Feuille d'entraînement : Fluides visqueux

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2023, Q15

   1. Hypothèse de l'uniformité du champ de pesanteur :

   • D'après la figure 5, l'altitude maximale atteinte par le boulet est h_{\max} \approx 3{,}9\text{ km}.

   • Le rayon terrestre vaut R_T = 6{,}37 \cdot 10^3\text{ km}. La variation relative de l'accélération de la pesanteur entre le sol et l'apogée s'estime par :

     \left| \frac{\Delta g}{g_0} \right| \approx \frac{2 h_{\max}}{R_T} \approx \frac{2 \times 3{,}9}{6{,}37 \cdot 10^3} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}1\,\%

     Cette variation est totalement négligeable devant les autres approximations. L'hypothèse d'uniformité de \vec{g} = -g_0 \vec{u}_z est donc parfaitement légitime.

   2. Forme quadratique de la force de frottement :

   • Aux faibles vitesses (v < 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) : Au voisinage immédiat de l'apogée (t \approx t_s \approx 22\text{ s}), la vitesse passe sous le seuil de validité de la loi quadratique mentionné par l'énoncé. Toutefois, dans cette zone, la force de frottement devient infime devant le poids :

     \frac{\|\vec{F}_f\|}{P} = \frac{v^2}{g_0 \ell_f} \le \frac{100}{10 \times 2{,}7 \cdot 10^3} \approx 3{,}7 \cdot 10^{-3} \ll 1

     Le mouvement y est régi quasi exclusivement par la pesanteur ; l'erreur commise sur le modèle de frottement à basse vitesse a donc une influence imperceptible sur la trajectoire globale.

   • Variation de la masse volumique de l'air avec l'altitude : Le coefficient \gamma (et donc \ell_f) dépend directement de la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}}. Or, l'atmosphère présente une hauteur d'échelle H \approx 8\text{ km} ; à h_{\max} \approx 3{,}9\text{ km}, \rho_{\text{air}}(h_{\max}) \approx \rho_0\,\mathrm{e}^{-h_{\max}/H} \approx 0{,}6\,\rho_0. L'air étant significativement plus raréfié au sommet, considérer \gamma ou \ell_f constant introduit un écart de l'ordre de 30\text{ à }40\,\%.
   • Effets de compressibilité aux grandes vitesses : La vitesse initiale v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} correspond à un régime nettement supersonique (\text{Mach} \approx 1{,}9, la vitesse du son dans l'air valant environ 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Dans ce régime, le coefficient de traînée C_x varie fortement avec le nombre de Mach en raison des ondes de choc, ce qui remet en cause la stricte constance de \gamma.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 MP 2022, Q13

   Le nombre de Reynolds est défini par :

   \mathcal{R}_e = \frac{\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}}{\eta}

   Déterminons la dimension de chacune des grandeurs intervenant dans ce quotient :

   • La masse volumique a pour dimension : [\mu_{\mathrm{f}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}.
   • La vitesse a pour dimension : [V] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}.
   • Le diamètre du fil a pour dimension : [d_{\mathrm{w}}] = \mathrm{L}.

   • La viscosité dynamique \eta s'exprime en \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}. La pression étant homogène à une force par unité de surface, sa dimension est :

     [p] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}

     On en déduit la dimension de \eta :

     [\eta] = [p]\cdot\mathrm{T} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-1}

   En combinant les grandeurs du numérateur :

   [\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}] = (\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3})\cdot(\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1})\cdot\mathrm{L} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-1}

   On en déduit la dimension du nombre de Reynolds :

   [\mathcal{R}_e] = \frac{[\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}]}{[\eta]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-1}} = 1

   \boxed{[\mathcal{R}_e] = 1 \quad (\mathcal{R}_e \text{ est une grandeur sans dimension})}

   Résultat

   $$[{\mathcal{R}}_e]=1({\mathcal{R}}_e\text{ est une grandeur sans dimension})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique-SI MP 2020, Q32

   D'après le préambule de la question Q27, seul l'air ambiant est tenu pour responsable des effets dissipatifs qui amortissent les oscillations de la lame, fixant ainsi le facteur de qualité à une valeur modeste (Q_0 \approx 50, d'après les questions Q11 et Q28).

   La sensibilité intrinsèque |s_{\mathrm{i}}| mesure la pente de la courbe de résonance |T|(\Omega) sur son flanc. L'amplitude à la résonance étant proportionnelle à Q et la largeur de la bande passante inversement proportionnelle à Q, la pente maximale sur les flancs varie selon :

   \left| \frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\Omega} \right|_{\max} \propto Q^2

   Une augmentation de Q entraîne donc un accroissement spectaculaire de la sensibilité |s_{\mathrm{i}}|.

   En pratique, il suffit d'opérer :

   \boxed{\text{sous vide (ou sous ultravide).}}

   L'absence de frottement fluide visqueux dû à l'air permet d'atteindre des facteurs de qualité typiquement compris entre 10^4 et 10^5 (limités uniquement par les frottements internes au matériau et les pertes au niveau du support d'encastrement), ce qui augmente considérablement |s_{\mathrm{i}}|.

   Résultat

   $$\text{sous vide (ou sous ultravide).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question