Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique B PT 2026, Q16

   D'après l'énoncé, la structure cristalline de l'oxyde de nickel \mathrm{NiO} est de type chlorure de sodium (\mathrm{NaCl}) :

   • Les anions oxyde \mathrm{O^{2-}} forment un sous-réseau cubique à faces centrées :

     • les 8 sommets de la maille ;
     • les centres des 6 faces.

   • Les cations \mathrm{Ni^{2+}} occupent la totalité des sites octaédriques :

     • les milieux des 12 arêtes de la maille ;
     • le centre du cube.

   Légende :

   • \bullet Grandes sphères (rouges) : Anions oxyde \mathrm{O^{2-}} (sommets et centres des faces du réseau CFC)
   • \bullet Petites sphères (vertes) : Cations nickel \mathrm{Ni^{2+}} (milieux des arêtes et centre du cube, sites octaédriques)

   \boxed{\text{La maille conventionnelle de }\mathrm{NiO}\text{ est cubique à faces centrées en ions }\mathrm{O^{2-}}\text{ avec les ions }\mathrm{Ni^{2+}}\text{ dans tous les sites octaédriques (type }\mathrm{NaCl}\text{).}}

   Résultat

   $$\text{La maille conventionnelle de }\mathrm{NiO}\text{ est cubique aˋ faces centreˊes en ions }{\mathrm{O}}^{2-}\text{ avec les ions }\mathrm{N}{\mathrm{i}}^{2+}\text{ dans tous les sites octaeˊdriques (type }\mathrm{NaCl}\text{).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique B PT 2026, Q18

   La masse volumique \rho du cristal d'oxyde de nickel \mathrm{NiO} est le quotient de la masse contenue dans une maille par le volume de cette maille.

   La maille étant cubique d'arête a, son volume est :

   V_{\text{maille}} = a^3

   D'après la question Q17, chaque maille contient Z = 4 unités formulaires \mathrm{NiO}. La masse d'une maille s'exprime donc par :

   m_{\text{maille}} = \frac{Z \cdot M(\mathrm{NiO})}{N_A} = \frac{4\left(M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{O})\right)}{N_A}

   où N_A est la constante d'Avogadro.

   On en déduit l'expression littérale de la masse volumique :

   \boxed{\rho = \frac{4\left(M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{O})\right)}{N_A \, a^3}}

   Application numérique :

   • M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{O}) = 59 + 16 = 75\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 75 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
   • a = 418\text{ pm} = 4{,}18 \times 10^{-10}\text{ m} ;
   • N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}.

   Calculons le dénominateur :

   \begin{aligned} a^3 &= (4{,}18 \times 10^{-10}\text{ m})^3 \approx 73{,}0 \times 10^{-30}\text{ m}^3 \\ N_A \, a^3 &\approx 6{,}02 \times 10^{23} \times 73{,}0 \times 10^{-30} \approx 4{,}40 \times 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   D'où :

   \rho = \frac{4 \times 75 \times 10^{-3}}{4{,}40 \times 10^{-5}} = \frac{300}{44} \times 10^3 \approx 6{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

   \boxed{\rho \approx 6{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 6{,}8\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =\frac{4\left(M(\mathrm{Ni})+M(\mathrm{O})\right)}{N_A{a}^3}$$

   $$\rho \approx 6,8\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=6,8\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique B PT 2025, Q4

   D'après l'énoncé, la structure de l'uranite \text{UO}_2\text{(s)} est de type fluorine (\text{CaF}_2) :

   • Les cations \text{U}^{4+} forment un sous-réseau cubique à faces centrées (CFC) d'arête a.
   • Les anions \text{O}^{2-} occupent la totalité des huit sites tétraédriques situés au centre des huit sous-cubes d'arête a/2.

   Procédons au dénombrement des ions appartenant en propre à la maille :

   • Nombre d'ions \text{U}^{4+} par maille :

     \begin{aligned} N(\text{U}^{4+}) &= \underbrace{8 \times \frac{1}{8}}_{\text{sommets}} + \underbrace{6 \times \frac{1}{2}}_{\text{centres de faces}} = 1 + 3 = 4 \end{aligned}

   • Nombre d'ions \text{O}^{2-} par maille :

     \begin{aligned} N(\text{O}^{2-}) &= \underbrace{8 \times 1}_{\text{sites tétraédriques intérieurs}} = 8 \end{aligned}

   Le rapport du nombre d'ions est donc :

   \frac{N(\text{O}^{2-})}{N(\text{U}^{4+})} = \frac{8}{4} = 2

   \boxed{\text{La maille contient } Z = 4 \text{ groupements formulaires } \text{UO}_2 \text{, ce qui confirme la stœchiométrie du cristal.}}

   Résultat

   $$\text{La maille contient }Z=4\text{ groupements formulaires }{\text{UO}}_2\text{, ce qui confirme la stœchiomeˊtrie du cristal.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique B PT 2025, Q5

   Dans la structure de l'uranite, les ions oxyde \mathrm{O}^{2-} occupent le centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, et les ions \mathrm{U}^{4+} en occupent les sommets.

   La distance entre le centre d'un site tétraédrique et le sommet le plus proche est égale à la moitié de la diagonale d'un sous-cube d'arête a/2, soit le quart de la diagonale principale de la maille :

   d = \frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}

   En faisant l'hypothèse classique d'un contact entre le cation \mathrm{U}^{4+} et l'anion \mathrm{O}^{2-} le long de cette direction, on a :

   \frac{a\sqrt{3}}{4} = r(\mathrm{U}^{4+}) + r(\mathrm{O}^{2-})

   On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

   a = \frac{4}{\sqrt{3}} \left[ r(\mathrm{U}^{4+}) + r(\mathrm{O}^{2-}) \right]

   Application numérique : Avec r(\mathrm{U}^{4+}) = 114\text{ pm}, r(\mathrm{O}^{2-}) = 124\text{ pm} et \sqrt{3} \approx 1{,}7 (donnée de l'énoncé) :

   \begin{aligned} r(\mathrm{U}^{4+}) + r(\mathrm{O}^{2-}) &= 114 + 124 = 238\text{ pm} \\ a &= \frac{4 \times 238}{1{,}7} = \frac{952}{1{,}7} = 560\text{ pm} \end{aligned}

   \boxed{a = 560\text{ pm} = 0{,}560\text{ nm} = 5{,}60 \times 10^{-10}\text{ m}}

   Résultat

   $$a=560\text{ pm}=0,560\text{ nm}=5,60\times 10^{-10}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique B PT 2023, Q1

   Dans le réseau cubique à faces centrées (cfc) formé par les anions \mathrm{O}^{2-} :

   • Les anions \mathrm{O}^{2-} occupent les 8 sommets et les 6 centres des faces de la maille cubique de côté a.

   • Les sites octaédriques (\mathrm{[O]}) sont situés :

     • au centre de la maille (coordonnées réduites (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})) ;
     • au milieu des 12 arêtes (coordonnées réduites du type (\frac{1}{2}, 0, 0)).
   • Les sites tétraédriques (\mathrm{[T]}) sont situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2 constituant la maille, soit aux coordonnées réduites (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}) et leurs équivalents par symétrie (à une distance \frac{a\sqrt{3}}{4} de chaque sommet le long des grandes diagonales).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique B PT 2023, Q7

   La masse volumique \rho d'un cristal est le rapport de la masse m_{\text{maille}} des entités appartenant à la maille sur le volume V de cette maille :

   \rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V}

   La maille conventionnelle cubique a pour volume :

   V = a^3

   D'après les dénombrements effectués aux questions Q2 et Q3, la maille contient :

   • 1 ion \mathrm{Fe^{2+}} ;
   • 2 ions \mathrm{Cr^{3+}} ;
   • 4 ions \mathrm{O^{2-}}.

   Cela correspond exactement à Z = 1 groupement formulaire \mathrm{FeCr_2O_4} par maille.

   La masse contenue dans la maille s'écrit donc :

   m_{\text{maille}} = \frac{M(\mathrm{FeCr_2O_4})}{N_{\mathrm{A}}} = \frac{M(\mathrm{Fe}) + 2\,M(\mathrm{Cr}) + 4\,M(\mathrm{O})}{N_{\mathrm{A}}}

   où N_{\mathrm{A}} désigne la constante d'Avogadro et M les masses molaires atomiques respectives.

   On en déduit l'expression de la masse volumique de la chromite :

   \boxed{\rho = \frac{M(\mathrm{Fe}) + 2\,M(\mathrm{Cr}) + 4\,M(\mathrm{O})}{N_{\mathrm{A}}\,a^3}}

   Résultat

   $$\rho =\frac{M(\mathrm{Fe})+2M(\mathrm{Cr})+4M(\mathrm{O})}{N_{\mathrm{A}}{a}^3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique B PT 2022, Q6

   Le motif élémentaire d'un cristal ionique est l'entité minimale traduisant sa composition stœchiométrique, ici l'unité formulaire \mathrm{BaO}.

   Les ions oxyde \mathrm{O}^{2-} constituent un réseau cubique à faces centrées (CFC). Ils occupent donc :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé entre 8 mailles adjacentes ;
   • les 6 centres des faces, chacun étant partagé entre 2 mailles adjacentes.

   Le nombre d'ions \mathrm{O}^{2-} appartenant en propre à une maille est donc :

   N(\mathrm{O}^{2-}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   D'après la formule statistique du solide \mathrm{BaO}, le rapport stœchiométrique entre les cations \mathrm{Ba}^{2+} et les anions \mathrm{O}^{2-} est de 1:1 (pour assurer l'électroneutralité globale du cristal). La maille doit par conséquent contenir également :

   N(\mathrm{Ba}^{2+}) = N(\mathrm{O}^{2-}) = 4

   Une maille élémentaire contient donc 4 groupements \mathrm{BaO}.

   \boxed{Z = 4\text{ motifs BaO par maille}}

   Résultat

   $$Z=4\text{ motifs BaO par maille}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique B PT 2022, Q9

   D'après les résultats des questions Q6, Q7 et Q8, la structure de l'oxyde de baryum \mathrm{BaO} est de type chlorure de sodium (\mathrm{NaCl}) :

   • les anions oxyde \mathrm{O}^{2-} occupent les 8 sommets et les 6 centres des faces de la maille cubique ;
   • les cations baryum \mathrm{Ba}^{2+} occupent les 12 milieux des arêtes et le centre du cube (sites octaédriques).

   ;	Anions oxyde \mathrm{O}^{2-} (réseau CFC : sommets et centres des faces)
   ;	Cations baryum \mathrm{Ba}^{2+} (sites [O] : milieux des arêtes et centre)

   Chaque type d'ion forme un sous-réseau CFC décalé d'un demi-paramètre de maille selon l'une des arêtes : les deux sous-réseaux sont totalement interpénétrés.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique B PT 2022, Q10

   Dans le réseau cubique de type \mathrm{NaCl} de l'oxyde de baryum \mathrm{BaO}, les anions \mathrm{O}^{2-} occupent les sommets et les centres des faces du cube, tandis que les cations \mathrm{Ba}^{2+} occupent les milieux des arêtes et le centre de la maille.

   L'hypothèse de sphères dures impose le contact entre les plus proches voisins de signes opposés, c'est-à-dire le long d'une arête du cube :

   a = 2\,r(\mathrm{Ba}^{2+}) + 2\,r(\mathrm{O}^{2-}) = 2\left(r(\mathrm{Ba}^{2+}) + r(\mathrm{O}^{2-})\right)

   On en déduit l'expression du rayon ionique de l'ion baryum :

   r(\mathrm{Ba}^{2+}) = \frac{a}{2} - r(\mathrm{O}^{2-})

   Application numérique avec a = 0{,}554\text{ nm} et r(\mathrm{O}^{2-}) = 0{,}140\text{ nm} :

   \begin{aligned} r(\mathrm{Ba}^{2+}) &= \frac{0{,}554}{2} - 0{,}140 \\ &= 0{,}277 - 0{,}140 \\ &= 0{,}137\text{ nm} = 137\text{ pm} \end{aligned}

   \boxed{r(\mathrm{Ba}^{2+}) = 0{,}137\text{ nm} = 137\text{ pm}}

   Résultat

   $$r({\mathrm{Ba}}^{2+})=0,137\text{ nm}=137\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique B PT 2021, Q1

    La structure du sulfure de zinc \mathrm{ZnS} de type blende est constituée :

    • d'un sous-réseau cubique à faces centrées (cfc) d'ions sulfure \mathrm{S^{2-}} (aux 8 sommets et aux centres des 6 faces) ;
    • de cations \mathrm{Zn^{2+}} occupant la moitié des sites tétraédriques, c'est-à-dire 4 sites parmi les 8 situés au centre des sous-cubes d'arête a/2, disposés de manière alternée.

    Indice, stratégie et pièges de cette question