Frottement solide : 109 questions de concours corrigées

Représenter sur un schéma les forces qui s'appliquent au patin dans une position d'équilibre.

Dans le cadre d'une étude statique du patin, exprimer la norme des composantes N et T en fonction de la masse m. Exprimer alors la valeur critique α_c de l'inclinaison à laquelle le patin glisse.

Établir l'équation différentielle d'évolution de l'abscisse x_M de la masse M.

On pose maintenant le solide 1 sur le support S qui fait un angle θ avec le plan horizontal. Le dispositif est représenté sur la figure 2. On fait augmenter, à partir d'une valeur faible, l'angle θ…

Écrire, dans le cas général, le principe fondamental de la dynamique appliqué au solide (1). Établir qu'il conduit à l'équation différentielle suivante (pour les conditions initiales choisies) : u +…

En déduire qu'à partir de t = 0 la craie reste immobile jusqu'à l'instant t = t₀ que l'on déterminera en fonction de f_s, M, g, k et v₀.

On pose τ = t - t₀. Préciser les valeurs de x_A, de X_H et de sa dérivée V_H = dX_H/dτ à l'instant τ = 0 avant d'expliciter l'équation différentielle vérifiée par X_H(τ) sous la forme : (d² X_H)/dτ²…

Justifier que l'énergie mécanique du système (0),(1) (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.

En réalisant un bilan des forces à l'équilibre sur la tranche de milieu granulaire d'épaisseur dz, montrer que la pression obéit à l'équation différentielle suivante : λ dP_v/dz + P_v = P_∞ où λ est…

Pour un contact verre-verre, on prendra α_c = 18°. Donner la valeur numérique correspondante de f.

D'après les données de la figure 2, donner une estimation de la masse versée à partir de laquelle l'écart avec la masse mesurée est significatif.

Exprimer alors le poids de la tranche infinitésimale en faisant apparaître la compacité.

À l'aide d'un bilan sur la tranche infinitésimale de hauteur dz, exprimer la résultante des forces de pression verticale.

Nous posons α = T/(Mg). Représenter graphiquement la dépendance de la fonction α = α(v) vis-à-vis de la vitesse v.

Indiquer dans quel état, d'extension ou de compression, le ressort (2) se trouve lorsque le solide (1) s'immobilise.

Estimer la valeur de Δ₁₂/π. Rappelons que Δ₁₂ est la largeur de l'intervalle angulaire I₂ correspondant à la phase 2 du mouvement (phase de glissement).

Estimer la valeur de θ₁/π.

Exprimer la force de traction exercée par le ressort sur le mobile en fonction de k, v₀, t et de X_H(t) = x_H(t) + ℓ₀. Exprimer aussi la composante normale R_N de la force de contact exercée sur la…

Déterminer la dimension du coefficient d'Archard k.

Dans quelle situation courante rencontre-t-on la cycloïde ?

Lorsque la vitesse U du vent est inférieure à la vitesse de démarrage U₀ (document 1), l'anémomètre est immobile. Quel phénomène peut expliquer l'existence de cette vitesse de démarrage ?

En appliquant le postulat fondamental de la dynamique au container et à l'aide d'une loi sur le frottement solide à préciser, obtenir l'expression de F en fonction de f₀, m₀, g et uₓ.

a) Définir ce qu'on appelle la vitesse de glissement v_g d'un solide par rapport à un autre en un point de contact. b) Doit-on préciser dans quel référentiel elle est exprimée ?

Expliquer à quelle condition on passe de l'adhérence au glissement.

Expliquer à quelle condition on passe du glissement à l'adhérence.

Décrire qualitativement les deux phases successives du mouvement de l'ensemble en précisant pour chacune d'elles si le fil est tendu ou non tendu.

Traduire la loi de Coulomb pour exprimer T.

On réalise l'expérience plusieurs fois de suite, en partant toujours de la valeur de H₀ = 40,0 cm. La masse du solide 1 vaut M = 50 g et celle du solide 2 vaut α M = 60 g. Calculer la valeur du…

On réalise plusieurs essais successifs de décrochement et la valeur moyenne de θ_lim est de l'ordre de 29,5°. En déduire l'ordre de grandeur du coefficient de frottement mesuré.

Calculer le travail de la composante tangentielle R_T de l'action de la glace sur le palet lors du déplacement du palet.

Lister toutes les forces qui s'exercent sur le milieu granulaire. Expliquer d'où pourrait provenir le « défaut de masse » mesuré à l'issue du protocole.

Proposer un ordre de grandeur pour la masse volumique du milieu granulaire. En déduire une estimation de la hauteur H correspondante et comparer au diamètre du tube.

Exprimer d²N en fonction de la pression horizontale P_h en introduisant un vecteur unitaire adéquat.

En déduire les expressions des résultantes dN et dT correspondant à toute la tranche du milieu granulaire d'épaisseur dz, modélisé comme un milieu continu.

Discuter de la cohérence de ces résultats avec le défaut de masse présenté plus haut.

Justifier qu'à la surface libre, on doit prendre P_v = 0. En particulier, on expliquera pourquoi la pression atmosphérique n'intervient pas (contrairement à un fluide).

Déterminer la solution de l'équation différentielle en faisant apparaître les grandeurs λ et P_∞.

Tracer alors l'allure de P_v(z). On fera apparaître sur le graphique les grandeurs λ et P_∞.

Commenter l'expression de M_eff(Mₜₒₜ) en analysant les données présentées sur la figure 2.

Dans ce problème, donner l'analogue de la pesanteur pour l'effet Janssen dans une colonne de grains.

Représenter graphiquement l'évolution de cette force en fonction de la longueur L de la zone occupée par les blocs de glace.

Nous supposons que V_B = 0 et que le ressort a été tendu, mais de telle façon que le solide (1) reste immobile. Rappeler à quelles conditions un solide soumis à trois forces est à l'équilibre…

Écrire l'équation différentielle vérifiée par la fonction U. On y fera apparaître le paramètre W_B.

Exprimer l'angle θ₁ à partir duquel le glissement du solide (1) apparaît.

En se reportant aux figures (2) et (3) : Associer les fonctions (a), (b) et (c) aux tracés (1), (2) et (3).

Estimer la valeur de W_B.

Déduire du résultat précédent une estimation de la valeur du rapport r.

Estimer la valeur du coefficient f_s.

Estimer la valeur de Δ₂₃/π où Δ₂₃ est la largeur de l'intervalle angulaire correspondant à la phase 3 durant laquelle le solide reste à nouveau immobile. On indiquera le raisonnement qui a conduit à…

Indiquer, à partir de cette équation, comment définir une accélération de la pesanteur effective g_eff de telle manière que cette grandeur joue un rôle analogue à celui joué par g dans l'équation…

Pour estimer les ordres de grandeur du phénomène, on prend θₘₐₓ = 5π/6 avec un frottement caractérisé par f_s ≃ 1 et f_d ≃ 0,6 pour une vitesse de traction du ressort v₀ = 1 cm/s. On prendra g ≃ 10…

Discuter qualitativement la loi de Preston-Achard.

Réaliser un bilan des forces exercées sur une tranche de solide située entre x et x+dx.

Interpréter ce rapport sans dimension comme le rapport de deux forces s'exerçant sur le système au passage de la perturbation. On précisera leur nature.

En adaptant ce modèle de frottement solide à l'étude du système, établir l'expression de τ_f(x, t) lorsqu'une zone de l'interface glisse. On notera τ_r = f σ_N.

Dans une zone où le solide ne glisse pas, traduire la condition de non-glissement comme une condition aux limites sur le champ de déplacement u et donner l'expression de la contrainte τ_f.

Dans le cas où la masse M ne glisse pas sur la masse m, donner la nouvelle fréquence propre f_M du système en fonction de f₀. Pour une masse M=1 kg, estimer f_M avec un chiffre significatif.

Établir l'équation différentielle d'évolution de l'abscisse xₘ de la masse effective m.

Dans le cas où les masses ne glissent pas l'une sur l'autre, montrer que T = -ξ (xₘ - L(U)), où ξ sera exprimé en fonction de k, m et M.

Exprimer la position x_f = xₘ(t_l+τ_l) et la vitesse v_f = vₘ(t_l+τ_l) à la fin de la phase de montée. Exprimer le déplacement Δl x_M de la masse M durant une phase lente.

Estimer numériquement le ratio τ_d / τ_r. En déduire que τ_r - τ_d ≈ τ_r.

Pour τ_l = 1 ms et τ_r = 1 , calculer numériquement Δr x_M / Lₘₐₓ. En déduire le déplacement Δ x_M = Δl x_M + Δr x_M de la masse M après une période de variation de la tension électrique.

a) Montrer que F = T₂ uₓ. b) En déduire Γₘ et faire l'application numérique.

La nature « idéale » de la poulie et du fil permet de considérer que la norme F de la tension du fil est conservée tout le long du fil. En appliquant le théorème de la résultante cinétique au solide…

On s'intéresse à la première phase du mouvement. a) Exprimer le lien entre X et Z en le justifiant dans cette première phase. b) Établir dans cette phase la vitesse X(t) en fonction de α, f_g et g…

On s'intéresse à la deuxième phase du mouvement. a) Exprimer X(t) dans cette phase en fonction de t, t₁, V₁, X₀, H₀, g et f_g. b) Exprimer f_g en fonction de α, H₀ et D.

Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à chacune des deux phases du mouvement.

Établir les expressions : a) de l'allongement X₁ b) de la date t₁ associés au début de glissement du solide 1 par rapport au tapis.

a) Quelle est la nature du mouvement après la date t₁ ? b) Déterminer par une méthode énergétique l'allongement maximal X_M atteint par la masse en fonction de X₁, V et la pulsation propre de…

À quelle condition d'inégalité entre la période propre τ₀ et X₁/V peut-on considérer que l'abscisse maximale X_M est très voisine de X₁ ? On suppose cette condition vérifiée dans toute la suite de…

Montrer qu'alors la fréquence approchée du mouvement est donnée par : ν = (ω₀² V)/(2 g f_s). Évaluer numériquement cette fréquence en supposant que la raideur vaut k = 4 kN⁻¹ et que la vitesse du…

Représenter l'allure de X(t) sur une période.

Ce phénomène se retrouve dans beaucoup de situations quotidiennes : craie qui crisse sur un tableau, porte qui grince, pneu qui crisse et archet de violon. a) Dans quel domaine de fréquences sont…

Évaluer le travail des forces de frottement sur une période dans ce modèle. Commenter.

On considère que la composante R_T est un vecteur constant. Quelle distance faut-il au palet pour s'arrêter ? Combien de longueurs de patinoires le palet pourrait-il parcourir avant de s'arrêter ?

Grâce à l'étape (b) du protocole, indiquer si la mesure de la masse s'effectue en régime statique ou de glissement. Exprimer alors d²T.

En utilisant les résultats précédents, proposer un raisonnement permettant d'obtenir une expression de M_eff en fonction de la hauteur H de l'empilement.

En déduire une expression M_eff fonction de la masse versée Mₜₒₜ. On pourra introduire une masse caractéristique M_∞ que l'on exprimera en fonction de D, g et P_∞.

Déterminer la valeur numérique du coefficient de frottement f et commenter. On prendra pour le coefficient de redirection k = 1.

Représenter sur un schéma les forces horizontales (c'est-à-dire dans le plan de la glace) agissant sur une tranche contenant les blocs de glace situés entre les abscisses x et x+dx (et donc de…

En adaptant l'approche proposée pour la colonne granulaire, donner l'expression de chacune des forces s'exerçant sur l'ensemble des blocs de glace inclus dans l'élément de longueur dx et de largeur ℓ.

En déduire l'équation différentielle que vérifie la pression Pₓ(x). On introduira à nouveau une grandeur caractéristique λ et une pression caractéristique P_∞.

Exprimer la force nécessaire au bateau pour mettre en mouvement l'ensemble de la glace à l'aide du bateau.

Nous supposons que l'opérateur extérieur, en déplaçant l'élément (3), fait croître progressivement la force F_R, depuis la valeur nulle. En raisonnant sur la figure tracée précédemment, déterminer à…

Nous nous plaçons sur l'intervalle angulaire I₂ = [θ₁, θ₂] qui correspond à la phase 2 du mouvement, phase durant laquelle le solide (1) glisse sur la surface (0). θ₂ est l'angle pour lequel le…

Nous notons Δ₁₂ = θ₂ - θ₁ la largeur de l'intervalle angulaire I₂. Exprimer Δ₁₂ en fonction de φ₂ puis tan (φ₂/2) en fonction du paramètre r (tan désigne la fonction tangente).

Représenter l'allure des fonctions U = U(θ) et X_B = X_B(θ) sur quelques cycles adhérence-glissement (trois, par exemple). Donner une estimation de la largeur angulaire Δ d'un tel cycle pour le jeu…

Nous considérons le système masse-ressort (M, k^) équivalent au bâton de craie. Son évolution est décrite par la variable u (se reporter à la figure (5)). Établir l'équation différentielle vérifiée…

Sans nécessairement exprimer τₘₐₓ , déterminer les expressions de cos (θₘₐₓ ) et sin (θₘₐₓ ) en fonction de α. En déduire que Vₘₐₓ = v₀(1 + √(1 + α²)). Tracer l'allure de la courbe donnant V_H(τ)…

Montrer que T_r/2 est nécessairement non nulle. On admettra que cette force est identique sur les quatre roues de la locomotive. Exprimer T_r/2 en fonction notamment de l'accélération a₀ et des…

Calculer le temps qu'a mis le train de Trevhitick à atteindre sa vitesse de croisière, en supposant que |T_r/2| = 0,1 fₐ |N_r/2|, de sorte que l'absence de glissement est assurée.

En remarquant que les points I₀ et I₁, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c'est-à-dire pour θ=0), justifier que θ₁=2 θ.

Appliquer le principe fondamental de la dynamique à cette même tranche et en déduire que la dynamique du champ de déplacement u(x, t) est donnée par l'équation suivante : (∂² u)/(∂ x²) - 1/c_p² (∂²…

Que devient l'équation de conservation de l'énergie mécanique volumique (3), déterminée dans la partie I ? Donner la signification physique des nouveaux termes apparaissant dans cette équation. Quel…

Déterminer l'expression du champ de déformation u(x), en régime quasi-statique, le long de l'interface, c'est-à-dire à l'intérieur de la zone en glissement, et à l'extérieur de cette zone.

Dès lors qu'on exerce une pression sur la fraise donc lors du contact avec une dent la vitesse angulaire de rotation diminue fortement, quasi de moitié. Expliquer ce phénomène.

En utilisant le résultat de la question précédente et celui de la question Q49, montrer que, dans le cas sans glissement, la force de frottement T est : T ≈ -Mω² Lₘₐₓ(t-t_r)/τ_r

Exprimer τ_d. Tracer T/(Mω² Lₘₐₓ) en fonction de t pendant une phase rapide.

En utilisant Q47, donner l'expression de l'abscisse x_M(t) pendant la séquence de glissement. Donner la variation de position Δr x_M de la masse M entre t=t_r et t=t_r+τ_r.

Les lois de Coulomb sur le frottement solide permettent d'assurer que les roues ne glissent pas sur la chaussée si |T_k| < f N_k avec k 1, 2. a) Quelles roues risquent de glisser ? b) Montrer qu'un…

Lors de la préparation de leur plan, un des protagonistes suggère d'utiliser des voitures à propulsion arrière. a) Quelles sont alors les expressions de T₁ et de T₂ ? b) En admettant que N₁ et N₂…

a) Déterminer les fonctions allongement X(t) et vitesse X(t) pendant la phase de glissement. b) Pour quelle valeur de X(t = t₂), cette phase s'arrête-t-elle ? c) Représenter l'allure de X(t) et de…

Déterminer alors la solution de cette équation différentielle. Commenter la différence avec l'effet Janssen granulaire.

Évaluer numériquement cette force pour une largeur ℓ = 5 m et une longueur L = 30 m. On proposera (en justifiant) des valeurs pour les autres grandeurs intervenant dans l'expression de la force…

Déterminer à quelle condition (notée C_π), portant sur le paramètre r, la largeur de l'intervalle angulaire Δ₁₂ tend vers π. Puis à quelle autre condition (notée C_2π), portant sur le paramètre r…

Avec la valeur de g_eff trouvée et en adoptant la valeur δ = f_s - f_d = 0,1, nous obtenons les valeurs de paramètres suivantes : W_B ≃ 1 et r ≃ 10⁻¹. À la lumière de l'étude conduite dans la partie…

Déterminer l'expression de ℓ(τ) et en déduire la longueur du ressort ℓ(0) à l'instant τ = 0. Montrer qu'à l'instant τ₁ elle est devenue ℓ(τ₁) = ℓ(0) - 2α v₀/ω. En déduire la durée τ₂ qui devra alors…

Pour le rail identifié dans la question Q 28, comparer le degré d'usure des faces supérieure et intérieure du rail. Préciser les approximations réalisées.

Représenter graphiquement les déplacements de m et de M pendant plusieurs cycles. Quelle est la vitesse moyenne v_moy sur un cycle du déplacement de la masse M ? Comment doit-être choisi τ_l afin…