Feuille d'entraînement : Dispersion, paquets d'ondes et chaînes d'oscillateurs

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q24

   On étudie le tronçon numéro n, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel d'étude supposé galiléen muni du repère d'axe horizontal (Ox) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_x.

   À l'équilibre, l'abscisse du tronçon n est X_n^{\text{éq}} = n a. Lors du passage de l'onde, son abscisse devient :

   X_n(t) = n a + x_n(t)

   La dérivée seconde de sa position est simplement l'accélération du déplacement algébrique :

   \frac{\mathrm{d}^2 X_n}{\mathrm{d}t^2} = \ddot{x}_n(t)

   Le tronçon n est soumis aux actions mécaniques suivantes :

   • son poids et la réaction verticale du support, qui se compensent d'après l'énoncé ;

   • la force exercée par le ressort de droite (reliant le tronçon n au tronçon n+1) : la longueur de ce ressort est L_{n, n+1} = X_{n+1} - X_n = a + x_{n+1} - x_n. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

     \vec{F}_{\text{droite} \to n} = K (L_{n, n+1} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n+1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

   • la force exercée par le ressort de gauche (reliant le tronçon n-1 au tronçon n) : la longueur de ce ressort est L_{n-1, n} = X_n - X_{n-1} = a + x_n - x_{n-1}. La force de rappel exercée sur le tronçon n s'écrit :

     \vec{F}_{\text{gauche} \to n} = -K (L_{n-1, n} - a)\,\vec{u}_x = K \bigl(x_{n-1}(t) - x_n(t)\bigr)\,\vec{u}_x

   En appliquant la seconde loi de Newton au tronçon n et en projetant sur l'axe (Ox) :

   \begin{aligned} m \ddot{x}_n(t) &= K \bigl(x_{n+1}(t) - x_n(t)\bigr) + K \bigl(x_{n-1}(t) - x_n(t)\bigr) \\ m \ddot{x}_n(t) &= K \bigl(x_{n+1}(t) + x_{n-1}(t) - 2x_n(t)\bigr) \end{aligned}

   En divisant par la masse m, on obtient directement :

   \ddot{x}_n(t) = \frac{K}{m}\bigl(x_{n+1}(t) + x_{n-1}(t) - 2x_n(t)\bigr)

   Par identification avec l'équation (II.1), on en déduit l'expression de \Gamma :

   \boxed{\Gamma = \frac{K}{m}}

   Résultat

   $$\Gamma =\frac{K}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q26

   À la solution réelle x_n(t) = X_0 \cos(\omega t - kna), on associe la grandeur complexe :

   \underline{x}_n(t) = X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kna)}

   En dérivant deux fois par rapport au temps, il vient :

   \underline{\ddot{x}}_n(t) = -\omega^2 \underline{x}_n(t)

   Les déplacements des tronçons voisins s'écrivent :

   \begin{aligned} \underline{x}_{n+1}(t) &= X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k(n+1)a)} = \underline{x}_n(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{j}ka} \\ \underline{x}_{n-1}(t) &= X_0 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - k(n-1)a)} = \underline{x}_n(t)\,\mathrm{e}^{+\mathrm{j}ka} \end{aligned}

   En injectant ces grandeurs complexes dans l'équation différentielle (II.1) :

   -\omega^2 \underline{x}_n(t) = \Gamma \left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j}ka} + \mathrm{e}^{\mathrm{j}ka} - 2\right) \underline{x}_n(t)

   Pour une onde non nulle (\underline{x}_n(t) \neq 0), on simplifie par \underline{x}_n(t) :

   -\omega^2 = \Gamma \left(2\cos(ka) - 2\right) = -2\Gamma\bigl(1 - \cos(ka)\bigr)

   En utilisant l'identité trigonométrique 1 - \cos(ka) = 2\sin^2\left(\frac{ka}{2}\right), on obtient directement :

   \boxed{\omega^2 = 4\Gamma \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)}

   Résultat

   $${\omega }^2=4\Gamma {\sin }^2\left(\frac{ka}{2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q25

   Dans l'expression du déplacement du tronçon numéro n,

   x_n(t) = X_0 \cos(\omega t - k n a),

   la position d'équilibre du tronçon est z_n = n a. Cette onde se propage le long de la chaîne dans le sens des z croissants. Les trois constantes positives représentent :

   • X_0 est l'amplitude de l'onde (ou déplacement maximal d'un tronçon par rapport à sa position d'équilibre), exprimée en mètres (\text{m}).

   • \omega est la pulsation temporelle (ou pulsation angulaire de l'onde), exprimée en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}. Elle caractérise la périodicité temporelle du mouvement et est reliée à la période temporelle T et à la fréquence f par :

     T = \frac{2\pi}{\omega} \quad \text{et} \quad f = \frac{\omega}{2\pi}.

   • k est le nombre d'onde (ou pulsation spatiale), exprimé en \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}. Il caractérise la périodicité spatiale de l'onde continue sous-jacente et est relié à la longueur d'onde \lambda par :

     \lambda = \frac{2\pi}{k}.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q27

   D'après la question Q26, la pulsation \omega et le vecteur d'onde k sont reliés par :

   \omega^2 = 4\Gamma \sin^2\left(\frac{ka}{2}\right)

   Comme \omega et k sont choisis positifs, et en considérant ka/2 \in [0, \pi], on a :

   \omega = 2\sqrt{\Gamma}\sin\left(\frac{ka}{2}\right)

   Sous l'hypothèse des grandes longueurs d'onde devant le pas du réseau (ka \ll 1), la quantité ka/2 est petite devant 1. Au premier ordre de développement, on a :

   \sin\left(\frac{ka}{2}\right) \underset{ka \to 0}{\sim} \frac{ka}{2}

   La relation de dispersion se simplifie donc sous la forme linéaire :

   \omega \approx 2\sqrt{\Gamma} \left(\frac{ka}{2}\right) = \sqrt{\Gamma}a \, k

   La célérité c de l'onde (vitesse de phase) est définie par c = \dfrac{\omega}{k}, ce qui donne directement :

   \boxed{c = \sqrt{\Gamma}a}

   Résultat

   $$c=\sqrt{\Gamma }a$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q28

   Un tronçon d'oléoduc de longueur au repos L = a = 12\text{ m} soumis à un effort de traction T s'allonge de \Delta L. D'après la loi de Hooke :

   T = \frac{E S}{L} \Delta L

   Par analogie avec la force de rappel d'un ressort élastique T = K \Delta L, on identifie la raideur équivalente du tronçon :

   K = \frac{E S}{L}

   Le volume d'acier constituant un tronçon est V_a = S L, de sorte que la masse m de ce tronçon s'écrit :

   m = \rho_a S L \iff S = \frac{m}{\rho_a L}

   D'après les données du préambule, N = 150\,000 sections de tube représentent une masse totale M_{\text{tot}} = 594\,000\text{ tonnes}. La masse d'un tronçon est donc :

   m = \frac{M_{\text{tot}}}{N} = \frac{594\,000 \times 10^3}{150\,000} = 3{,}96 \times 10^3\text{ kg} \approx 4\text{ tonnes}

   En injectant l'expression de S dans celle de K, il vient :

   K = \frac{E m}{\rho_a L^2}

   Application numérique : Avec E = 200\text{ GPa} = 2{,}00 \times 10^{11}\text{ Pa}, \rho_a = 8000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, L = 12\text{ m} et m = 3{,}96 \times 10^3\text{ kg} :

   \begin{aligned} K &= \frac{2{,}00 \times 10^{11} \times 3{,}96 \times 10^3}{8000 \times 12^2} \\ K &= \frac{7{,}92 \times 10^{14}}{1{,}152 \times 10^6} \approx 6{,}9 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} \end{aligned}

   (ou K \approx 6{,}94 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} \approx 7 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} avec m = 4\text{ tonnes}).

   \boxed{K \approx 7 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}}

   Résultat

   $$K\approx 7\times 10^8\text{ N}\cdot {\text{m}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q29

   D'après la question Q27 et la question Q24, la célérité des ondes longitudinales dans la limite des grandes longueurs d'onde (ka \ll 1) s'écrit :

   c = \sqrt{\Gamma}\,a = a\sqrt{\frac{K}{m}}

   Les données fournies sont :

   • a = 12\text{ m} ;
   • K = 7 \times 10^8\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} ;
   • m = 4\text{ tonnes} = 4 \times 10^3\text{ kg}.

   L'application numérique donne :

   \begin{aligned} c &= 12 \times \sqrt{\frac{7 \times 10^8}{4 \times 10^3}} \\ &= 12 \times \sqrt{1{,}75 \times 10^5} \\ &\approx 5{,}02 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   En ne retenant qu'un nombre raisonnable de chiffres significatifs compte tenu des données (K et m à un chiffre significatif) :

   \boxed{c \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} = 5{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$c\approx 5,0\times 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}=5,0\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q31

   L'analyse des résultats obtenus à la question précédente appelle trois commentaires principaux :

   1. Accord entre théorie et simulation sur la célérité : La célérité déduite du déplacement du front de l'onde (c \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est en parfait accord avec la valeur théorique calculée à la question Q29 (c = \sqrt{\Gamma}a \approx 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). On retrouve par ailleurs la vitesse de propagation des ondes acoustiques longitudinales dans une barre d'acier :

      c_{\text{acier}} = \sqrt{\frac{E}{\rho_a}} = \sqrt{\frac{200 \times 10^9}{8000}} = 5{,}0 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   2. Cohérence de la relation fondamentale de propagation : Le rapport de la longueur d'onde mesurée sur la période mesurée donne :

      \frac{\lambda}{T} \approx \frac{72}{14 \times 10^{-3}} \approx 5{,}1 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx c.

      Les mesures spatiales et temporelles effectuées sur les graphiques sont donc mutuellement très cohérentes.

   3. Manifestation de la dispersion du réseau : La longueur d'onde mesurée vaut \lambda \approx 6\,a, ce qui conduit à :

      ka = \frac{2\pi a}{\lambda} \approx \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05.

      L'approximation des grandes longueurs d'onde (ka \ll 1) n'est donc pas vérifiée pour ces composantes oscillatoires. La chaîne discrète est alors dispersive : la vitesse de groupe s'écrit

      v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \sqrt{\Gamma}a\cos\left(\frac{ka}{2}\right) = c\cos\left(\frac{ka}{2}\right) < c.

      Les composantes spectrales de plus haute fréquence se propagent ainsi plus lentement que le front raide (qui avance à la célérité maximale c), ce qui explique l'apparition et l'étalement du train d'oscillations en arrière du front sur la figure 8.

   Indice, stratégie et pièges de cette question