mathrm{CO}_2 par unité de surface horizontale au-dessus de l'altitude z sous forme d'intégrale de sa concentration molaire N_{\mathrm{CO}_2}(z') = x N(z').
Utiliser la relation d'équilibre hydrostatique issue de la question Q29 reliant N(z') au gradient de pression vertical \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z'} pour intégrer directement.
Appliquer la condition définissant l'altitude d'émission h, à savoir \mu(h) = \mu_c, pour en déduire P(h).

Voir le corrigé complet

La fraction molaire x de \mathrm{CO}_2 étant uniforme dans l'atmosphère, la concentration molaire en dioxyde de carbone à l'altitude z' s'écrit :

N_{\mathrm{CO}_2}(z') = x N(z')

Par définition, \mu(z) représente le nombre total de moles de \mathrm{CO}_2 contenues dans une colonne atmosphérique de section unité s'étendant de l'altitude z à l'infini :

\mu(z) = \int_z^{+\infty} N_{\mathrm{CO}_2}(z')\,\mathrm{d}z' = x \int_z^{+\infty} N(z')\,\mathrm{d}z'

D'après la relation de la statique des fluides rappelée à la question Q29, on a :

\frac{\mathrm{d}P(z')}{\mathrm{d}z'} = -M g N(z') \iff N(z')\,\mathrm{d}z' = -\frac{1}{M g}\,\mathrm{d}P(z')

En intégrant entre z et +\infty, et en notant que la pression s'annule aux confins de l'atmosphère (P(+\infty) = 0), il vient :

\mu(z) = -\frac{x}{M g} \int_{P(z)}^{0} \mathrm{d}P = \frac{x}{M g} P(z)

\boxed{\mu(z) = \frac{x\,P(z)}{M g}}

L'altitude effective d'émission h est définie par la condition critique \mu(h) = \mu_c. On en déduit immédiatement la pression atmosphérique P(h) à cette altitude :

\frac{x\,P(h)}{M g} = \mu_c \iff \boxed{P(h) = \frac{\mu_c M g}{x}}

Résultat

μ (z) = \frac{x P ( z )}{M g}

P (h) = \frac{μ _{c} M g}{x}

Signaler une erreur Sommaire

Question 33

Déterminer comment varie la température au sol en fonction de la fraction $x$ de $CO_{2}$ dans l'atmosphère.

Voir l'indice

Combiner la loi de puissance T(0)/T(h) = (P(0)/P(h))^\beta avec la température T(h)=T_E et l'expression de P(h).

Voir la stratégie

Appliquer la loi reliant température et pression à l'altitude h d'émission du rayonnement.
Exprimer la température au sol T(0) en fonction de T_E, P(h) et P(0).
Remplacer P(h) par son expression en fonction de x obtenue à la question 32 pour déduire la dépendance en x.

Voir le corrigé complet

D'après l'énoncé, la température de l'atmosphère à l'altitude d'émission h est égale à la température de rayonnement T_E déterminée à la question 31 :

T(h) = T_E

En appliquant la relation polytropique établie à la question 29 entre le sol (z = 0) et l'altitude z = h, on obtient :

\frac{T(h)}{T(0)} = \left(\frac{P(h)}{P(0)}\right)^\beta \implies T(0) = T_E \left(\frac{P(0)}{P(h)}\right)^\beta

En injectant l'expression de la pression P(h) = \dfrac{\mu_c M g}{x} obtenue à la question 32, il vient :

\boxed{T(0) = T_E \left(\frac{P(0)}{\mu_c M g}\right)^\beta x^\beta}

Comme l'exposant \beta = \dfrac{R\Gamma}{M g} \approx 0{,}16 est strictement positif, la température au sol est une fonction strictement croissante de la fraction molaire x en dioxyde de carbone :

T(0) \propto x^\beta

Une augmentation de la concentration en \mathrm{CO}_2 dans l'atmosphère entraîne ainsi une augmentation de la température au sol.

Résultat

T (0) = T_{E} (\frac{P ( 0 )}{μ _{c} M g})^{β} x^{β}

Signaler une erreur Sommaire

Question 34

Quelle est la dépendance en température de l'aire sous un spectre de corps noir ?

Voir l'indice

Intégrer la luminance spectrale sur toutes les longueurs d'onde pour appliquer la loi de Stefan-Boltzmann.

Voir le corrigé complet

L'aire sous la courbe du spectre d'émission d'un corps noir correspond à la puissance totale rayonnée par unité de surface dans tout le demi-espace, c'est-à-dire à l'émittance totale (ou flux surfacique total émis) \Phi(T) :

\mathcal{A} = \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n} \, \mathrm{d}n = \Phi(T)

D'après la loi de Stefan-Boltzmann, l'émittance totale d'un corps noir à l'équilibre thermique à la température T est donnée par :

\Phi(T) = \sigma T^4

où \sigma est la constante de Stefan-Boltzmann.

L'aire sous un spectre de corps noir est donc proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue :

\boxed{\mathcal{A} \propto T^4}

Résultat

A \propto T^{4}

Signaler une erreur Sommaire

Question 35

Comment varie la position du maximum $n_{m a x}$ du spectre de corps noir en fonction de $T$ ?

Voir l'indice

Appliquer la loi du déplacement de Wien en convertissant la longueur d'onde maximale en nombre d'onde spectroscopique.

Voir la stratégie

Exprimer la luminance ou le flux spectral en fonction de la variable d'onde n à partir de la loi de Planck.
Identifier la variable adimensionnée u = \frac{h c n}{k_B T} gouvernant la forme du spectre pour en déduire la dépendance de n_{\max} en T (loi du déplacement de Wien).

Voir le corrigé complet

D'après la loi du rayonnement de Planck, la puissance spectrale émise par unité de surface dans l'intervalle [n, n + \mathrm{d}n] s'écrit sous la forme :

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n} = \frac{C_1 \, n^3}{\mathrm{e}^{\frac{h c n}{k_B T}} - 1}

où C_1 = 2\pi h c^2 est une constante, h la constante de Planck et k_B la constante de Boltzmann.

En introduisant la variable sans dimension u = \frac{h c n}{k_B T}, cette densité spectrale s'écrit :

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n} = C_1 \left(\frac{k_B T}{h c}\right)^3 \frac{u^3}{\mathrm{e}^u - 1}

La fonction g(u) = \frac{u^3}{\mathrm{e}^u - 1} ne dépend que de u et présente un maximum unique pour une valeur numérique fixe u_{\max} \approx 2{,}82 (solution de 3(1 - \mathrm{e}^{-u}) = u).

La position du maximum n_{\max} vérifie donc :

\frac{h c \, n_{\max}}{k_B T} = u_{\max} = \text{cste}

Le nombre d'onde spectroscopique au maximum d'émission est donc directement proportionnel à la température absolue :

\boxed{n_{\max} \propto T}

Résultat

n_{m a x} \propto T

Signaler une erreur Sommaire

Question 36

À partir de la figure 1, estimer numériquement la puissance que la Terre rayonne vers l'espace par unité de surface.

Voir l'indice

Estimer l'aire sous la courbe en trait plein en comptant les carreaux ou par approximation trapézoïdale simple pour retrouver une valeur proche de l'équilibre solaire.

Voir la stratégie

Exprimer la puissance totale rayonnée par unité de surface comme l'intégrale du spectre d'émission (aire sous la courbe en trait plein de la figure 1).
Évaluer l'aire représentée par un rectangle du quadrillage de la figure.
Estimer le nombre équivalent de carreaux sous la courbe, par exemple par méthode des trapèzes ou découpage par tranches de \Delta n = 200\text{ cm}^{-1}, pour en déduire la puissance surfacique.

Voir le corrigé complet

La puissance totale rayonnée par la Terre vers l'espace par unité de surface correspond à l'intégrale du flux spectral sur l'ensemble des nombres d'onde :

\Phi_{\text{émis}} = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n} \, \mathrm{d}n

ce qui représente géométriquement l'aire sous la courbe en trait plein de la figure 1.

Un rectangle délimité par les graduations principales du graphique a pour dimensions :

\Delta n = 200\text{ cm}^{-1} \quad \text{et} \quad \Delta\left(\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n}\right) = 0{,}05\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}

L'aire d'un tel carreau équivaut donc à une puissance surfacique :

\Delta \Phi_{\text{carreau}} = 200\text{ cm}^{-1} \times 0{,}05\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm} = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}

Estimons le nombre de carreaux situés sous la courbe en sommant les contributions par intervalles de largeur \Delta n = 200\text{ cm}^{-1} :

[0, 200]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}05\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 1{,}0 carreau ;
[200, 400]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}18\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 3{,}5 carreaux ;
[400, 600]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}23\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 4{,}5 carreaux ;
[600, 800]\text{ cm}^{-1} (creux d'absorption du \mathrm{CO}_2) : hauteur moyenne \approx 0{,}13\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 2{,}5 carreaux ;
[800, 1000]\text{ cm}^{-1} (fenêtre atmosphérique) : hauteur moyenne \approx 0{,}33\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 6{,}5 carreaux ;
[1000, 1200]\text{ cm}^{-1} (avec absorption de l'ozone) : hauteur moyenne \approx 0{,}18\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 3{,}5 carreaux ;
[1200, 1400]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}09\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 1{,}8 carreau ;
[1400, 1600]\text{ cm}^{-1} : hauteur moyenne \approx 0{,}02\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{cm}, soit \approx 0{,}4 carreau.

Le nombre total de carreaux sous le spectre est de l'ordre de :

N_{\text{carreaux}} \approx 1{,}0 + 3{,}5 + 4{,}5 + 2{,}5 + 6{,}5 + 3{,}5 + 1{,}8 + 0{,}4 \approx 23{,}7 \approx 24\text{ carreaux}

On en déduit l'estimation numérique de la puissance surfacique rayonnée :

\boxed{\Phi_{\text{émis}} \approx 240\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}} \quad (\text{valeur acceptable comprise entre } 220\text{ et } 260\text{ W}\cdot\text{m}^{-2})

Résultat

Φ_{\overset{e}{ˊ} mis} \approx 240 W \cdot m^{- 2}

Signaler une erreur Sommaire

Question 37

En préservant l'équilibre avec le flux reçu du Soleil, comment est modifié le spectre émis par la Terre si on augmente la teneur de l'atmosphère en $CO_{2}$ ?

Voir l'indice

Tenir compte du fait qu'une augmentation de CO2 creuse et élargit le puits d'absorption centré à 667\ \mathrm{cm}^{-1}, ce qui contraint les fenêtres de transparence à émettre davantage pour compenser.

Voir la stratégie

Analyser l'impact microscopique et vertical de l'augmentation de la teneur x en \mathrm{CO}_2 au voisinage de sa bande d'absorption (n \approx n_f).
Exploiter la condition d'équilibre radiatif global de la Terre (conservation de l'aire totale sous le spectre) pour en déduire l'évolution du spectre en dehors de cette bande.

Voir le corrigé complet

L'augmentation de la fraction molaire x de \mathrm{CO}_2 modifie le spectre d'émission vers l'espace selon deux aspects complémentaires :

Dans la bande d'absorption du \mathrm{CO}_2 (n \approx 667\text{ cm}^{-1}) :
D'après la question Q32, la pression au niveau d'émission vers l'espace vérifie P(h) = \frac{\mu_c M g}{x}. Si x augmente, P(h) diminue, ce qui signifie que l'altitude d'émission h augmente. La troposphère étant caractérisée par un gradient de température négatif (\mathrm{d}T/\mathrm{d}z = -\Gamma < 0), l'émission s'effectue depuis des couches plus froides. Par conséquent, l'émission diminue au niveau du creux d'absorption (il se creuse davantage) et la bande d'absorption s'élargit (ses ailes s'évasent car les régions du spectre où l'absorption était initialement faible atteignent à leur tour le seuil d'opacité \mu_c).
Dans le reste du spectre, notamment la fenêtre de transparence (800\text{ à }1200\text{ cm}^{-1}) :
L'équilibre thermique avec le flux solaire incident impose que la puissance totale surfacique réémise vers l'espace reste constante :
\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}n}\,\mathrm{d}n = (1-\alpha)\Phi = \text{cste}
L'aire totale sous la courbe du spectre doit donc être strictement conservée. Le déficit de flux provoqué par l'élargissement et le creusement de la bande du \mathrm{CO}_2 doit nécessairement être compensé par une augmentation de l'émission dans les fenêtres atmosphériques transparentes. Comme ce rayonnement provient directement de la surface terrestre, la température au sol T(0) augmente (conformément au résultat de la question Q33), ce qui hausse le spectre hors de la bande d'absorption (la courbe y suit un spectre de corps noir de température supérieure à 288\text{ K}).

\boxed{\text{Le creux d'absorption à } 667\text{ cm}^{-1} \text{ se creuse et s'élargit ; hors de cette bande, le spectre s'élève (hausse de la température de surface).}}

Résultat

Le creux d’absorption \overset{a}{ˋ} 667 cm^{- 1} se creuse et s’ \overset{e}{ˊ} largit ; hors de cette bande, le spectre s’ \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˋ} ve (hausse de la temp \overset{e}{ˊ} rature de surface).

Signaler une erreur Sommaire

Où je me situe, question par question

Cochez les questions que vous avez réussies sans aide. Toutes les questions du sujet sont ici, y compris celles des autres pages : votre sélection est gardée d'une page à l'autre.

Note estimée: –; 0 question réussie sur 37
Position estimée: –; des copies sous cette note

Estimation indicative, faute de barème officiel publié : toutes les questions comptent autant, sur les 37 questions de ce corrigé. La position suppose des notes réparties selon une loi normale de moyenne 8,98 et d'écart-type 3,9 (chiffres officiels de l'épreuve). Votre sélection reste sur cet appareil.

Source des chiffres : document officiel du concours.

Signaler une erreur

Une étape vous semble fausse ou incomplète ? Dites-le nous en précisant le numéro de la question (par exemple Q29) : dans les commentaires ci-dessous ou sur le Discord de WikiPrépa. Chaque signalement est vérifié et la question corrigée si besoin.

Signaler sur Discord Comment sont rédigés et vérifiés nos corrigés

Commentaires• Corrigé X ENS Physique MPI 2023

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Corrigé rédigé par WikiPrépa ; ce n'est pas un corrigé officiel du concours. Mis à jour le 25 septembre 2026.