Feuille d'entraînement : Frottement solide

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique PSI 2022, Q9

   On étudie la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de dimensions \mathrm{d}x selon (\mathrm{O}x), H selon (\mathrm{O}y) et h selon (\mathrm{O}z). La section droite est S = hH et les surfaces supérieure et inférieure valent \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x.

   1. Actions selon la direction verticale (\mathrm{O}z) :

   • Force normale appliquée en surface supérieure (z = h) :

     \vec{F}_N = -\sigma_N H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

   • Réaction normale exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0) :

     \vec{F}_R = \sigma_R H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_z

   Le mouvement selon (\mathrm{O}z) étant négligé, ces forces se compensent (\sigma_R \simeq \sigma_N).

   2. Actions selon la direction longitudinale (\mathrm{O}x) :

   • Forces élastiques internes exercées par le reste de la couche sur les sections droites en x et x+\mathrm{d}x (en utilisant la loi de Hooke uniaxiale F = S E \frac{\partial u}{\partial x}) :

     \begin{aligned} \text{En } x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x) = - E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x \\ \text{En } x+\mathrm{d}x : \quad & \vec{F}_{\text{él}}(x+\mathrm{d}x) = + E h H \frac{\partial u}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x \end{aligned}

     Leur résultante vaut :

     \mathrm{d}\vec{F}_{\text{él}} = E h H \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t)\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

   • Force de cisaillement en surface supérieure (z = h), orientée selon +\vec{e}_x :

     \vec{F}_c = \tau_c(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

   • Force de frottement exercée par le substrat en surface inférieure (z = 0), définie positive selon -\vec{e}_x :

     \vec{F}_f = -\tau_f(x, t) H\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

   La résultante des forces selon l'axe (\mathrm{O}x) s'écrit donc :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F}_x = \left[ E h H \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) + H \big(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\big) \right] \mathrm{d}x\,\vec{e}_x}

   Résultat

   $$\mathrm{d}{\vec{F}}_x=\left[EhH\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t)+H({\tau }_c(x,t)-{\tau }_f(x,t))\right]\mathrm{d}x{\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q10

   On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de solide délimitée par les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x = \rho h H\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude supposé galiléen :

   \mathrm{d}m \, \frac{\partial^2 \vec{u}}{\partial t^2}(x, t) = \mathrm{d}\vec{F}

   En projetant sur l'axe (\mathrm{O}x), le mouvement étant unidirectionnel suivant cet axe, et en utilisant l'expression de la résultante des forces obtenue à la question Q9 :

   \rho h H \,\mathrm{d}x \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t) = \left[ E h H \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) + H\bigl(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\bigr) \right] \mathrm{d}x

   En divisant chaque terme par E h H \,\mathrm{d}x, on obtient :

   \frac{\rho}{E}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) + \frac{1}{Eh}\bigl(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\bigr)

   En introduisant la célérité des ondes de compression c_p = \sqrt{\frac{E}{\rho}} établie à la question Q5, soit \frac{\rho}{E} = \frac{1}{c_p^2}, on réordonne les termes :

   \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) - \frac{1}{c_p^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t) = -\frac{1}{Eh}\bigl(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\bigr)

   Par identification avec l'équation (4) proposée par l'énoncé :

   \boxed{A = \frac{1}{E h}}

   Résultat

   $$A=\frac{1}{Eh}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2022, Q11

   D'après la question Q10, l'équation régissant le déplacement s'écrit :

   \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c_p^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -\frac{1}{Eh}\left(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\right)

   Multiplions cette équation par E\frac{\partial u}{\partial t} en utilisant la relation E/c_p^2 = \rho :

   E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \frac{\partial u}{\partial t} - \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{h}\left(\tau_c(x, t) - \tau_f(x, t)\right)\frac{\partial u}{\partial t}

   En utilisant les identités remarquées en question Q8 :

   \begin{aligned} \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}\rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2\right) \\ E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \frac{\partial u}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial x}\left(E \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2}E \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right) \end{aligned}

   En réorganisant les termes, l'équation de conservation de l'énergie mécanique volumique devient :

   \boxed{\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^{2}+\frac{1}{2} E\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(E \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial t}\right) + \frac{\tau_c(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\tau_f(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t}}

   Signification physique des nouveaux termes :

   • Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{c,\mathrm{vol}} = \frac{\tau_c(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique fournie au solide par la force de cisaillement extérieure appliquée en surface supérieure (z = h). C'est un apport d'énergie mécanique au système.
   • Le terme \displaystyle \mathcal{P}_{f,\mathrm{vol}} = -\frac{\tau_f(x, t)}{h} \frac{\partial u}{\partial t} représente la puissance volumique cédée au niveau de l'interface inférieure (z = 0) sous l'effet du frottement avec le substrat.

   Échauffement de l'interface :

   Lorsque le solide glisse sur le substrat, la force de frottement tangentielle s'oppose au mouvement (travail résistant). Le terme lié à la force de frottement, à savoir :

   \boxed{-\frac{\tau_f(x, t)}{h}\frac{\partial u}{\partial t}}

   représente une perte d'énergie mécanique volumique, dissipée de façon irréversible en chaleur par frottement à l'interface solide/substrat. C'est donc ce terme qui traduit un échauffement thermique de l'interface (échauffement frictionnel).

   Résultat

   $$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}\rho {\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)}^2+\frac{1}{2}E{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(E\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial t}\right)+\frac{{\tau }_c(x,t)}{h}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{{\tau }_f(x,t)}{h}\frac{\partial u}{\partial t}$$

   $$-\frac{{\tau }_f(x,t)}{h}\frac{\partial u}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2022, Q13

   Considérons le volume de solide affecté par la perturbation, délimité par une longueur \ell, une largeur H et une épaisseur h :

   • Force de cisaillement externe : elle s'exerce sur les faces horizontales (en z=0 et z=h) d'aire S_{\mathrm{cis}} = H \ell avec une contrainte typique \tau_0. L'ordre de grandeur de cette force de cisaillement est :

     F_{\mathrm{cis}} \sim \tau_0 \, H \ell

   • Force élastique interne (traction/compression) : elle s'exerce sur la section transversale S_{\mathrm{trans}} = H h. Le gradient de déplacement caractéristique est \frac{\partial u}{\partial x} \sim \frac{u_0}{\ell}, ce qui induit une contrainte élastique \sigma \sim E \frac{u_0}{\ell} d'après la loi de Hooke. La force élastique de rappel longitudinale est donc d'ordre de grandeur :

     F_{\text{él}} \sim \sigma S_{\mathrm{trans}} \sim E \frac{u_0}{\ell} \, H h

   Le rapport de ces deux forces s'écrit alors :

   \frac{F_{\mathrm{cis}}}{F_{\text{él}}} \sim \frac{\tau_0 H \ell}{E \frac{u_0}{\ell} H h} = \frac{\tau_0 \ell^2}{u_0 E h}

   \boxed{\frac{\tau_0 \ell^2}{u_0 E h} \sim \frac{F_{\mathrm{cis}}}{F_{\text{él}}}}

   Ce nombre sans dimension s'interprète donc comme le rapport entre :

   • la force motrice ou résistante de cisaillement externe s'exerçant aux interfaces de la plaque (frottement et contrainte imposée),
   • et la force de rappel d'élasticité interne s'opposant à la déformation longitudinale au sein du matériau.

   Résultat

   $$\frac{{\tau }_0{\ell }^2}{u_{0}Eh}\sim \frac{F_{\mathrm{cis}}}{F_{\text{eˊl}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique PSI 2022, Q14

   Considérons le contact entre la couche de solide (solide 1) et le substrat (solide 2) au niveau de l'interface en z = 0.

   1. Équilibre vertical : Le mouvement selon l'axe (\mathrm{O}z) étant négligé, l'équilibre mécanique vertical d'un élément de surface \mathrm{d}S = H\,\mathrm{d}x impose l'égalité entre la réaction normale du substrat et la force pressante appliquée au sommet :

      \sigma_R = \sigma_N \implies \|\mathrm{d}\vec{N}\| = \sigma_N\,\mathrm{d}S.

   2. Loi de frottement de Coulomb en glissement : Lorsqu'une zone de l'interface est en glissement à la vitesse relative \vec{v}_{1/2} = \frac{\partial u}{\partial t}\,\vec{e}_x (avec \frac{\partial u}{\partial t} > 0 compte tenu du cisaillement appliqué selon +\vec{e}_x), la force de réaction tangentielle \mathrm{d}\vec{T} exercée par le substrat s'oppose au glissement :

      \mathrm{d}\vec{T} = - \|\mathrm{d}\vec{T}\|\,\vec{e}_x = - f \|\mathrm{d}\vec{N}\|\,\vec{e}_x = - f \sigma_N\,\mathrm{d}S\,\vec{e}_x.

   3. Expression de la contrainte \tau_f(x, t) : Par définition donnée dans l'énoncé, la force tangentielle par unité de surface exercée par le substrat sur le solide s'écrit -\tau_f(x, t)\,\vec{e}_x (la contrainte \tau_f étant comptée positive selon -\vec{e}_x). Par identification :

      \frac{\|\mathrm{d}\vec{T}\|}{\mathrm{d}S} = \tau_f(x, t) = f \sigma_N.

   On en déduit l'expression de la contrainte de frottement lors du glissement :

   \boxed{\tau_f(x, t) = \tau_r = f \sigma_N}

   Résultat

   $${\tau }_f(x,t)={\tau }_r=f{\sigma }_N$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique PSI 2022, Q15

   Le substrat étant infiniment rigide et fixe dans le référentiel d'étude, la condition de non-glissement de la couche solide sur le substrat impose une vitesse de glissement nulle à l'interface (z=0) :

   \vec{v}_{\text{gliss}} = \frac{\partial u}{\partial t}(x, t)\,\vec{e}_x = \vec{0}

   Le solide étant initialement au repos (u(x, 0) = 0), le déplacement reste identiquement nul dans toute zone sans glissement :

   \boxed{u(x, t) = 0}

   À la frontière entre une zone glissante et une zone adhérente (par exemple en x = \pm \ell_g), la continuité du champ de déplacement impose donc la condition aux limites :

   \boxed{u(\pm \ell_g) = 0}

   Puisque u(x, t) = 0 sur l'ensemble de la zone de non-glissement, ses dérivées spatiales y sont nulles : \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0. L'équation de la limite quasi-statique (7) :

   \tau_f(x, t) = E h \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \tau_c(x, t)

   fournit immédiatement l'expression de la contrainte de frottement :

   \boxed{\tau_f(x, t) = \tau_c(x, t)}

   Résultat

   $$u(x,t)=0$$

   $$u(\pm {\ell }_g)=0$$

   $${\tau }_f(x,t)={\tau }_c(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique PSI 2022, Q16

   1. À l'extérieur de la zone de glissement (|x| > \ell_g)

   D'après la question Q15, la couche est immobile par rapport au substrat rigide dans les zones où il n'y a pas glissement. En prenant comme référence de déplacement l'état au repos initial, le champ de déplacement est nul :

   u(x) = 0 \quad \text{pour } |x| > \ell_g

   2. À l'intérieur de la zone de glissement (|x| \le \ell_g)

   Dans cette zone, la contrainte de frottement vaut \tau_f(x, t) = \tau_r (d'après la question Q14) et la contrainte appliquée est constante et uniforme : \tau_c(x, t) = \tau_c. L'équation d'équilibre quasi-statique (7) s'écrit alors :

   \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} x^2} = -\frac{\tau_c - \tau_r}{E h}

   Par intégration successive par rapport à x, on obtient :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) &= -\frac{\tau_c - \tau_r}{E h} \, x + C_1 \\ u(x) &= -\frac{\tau_c - \tau_r}{2 E h} \, x^2 + C_1 \, x + C_2 \end{aligned}

   où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration.

   La continuité du champ de déplacement aux limites de la zone glissante en x = \pm \ell_g impose :

   u(-\ell_g) = u(\ell_g) = 0

   On en déduit :

   C_1 = 0 \quad \text{et} \quad C_2 = \frac{\tau_c - \tau_r}{2 E h} \, \ell_g^2

   Finalement, le profil de déplacement est parabolique dans la zone glissante et nul à l'extérieur :

   \boxed{u(x) = \begin{cases} \dfrac{\tau_c - \tau_r}{2 E h} \left(\ell_g^2 - x^2\right) & \text{si } |x| \le \ell_g \\[10pt] 0 & \text{si } |x| > \ell_g \end{cases}}

   Résultat

   $$u(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\tau }_c-{\tau }_r}{2Eh}\left({\ell }_g^2-x^2\right)& \text{si }|x|\le {\ell }_g\\ 0& \text{si }|x|>{\ell }_g\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question