Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2022 (page 2/3 : Partie II)

La relation de Bernoulli s'applique sous les conditions suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable, aucune dissipation par frottement) ;
• écoulement incompressible et fluide homogène (\rho = \mathrm{cste}) ;
• écoulement en régime stationnaire (ou permanent) ;
• fluide soumis uniquement à des forces massiques conservatives (ici, le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z).

Sous ces hypothèses, la quantité suivante est conservée le long d'une même ligne de courant :

où P est la pression statique, v la vitesse locale de la particule fluide et z l'altitude repérée selon un axe vertical orienté vers le haut. Entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant, elle s'écrit :

Le fluide étant incompressible, le débit volumique D_v(t) se conserve à chaque instant à travers le réservoir :

où S_1 et S_2 désignent respectivement les aires des sections transversales de rayons R_1 et R_2 :

On en déduit immédiatement la relation entre les vitesses v_1(t) et v_2(t) :

soit :

Considérons la ligne de courant reliant le point 1 (situé à la surface libre du fluide) au point 2 (situé au centre de la section de sortie), représentée sur la figure 7. Dans l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP), la relation de Bernoulli s'écrit entre ces deux points :

Les conditions aux limites sont les suivantes :

• au point 1 : la surface libre est en contact avec l'atmosphère, soit P_1 = P_0, et sa cote est z_1 = h_{\mathrm{p}}(t) ;
• au point 2 : le jet débouche à l'air libre, donc P_2 = P_0, et on choisit l'origine des altitudes à ce niveau, soit z_2 = 0.

La relation de Bernoulli se simplifie en :

D'après la question Q17, la conservation du débit volumique impose :

En substituant v_1(t) dans la relation précédente, on obtient :

Comme R_1 > R_2, le terme entre crochets est strictement positif. La vitesse d'éjection v_2(t) étant positive, on en déduit :

D'après la relation de continuité établie à la question Q17, on a :

En injectant l'expression de la vitesse d'éjection v_2(t) déterminée à la question Q18, il vient :

En identifiant la vitesse de la surface libre à v_1(t) = -\frac{\mathrm{d}h_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation différentielle satisfaite par h_{\mathrm{p}}(t) :

ou, sous forme implicite :

D'après le résultat de la question Q19, la hauteur h_{\mathrm{p}}(t) vérifie l'équation différentielle :

En séparant les variables pour h_{\mathrm{p}} > 0 :

Par intégration entre t = 0 (pour lequel h_{\mathrm{p}} = h_0) et l'instant \tau_{\mathrm{p}} correspondant à la vidange complète (pour lequel h_{\mathrm{p}} = 0) :

On en déduit immédiatement la durée totale de vidange :

soit finalement :

D'après la question Q20, la durée de vidange dans l'hypothèse d'un fluide parfait est donnée par :

Avec les valeurs numériques :

• h_0 = 6{,}0\text{ cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• R_1 = 1{,}0\text{ cm} et R_2 = 0{,}70\text{ cm}, d'où \dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1{,}0}{0{,}70} \approx 1{,}43 ;

on obtient :

soit :

Commentaire physique : La valeur théorique \tau_{\mathrm{p}} \approx 0{,}20\text{ s} est près d'un ordre de grandeur inférieure à la valeur expérimentale \tau_{\exp} = 1{,}5\text{ s} (un facteur d'environ 7{,}5).

Ce désaccord provient du fait que le modèle parfait néglige toute dissipation d'énergie au sein de l'écoulement. Or, la pâte à pancakes est un fluide très visqueux (\eta = 3{,}0\text{ Pa}\cdot\text{s}, soit environ 3000 fois la viscosité de l'eau). Les frottements visqueux (au sein du fluide et aux parois) dissipent une part considérable de l'énergie mécanique et freinent fortement l'écoulement, allongeant ainsi notablement le temps de vidange réel. Ce modèle est donc inadapté et justifie la prise en compte des pertes de charge visqueuses dans la sous-partie suivante.

1. Ordre de grandeur de la vitesse débitante v_{\mathrm{m}}

La pâte parcourt la hauteur initiale h_0 pendant la durée de vidange expérimentale \tau_{\exp} = 1{,}5\ \mathrm{s}. L'ordre de grandeur de la vitesse débitante moyenne est donc :

Application numérique avec h_0 = 6{,}0\ \mathrm{cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} :

2. Définition et estimation du nombre de Reynolds \mathcal{R}e

Le nombre de Reynolds, comparant les effets inertiels aux effets visqueux, est défini par :

où d = 2R_1 = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} désigne le diamètre du réservoir cylindrique.

Application numérique avec \rho = 1{,}1 \cdot 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} et \eta = 3{,}0\ \mathrm{Pa\cdot s} :

3. Validité de l'expression de \Lambda

On a très largement :

L'écoulement est donc strictement laminaire (régime de Poiseuille), ce qui justifie parfaitement l'utilisation de la loi de Darcy-Weisbach avec le coefficient de perte de charge régulier :

On applique la relation de Bernoulli généralisée entre le point 1 (surface libre) et le point 2 (sortie) le long d'une ligne de courant, orientée dans le sens de l'écoulement :

où \Delta P_{\mathrm{c}} > 0 représente la perte de charge le long de la hauteur de fluide h_{\mathrm{v}}(t).

Précisons les différents termes :

• Les deux extrémités débouchent dans l'atmosphère, d'où P_1 = P_2 = P_0.
• En négligeant le rétrécissement de section de R_1 à R_2, la section est uniforme et égale à S = \pi R_1^2. Par conservation du débit pour un fluide incompressible, on a v_1 = v_2 = v_{\mathrm{m}}.
• En choisissant l'origine des altitudes au fond du réservoir (z_2 = 0), on a z_1 = h_{\mathrm{v}}(t), soit z_1 - z_2 = h_{\mathrm{v}}(t).

La relation de Bernoulli se simplifie ainsi en :

Exprimons le terme de perte de charge à l'aide de la loi de Darcy-Weisbach :

En remplaçant \Lambda et \mathcal{R}e :

Comme d = 2R_1, on a d^2 = 4R_1^2, ce qui donne :

On retrouve ainsi directement la loi de Poiseuille pour un écoulement laminaire dans une conduite cylindrique.

En égalisant les deux expressions pour h_{\mathrm{v}}(t) \neq 0 :

On en déduit la vitesse débitante :

Sachant que v_{\mathrm{m}} = -\frac{\mathrm{d}h_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}t}, on obtient finalement :

D'après la question Q23, la dérivée temporelle de la hauteur de pâte h_{\mathrm{v}}(t) est constante :

Par intégration directe entre l'instant initial t=0, où h_{\mathrm{v}}(0) = h_0, et un instant t quelconque :

En remplaçant par l'expression de la vitesse débitante v_{\mathrm{m}}, on obtient la loi d'évolution :

La vidange complète du réservoir correspond à l'instant \tau_{\mathrm{v}} pour lequel la hauteur s'annule, soit h_{\mathrm{v}}(\tau_{\mathrm{v}}) = 0 :

On en déduit l'expression de la durée totale de vidange :

D'après le résultat de la question Q24, la durée totale de vidange du réservoir dans le cadre du modèle visqueux s'écrit :

Avec les données numériques de la partie II :

• \eta = 3{,}0\ \mathrm{Pa\cdot s} ;
• h_0 = 6{,}0\ \mathrm{cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} ;
• \rho = 1{,}1 \cdot 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} ;
• g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} ;
• R_1 = 1{,}0\ \mathrm{cm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m}.

On obtient :

Comparaison avec l'expérience : La valeur obtenue (\tau_{\mathrm{v}} \approx 1{,}3\ \mathrm{s}) est très proche du temps expérimental \tau_{\exp} = 1{,}5\ \mathrm{s} (écart relatif d'environ 11\,\%, bien plus réaliste que la prédiction du modèle parfait \tau_{\mathrm{p}} \approx 0{,}20\ \mathrm{s}). La prise en compte de la dissipation visqueuse est donc indispensable et décrit convenablement l'écoulement.

Pistes pour affiner la modélisation : Plusieurs effets négligés expliquent le léger écart restant (\tau_{\mathrm{v}} < \tau_{\exp}) :

• Prise en compte du rétrécissement de section (R_1 \to R_2) : ce rétrécissement impose des pertes de charge régulières supplémentaires dans le convergent et dans l'ajutage de sortie (où la vitesse est plus élevée), ainsi qu'une perte de charge singulière liée à la contraction des lignes de courant. Ces dissipations accrues augmentent le temps de vidange.
• Caractère non newtonien de la pâte : la pâte à pancakes est généralement une suspension complexe présentant un comportement rhéologique non newtonien (rhéofluidifiant ou fluide à seuil de contrainte).
• Effets de tension superficielle et d'adhérence : la tension superficielle au niveau de l'orifice de sortie et le film de pâte résiduel adhérant aux parois le long de la descente freinent la vidange.