Feuille d'entraînement : Statique des fluides

1 question · filière MPSI · durée estimée environ 4 min

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Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q22· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
On admet que $d p / d z = - ρ g$ . Déterminer la fonction $T (z)$ . Parmi les réponses proposées, $T_{0}$ désigne la température au sol ( $z = 0$ ). A) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( 1 - γ ) M _{a} g}$ B) $T (z) = T_{0} (1 + \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( 1 - γ ) M _{a} g}$ C) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{γ R T _{0}}{( γ - 1 ) M _{a} g}$ D) $T (z) = T_{0} (1 - \frac{z}{H})$ avec $H = \frac{( γ - 1 ) R T _{0}}{M _{a} g}$

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q22
D'après le résultat de la question Q21, le gradient thermique s'exprime par :
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{M_a}{\rho R} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}
En y substituant la relation fondamentale de la statique des fluides \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g, la masse volumique se simplifie :
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{M_a}{\rho R} (-\rho g) = -\frac{(\gamma-1) M_a g}{\gamma R}
Ce gradient vertical de température est indépendant de l'altitude z (les grandeurs \gamma, M_a, g et R étant considérées constantes). Par intégration directe avec la condition initiale au niveau du sol T(0) = T_0, on obtient :
T(z) = T_0 - \frac{(\gamma-1) M_a g}{\gamma R} z = T_0 \left( 1 - \frac{z}{H} \right)
où la hauteur caractéristique H est définie par :
H = \frac{\gamma R T_0}{(\gamma-1) M_a g}
Cette expression correspond à la proposition C.
\boxed{\text{L'affirmation C est exacte.}}
Résultat
$L’affirmation C est exacte.$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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