Feuille d'entraînement : Frottement solide

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q1

   Le patin de masse m est en équilibre statique sur le plan incliné d'un angle \alpha par rapport à l'horizontale. Il est soumis à deux actions mécaniques :

   • son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;

   • l'action de contact exercée par le plan sur le patin, décomposée en :

     • une composante normale \vec{N}, orthogonale au plan incliné et dirigée vers le haut ;
     • une composante tangentielle \vec{T} (force de frottement statique), contenue dans le plan, orientée vers le haut de la pente pour s'opposer à la tendance au glissement induite par la pesanteur.

   À l'équilibre, le principe fondamental de la statique impose :

   \vec{P} + \vec{N} + \vec{T} = \vec{0}

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2. Exercice 2ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q2

   On étudie le patin de masse m, modélisé par un point matériel, dans le référentiel lié au plan incliné, supposé galiléen.

   Le patin est soumis à :

   • son poids \vec{P} = m\vec{g} ;
   • la réaction normale du plan \vec{N}, orthogonale au plan et dirigée vers le haut ;
   • la force de frottement statique \vec{T}, parallèle au plan et dirigée vers le haut pour s'opposer au glissement vers le bas.

   À l'équilibre statique, la résultante des forces est nulle :

   \vec{P} + \vec{N} + \vec{T} = \vec{0}

   En projetant cette relation sur un axe Ox parallèle au plan et descendant, et sur un axe Oy perpendiculaire au plan et orienté vers le haut :

   \begin{aligned} m g \sin\alpha - \|\vec{T}\| &= 0 \\ -m g \cos\alpha + \|\vec{N}\| &= 0 \end{aligned}

   On en déduit la norme des deux composantes :

   \boxed{\|\vec{N}\| = m g \cos\alpha} \quad \text{et} \quad \boxed{\|\vec{T}\| = m g \sin\alpha}

   D'après les lois d'Amontons-Coulomb, la condition de non-glissement s'écrit :

   \|\vec{T}\| \le f \|\vec{N}\| \iff m g \sin\alpha \le f m g \cos\alpha \iff \tan\alpha \le f

   Le glissement s'amorce dès que \alpha > \alpha_c, où l'angle critique \alpha_c vérifie :

   \tan\alpha_c = f \iff \boxed{\alpha_c = \arctan(f)}

   Résultat

   $$\Vert \vec{N}\Vert =mg\cos \alpha$$

   $$\Vert \vec{T}\Vert =mg\sin \alpha$$

   $${\alpha }_c=\arctan (f)$$

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3. Exercice 3ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q17

   À l'équilibre, le principe fondamental de la statique appliqué à la tranche infinitésimale de milieu granulaire comprise entre z et z + \mathrm{d}z s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{P} + \mathrm{d}\vec{F}_{p,v} + \mathrm{d}\vec{T} = \vec{0}

   En utilisant les expressions obtenues précédemment :

   • le poids de la tranche (d'après la question Q7) :

     \mathrm{d}\vec{P} = \rho \phi S g\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de pression verticale (d'après la question Q8) :

     \mathrm{d}\vec{F}_{p,v} = - S \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de frottement de la paroi (d'après la question Q11) :

     \mathrm{d}\vec{T} = - \pi D f P_h(z)\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   En injectant la loi de redirection des contraintes P_h(z) = k P_v(z), la force de frottement s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{T} = - \pi D k f P_v(z)\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   En projetant le bilan des forces selon l'axe vertical ascendant/descendant \vec{e}_z et en divisant par \mathrm{d}z :

   - S \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} - \pi D k f P_v(z) + \rho \phi S g = 0

   La section transversale étant un disque de diamètre D, on a S = \dfrac{\pi D^2}{4}, soit :

   \frac{\pi D}{S} = \frac{4}{D}

   En divisant toute l'équation par S, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + \frac{4 k f}{D} P_v = \rho \phi g

   Puis en divisant par \dfrac{4 k f}{D} :

   \frac{D}{4 k f} \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + P_v = \rho \phi g \frac{D}{4 k f}

   Cette équation est bien de la forme :

   \lambda \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + P_v = P_\infty

   par identification :

   \boxed{\lambda = \frac{D}{4 k f}}

   et :

   \boxed{P_\infty = \rho \phi g \lambda}

   Résultat

   $$\lambda =\frac{D}{4kf}$$

   $$P_{\infty }=\rho \varphi g\lambda$$

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4. Exercice 4ENS Physique-Chimie L PC 2024, Q4

   Le solide (1), de masse M, est en translation rectiligne selon (\mathrm{O}x) dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z). Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2 \vec{r}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{d}t^2} = M \ddot{u}\,\vec{e}_x = \vec{P} + \vec{R} + \vec{F}_{\mathrm{R}}

   où les forces extérieures appliquées sont :

   • le poids : \vec{P} = -M g\,\vec{e}_y ;
   • la réaction du support : \vec{R} = T\,\vec{e}_x + N\,\vec{e}_y ;
   • la force de rappel du ressort : \vec{F}_{\mathrm{R}} = k(s - a)\,\vec{e}_x.

   La projection du PFD selon la verticale \vec{e}_y donne N - Mg = 0, soit N = Mg.

   D'après la définition introduite à la question Q3, \alpha = \frac{T}{Mg}, d'où la force de frottement tangentielle :

   T = \alpha M g

   Par ailleurs, l'élément tracteur (3) se déplace à la vitesse constante V_{\mathrm{B}} à partir de t=0, donc son abscisse est :

   x_{\mathrm{B}}(t) = x_{\mathrm{B}}(0) + V_{\mathrm{B}} t

   Le solide étant indéformable, l'abscisse de l'extrémité A du ressort suit le déplacement du centre de masse G :

   x_{\mathrm{A}}(t) = x_{\mathrm{A}}(0) + \bigl(u(t) - u(0)\bigr) = x_{\mathrm{A}}(0) + u(t) \quad \text{car } u(0) = 0

   La longueur du ressort s(t) = x_{\mathrm{B}}(t) - x_{\mathrm{A}}(t) vaut donc, compte tenu de la condition initiale s(0) = x_{\mathrm{B}}(0) - x_{\mathrm{A}}(0) = a :

   s(t) = a + V_{\mathrm{B}} t - u(t) \iff s(t) - a = V_{\mathrm{B}} t - u(t)

   La force exercée par le ressort s'exprime donc :

   F_{\mathrm{R}} = k \bigl(V_{\mathrm{B}} t - u\bigr)

   En projetant le PFD selon l'axe horizontal (\mathrm{O}x) :

   \begin{aligned} M \ddot{u} &= T + F_{\mathrm{R}} \\ M \ddot{u} &= \alpha M g + k(V_{\mathrm{B}} t - u) \\ \ddot{u} + \frac{k}{M} u &= \alpha g + \frac{k}{M} V_{\mathrm{B}} t \end{aligned}

   En posant la pulsation propre \omega_0 :

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}}

   on obtient bien l'équation différentielle demandée :

   \boxed{\ddot{u} + \omega_0^2 u = \alpha g + \omega_0^2 V_{\mathrm{B}} t}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{M}}$$

   $$\ddot{u}+{\omega }_0^{2}u=\alpha g+{\omega }_0^2{V}_{\mathrm{B}}t$$

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5. Exercice 5ENS Physique-Chimie L PC 2024, Q1

   1. Conditions d'équilibre d'un solide soumis à trois forces :

   Un solide indéformable soumis à trois forces extérieures non parallèles \vec{F}_1, \vec{F}_2 et \vec{F}_3 est à l'équilibre mécanique si et seulement si :

   • la résultante des forces est nulle :

     \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}
   • le moment résultant en tout point est nul, ce qui implique géométriquement que les droites d'action des trois forces sont coplanaires et concourantes en un même point.

   2. Inventaire des forces appliquées au solide (1) :

   • Le poids \vec{P} = - M g \,\vec{e}_y, vertical, appliqué au centre de masse \mathrm{G}(u, L_y). Sa droite d'action est la verticale d'équation x = u.
   • La force de traction exercée par le ressort tendu \vec{F}_{\mathrm{R}} = F_{\mathrm{R}} \,\vec{e}_x (avec F_{\mathrm{R}} > 0), horizontale, appliquée au point \mathrm{A}(u + L_x, L_y). Sa droite d'action est l'horizontale passant par \mathrm{A} et \mathrm{G}, d'équation y = L_y.
   • L'action de contact de la surface (0) \vec{R} = T \,\vec{e}_x + N \,\vec{e}_y, appliquée en un point \mathrm{I}(x_{\mathrm{I}}, 0) de la zone de contact (y = 0).

   3. Point de concours et axe de la réaction \vec{R} :

   Les droites d'action du poids \vec{P} et de la force de rappel \vec{F}_{\mathrm{R}} se coupent au centre de masse \mathrm{G}. Par conséquent, pour que le moment résultant en \mathrm{G} soit nul :

   \vec{\mathcal{M}}_{\mathrm{G}}(\vec{R}) = \vec{\mathrm{GI}} \wedge \vec{R} = \vec{0}

   La droite d'action portant la réaction \vec{R} passe nécessairement par \mathrm{G}.

   4. Position du point d'application I :

   La condition d'équilibre des forces fournit :

   \begin{aligned} \vec{P} + \vec{F}_{\mathrm{R}} + \vec{R} = \vec{0} \quad \implies \quad \begin{cases} T = - F_{\mathrm{R}} \\ N = Mg \end{cases} \end{aligned}

   Avec \vec{\mathrm{GI}} = (x_{\mathrm{I}} - u)\,\vec{e}_x - L_y\,\vec{e}_y, la nullité du moment en \mathrm{G} s'écrit :

   \vec{\mathrm{GI}} \wedge \vec{R} = \left[ (x_{\mathrm{I}} - u) N - (-L_y) T \right] \vec{e}_z = \left[ (x_{\mathrm{I}} - u)Mg + L_y(-F_{\mathrm{R}}) \right] \vec{e}_z = \vec{0}

   On en déduit l'abscisse du point \mathrm{I} :

   \boxed{x_{\mathrm{I}} = u + \frac{F_{\mathrm{R}}}{Mg} L_y}

   5. Description du schéma d'équilibre :

   • Le solide est un rectangle de largeur 2L_x et de hauteur 2L_y, centré en \mathrm{G}(u, L_y).
   • Le point \mathrm{I} est situé sur la surface horizontale de contact (y = 0), décalé vers la droite par rapport à la verticale de \mathrm{G} d'une distance \Delta x = \frac{F_{\mathrm{R}}}{Mg}L_y > 0.
   • L'axe portant la réaction \vec{R} est la droite joignant le point \mathrm{I} au centre \mathrm{G}.
   • Le vecteur \vec{R} est incliné vers le haut et vers l'arrière gauche (T < 0 et N > 0), compensant à la fois le poids \vec{P} et la traction \vec{F}_{\mathrm{R}}.

   Résultat

   $$x_{\mathrm{I}}=u+\frac{F_{\mathrm{R}}}{Mg}{L}_y$$

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6. Exercice 6ENS Physique-Chimie L PC 2024, Q2

   Lorsque l'opérateur augmente progressivement la force de traction F_{\mathrm{R}} \ge 0 à partir de zéro, deux événements limites sont susceptibles de se produire en premier :

   1. Seuil de glissement D'après les lois d'Amontons-Coulomb, le solide reste en adhérence tant que |T| < f_{\mathrm{s}} N. À l'équilibre, on a N = Mg et T = -F_{\mathrm{R}} (d'après la question Q1). Le glissement apparaît donc lorsque la force de traction atteint :

   F_{\mathrm{R,\,gliss}} = f_{\mathrm{s}} Mg

   2. Seuil de basculement Le solide repose sur sa face inférieure de largeur 2L_x, centrée en x = u. Pour maintenir le contact surfacique sans décollement (non-basculement), la ligne d'action de la résultante des actions de contact \vec{R} doit couper la surface de sustentation, ce qui impose que son point d'application \mathrm{I} appartienne au segment de contact :

   u - L_x \le x_{\mathrm{I}} \le u + L_x

   D'après le résultat de la question Q1, l'abscisse du point \mathrm{I} vaut :

   x_{\mathrm{I}} = u + \frac{F_{\mathrm{R}}}{Mg} L_y

   Puisque F_{\mathrm{R}} \ge 0, le point \mathrm{I} se déplace vers l'avant (x_{\mathrm{I}} \ge u). Le basculement autour de l'arête inférieure avant (x = u + L_x) se produit dès que x_{\mathrm{I}} atteint cette limite, ce qui correspond à une force critique :

   u + \frac{F_{\mathrm{R,\,basc}}}{Mg} L_y = u + L_x \implies F_{\mathrm{R,\,basc}} = Mg \frac{L_x}{L_y}

   3. Condition de glissement sans basculement Comme la force F_{\mathrm{R}} croît progressivement à partir de zéro, le solide atteindra le glissement sans avoir basculé si et seulement si le seuil de glissement est atteint strictement avant le seuil de basculement :

   F_{\mathrm{R,\,gliss}} < F_{\mathrm{R,\,basc}} \iff f_{\mathrm{s}} Mg < Mg \frac{L_x}{L_y}

   Soit finalement la condition :

   \boxed{f_{\mathrm{s}} < \frac{L_x}{L_y}}

   Résultat

   $$f_{\mathrm{s}}<\frac{L_x}{L_y}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique PC 2022, Q10

   L'existence d'une vitesse de démarrage U_0 s'explique par la présence de frottements mécaniques solides (secs) au niveau de l'axe de rotation (liaison pivot, roulements ou paliers).

   D'après les lois de Coulomb sur le frottement sec, le système reste immobile tant que le couple moteur d'origine aérodynamique \Gamma_{\text{aéro}}(U) n'excède pas le couple de frottement statique maximal \Gamma_{\text{s,max}} opposé par les contacts mécaniques :

   |\Gamma_{\text{aéro}}(U)| \le \Gamma_{\text{s,max}}

   Le couple aérodynamique exercé sur l'anémomètre à l'arrêt étant une fonction croissante de la vitesse du vent U (proportionnel à U^2), il n'atteint la valeur critique \Gamma_{\text{s,max}} qu'à partir d'une vitesse seuil non nulle, notée U_0. Pour toute vitesse U < U_0, le rotor ne peut pas démarrer.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q3

   D'après le résultat de la question précédente, à la limite du glissement, le coefficient de frottement s'exprime par :

   f = \tan \alpha_c

   Convertissons l'angle en radians :

   \alpha_c = 18^\circ = 18 \times \frac{\pi}{180}\text{ rad} = \frac{\pi}{10}\text{ rad} \approx 0{,}314\text{ rad}

   L'angle étant petit devant 1\text{ rad}, on peut effectuer un développement limité de la fonction tangente :

   \tan \alpha_c \approx \alpha_c + \frac{\alpha_c^3}{3} \approx 0{,}314 + \frac{0{,}314^3}{3} \approx 0{,}314 + 0{,}010 \approx 0{,}32

   En respectant la consigne d'un à deux chiffres significatifs sans calculatrice :

   \boxed{f \approx 0{,}3} \quad \text{(ou } f \approx 0{,}32\text{)}

   Résultat

   $$f\approx 0,3$$

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9. Exercice 9ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q4

   On choisit pour système l'ensemble du milieu granulaire (masse totale M_{\text{tot}}) contenu dans le tube, étudié dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   1. Bilan des forces extérieures s'exerçant sur le milieu granulaire :

   • Le poids de l'ensemble des grains :

     \vec{P} = - M_{\text{tot}}\,g\,\vec{e}_z

     (avec \vec{e}_z le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut).

   • L'action de contact normale exercée par le piston inférieur sur la base de la colonne :

     \vec{R}_{\text{piston}} = M_{\text{eff}}\,g\,\vec{e}_z

     puisque le piston coulisse sans frottement et transmet intégralement cette force à la balance.

   • L'action de contact exercée par la paroi latérale cylindrique du tube sur les grains :

     • une composante normale aux parois (radiale centripète), dont la résultante globale est nulle par symétrie de révolution : \vec{N}_{\text{paroi}} = \vec{0} ;
     • une résultante tangentielle de frottement solide le long de la paroi, notée \vec{T}_{\text{paroi}}.

   2. Origine du « défaut de masse » :

   À l'étape (b), l'abaissement du support entraîne une tendance au déplacement du milieu granulaire vers le bas par rapport aux parois du tube. D'après les lois du frottement de Coulomb, la force de frottement exercée par la paroi sur les grains s'oppose à ce mouvement relatif et est donc dirigée vers le haut :

   \vec{T}_{\text{paroi}} = T_{\text{paroi}}\,\vec{e}_z \quad (T_{\text{paroi}} > 0)

   À l'équilibre (ou lors du mouvement quasi-statique à vitesse constante), le principe fondamental de la statique appliqué au milieu granulaire donne :

   \vec{P} + \vec{R}_{\text{piston}} + \vec{T}_{\text{paroi}} = \vec{0}

   En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z :

   - M_{\text{tot}}\,g + M_{\text{eff}}\,g + T_{\text{paroi}} = 0

   \boxed{M_{\text{eff}} = M_{\text{tot}} - \frac{T_{\text{paroi}}}{g}}

   Le « défaut de masse » \Delta M = M_{\text{tot}} - M_{\text{eff}} = \frac{T_{\text{paroi}}}{g} provient ainsi du fait qu'une fraction importante du poids de la colonne granulaire est reprise par les parois latérales du tube grâce aux forces de frottement solide.

   Résultat

   $$M_{\text{eff}}=M_{\text{tot}}-\frac{T_{\text{paroi}}}{g}$$

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10. Exercice 10ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q5

    En l'absence d'effet d'écran dû aux frottements latéraux (comme pour un liquide parfait dans un récipient vertical), la balance mesurerait l'intégralité du poids versé, soit :

    M_{\text{eff}} = M_{\text{tot}}

    Sur la figure 2, cela correspond à la première bissectrice passant par l'origine et de pente égale à 1.

    • Pour les très faibles masses versées (M_{\text{tot}} \lesssim 2\text{ à }3\text{ g}), les points expérimentaux suivent d'assez près cette droite : par exemple, pour M_{\text{tot}} \approx 1\text{ g}, on lit M_{\text{eff}} \approx 1\text{ g}, puis à M_{\text{tot}} \approx 2{,}5\text{ g}, M_{\text{eff}} \approx 2\text{ g}.
    • À partir de M_{\text{tot}} \approx 3\text{ à }5\text{ g}, la courbe s'infléchit nettement : pour M_{\text{tot}} = 5\text{ g}, on mesure M_{\text{eff}} \approx 4\text{ g}, ce qui représente déjà un écart relatif de l'ordre de 20\,\%, bien supérieur aux incertitudes de lecture.

    On peut ainsi estimer que l'écart entre la masse versée et la masse mesurée devient significatif à partir de :

    \boxed{M_{\text{tot}} \approx 3\text{ à }5\text{ g}}

    Résultat

    $$M_{\text{tot}}\approx 3\text{ aˋ }5\text{ g}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question