E3A Physique Chimie PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Le sujet porte sur la conception d'une machine à pancakes : chauffage par induction, écoulement de pâte, et étude du sirop d'érable en thermique, cinétique et thermochimie.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans les calculs, des contours d'intégration non précisés, des bilans d'énergie sans système défini, et une loi d'Arrhenius mal maîtrisée.

Q: Le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 est-il difficile ?

Le rapport juge le niveau global des copies perfectible, sans donner de moyenne ni de niveau de difficulté explicite pour l'ensemble du sujet.

Q: Quels chapitres réviser pour le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Il est utile de réviser l'électronique et l'électromagnétisme, la diffusion thermique, la mécanique des fluides, la cinétique formelle et la thermochimie.

Conception d'un prototype de machine à pancakes

Pas encore noté

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 6 questions sur 41. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : BCPST1 2 questions.

Détail par partie

Partie I : Chauffage des poêles par induction4/15En partie
Partie II : Déversoir de pâte0/102e année
Partie III : Autour du sirop d'érable2/16En partie
- Question 34
- Question 35

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BanqueE3A Année2022 FilièrePSI MatièrePhysique-Chimie

Annales E3A PSI Physique-Chimie E3A PSI 2022 PSI Physique-Chimie Physique-Chimie 2022

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Présentation du sujet

Conception d'un prototype de machine à pancakes : induction, écoulement de pâte et sirop d'érable

Le sujet, composé de trois parties indépendantes, porte sur la conception d'un prototype de machine à pancakes. La première partie étudie le chauffage des poêles par induction (onduleur, puissance induite, influence du nombre de spires), la deuxième modélise l'écoulement d'un déversoir de pâte, et la troisième s'intéresse au sirop d'érable, entre diffusion thermique dans un manchon et mesure de sa teneur en saccharose par cinétique et thermochimie.

1Partie I : chauffage des poêles par inductionÉtude d'un onduleur RLC série, de la puissance induite dans la poêle et de l'influence du nombre de spires sur sa température, mêlant électronique et électromagnétisme.
2Partie II : déversoir de pâteModélisation de l'écoulement de la pâte à travers un déversoir, d'abord en fluide parfait puis en tenant compte de la viscosité.
3Partie III : autour du sirop d'érableÉtude de la diffusion thermique dans un manchon de sirop d'érable, puis mesure de la proportion de saccharose par cinétique formelle et potentiels chimiques.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre dimension d'une grandeur et ordre d'un filtre · Contour d'intégration non précisé · Bilan d'énergie sans système défini

Le sujet explore des thématiques variées de physique (75% du barème) et de chimie (25% du barème), dans l'esprit du programme de PSI. Le jury juge le niveau global des copies perfectible, beaucoup d'étudiants ne connaissant pas le cours et rencontrant des difficultés de calcul. Il insiste sur la rigueur des calculs, l'homogénéité des résultats et l'honnêteté de la rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre dimension d'une grandeur et ordre d'un filtre4
À la question 4, de nombreux candidats ne donnent pas l'expression de H sous la bonne forme demandée et confondent dimension d'une grandeur et ordre d'un filtre.
2
Contour d'intégration non précisé8
À la question 8, beaucoup de candidats ne précisent pas le contour choisi, à l'origine d'erreurs sur l'expression du champ électrique et sur les questions suivantes.
« Beaucoup de candidats ne précisent pas le contour choisi »
3
Bilan d'énergie sans système défini13
À la question 13, un nombre non négligeable de candidats manque de rigueur en oubliant de définir le système sur lequel ils effectuent un bilan d'énergie.
« La première chose à faire est de définir le système étudié »
4
Calculs orientés vers le résultat de l'énoncé10, 28
À la question 28, certains candidats malhonnêtes commettent des erreurs de calcul mais aboutissent malgré tout à l'expression donnée par l'énoncé.
« Certains candidats malhonnêtes commettent des erreurs de calcul mai s aboutissent miraculeusement à l'expression donnée par l'énoncé »
5
Réaction d'ordre 1 mal identifiée34
À la question 34, de nombreux candidats ne savent pas ce qu'est une réaction d'ordre 1 et effectuent une régression linéaire directement avec la concentration en fonction du temps.
6
Loi d'Arrhenius mal maîtrisée35
À la question 35, certains candidats oublient la constante dans la version intégrée de la loi d'Arrhenius ou la prennent égale à 1 de manière arbitraire, et confondent l'unité de l'énergie d'activation.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 sur l'onduleur a été bien réussie en général.
Les questions 14 et 15 ont été bien réussies.
La question 21 a été bien réussie.
La question 25 a été bien réussie.
La question 32 a été bien réussie.

Conseils du jury

Connaître précisément son cours d'électronique, d'électromagnétisme et de thermochimie pour éviter les confusions de notions.
Vérifier l'homogénéité, la cohérence des signes et des comportements physiques des résultats obtenus.
Toujours définir le système étudié avant d'effectuer un bilan.
Ne jamais chercher à retomber sur un résultat donné en truquant ses calculs : signaler une erreur reste préférable.
Soigner les applications numériques, en particulier les unités et le nombre de chiffres significatifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

41 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

41 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.
Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e).
Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques.
Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptabilisés.

Conception d'un prototype de machine à pancakes

Traditionnellement servis au petit-déjeuner dans les pays d'Amérique du Nord (Canada, ÉtatsUnis), accompagnés par exemple de sirop d'érable, les pancakes sont des crêpes plus petites ( 5 à 10 cm de diamètre) et plus épaisses que les crêpes classiques. Ils sont aujourd'hui appréciés et dégustés dans le monde entier. Ce sujet étudie certains aspects de la conception d'un prototype de machine à poêles et distributeur de pâte à pancakes, transportable et peu encombrant, permettant de cuire à la maison des pancakes authentiques de manière ergonomique et automatisée.

Figure 1 - À gauche : assiette de pancakes nappés de sirop d'érable. À droite : perspective de design de la machine à pancakes, en vue de sa commercialisation

Partie I - Chauffage des poêles par induction

Le système est constitué de deux poêles. Lorsque la première poêle a cuit une face du pancake, un système de roue-vis sans fin programmé par un actionneur (non détaillé dans ce sujet) met en rotation cette poêle et projette ainsi le pancake dans la seconde poêle, chargée de cuire l'autre face. Plusieurs options sont envisageables pour chauffer les poêles : gaz, résistance chauffante, induction (voir tableau 1). Le chauffage par induction permet d'obtenir une bonne saisie de la pâte à pancakes, tout en satisfaisant des exigences de sécurité et en minimisant l'encombrement.

Système / Contrainte	Sécurité	Encombrement	Saisie de la pâte
Gaz	-	-	+
Résistance chauffante	+	-	-
Induction	+	+	+

Tableau 1 - Comparaison des différents modes de chauffage envisagés

Après avoir choisi l'alimentation et l'onduleur, l'objectif de cette partie est de dimensionner le nombre de spires de la bobine permettant d'obtenir une température de poêle de

160^\circC

. Cette condition est nécessaire à l'obtention d'un pancake bien cuit, doré et savoureux.

I. 1 - Onduleur RLC série

Afin de concevoir le module à induction, on choisit une alimentation électrique pouvant fournir 3 A en continu (régime permanent stationnaire) pour une tension maximale de 30 V . De telles puissances nécessitent de dimensionner en conséquence l'onduleur et les câbles, notamment afin d'éviter la détérioration... voire la "cuisson" de composants électroniques !

On étudie un onduleur de tension autonome de période

T

, à commande symétrique, dont le montage est représenté sur la figure 2 . Les quatre interrupteurs bidirectionnels

K_1, K_2, K_3, K_4

sont supposés idéaux et commandés électriquement de telle façon que :

pour $nT < t < (n + 1/2)T$ , avec $n \in ℕ$ : les interrupteurs $K_1$ et $K_3$ sont fermés, les interrupteurs $K_2$ et $K_4$ sont ouverts;
pour $(n + 1/2)T < t < (n + 1)T$ : les interrupteurs $K_1$ et $K_3$ sont ouverts, les interrupteurs $K_2$ et $K_4$ sont fermés.
Le générateur est une source de tension idéale de force électromotrice $E$ constante. La charge est un circuit RLC série, l'inductance $L$ étant celle de la bobine destinée au chauffage.

Figure 2 - Onduleur à circuit RLC série : schéma du montage

Q1. Rappeler brièvement l'objectif d'un onduleur. Préciser si la charge RLC série est une source de courant ou de tension en justifiant la continuité d'une grandeur électrique dans ce circuit.
Q2. Tracer soigneusement la courbe

u(t)

sur deux périodes.
Q3. Écrire l'équation différentielle liant à tout instant

t

, la tension

u(t)

et l'intensité du courant

i(t)

et la mettre sous la forme canonique:

(d^2 i)/(dt^2) + (ω_0)/Q(di)/(dt) + ω_0^2 i = 1/L(du)/(dt).

On explicitera les expressions de

Q

(facteur de qualité) et de

ω_0

(pulsation propre) en fonction de

R, L

C

Figure 3 - Association RLC série : analyse fréquentielle

Considérons une tension

u(t)

sinusoïdale de pulsation

ω

. On note

u_-(t)

i_-(t)

les grandeurs complexes respectivement associées aux quantités

u(t)

i(t)

rappelées sur la figure 3 . En notant j le nombre complexe tel que

j^2 = - 1

, on définit la fonction de transfert :

H_-(jω) = (i_-(t))/(u_-(t)).

Q4. Préciser la dimension de

H_-(jω)

, puis l'exprimer en fonction de

R, ω, ω_0

et de

Q

. Déterminer le comportement de son module

G(ω) = |H_-(jω)|

pour les grandes et les petites pulsations.
Q5. Déterminer littéralement puis numériquement la valeur maximale de

G

.
Q6. Caractériser le filtrage réalisé (nature, ordre). Justifier l'intérêt d'ajuster la période du signal de commande afin d'avoir

ω = ω_0

. Calculer numériquement la fréquence

f

associée.

I. 2 - Puissance induite dans la poêle

Le circuit électrique précédent permet de faire parcourir un courant sinusoïdal d'intensité

i(t) = I_0 cos(ωt)

dans une bobine plate enroulée en spirale, schématisée sur la figure 4. Le champ magnétique créé par cette distribution de courant est complexe; on se contente de comprendre le principe du chauffage par induction avec un circuit plus simple : une unique spire circulaire de centre

O

et de rayon

R

, parcourue par une intensité

i(t)

. Dans la suite, on travaille dans un système de coordonnées cylindriques (

r, θ, z

), muni de la base orthonormée directe (

u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z

Figure 4 - Bobine : schéma et modélisation

On pose dans le plan de cette spire une poêle, assimilée à un cylindre de rayon

a < R

et d'épaisseur

e

, de perméabilité magnétique relative

μ_r

et de conductivité électrique

γ

. Dans un souci de simplification, on suppose que le champ magnétique

B⃗

créé par la spire dans la poêle est uniforme. En notant

μ_0

la perméabilité magnétique du vide, on donne :

B⃗ = (μ_0 μ_r i(t))/(2R)u⃗_z.

Q7. Rappeler l'équation locale de Maxwell-Faraday. On donne le théorème de Stokes :

\oint _L E⃗ \cdot dℓ⃗ = \iint_S rot^(\to-)E⃗ \cdot dS⃗

où

S

désigne une surface s'appuyant sur le contour fermé

L

.
Obtenir une formulation globale de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

On cherche le champ électrique induit au sein de la poêle sous la forme

E⃗ = E(r, t)u⃗_θ

.
Q8. Déterminer

E(r, t)

en fonction de

r, t, R, I_0, ω, μ_0

et de

μ_r

.
Q9. Ce champ électrique induit est responsable de courants de Foucault répartis dans tout le volume du conducteur. Exprimer leur densité de courant volumique

J⃗

en tout point de la poêle, puis la puissance volumique moyenne

p

dissipée par effet Joule en fonction des données.
Q10. En intégrant cette puissance volumique moyenne sur le volume de la poêle, montrer que la puissance moyenne totale induite s'écrit :

P_(ind) = (π(μ_0 μ_r)^2 γω^2 I_0^2 ea^4)/(64R^2).

Q11. On dispose de poêles en aluminium et en fonte. Bien que l'aluminium soit environ 40 fois plus conducteur électriquement que la fonte, on choisira la poêle en fonte : pourquoi?
En réalité, le champ électromagnétique variable ne pénètre pas la poêle sur toute son épaisseur, mais uniquement sur une taille typique :

δ = \sqrt(1/(πμ_0 μ_r γf)).

Q12. Comment se nomme cet effet ? Calculer numériquement

δ

en prenant pour la fréquence

f

la valeur obtenue à la question Q6. En comparant cette taille à l'épaisseur typique d'une poêle, cet effet vous semble-t-il important à prendre en compte pour calculer la puissance induite?

1.3 - Influence du nombre de spires sur la température de la poêle

Après avoir mis en œuvre le montage précédent, on relève à l'aide d'une caméra thermique le profil de température dans la poêle en fonte. Notons

λ

la conductivité thermique,

ρ

la masse volumique et

c

la capacité thermique massique de la fonte. Au bout de quelques minutes, le profil de température de la poêle atteint un régime stationnaire. On propose d'interpréter cette observation en se plaçant dans une géométrie simplifiée, cartésienne et unidimensionnelle : on cherche un champ des températures de la forme

T(x, t)

. On rappelle la loi de Fourier exprimant le vecteur densité volumique de courant thermique

J⃗_(th)

en fonction de la température

T

J⃗_(th) = - λgrad^(\to-)T.

Q13. En tenant compte de la puissance volumique

p

due au phénomène d'induction, détailler les étapes permettant d'établir l'équation satisfaite par le champ des températures:

(\partialT)/(\partialt) = p/(ρc) + λ/(ρc)(\partial^2 T)/(\partialx^2).

Q14. En déduire l'expression d'un temps typique

τ

de diffusion thermique en fonction de

λ, ρ

c

et d'une longueur caractéristique

ℓ

. Calculer numériquement

τ

en prenant pour

ℓ

une dimension de la poêle qui vous paraît pertinente. Commenter le résultat obtenu.

L'expérience montre que le profil stationnaire de température dans la poêle est quasiment uniforme ; on note

T_p

la valeur de la température. On suit expérimentalement la variation de

T_p

en fonction du nombre de spires

n

de la bobine, les autres paramètres étant fixés (voir figure 5). L'évolution

T_p = f(n)

est assez bien décrite par une loi affine.

Figure 5 - Évolution de la température de la poêle en fonction du nombre de spires de la bobine

Q15. En supposant que l'on puisse extrapoler ce comportement affine, déterminer le nombre

N

de spires de la bobine nécessaire à l'obtention d'une température de

160^\circC

Données pour la partie I

Force électromotrice :

E = 12 V

Inductance propre:

L = 0, 25mH

Capacité :

C = 68nF

Résistance :

R = 7, 0Ω

Perméabilité magnétique du vide :

μ_0 = 4π \cdot 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)

Propriétés physiques de la fonte :

Perméabilité magnétique relative : $μ_r = 80$
Conductivité électrique : $γ = 1, 0 \cdot 10^6 S \cdot m^(- 1)$
Conductivité thermique : $λ = 50 W \cdot m^(- 1) \cdot K^(- 1)$
Masse volumique : $ρ = 7, 0 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
Capacité thermique massique : $c = 5, 0 \cdot 10^2 J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)$

Partie II - Déversoir de pâte

Le but du déversoir est de faire couler dans la poêle un volume de pâte à pancakes constant de manière automatisée. Trois options sont possibles pour sa réalisation : par électroaimant, par motorisation, par motorisation avec réservoir. La dernière solution sera retenue; elle permet d'ailleurs de prévoir un déversoir de sirop d'érable fonctionnant sur le même actionneur (voir figure 6). On cherche à déterminer le temps de coulée de la pâte en fonction des différents paramètres du réservoir et du fluide afin de connaître la durée pendant laquelle l'actionneur doit laisser s'écouler la pâte.

Figure 6 - Déversoir par motorisation avec réservoir : principe de fonctionnement

II. 1 - Modèle parfait

On modélise le réservoir par un cylindre de rayon

R_1

, rempli de pâte sur une hauteur

h_0

à l'instant initial, baignant dans l'air atmosphérique à pression

P_0

. En ouvrant le réservoir en son fond à l'instant

t = 0

, la pâte s'écoule à l'air libre à travers une section cylindrique de rayon

R_2; h_p(t)

désigne la hauteur de pâte encore présente dans le réservoir à l'instant

t

. On note

ρ

la masse volumique de la pâte et

g⃗

l'accélération de la pesanteur.

Figure 7 - Vidange du réservoir : notations utilisées

Dans une première approche, on néglige toute dissipation d'énergie au sein de l'écoulement de pâte. On propose alors d'utiliser la relation de Bernoulli entre les points 1 et 2 de la ligne de courant représentée sur la figure 7.

Q16. Rappeler la relation de Bernoulli, ainsi que ses conditions d'application. On supposera ces conditions remplies dans le cadre de ce premier modèle.
Q17. L'écoulement étant supposé incompressible, trouver une relation liant les vitesses

v_1(t)

v_2(t)

de la pâte à l'instant

t

au niveau des sections de rayons respectifs

R_1

R_2

Q18. Déterminer une expression de

v_2(t)

en fonction de

g, h_p(t), R_1

et de

R_2

uniquement.
Q19. En identifiant

v_1(t)

- dh_p/dt

, déduire de la question précédente une équation différentielle régissant l'évolution de

h_p(t)

.
Q20. Résoudre cette équation différentielle par séparation des variables, puis montrer que la durée totale de vidange du réservoir s'exprime par :

τ_p = \sqrt((2h_0)/g[((R_1)/(R_2))^4 - 1]⎷).

Q21. Calculer numériquement

τ_p

. On trouve un temps de vidange expérimental

τ_(exp) = 1, 5 s

. Qu'en pensez-vous?

II. 2 - Modèle visqueux

On propose un deuxième modèle tenant compte des effets visqueux. On note

η

la viscosité dynamique de la pâte. Pour simplifier la modélisation, on assimile le réservoir à un cylindre de rayon

R_1

, ce qui revient à négliger l'effet du rétrécissement de section de

R_1

R_2

. La dissipation d'énergie au sein de l'écoulement de pâte s'accompagne d'un terme de perte de charge régulière le long de la hauteur de pâte

h_v(t)

à l'instant

t

, homogène à une pression et donné par la loi de Darcy-Weisbach :

ΔP_c = Λ(ρv_m^2)/2(h_v(t))/d avec Λ = (64)/(Re)

Dans cette expression,

v_m = - dh_v/dt

représente la vitesse débitante (ou vitesse moyenne) de l'écoulement dans le réservoir,

d = 2R_1

le diamètre du réservoir et

Re

le nombre de Reynolds. On a

h_v(t = 0) = h_0

.
Q22. Évaluer l'ordre de grandeur de

v_m

en utilisant le temps

τ_(exp)

donné à la question Q21. Rappeler la définition du nombre de Reynolds

Re

en fonction de

ρ, v_m, η

et de

d

, puis estimer sa valeur pour l'écoulement étudié. L'expression de

Λ

proposée étant valable dans la limite

Re < 2 \cdot 10^3

, vérifier la validité de cette formule.
Q23. Appliquer la relation de Bernoulli généralisée tenant compte de cette perte de charge entre les points 1 et 2 (voir figure 7) et obtenir une expression de

dh_v/dt

en fonction de

ρ, g, R_1

et de

η

. On rappelle que l'on néglige l'effet du rétrécissement.
Q24. Déterminer la loi d'évolution

h_v(t)

. En déduire la durée totale de vidange du réservoir

τ_v

.
Q25. Calculer numériquement

τ_v

et comparer à la valeur expérimentale de la question Q21. Comment pourrait-on encore affiner la modélisation?

Données pour la partie II

Accélération de la pesanteur :

g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)

Dimensions du réservoir :

R_1 = 1, 0 cm, R_2 = 0, 70 cm

Hauteur initiale de pâte :

h_0 = 6, 0 cm

Propriétés physiques de la pâte :

Masse volumique : $ρ = 1, 1 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
Viscosité dynamique : $η = 3, 0 Pa \cdot s$

Partie III - Autour du sirop d'érable

Le sirop d'érable, produit emblématique du Québec (province du Canada), est un concentré de sève d'érable recueillie en faisant des trous dans l'écorce de l'arbre au printemps.

III. 1 - Manchon de sirop d'érable

Quand on prend du sirop d'érable pour l'étaler sur un pancake, il vaut mieux tourner la cuillère ou le couteau pour en prendre le plus possible et éviter d'en faire tomber. Afin de modéliser la situation, on considère un cylindre de rayon

a

et de longueur

L

tournant autour d'un axe horizontal à la vitesse angulaire

Ω

et entouré d'une couche d'épaisseur

h(θ, t)

de sirop d'érable, assimilable à un fluide incompressible de masse volumique

ρ

et de viscosité dynamique

η

, plongé dans le champ de pesanteur

g⃗

(voir figure 8). On définit l'épaisseur moyenne du film liquide par :

h_0 = 1/(2π)\int_0^(2π)h(θ, t)dθ.

Figure 8 - Cylindre en rotation enduit de sirop d'érable (vue de côté) : notations utilisées

On cherche à étudier le régime stationnaire où l'épaisseur

h

du film de sirop ne dépend plus que de l'angle

θ

. On suppose l'épaisseur du film

h

faible devant le rayon

a

du cylindre et les déformations du film faibles devant

h

(dans un souci de lisibilité de la figure, les proportions ne sont pas respectées). Les effets de viscosité de l'air ambiant sont négligés et la pression est supposée uniforme au sein du film. L'étude étant menée en coordonnées cylindriques, on propose d'écrire le champ des vitesses dans le film sous la forme

v⃗ = v(r, θ, t)u⃗_θ

. On admet que l'application de la

2^e

loi de Newton à une particule de fluide au sein du film conduit à l'équation :

ρ(\partialv)/(\partialt) = - ρgcosθ + η(\partial^2 v)/(\partialr^2).

Q26. En raisonnant sur les ordres de grandeur, déterminer une condition sur

Ω

vis-à-vis d'une quantité dépendant de

η, ρ

et de

h_0

, permettant de négliger

ρ\partialv/\partialt

devant

η\partial^2 v/\partialr^2

. Cette condition est-elle vérifiée ici?
Sous cette condition, deux intégrations successives de cette relation permettent d'aboutir au champ des vitesses suivant :

v(r, θ) = aΩ + (ρgcosθ)/(2η)[(r - a)^2 - 2(r - a)h].

Q27. Vérifier que

v(r, θ)

satisfait à la condition aux limites imposée en

r = a

. Reproduire le schéma de la figure 8 en y traçant le champ des vitesses en

θ = 0, π/2, π

3π/2

.
Q28. Justifier que le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit :

Q(θ) = \int_a^(a + h)v(r, θ)dr

puis calculer cette intégrale en fonction de

h, θ, g, η, ρ, a

et de

Ω

.
Q29. En régime stationnaire, on admet que le débit ne dépend plus de

θ : Q(θ) = Q

. En déduire un lien entre l'épaisseur

h

et l'angle

θ

sous la forme

F(h) = 0

, avec :

F(h) = (ρg)/(3η)h^3 cosθ - Ωah + Q.

La figure 9 illustre les allures de la fonction

F(h)

selon le signe de

cosθ

. Pour

cosθ > 0

, deux comportements sont possibles selon que

F

s'annule ou pas dans le domaine

h > 0

Figure 9 - Représentations graphiques de la fonction

F(h)

Q30. En étudiant les variations de la fonction

F

pour un angle

θ

fixé, montrer qu'une solution à l'équation

F(h) = 0

existe à condition d'avoir

Q < Q_(max)(θ)

, avec

Q_(max)(θ)

une quantité à exprimer en fonction de

θ, g, η, ρ, a

et de

Ω

. Pour quelle condition sur

Q

existe-t-il alors une solution pour tout angle

θ

?
Q31. En déduire littéralement la masse maximale de sirop d'érable que l'on peut ainsi maintenir autour du cylindre, par unité de longueur, en fonction de

g, η, ρ, a

et de

Ω

Données pour la sous-partie III. 1

Propriétés physiques du sirop d'érable :

Masse volumique : $ρ = 1, 4 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
Viscosité dynamique : $η = 0, 20 Pa \cdot s$

Épaisseur moyenne du film liquide :

h_0 = 0, 50 mm

Vitesse angulaire de rotation :

Ω = 4πrad \cdot s^(- 1)

III. 2 - Mesure de la proportion de saccharose dans le sirop d'érable

Document - La composition du sirop d'érable

Le principal sucre qui compose le sirop d'érable est le saccharose. Dans l'eau avec ou sans l'intervention d'enzyme, l'inversion du saccharose donne lieu à la formation d'un mélange de glucose et de fructose, le sucre inverti :

C_(12)H_(22)O_(11(s))_()_(saccharose) + H_2 O_((ℓ)) = C_6 H_(12)O_(6(s))_()_(glucose) + C_6 H_(12)O_(6(s))_()_(fructose)

Le sucre inverti étant plus soluble que le saccharose, la teneur en inverti d'un sirop influence ses propriétés de cristallisation. Plus un sirop est inverti, moins il aura tendance à cristalliser. Ainsi pour préparer des produits dérivés tels que la tire d'érable ou le caramel à l'érable qui doivent demeurer exempts de cristallisation, on utilise un sirop inverti. Par contre, pour fabriquer des produits à cristallisation fine, comme le beurre d'érable ou le sucre mou, on utilise des sirops non invertis.

Source : Technique pour le dosage du sucre inverti dans le sirop d'érable, J. Dumont (1998)

Q32. Calculer l'enthalpie standard

Δ_r H^\circ

et l'entropie standard

Δ_r S^\circ

de la réaction d'inversion du saccharose à 298 K .
Q33. En déduire la valeur de sa constante d'équilibre

K^\circ

à 298 K . Qu'en conclure?
On prépare une solution de saccharose de concentration

[S]_0 = 0, 400 mol \cdot L^(- 1)

. À

T_1 = 293 K

, on suit l'évolution temporelle de la concentration en saccharose

[S](t)

(voir tableau 2).

$t(h)$	0	100	250	500	750	1000
$[ S](mol \cdot L^(- 1))$	0,400	0,346	0,280	0,196	0,140	0,100

Tableau 2 - Cinétique d'inversion du saccharose : résultats expérimentaux

Q34. Montrer que la réaction est d'ordre 1 par rapport au saccharose et déterminer la valeur de sa constante de vitesse

k_1

dans les conditions de l'expérience.
Q35. À

T_2 = 313 K

, on mesure une constante de vitesse

k_2 = 2, 4 \cdot 10^(- 2) h^(- 1)

. Exprimer littéralement puis numériquement l'énergie d'activation

E_a

de cette réaction.
Pour déterminer la proportion de saccharose dans le sirop d'érable, il est possible d'estimer la masse molaire moyenne des sucres présents, définie comme le rapport de la masse totale de sucre sur la quantité de matière totale de sucre, en mesurant l'abaissement cryoscopique d'une solution diluée de sirop d'érable. On considère une solution aqueuse formée d'une masse

m_(eau)

d'eau liquide de masse molaire

M_(eau)

et d'une masse

m_(sucre)

de sirop d'érable supposée constituée exclusivement d'un mélange de sucres de masse molaire moyenne

M_(sucre)

. On suppose que :

la quantité de matière des sucres est négligeable devant celle de l'eau en phase liquide;
la phase liquide est idéale;
la phase solide est constituée d'eau pure.

On note respectivement

μ_(eau)^(*,liq)(T)

μ_(eau)^(*,sol)(T)

les potentiels chimiques de l'eau pure en phase liquide et en phase solide, à une température

T

donnée. À pression fixée, on donne l'expression du potentiel chimique d'un constituant

i

en phase condensée en fonction de son activité

a_i

μ_i(T, composition) = μ_i^*(T) + RTlna_i.

Q36. Écrire, en la justifiant brièvement, une relation entre

μ_(eau)^(*,liq)(T_(fus))

μ_(eau)^(* sol)(T_(fus))

.
En présence de sucre, la température de fusion du liquide est modifiée et devient

T_(fus)^'

.
Q37. Exprimer la fraction molaire

x_(eau)

de l'eau dans la phase liquide, en fonction de

m_(eau), m_(sucre)

M_(eau)

M_(sucre)

. Écrire ensuite une relation entre

μ_(eau)^(*,liq)(T_(fus)^'), μ_(eau)^(* sol)(T_(fus)^'), R, T_(fus)^'

x_(eau)

.
La relation de Gibbs-Duhem donne la variation élémentaire du potentiel chimique de l'eau pure sous l'effet d'une variation de température

dT

, à pression fixée :

dμ_(eau)^(*, liq) = - S_(eau)^(*, liq)dT et dμ_(eau)^(*, sol) = - S_(eau)^(*, sol)dT

où

S_(eau)^(*,liq)

S_(eau)^(*,sol)

désignent respectivement les entropies molaires de l'eau pure en phase liquide et en phase solide, supposées indépendantes de la température.

Q38. Déduire de ces relations différentielles et des questions précédentes l'équation:

(T_(fus)^' - T_(fus))Δ_(fus)H = RT_(fus)T_(fus)^' lnx_(eau)

où

Δ_(fus)H

désigne l'enthalpie molaire de fusion de l'eau pure.
Q39. On note

x_(sucre) = 1 - x_(eau)

la fraction molaire des sucres dans la phase liquide. En supposant la température

T_(fus)^'

peu éloignée de

T_(fus)

, ainsi que

x_(sucre)≪1

, démontrer que :

T_(fus) - T_(fus)^' = Kx_(sucre)

avec

K

la constante cryoscopique, à exprimer en fonction de

R, T_(fus)

et de

Δ_(fus)H

.
On prépare une solution à

15%

en masse de sirop d'érable. La température de solidification de l'eau s'abaisse de

1, 5^\circC

Q40. En déduire la valeur numérique de

x_(sucre)

, puis celle de

M_(sucre)

.
Q41. Le sirop d'érable est composé d'un mélange de saccharose, glucose et fructose obtenu à partir de saccharose pur. Calculer la proportion molaire en saccharose du sirop d'érable, puis la proportion massique.

Données pour la sous-partie III. 2

Constante des gaz parfaits :

R = 8, 314 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

Changement d'état solide-liquide de l'eau pure à

P = 1

bar

= P^\circ

Température : $T_(fus) = 273, 15 K$
Enthalpie de fusion molaire : $Δ_(fus)H = 6, 01 kJ \cdot mol^(- 1)$

Masses molaires :

	eau	saccharose $(C_(12)H_(22)O_(11))$	glucose $(C_6 H_(12)O_6)$	fructose $(C_6 H_(12)O_6)$
$M(g \cdot mol^(- 1))$	18	342	180	180

Données thermodynamiques à 298 K :

	$H_2 O_((ℓ))$	$C_(12)H_(22)O_(11(s))$	$C_6 H_(12)O_(6(s))$ (glucose)	$C_6 H_(12)O_(6(s))$ (fructose)
$Δ_f H^\circ(kJ \cdot mol^(- 1))$	-286	-2226	-1273	-1266
$S_m^\circ(J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1))$	70	360	212	223

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Le sujet porte sur la conception d'une machine à pancakes : chauffage par induction, écoulement de pâte, et étude du sirop d'érable en thermique, cinétique et thermochimie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans les calculs, des contours d'intégration non précisés, des bilans d'énergie sans système défini, et une loi d'Arrhenius mal maîtrisée.

Le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 est-il difficile ?

Le rapport juge le niveau global des copies perfectible, sans donner de moyenne ni de niveau de difficulté explicite pour l'ensemble du sujet.

Quels chapitres réviser pour le sujet de physique-chimie e3a PSI 2022 ?

Il est utile de réviser l'électronique et l'électromagnétisme, la diffusion thermique, la mécanique des fluides, la cinétique formelle et la thermochimie.

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