Feuille d'entraînement : Frottement solide

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q30

   Lors de l'application de la fraise sur la dent, la force pressante exercée par le praticien engendre, par frottement de contact (lois de Coulomb) et travail de découpe de l'émail ou de la dentine, un couple résistant supplémentaire \Gamma_{\text{contact}} < 0.

   Le théorème du moment cinétique appliqué au rotor en régime permanent de rotation autour de l'axe (Oz) s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \Gamma_0 - \alpha\omega - |\Gamma_{\text{contact}}| = 0

   La nouvelle vitesse angulaire de régime permanent s'exprime ainsi :

   \boxed{\omega = \frac{\Gamma_0 - |\Gamma_{\text{contact}}|}{\alpha} = \omega_l - \frac{|\Gamma_{\text{contact}}|}{\alpha}}

   Une turbine à air comprimé est un actionneur fournissant une vitesse de rotation à vide extrêmement élevée mais un couple moteur \Gamma_0 très faible. Dès lors, une force d'appui même modérée génère un couple résistant |\Gamma_{\text{contact}}| du même ordre de grandeur que \Gamma_0 (typiquement |\Gamma_{\text{contact}}| \approx \Gamma_0 / 2), ce qui provoque une chute importante de la vitesse angulaire (d'environ 50 %).

   Résultat

   $$\omega =\frac{{\Gamma }_0-|{\Gamma }_{\text{contact}}|}{\alpha }={\omega }_l-\frac{|{\Gamma }_{\text{contact}}|}{\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2020, Q9

   Le mouvement a lieu sur une surface horizontale. Choisissons un axe horizontal (Ox) dirigé dans le sens du déplacement du palet, de vecteur unitaire \vec{u}_x, et un axe vertical ascendant (Oy) de vecteur unitaire \vec{u}_y.

   Le palet étant en glissement selon (Ox), la composante normale de la réaction du support est :

   \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_y

   Le mouvement s'effectuant uniquement le long de l'axe horizontal, la projection du principe fondamental de la dynamique sur l'axe (Oy) donne :

   R_N - mg = 0 \implies R_N = mg

   D'après les lois de Coulomb (document 1), le palet étant en phase de glissement sur la glace, la norme de la composante tangentielle vaut :

   R_T = \|\vec{R}_T\| = f_D R_N = f_D mg

   La force de frottement s'opposant au glissement, son vecteur s'écrit :

   \vec{R}_T = - R_T\,\vec{u}_x = - f_D mg\,\vec{u}_x

   Lors d'un déplacement d'une distance d dans le sens de \vec{u}_x, le vecteur déplacement est \vec{\Delta r} = d\,\vec{u}_x. Comme \vec{R}_T est constant au cours du mouvement, le travail s'écrit :

   \begin{aligned} W(\vec{R}_T) &= \vec{R}_T \cdot \vec{\Delta r} \\ &= - R_T d \\ &= - f_D mg d \end{aligned}

   \boxed{W(\vec{R}_T) = - R_T d = - f_D mg d}

   Résultat

   $$W({\vec{R}}_T)=-R_{T}d=-f_{D}mgd$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2020, Q10

   On applique le théorème de l'énergie cinétique au palet de masse m, modélisé par un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, entre l'instant initial (vitesse v_0 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et l'instant d'arrêt (vitesse nulle) :

   \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = 0 - \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2.

   Sur un plan horizontal, le poids \vec{P} et la réaction normale \vec{R}_N sont perpendiculaires au déplacement rectiligne, donc leurs travaux sont nuls :

   W(\vec{P}) = 0 \quad \text{et} \quad W(\vec{R}_N) = 0.

   D'après le résultat de la question Q9, le travail de la force de frottement dynamique s'écrit :

   W(\vec{R}_T) = -R_T d = -f_D m g d.

   Le théorème de l'énergie cinétique donne ainsi :

   -\frac{1}{2}mv_0^2 = -f_D m g d \implies d = \frac{v_0^2}{2f_D g}.

   Application numérique :

   \begin{aligned} v_0 &= 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \\ f_D &= 0{,}050, \\ g &= 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, \\ d &= \frac{50^2}{2 \times 0{,}050 \times 10} = \frac{2500}{1{,}0} = 2{,}5\cdot 10^3\text{ m}. \end{aligned}

   \boxed{d = 2{,}5\cdot 10^3\text{ m} = 2{,}5\text{ km}}

   D'après le texte introductif, la patinoire mesure L = 60\text{ m} de long. Le nombre de longueurs de patinoire que le palet pourrait parcourir avant de s'arrêter est :

   N = \frac{d}{L} = \frac{2500}{60} \approx 41{,}7.

   \boxed{N \approx 42\text{ longueurs de patinoire}}

   Résultat

   $$d=2,5\cdot 10^3\text{ m}=2,5\text{ km}$$

   $$N\approx 42\text{ longueurs de patinoire}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question