Feuille d'entraînement : Ferromagnétisme et circuits magnétiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q10

   D'après la question Q2 et l'énoncé, en présence du matériau ferromagnétique de perméabilité relative \mu_r, la norme du champ magnétique uniforme régnant au niveau de la partie mobile s'écrit :

   B = \mu_r \mu_0 n I

   D'après la question Q9, tant que le contact est assuré, l'angle évolue selon :

   \theta(t) = \frac{I B l^2}{2K}\bigl(1 - \cos(\omega_0 t)\bigr)

   Le cosinus oscillant entre -1 et 1, la valeur maximale susceptible d'être atteinte par l'angle \theta en l'absence de rupture est :

   \theta_{\max} = \frac{I B l^2}{K}

   Pour que la partie mobile puisse atteindre l'extrémité de l'arc au point S et donc quitter la zone de contact, il est nécessaire que l'angle maximal franchisse la valeur seuil \theta_S :

   \theta_{\max} \geqslant \theta_S \iff \frac{I B l^2}{K} \geqslant \theta_S \iff K \leqslant \frac{I B l^2}{\theta_S}

   En remplaçant B par son expression, on en déduit la valeur maximale de la constante de rappel :

   \boxed{K_{\max} = \frac{\mu_r \mu_0 n I^2 l^2}{\theta_S}}

   Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

   • \mu_r = 500 ;
   • \mu_0 = 1{,}257 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
   • n = 2 \times 10^3\text{ m}^{-1} ;
   • I = 1\text{ A} ;
   • l = 3\text{ cm} = 3 \times 10^{-2}\text{ m} ;
   • \theta_S = \frac{\pi}{60}\text{ rad}.

   Le champ magnétique a pour valeur :

   B = 500 \times 1{,}257 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^3 \times 1 = 1{,}257\text{ T}

   On obtient alors :

   K_{\max} = \frac{1 \times 1{,}257 \times (3 \times 10^{-2})^2}{\frac{\pi}{60}} = \frac{1{,}257 \times 9 \times 10^{-4} \times 60}{\pi} \approx 2{,}16 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}

   Soit :

   \boxed{K_{\max} \approx 2{,}2 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}}

   La valeur donnée dans l'énoncé est K = 7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}. On a bien :

   K = 7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2} \leqslant K_{\max} \approx 2{,}2 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}

   La condition est donc parfaitement satisfaite : la partie mobile est capable de vaincre le couple de rappel et de quitter l'arc conducteur.

   Résultat

   $$K_{\max }=\frac{{\mu }_r{\mu }_{0}n{I}^2{l}^2}{{\theta }_S}$$

   $$K_{\max }\approx 2,2\times 10^{-2}\text{ kg}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{s}}^{-2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question