Feuille d'entraînement : Fluides visqueux

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q46

   L'énoncé indique que la viscosité dynamique \eta s'exprime en \mathrm{Pa\cdot s}.

   Une pression correspond à une force par unité de surface :

   [P] = \frac{[F]}{[S]}

   D'après la deuxième loi de Newton, une force est le produit d'une masse par une accélération :

   [F] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}

   Une surface ayant pour dimension [S] = \mathrm{L^2}, la dimension d'une pression est :

   [P] = \frac{\mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}}}{\mathrm{L^2}} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}

   La dimension de la viscosité dynamique \eta est donc :

   [\eta] = [P] \cdot [\text{temps}] = (\mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}) \cdot \mathrm{T} = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1}}

   \boxed{[\eta] = \mathrm{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1}} \quad \text{soit, en unités de base du SI : } \mathrm{kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}}

   Résultat

   $$[\eta ]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}\cdot {\mathrm{T}}^{-1}\text{soit, en uniteˊs de base du SI : }\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q4

   La conduite cylindrique est fixe dans le référentiel d'étude lié au sol : la vitesse de la paroi située en r = R est donc nulle (\vec{v}_{\text{paroi}} = \vec{0}).

   Le pétrole étant modélisé comme un fluide visqueux (fluide newtonien), les interactions moléculaires à l'interface solide-fluide imposent la condition d'adhérence (ou condition de non-glissement) du fluide à la paroi.

   Par continuité du champ des vitesses à l'interface, la vitesse des particules de fluide au contact direct de la paroi est égale à celle de la paroi :

   \boxed{v(r = R) = 0}

   Résultat

   $$v(r=R)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q5

   Le système étudié est la portion cylindrique de fluide \Sigma, de rayon r, de longueur \ell, orientée selon l'axe horizontal (Oz). Les forces extérieures horizontales s'exerçant sur \Sigma sont des forces de contact :

   1. Forces de pression sur les faces planes d'extrémité d'aire S_b = \pi r^2 :

      • sur la face amont (en z), le fluide extérieur pousse vers l'aval :

        \vec{F}_{p,1} = P_1 \pi r^2 \, \vec{u}_z

      • sur la face aval (en z + \ell), le fluide extérieur s'oppose à l'écoulement :

        \vec{F}_{p,2} = - P_2 \pi r^2 \, \vec{u}_z

   2. Force de frottement visqueux sur la surface latérale S_{\text{lat}} = 2\pi r \ell :
      Le fluide situé à l'extérieur (r' > r) s'écoule moins vite que celui du système \Sigma (\mathrm{d}v/\mathrm{d}r < 0 du fait de l'adhérence à la paroi). Il exerce donc une force de freinage dirigée selon -\vec{u}_z.

      D'après la loi de Newton pour un fluide visqueux donnée dans le préambule :

      \left\Vert \vec{F}_t \right\Vert = \eta S_{\text{lat}} \left| \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \right| = - 2\pi r \ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}

      La force tangentielle s'écrit donc vectoriellement :

      \vec{F}_t = -\left\Vert \vec{F}_t \right\Vert \vec{u}_z = 2\pi r \ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \, \vec{u}_z

   \boxed{\vec{F}_{p,1} = P_1 \pi r^2 \, \vec{u}_z, \quad \vec{F}_{p,2} = - P_2 \pi r^2 \, \vec{u}_z \quad \text{et} \quad \vec{F}_t = 2\pi r \ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \, \vec{u}_z}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{p,1}=P_1\pi r^2{\vec{u}}_z,{\vec{F}}_{p,2}=-P_2\pi r^2{\vec{u}}_z\text{et}{\vec{F}}_t=2\pi r\ell \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}{\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q7

   D'après le résultat de la question Q6, le gradient de vitesse vérifie :

   \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -K r \quad \text{avec} \quad K = \frac{P_1 - P_2}{2\eta\ell}

   Par intégration directe par rapport à r, on obtient :

   v(r) = -\frac{1}{2} K r^2 + C

   où C est une constante d'intégration.
   La condition aux limites d'adhérence du fluide à la paroi fixe du cylindre (question Q4) s'écrit v(R) = 0, ce qui donne :

   -\frac{1}{2} K R^2 + C = 0 \implies C = \frac{1}{2} K R^2

   On en déduit l'expression du profil de vitesse :

   v(r) = \frac{K}{2}\left(R^2 - r^2\right)

   En remplaçant K par son expression en fonction des paramètres physiques :

   \boxed{v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta\ell}\left(R^2 - r^2\right)}

   Résultat

   $$v(r)=\frac{P_1-P_2}{4\eta \ell }\left(R^2-r^2\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q18

   Sur le tronçon horizontal DE de longueur L_1 = 30\text{ m}, l'altitude et la section du tuyau sont constantes (z_D = z_E et v_D = v_E). La différence de pression observée est donc uniquement due aux pertes de charge régulières :

   \Delta P_{\text{pertes, DE}} = P_D - P_E = 5{,}5 - 5{,}2 = 0{,}3\text{ bar} = 3{,}0 \cdot 10^4\text{ Pa}

   Les pertes de charge régulières étant supposées proportionnelles à la longueur de tuyau, la perte de charge par unité de longueur s'écrit :

   \lambda_p = \frac{\Delta P_{\text{pertes, DE}}}{L_1} = \frac{0{,}3\text{ bar}}{30\text{ m}} = 0{,}010\text{ bar}\cdot\text{m}^{-1}

   Sur le tronçon EF de longueur L_2 = 25\text{ m}, la perte de charge régulière est donc :

   \Delta P_{\text{pertes, EF}} = \lambda_p L_2 = 0{,}010 \times 25 = 0{,}25\text{ bar}

   En négligeant la perte de charge singulière au coude E, le théorème de Bernoulli avec pertes de charge entre E et F (avec v_E = v_F) s'écrit :

   \begin{aligned} P_E + \rho g z_E &= P'_F + \rho g z_F + \Delta P_{\text{pertes, EF}} \\ P'_F &= P_E - \rho g (z_F - z_E) - \Delta P_{\text{pertes, EF}} \\ P'_F &= P_E - \rho g L_2 - \Delta P_{\text{pertes, EF}} \end{aligned}

   Comme \rho g L_2 = 1{,}0 \cdot 10^3 \times 10 \times 25 = 2{,}5 \cdot 10^5\text{ Pa} = 2{,}5\text{ bar} :

   P'_F = 5{,}2 - 2{,}5 - 0{,}25 = 2{,}45\text{ bar}

   \boxed{P'_F = 2{,}45\text{ bar} \approx 2{,}5\text{ bar}}

   Résultat

   $$P_F^{\prime }=2,45\text{ bar}\approx 2,5\text{ bar}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q19

   Procédons à l'analyse dimensionnelle du produit D_V \Delta P_{\text{pertes}} :

   • Le débit volumique D_V représente un volume par unité de temps :

     [D_V] = \mathrm{L}^3 \cdot \mathrm{T}^{-1}

   • Une pression (ou une différence de pression \Delta P_{\text{pertes}}) est une force par unité de surface. D'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a), une force a pour dimension [F] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}, d'où :

     [\Delta P_{\text{pertes}}] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{-2}

   En effectuant le produit des deux grandeurs :

   \begin{aligned} [D_V \Delta P_{\text{pertes}}] &= [D_V] \cdot [\Delta P_{\text{pertes}}] \\ &= \left(\mathrm{L}^3 \cdot \mathrm{T}^{-1}\right) \cdot \left(\mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{-2}\right) \\ &= \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-3} \end{aligned}

   Or, une puissance \mathcal{P} est une énergie par unité de temps, soit le travail d'une force (W = F \cdot \ell) divisé par un temps :

   [\mathcal{P}] = \frac{[W]}{\mathrm{T}} = \frac{\mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{T}} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-3}

   On constate que :

   \boxed{[D_V \Delta P_{\text{pertes}}] = [\mathcal{P}] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^2 \cdot \mathrm{T}^{-3}}

   La quantité D_V \Delta P_{\text{pertes}} est donc bien homogène à une puissance.

   Résultat

   $$[D_V\Delta P_{\text{pertes}}]=[\mathcal{P}]=\mathrm{M}\cdot {\mathrm{L}}^2\cdot {\mathrm{T}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q20

   Considérons l'écoulement permanent d'eau (fluide incompressible de masse volumique \rho) entre un point de la surface libre du bassin (noté \text{SL}) et le point de refoulement G.

   Le théorème de Bernoulli généralisé avec apport de travail utile et pertes de charge s'écrit sous forme de bilan de puissance :

   P_u = D_V \left[ \left( P_G - P_{\text{SL}} \right) + \frac{1}{2}\rho \left( v_G^2 - v_{\text{SL}}^2 \right) + \rho g (z_G - z_{\text{SL}}) \right] + D_V \Delta P_{\text{pertes}}

   Précisons les conditions en chacun des deux points :

   • À la surface libre (SL) :

     • Le bassin étant ouvert à l'air libre, la pression est atmosphérique : P_{\text{SL}} = P_{\text{atm}}.
     • Les dimensions du bassin étant très grandes devant la section du tuyau, la vitesse y est négligeable : v_{\text{SL}} \approx 0.

   • Au point de refoulement (G) :

     • Le jet débouche à l'air libre, donc la pression vaut également la pression atmosphérique : P_G = P_{\text{atm}}, d'où P_G - P_{\text{SL}} = 0.
     • La vitesse du fluide est la vitesse d'éjection calculée à la question précédente : v_G = \dfrac{D_V}{S}.

   • Dénivelé : D'après la figure 3, la pompe et le tronçon horizontal DE sont situés à la profondeur p sous la surface libre (z_E = z_{\text{SL}} - p), et le tronçon vertical a pour hauteur L_2 (z_G = z_E + L_2). On en déduit :

     z_G - z_{\text{SL}} = L_2 - p

   En injectant ces résultats dans le bilan de puissance, on obtient :

   \boxed{P_u = D_V \left[ \frac{1}{2}\rho v_G^2 + \rho g (L_2 - p) + \Delta P_{\text{pertes}} \right]}

   Résultat

   $$P_u=D_V\left[\frac{1}{2}\rho v_G^2+\rho g(L_2-p)+\Delta P_{\text{pertes}}\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q4

   Par définition, le nombre de Reynolds caractérisant l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta à la vitesse moyenne v dans une conduite cylindrique de diamètre D s'écrit :

   Re = \frac{\rho v D}{\eta}

   En utilisant la valeur de v obtenue à la question Q3 (v = \frac{4 Q_V}{\pi D^2} \approx 0,354\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ainsi que les données de l'énoncé :

   • \rho = 1,0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • D = 0,20\text{ m} ;
   • \eta = 1,0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

   L'application numérique donne :

   \begin{aligned} Re &= \frac{1,0 \times 10^3 \times 0,354 \times 0,20}{1,0 \times 10^{-3}} \\ Re &\approx 7,1 \times 10^4 \end{aligned}

   \boxed{Re \approx 7,1 \times 10^4}

   Dans une canalisation cylindrique, l'écoulement devient turbulent dès que le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique Re_c \approx 2\,000 (comme l'indique également le diagramme de Moody fourni en figure 7).

   Comme Re \gg 2\,000, le régime d'écoulement est turbulent.

   Résultat

   $$Re\approx 7,1\times 10^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q5

   La rugosité relative de la canalisation vaut :

   \varepsilon = \frac{k}{D} = \frac{1,2 \times 10^{-3}\text{ m}}{0,20\text{ m}} = 6,0 \times 10^{-3} = 0,006

   La démarche de lecture sur le diagramme de Moody (figure 7) est la suivante :

   • Sur l'échelle de droite, on repère la courbe correspondant à la rugosité relative \varepsilon = 0,006.
   • Sur l'axe des abscisses en échelle logarithmique, on se place à la valeur du nombre de Reynolds obtenue à la question Q4 : \mathrm{Re} \approx 7,1 \times 10^4, soit à une abscisse relative \log_{10}(7,1) \approx 0,85 entre 10^4 et 10^5.
   • On remonte verticalement jusqu'à l'intersection avec la courbe \varepsilon = 0,006.
   • On projette horizontalement ce point d'intersection vers l'axe des ordonnées à gauche afin d'y lire le coefficient \lambda.

   On lit :

   \boxed{\lambda \approx 0,033}

   (une valeur comprise entre 0,032 et 0,035 est acceptable compte tenu de la précision de lecture).

   Résultat

   $$\lambda \approx 0,033$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q6

    Pour mettre en évidence expérimentalement les pertes de charge régulières, on réalise le montage suivant :

    1. Dispositif expérimental :

    • Une conduite horizontale rectiligne de section constante S et de diamètre intérieur D, sans obstacle singulier (ni vanne, ni coude).
    • Une alimentation en eau assurant un écoulement stationnaire à débit volumique Q_V contrôlé (réservoir à niveau constant ou pompe régulée).
    • Deux prises de pression statique (tubes piézométriques verticaux ouverts à l'air libre) distantes d'une longueur L.

    2. Mesures et observations :

    • La conduite étant horizontale (z_1 = z_2) et de section constante, la conservation de la masse impose des vitesses moyennes identiques : v_1 = v_2 = Q_V / S.
    • En l'absence de frottements (théorème de Bernoulli pour un fluide parfait), la pression statique serait identique en tout point : P_1 = P_2, et la hauteur de liquide dans les deux piézomètres serait égale (h_1 = h_2).

    • Expérimentalement, on constate que la colonne de liquide diminue dans le sens du courant : h_1 > h_2, traduisant une chute de pression :

      \Delta P_{\text{mesurée}} = P_1 - P_2 = \rho g (h_1 - h_2) = \rho g \Delta h > 0

    3. Mise en évidence de la nature régulière des pertes :

    • En déplaçant la prise de pression aval le long de la conduite ou en insérant plusieurs piézomètres intermédiaires, on observe que la perte de pression \Delta P est strictement proportionnelle à la distance L entre les points de mesure : \Delta P \propto L.
    • Cette proportionnalité prouve que la dissipation d'énergie mécanique se produit de manière continue et uniforme tout au long de la canalisation, ce qui caractérise précisément les pertes de charge régulières.

    Indice, stratégie et pièges de cette question