Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MPI 2023

Un référentiel galiléen (ou inertiel) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié :

Dans un tel référentiel, la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) s'applique sans faire intervenir de forces d'inertie.

Le référentiel terrestre est en rotation propre uniforme autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique, à la vitesse angulaire \omega_{\mathrm{T}} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec une période de rotation de l'ordre de T_{\mathrm{rot}} \approx 24\text{ h} \approx 86\,400\text{ s}.

On peut le considérer comme galiléen sous les conditions suivantes :

• la durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très faible devant la période de rotation propre de la Terre :

  \boxed{\Delta t \ll T_{\mathrm{rot}} \sim 24\text{ h}}
• les effets liés à l'accélération de Coriolis a_{\mathrm{C}} \sim 2\omega_{\mathrm{T}} v sont négligeables devant les accélérations caractéristiques du mouvement étudié (typiquement l'accélération de la pesanteur g_0) ;
• la force d'inertie d'entraînement (axifuge) est, quant à elle, usuellement incorporée dans la définition du vecteur pesanteur local \vec{g} = \vec{G}_{\mathrm{T}} + \omega_{\mathrm{T}}^2 \vec{H\mathrm{M}}.

D'après la loi de la gravitation universelle de Newton, la Terre étant modélisée par une distribution sphérique homogène de masse M_T, elle agit sur tout point matériel extérieur (r > R_T) comme si toute sa masse était concentrée en son centre O_T.

La force gravitationnelle exercée sur le point matériel M de masse m s'écrit :

où \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{O_T M}}{r} est le vecteur unitaire radial centrifuge.

Le travail élémentaire de cette force lors d'un déplacement infinitésimal \mathrm{d}\overrightarrow{OM} s'exprime par :

Ce travail élémentaire ne fait intervenir que la variable radiale r et sa différentielle \mathrm{d}r : il s'agit d'une différentielle totale exacte indépendante des coordonnées angulaires (\theta, \varphi). La force dérive donc d'une énergie potentielle E_p qui ne dépend que de la distance r.

Par définition de l'énergie potentielle, \mathrm{d}E_p = -\delta W, d'où :

Compte tenu de la condition de jauge E_p(\infty) = 0, la constante d'intégration est nulle, ce qui donne :

Un mouvement est dit lié lorsque la particule reste confinée dans une région bornée de l'espace au cours du temps. Pour le point matériel M en interaction gravitationnelle avec la Terre, cela signifie que sa distance au centre d'attraction O_T est majorée :

Le point M ne peut donc pas s'éloigner indéfiniment de la Terre ; sa trajectoire est fermée (ellipse ou cercle).

L'énergie mécanique de M dans le référentiel géocentrique galiléen est conservative et s'écrit, compte tenu de l'expression de E_p(r) établie à la question Q2 :

Pour que le point M puisse atteindre l'infini (r \to \infty), il faudrait que son énergie cinétique y demeure positive ou nulle :

Ainsi, l'état est lié si et seulement si le projectile n'a pas une énergie suffisante pour atteindre l'infini, soit E_m < 0.

La borne supérieure (ou valeur maximale limite) de l'énergie mécanique pour un mouvement lié est donc :

On étudie le projectile de masse m dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen.

En négligeant les frottements atmosphériques, le projectile n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle terrestre, qui est une force conservative. L'énergie mécanique E_m du système est donc constante au cours du mouvement :

Pour que le projectile se soustraie à l'attraction terrestre, son mouvement ne doit pas être lié : il doit pouvoir atteindre l'infini (r \to \infty) avec une vitesse v_\infty \ge 0. D'après la question Q3, cela impose :

La vitesse de libération v_{\text{lib}} est la vitesse initiale minimale à communiquer à la surface de la Terre (r = R_T) pour que E_m = 0 :

On en déduit :

Application numérique :

• G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• M_T = 5{,}97 \cdot 10^{24}\text{ kg}
• R_T = 6{,}37 \cdot 10^3\text{ km} = 6{,}37 \cdot 10^6\text{ m}

D'après la deuxième loi de Newton, une force est homogène au produit d'une masse par une accélération :

Le terme cinématique intervenant dans la force de frottement quadratique a pour dimension :

La loi de frottement donnée dans l'énoncé s'écrivant \vec{F}_f = -\gamma v \vec{v}, la dimension de la constante \gamma vérifie :

La constante \gamma a donc la dimension d'une masse par unité de longueur. En posant \gamma = \frac{m}{\ell_f}, où m est la masse du projectile de dimension [m] = \mathrm{M}, on en déduit immédiatement la dimension de \ell_f :

Le paramètre \ell_f est donc bien homogène à une longueur :

Il est donc toujours possible d'écrire \gamma = \frac{m}{\ell_f}, ce qui justifie l'expression :

On étudie le boulet dans le référentiel terrestre supposé galiléen, repéré par l'axe vertical ascendant (Oz).

1. Atteinte d'une hauteur maximale h_{\max} : Lors de la phase d'ascension, le vecteur vitesse est dirigé vers le haut : \vec{v} = v\,\vec{u}_z avec v > 0. Le boulet est alors soumis à deux forces :

• Son poids : \vec{P} = -m g_0\,\vec{u}_z, orienté vers le bas ;
• La force de frottement de l'air : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\ell_f} v^2\,\vec{u}_z, opposée au mouvement, donc également orientée vers le bas.

D'après la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Oz) :

L'accélération verticale est strictement négative et majorée par -g_0. La vitesse ascendante \dot{z}(t) décroît donc strictement et s'annule nécessairement en un temps fini t_{\text{sommet}} < \dfrac{v_0}{g_0}.

La fonction z(t) admet une dérivée qui s'annule en changeant de signe : le boulet atteint ainsi une altitude maximale h_{\max} = z(t_{\text{sommet}}).

2. Retombée du boulet : À l'instant où le boulet atteint l'apogée (v = 0) :

• La force de frottement s'annule : \vec{F}_f = \vec{0} ;
• Le poids \vec{P} = -m g_0\,\vec{u}_z reste non nul et constitue la seule force appliquée.

L'accélération au sommet vaut donc \vec{a} = -g_0\,\vec{u}_z. La vitesse devient alors négative (\dot{z} < 0) pour t > t_{\text{sommet}} : l'altitude décroît et le boulet retombe vers le sol.

On étudie le boulet de canon, modélisé par un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le système est soumis à deux forces :

• son poids uniforme : \vec{P} = -m g_0 \vec{u}_z ;
• la force de frottement quadratique : \vec{F}_f = -\dfrac{m}{\ell_f} v \vec{v}.

D'après la deuxième loi de Newton :

Soit, en simplifiant par m :

1. Phase ascendante : D'après l'énoncé, le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = +v \vec{u}_z avec v \ge 0. On a donc :

En projetant la deuxième loi de Newton sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z, il vient :

2. Phase descendante : Le vecteur vitesse s'écrit \vec{v} = -v \vec{u}_z avec v \ge 0 (le boulet descend). L'accélération s'exprime donc par :

La force de frottement est dirigée vers le haut :

En projetant la deuxième loi de Newton sur \vec{u}_z :

Soit finalement :

D'après la question Q7, les équations différentielles gouvernant le module de la vitesse sont :

• en phase descendante : \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = g_0 - \dfrac{v^2}{\ell_f} ;
• en phase ascendante : \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -g_0 - \dfrac{v^2}{\ell_f}.

1. Phase descendante :

• Au début de la descente (au sommet de la trajectoire), le boulet part d'une vitesse nulle (v = 0), d'où \left.\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right|_{v=0} = g_0 > 0 : la vitesse augmente.

• Si la vitesse atteint une valeur constante asymptotique v_{\text{lim}}, l'accélération s'annule (\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0), ce qui conduit à :

  g_0 - \frac{v_{\text{lim}}^2}{\ell_f} = 0 \implies v_{\text{lim}} = \sqrt{g_0 \ell_f}

• Ce point d'équilibre est stable :

  • pour 0 \le v < v_{\text{lim}}, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} > 0 : la vitesse croît vers v_{\text{lim}} ;
  • pour v > v_{\text{lim}}, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} < 0 : la vitesse décroît vers v_{\text{lim}}.

Ainsi, la vitesse tend bien vers une vitesse limite asymptotique v_{\text{lim}}, ce que corrobore la figure 4 où l'on observe un palier horizontal pour t > 40\text{ s}.

2. Phase ascendante : Pour tout v \ge 0, on a :

La dérivée du module de la vitesse est strictement négative et majorée par -g_0. Il est donc impossible d'avoir un régime permanent (\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0) : la vitesse décroît de façon continue et s'annule nécessairement en un temps fini.

Sur la figure 4, la vitesse décroît sans palier depuis v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} jusqu'à s'annuler au sommet de la trajectoire (t \approx 24\text{ s}).

D'après l'équation différentielle établie à la question Q7 pour la phase descendante, le module v de la vitesse vérifie :

Lorsque la vitesse atteint sa valeur limite asymptotique v_{\text{lim}}, l'accélération s'annule, soit \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient alors :

Puisque le module de la vitesse est une grandeur positive, on en déduit :

En utilisant la relation entre \ell_f et le coefficient de frottement quadratique \gamma introduite à la question Q5 (\ell_f = m/\gamma), cette vitesse limite s'exprime également selon :

1. Mise en évidence des régimes transitoire et permanent

Au sommet de la trajectoire (à t \approx 22\text{ s} d'après les figures 4 et 5), le boulet est au repos instantané (v=0). Lors de la descente :

• Régime transitoire : le poids l'emporte sur les frottements fluides (g_0 > v^2/\ell_f), la vitesse augmente à partir de zéro et les frottements croissent. Ce régime de prise de vitesse est visible sur la figure 4 entre t \approx 22\text{ s} et t \approx 45\text{ s}.
• Régime permanent : les forces de frottement compensent le poids. L'accélération s'annule (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t \approx 0) et la vitesse atteint de manière asymptotique un palier constant v = v_{\lim}, observable sur la figure 4 pour t \gtrsim 45\text{ s}.

2. Expression du temps caractéristique \tau

L'équation différentielle de la phase descendante établie à la question Q7 s'écrit :

Au début de la chute (v \ll v_{\lim}), l'accélération initiale vaut (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t)_{0} = g_0. La tangente à l'origine atteindrait la vitesse limite v_{\lim} en une durée caractéristique \tau définie par :

En utilisant l'expression v_{\lim} = \sqrt{g_0 \ell_f} obtenue à la question Q9 :

3. Nature et caractéristiques du mouvement en régime permanent

Dans le régime permanent descendant, la vitesse est constante et orientée vers le bas :

Le mouvement du boulet est donc un mouvement rectiligne uniforme. Ses caractéristiques sont :

• Trajectoire : rectiligne verticale (axe Oz).
• Sens : vers le bas (descendant, porté par -\vec{u}_z).
• Vitesse : constante de module v_{\lim} = \sqrt{g_0 \ell_f} (soit \dot{z} = -v_{\lim}).
• Accélération : nulle (\vec{a} = \vec{0}).

Le mouvement comporte deux grandes phases séparées par le sommet de la trajectoire (t_S \approx 22\text{ s}) :

• Phase ascendante (0 \le t \le t_S) : le boulet s'élève (\dot{z} > 0), sa vitesse v = \dot{z} chute de v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 0. Il n'y a qu'un régime d'évolution transitoire (décélération continue).
• Sommet de la trajectoire (t = t_S \approx 22\text{ s}) : v = 0, z = h_{\max} \approx 3{,}9\cdot 10^3\text{ m}.

• Phase descendante (t_S \le t \le t_{\text{sol}} \approx 55\text{ s}) : le boulet retombe (\dot{z} = -v < 0). On y distingue :

  • le régime transitoire (22\text{ s} \le t \lesssim 45\text{ s}) : accélération du boulet, la vitesse v croît de 0 à une valeur proche de v_{\lim} ;
  • le régime permanent (45\text{ s} \lesssim t \le 55\text{ s}) : la vitesse atteint son asymptote v \approx v_{\lim} \approx 165\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \dot{z}(t) \approx -v_{\lim}, l'altitude décroît de manière affine.

D'après les questions Q7, Q9 et Q10, on a v_{\lim}^2 = g_0 \ell_f et \tau = \frac{v_{\lim}}{g_0}, d'où :

1. Phase ascendante L'équation différentielle établie à la question Q7 s'écrit :

En introduisant les variables réduites \tilde{v} et \tilde{t}, on obtient :

D'après le formulaire, une primitive de \frac{1}{1 + x^2} est \arctan(x). En intégrant entre l'instant initial \tilde{t} = 0, où \tilde{v}(0) = \tilde{v}_0 = \frac{v_0}{v_{\lim}}, et l'instant \tilde{t} :

En prenant la fonction tangente de chaque côté :

En revenant aux grandeurs dimensionnées, pour 0 \le t \le t_s (où t_s est l'instant où le boulet atteint le sommet) :

2. Phase descendante L'équation différentielle établie à la question Q7 s'écrit :

En variables réduites, sachant que \tilde{v} < 1 (le boulet accélère depuis le repos sans jamais dépasser sa vitesse limite) :

D'après le formulaire, une primitive de \frac{1}{1 - x^2} pour |x| < 1 est \operatorname{artanh}(x). Par intégration :

Au sommet de la trajectoire, la vitesse du boulet s'annule :

• Si l'on choisit une nouvelle origine des temps t=0 au début de la descente (au sommet, \tilde{v}(0) = 0), alors C = \operatorname{artanh}(0) = 0, soit \tilde{v}(\tilde{t}) = \tanh(\tilde{t}), d'où :

  \boxed{v_-(t) = v_{\lim} \tanh\left(\frac{t}{\tau}\right)}

• Si l'on conserve l'origine des temps t=0 au moment du tir, le passage au sommet a lieu à l'instant t_s défini par v_+(t_s) = 0, soit t_s = \tau \arctan\left(\frac{v_0}{v_{\lim}}\right). Pour t \ge t_s, la condition \tilde{v}(t_s) = 0 donne :

  \boxed{v_-(t) = v_{\lim} \tanh\left(\frac{t - t_s}{\tau}\right)}

Reprenons les expressions analytiques établies à la question Q12 :

où t_s = \tau \arctan(v_0 / v_{\lim}) est l'instant d'annulation de la vitesse au sommet, v_{\lim} = \sqrt{g_0 \ell_f} et \tau = v_{\lim} / g_0.

1. Phase ascendante (recoupement avec Q8) : La fonction v_+(t) est strictement décroissante sur [0, t_s] et s'annule exactement à l'instant fini :

   t_s = \tau \arctan\left(\frac{v_0}{v_{\lim}}\right)

   Le mouvement ascendant cesse donc en un temps fini : la vitesse ne tend pas vers une valeur asymptotique, ce qui recoupe parfaitement la conclusion de la question Q8.

2. Vitesse limite asymptotique en phase descendante (recoupement avec Q8 et Q9) : D'après les propriétés de la fonction tangente hyperbolique rappelées dans le formulaire :

   \lim_{x \to +\infty} \tanh(x) = 1 \implies \lim_{t \to +\infty} v_-(t) = v_{\lim}

   La vitesse descendante tend bien de manière asymptotique vers une vitesse limite finie indépendante des conditions initiales, égale à v_{\lim} = \sqrt{g_0 \ell_f}, en accord rigoureux avec les résultats de Q8 et Q9.

3. Régimes transitoire et permanent de la phase descendante (recoupement avec Q10) :

   • Régime transitoire : pour t - t_s \ll \tau, un développement limité au premier ordre donne \tanh(x) \approx x, soit :

     v_-(t) \approx v_{\lim} \left(\frac{t - t_s}{\tau}\right) = g_0 (t - t_s)

     Au début de la chute, le frottement est négligeable et l'accélération initiale vaut bien g_0. Dès que (t - t_s) \sim 3\tau, on a \tanh(3) \approx 0{,}995 : la vitesse est établie à plus de 99\,\% de sa valeur limite. La grandeur \tau pilote bien la durée de cette phase transitoire.

   • Régime permanent : pour t - t_s \gg \tau, \tanh\left(\frac{t - t_s}{\tau}\right) \to 1, donc la vitesse devient constante et égale à v_{\lim}, correspondant à un mouvement rectiligne uniforme vers le bas, comme établi en Q10.

1. Évaluation graphique de v_{\lim} : Sur la figure 4 (module de la vitesse v(t)), lors de la phase descendante (t > 23\text{ s}), la vitesse tend asymptotiquement vers un palier horizontal. À t \approx 55\text{ s}, on lit :

Cette valeur est confirmée par la figure 6, où la vitesse en fin de chute (pour z \to 0 avec \dot{z} < 0) vaut environ -160\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

2. Évaluation graphique de \tau : Le sommet de la trajectoire correspond à v=0, soit à l'instant t_s \approx 23\text{ s}.

• Méthode de la tangente : à t = t_s, l'accélération initiale de descente est \left.\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right|_{t_s} = g_0. La tangente à la courbe en t_s coupe l'asymptote v = v_{\lim} à l'instant t_{\text{int}} = t_s + \tau. Graphiquement, cette tangente intercepte v_{\lim} \approx 160\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} pour t \approx 39\text{ s}, ce qui donne :

  \tau = t_{\text{int}} - t_s \approx 39 - 23 = 16\text{ s}

• Méthode de la valeur à t_s + \tau : d'après la loi établie à la question Q12, v_-(t_s + \tau) = v_{\lim}\tanh(1) \approx 0{,}76\,v_{\lim} \approx 122\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Sur la figure 4, cette vitesse est atteinte à t \approx 39\text{ s}, ce qui confirme :

  \tau \approx 16\text{ s}

3. Évaluation de \ell_f : La longueur caractéristique de frottement \ell_f représente la distance parcourue à la vitesse v_{\lim} pendant la durée \tau :

4. Vérification de la cohérence numérique : Les relations établies aux questions Q9 et Q10 donnent, avec g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Ces valeurs théoriques coïncident parfaitement avec les grandeurs estimées graphiquement, ce qui valide la cohérence des lectures et du modèle.

Discutons les principales hypothèses du modèle :

1. Uniformité du champ de pesanteur \vec{g}_0

• D'après la figure 5, l'altitude maximale atteinte par le boulet est h_{\max} \approx 3{,}9\text{ km}.

• Le champ de gravitation à l'altitude z s'écrit :

  g(z) = g_0 \left(\frac{R_T}{R_T + z}\right)^2 \approx g_0 \left(1 - \frac{2z}{R_T}\right)

  À l'apogée, l'écart relatif vaut :

  \frac{\Delta g}{g_0} \approx \frac{2 h_{\max}}{R_T} = \frac{2 \times 3{,}9\text{ km}}{6{,}37 \cdot 10^3\text{ km}} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}1\,\%

  La variation de l'accélération de la pesanteur est donc totalement négligeable sur l'ensemble de la trajectoire : l'hypothèse d'uniformité de \vec{g} est parfaitement justifiée.

2. Forme quadratique de la force de frottement

• Régime d'écoulement et nombre de Reynolds : pour un boulet de diamètre D = 0{,}15\text{ m} dans l'air (\rho \approx 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, \eta \approx 1{,}8 \cdot 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}), à une vitesse v \sim 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le nombre de Reynolds est de l'ordre de :

  Re = \frac{\rho v D}{\eta} \sim 10^6 \gg 10^3

  L'écoulement est turbulent et le régime de traînée inertielle quadratique en v^2 est bien adapté pour v > 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Au voisinage immédiat du sommet, où v < 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, cette loi n'est plus valable, mais la force de frottement y est de toute façon négligeable devant le poids.

• Limites du coefficient constant \gamma :

  • Effets de compressibilité : la vitesse initiale v_0 = 650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est largement supersonique (Mach \approx 1{,}9, la vitesse du son valant environ 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Dans le domaine transsonique et supersonique, la formation d'ondes de choc modifie fortement le coefficient de traînée C_x, qui ne peut être considéré comme constant.
  • Diminution de la masse volumique de l'air avec l'altitude : l'atmosphère présente une hauteur d'échelle H = \frac{RT}{M g} \approx 8\text{ km}. À h_{\max} \approx 4\text{ km}, la masse volumique de l'air a décru selon la loi barométrique d'un facteur \exp(-h_{\max}/H) \approx \exp(-0{,}5) \approx 0{,}6 (soit une baisse d'environ 40\,\%). La constante \gamma \propto \rho diminue donc significativement avec l'altitude, ce qui allonge la portée et l'altitude par rapport au modèle à masse volumique constante.

3. Autres hypothèses

• La durée totale du vol (\Delta t \approx 54\text{ s}) est très petite devant la période de rotation terrestre (24\text{ h}) : l'approximation du référentiel terrestre galiléen est excellente (force de Coriolis négligeable).
• L'absence de portance (effet Magnus) et de rotation propre du boulet constitue une approximation raisonnable pour un boulet sphérique lisse tiré verticalement.

Le point matériel M de masse m est étudié dans le référentiel \mathcal{R}_C lié à la capsule.

Par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\text{géo}} supposé galiléen, la capsule est animée d'un mouvement de translation circulaire : le référentiel \mathcal{R}_C est donc non galiléen, avec un vecteur rotation instantané nul par rapport à \mathcal{R}_{\text{géo}} (\vec{\Omega}(\mathcal{R}_C/\mathcal{R}_{\text{géo}}) = \vec{0}).

Dans ce référentiel \mathcal{R}_C, les forces appliquées à M sont :

1. Force réelle (à distance) :

   • La force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

     \vec{F}_G = -\frac{G M_T m}{(R_T + h)^2}\,\vec{u}_r

     en assimilant la distance de M au centre de la Terre à r \approx R_T + h compte tenu de la faible taille de l'habitacle devant h.

2. Forces d'inertie :

   • La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} : le mouvement d'entraînement étant une translation, tous les points ont la même accélération d'entraînement \vec{a}_e(M) = \vec{a}(C/\mathcal{R}_{\text{géo}}) (accélération du centre de masse de la capsule), d'où :

     \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}(C/\mathcal{R}_{\text{géo}})

   • La force d'inertie de Coriolis \vec{F}_{ic} : elle est identiquement nulle :

     \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}(\mathcal{R}_C/\mathcal{R}_{\text{géo}})\wedge\vec{v}_r = \vec{0}

     à la fois parce que le mouvement d'entraînement est une translation (\vec{\Omega} = \vec{0}) et parce que M est immobile dans la capsule (\vec{v}_r = \vec{0}).

3. Forces de contact : M n'est pas en contact avec les parois de la capsule, il n'y a donc aucune réaction de support : \vec{R} = \vec{0}.

1. Définition de l'impesanteur :

L'impesanteur (ou apesanteur) est l'état d'un corps dans un référentiel où le champ de pesanteur apparent \vec{g}_{\text{app}} est nul. Dans cet état, les effets de l'attraction gravitationnelle sont compensés par les effets d'inertie liés à l'accélération du référentiel : aucun support n'est nécessaire pour maintenir le corps immobile par rapport aux parois, et la réaction d'appui est rigoureusement nulle (absence de sensation de poids).

2. Justification pour le point M :

La capsule C, de masse M_C, n'est soumise à aucune force de frottement atmosphérique à l'altitude h. Dans le référentiel géocentrique galiléen \mathcal{R}_{\text{géo}}, la seule force appliquée à la capsule est la force gravitationnelle exercée par la Terre. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

La capsule est donc en « chute libre » permanente autour de la Terre.

Les dimensions de l'habitacle étant petites devant l'altitude de l'orbite h, on peut considérer le champ gravitationnel uniforme à l'échelle de la capsule :

Dans le référentiel de la capsule \mathcal{R}_C, la force d'inertie d'entraînement qui s'exerce sur le point M s'écrit d'après la question Q16 :

Le poids apparent \vec{P}_{\text{app}} (ou la résultante des forces à distance dans \mathcal{R}_C) vaut donc :

Le champ de pesanteur effectif (ou apparent) ressenti dans la capsule est par conséquent nul :

Le point M (tout comme un astronaute dans la station) est donc en situation d'impesanteur.

Plaçons-nous dans le référentiel \mathcal{R} lié à la station spatiale. Ce référentiel est en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z autour de l'axe passant par son centre S, par rapport au référentiel orbital en translation circulaire (lui-même en chute libre autour de la Terre).

D'après les questions précédentes (Q16 et Q17), l'attraction gravitationnelle de la Terre et l'accélération de translation orbitale se compensent exactement à l'échelle de la station : la pesanteur résiduelle d'origine terrestre est donc nulle (\vec{g}_{\text{app, orb}} \approx \vec{0}).

Considérons un occupant assimilé à un point matériel M de masse m, au repos relatif dans la station (\vec{v}_r = \vec{0}).

• La force de Coriolis est nulle : \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_r = \vec{0} ;

• La force d'inertie d'entraînement subie par M est purement centrifuge :

  \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}_e(M) = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{SM}) = m\,\Omega^2 r\,\vec{e}_r

  où r est la distance de M à l'axe de rotation et \vec{e}_r le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur.

Cette force d'inertie centrifuge, proportionnelle à la masse m, joue exactement le rôle d'un poids effectif :

L'occupant ressent ainsi une pesanteur artificielle :

Dirigée vers l'extérieur de la station, elle plaque l'occupant contre la paroi périphérique externe, qui fait alors office de « sol » en exerçant une réaction d'appui normale \vec{R} = -m\,\vec{g}_a.

1. Orientation du champ de pesanteur artificielle \vec{g}_a

D'après le résultat de la question précédente (Q18), le champ de pesanteur artificielle s'identifie au champ d'accélération d'entraînement centrifuge dans le référentiel tournant :

Le vecteur \vec{g}_a est donc purement radial, orthogonal à l'axe de rotation (Sz), et dirigé vers l'extérieur de la station (sens des r croissants, c'est-à-dire centrifuge).

2. Orientation de la tête et des jambes d'un passager

Pour un observateur situé dans l'habitacle, la verticale locale descendante (« le bas ») est définie par le vecteur \vec{g}_a :

• Les jambes et les pieds reposent sur la paroi externe du tore (située au plus grand rayon r = R_S + \ell/2) et sont orientés dans le sens de +\vec{e}_r.
• La tête est tournée vers le « haut » local, c'est-à-dire vers l'intérieur du tore et l'axe de rotation (dans le sens de -\vec{e}_r).

Le « plancher » de l'habitacle est donc la paroi cylindrique extérieure.

3. Reproduction des figures 10 bis et 11 bis

4. Choix et justification de l'illustration la plus réaliste (figure 8)

L'illustration B (inspirée de la station orbitale de 2001, l'Odyssée de l'espace) est la plus réaliste pour plusieurs raisons physiques et techniques majeures :

1. Forme du plancher : L'illustration B présente une section aplatie dont la paroi externe forme une surface cylindrique de largeur L (parallèle à l'axe de rotation), offrant ainsi un sol horizontalement plat dans la direction axiale. À l'inverse, une section circulaire tubulaire (type illustration A) imposerait un sol incurvé transversalement, formant une « gouttière » très inconfortable pour la marche.
2. Zone d'amarrage centrale : La station B comporte un moyeu d'amarrage central situé sur l'axe de rotation. À cet endroit, la distance à l'axe est nulle (r \approx 0), de sorte que la vitesse linéaire d'entraînement et la pesanteur artificielle sont nulles (\vec{v}_e = \vec{0}, \vec{g}_a \approx \vec{0}). Les navettes spatiales peuvent donc s'y arrimer en sécurité sans être soumises aux forces centrifuges.

D'après les questions précédentes, le module du champ de pesanteur artificielle ressenti par un passager au niveau du tore de rayon moyen R_S vaut :

Pour que cette pesanteur artificielle soit proche de la pesanteur terrestre de référence g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on impose g_a \approx g_0, d'où :

Avec g_0 = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et R_S = 100\text{ m} :

Cette pulsation correspond à une période de rotation propre :

soit une fréquence de rotation de l'ordre de 3\text{ tours par minute}.

La Station spatiale internationale (ISS) n'utilise pas de pesanteur artificielle pour plusieurs raisons majeures :

1. Mission scientifique (raison principale) : L'ISS est avant tout conçue comme un laboratoire de recherche en microgravité (impesanteur). Recréer une pesanteur artificielle détruirait précisément les conditions expérimentales recherchées pour l'étude du comportement des fluides, la cristallogenèse, les réactions de combustion ou la biologie cellulaire en l'absence de convection naturelle et de sédimentation.
2. Complexité technologique et coût : Mettre en rotation une structure de la taille de l'ISS imposerait des joints tournants étanches, une gestion délicate du moment cinétique propre (effets gyroscopiques perturbant le contrôle d'attitude), des contraintes mécaniques considérables sur la structure et de grandes difficultés pour l'amarrage des vaisseaux de ravitaillement.
3. Effets physiologiques néfastes (effet Coriolis) : Aux dimensions de l'ISS (rayon de l'ordre de quelques dizaines de mètres), obtenir une gravité proche de g_0 exigerait une vitesse de rotation importante, provoquant d'intenses forces d'inertie de Coriolis (\vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2m\,\vec{\Omega}\wedge\vec{v}_{\mathrm{r}}) lors des mouvements des spationautes, à l'origine d'un mal de l'espace sévère (troubles vestibulaires).

L'une quelconque de ces raisons justifie l'absence de mise en rotation de l'ISS.

Il convient de distinguer clairement les concepts physiques de masse et de poids :

• La masse M est une grandeur scalaire intrinsèque et invariante d'un système. Elle quantifie sa quantité de matière et son inertie, et constitue la source du champ gravitationnel qu'il engendre à distance. Elle s'exprime en kilogrammes (\mathrm{kg}).
• Le poids \vec{P} est une force (exprimée en newtons, \mathrm{N}) correspondant à l'attraction gravitationnelle exercée sur un corps par un autre astre attracteur. Le poids n'est donc pas une propriété intrinsèque de l'objet : il dépend du champ gravitationnel extérieur dans lequel l'objet est plongé.

Un astre comme la Terre n'a pas de « poids » en soi (celui-ci dépendrait arbitrairement du corps céleste attracteur considéré, par exemple le Soleil). En revanche, la dynamique des satellites en orbite autour de la Terre est gouvernée par le champ gravitationnel créé par la Terre, dont l'intensité dépend directement de sa masse M_T via la loi de la gravitation universelle :

La mesure expérimentale de la période T et du demi-grand axe a des orbites de satellites permet donc, via la troisième loi de Kepler, de déterminer la grandeur intrinsèque M_T.

L'expression courante « peser un astre » désigne ainsi, par analogie avec la pesée au quotidien, la détermination de sa masse M_T et non d'une force de pesanteur.

D'après la première loi de Kepler, la trajectoire du satellite est une ellipse dont le centre de la Terre O_T occupe l'un des foyers.

Les points A, O_T, C (centre géométrique de l'ellipse) et P sont alignés sur le grand axe de l'ellipse. Le foyer O_T appartient au segment [AP], donc la longueur du grand axe s'exprime par :

Or, par définition du demi-grand axe a, la longueur du grand axe vaut AP = 2a. On en déduit directement :

La troisième loi de Kepler pour un satellite en orbite autour de la Terre s'écrit :

Pour obtenir une relation affine (et plus précisément linéaire) de la forme Y = \alpha X, on pose :

La relation devient alors :

Par identification avec la relation de régression Y = \alpha X, la pente \alpha s'identifie à :

On en déduit l'expression littérale de la masse de la Terre M_T :

Le code du document 1 effectue les opérations suivantes :

• Il initialise une liste vide nommée n_sat.
• La boucle for i in range(9) parcourt les entiers de i = 0 à i = 8, correspondant aux indices des 9 sous-listes de la liste principale DATA.
• Pour chaque satellite d'indice i, l'instruction DATA[i][0] extrait le premier élément de sa sous-liste, qui correspond à son numéro (entier de 1 à 9).
• La méthode append ajoute successivement ces numéros à la fin de la liste n_sat.

En conclusion, ce morceau de code permet d'extraire et de stocker dans la liste n_sat les numéros des 9 satellites étudiés, soit :

Dans chaque sous-liste DATA[i], les éléments sont ordonnés comme suit :

• DATA[i][0] : numéro du satellite ;
• DATA[i][1] : nom du satellite ;
• DATA[i][2] : période T en minutes.

On peut ainsi construire la liste T_sat selon la même structure que celle présentée dans le Document 1 :

T_sat = []
for i in range(9):
    T_sat.append(DATA[i][2])

De manière équivalente et plus concise, on peut utiliser une compréhension de liste :

T_sat = [DATA[i][2] for i in range(9)]

D'après la description fournie pour chaque satellite, les éléments d'une sous-liste de DATA sont ordonnés ainsi :

• numero (indice 0), nom (indice 1), T (indice 2), t (indice 3), lat (indice 4), long (indice 5) et alt (indice 6).

L'altitude h étant repérée par rapport à la surface terrestre, les distances au centre de la Terre O_T au périgée et à l'apogée valent :

D'après la relation établie à la question Q23, le demi-grand axe a s'exprime par :

Les altitudes étant fournies en kilomètres, on prend le rayon de la Terre en kilomètres : R_T = 6{,}37 \cdot 10^3\text{ km}.

On écrit la fonction demandée en utilisant les fonctions prédéfinies min() et max() rappelées en annexe :

def demiGrandAxe(DATA):
    R_T = 6.37e3  # Rayon terrestre en km
    a_sat = []
    for sat in DATA:
        alt = sat[6]  # Liste des altitudes en km
        r_P = R_T + min(alt)
        r_A = R_T + max(alt)
        a = (r_P + r_A) / 2
        a_sat.append(a)
    return a_sat

D'après la question Q24, on a défini les grandeurs X = T^2 et Y = a^3. Les périodes T sont données en minutes et les demi-grands axes a en kilomètres. Afin d'obtenir des grandeurs dans le Système international cohérentes avec la valeur de G, il convient de convertir les durées en secondes (\times 60) et les longueurs en mètres (\times 10^3).

Les opérations d'élévation à la puissance ne s'appliquant pas directement aux listes natives de Python, on convertit d'abord les listes en tableaux de type numpy.ndarray grâce à np.array.

La fonction peut s'écrire ainsi :

def XY(T_sat, a_sat):
    # Conversion dans les unites du SI (secondes et metres)
    T = np.array(T_sat) * 60.0
    a = np.array(a_sat) * 1e3

    # Calcul des grandeurs pour la droite de Kepler
    X = T**2
    Y = a**3

    return (X, Y)

Remarque : si l'on ne convertit pas les unités au sein de la fonction (en posant directement T = np.array(T_sat) et a = np.array(a_sat)), on obtient les grandeurs X en \text{min}^2 et Y en \text{km}^3, ce qui correspond précisément à la démarche de l'élève à l'origine de la figure 12 analysée à la question Q31.

1. Instructions Python pour la régression linéaire

D'après l'annexe de programmation, la fonction np.polyfit(x, y, deg) ajuste les points par un polynôme de degré deg et renvoie un tableau contenant ses coefficients ordonnés par puissances décroissantes. Pour un ajustement affine (\text{deg} = 1) modélisé par Y = \alpha X + \beta :

alpha, beta = np.polyfit(X, Y, 1)

Le tableau np.polyfit(X, Y, 1) renvoie directement [alpha, beta], où l'élément d'indice 0 est la pente \alpha et l'élément d'indice 1 est l'ordonnée à l'origine \beta. Pour calculer le modèle affine complet, on écrit alors :

Y_mod = alpha * X + beta

2. Valeur attendue pour l'ordonnée à l'origine \beta

D'après la troisième loi de Kepler établie à la question Q24, la relation entre Y = a^3 et X = T^2 est une relation de stricte proportionnalité :

Le modèle théorique ne comporte aucun terme constant indépendant de X. On attend donc théoriquement pour l'ordonnée à l'origine :

En pratique, du fait des incertitudes de mesure et des approximations du modèle à deux corps ponctuels, la régression linéaire sur des données expérimentales donnera une valeur non strictement nulle, mais compatible avec zéro au vu de son incertitude-type (|\beta| \ll Y).

En analysant la structure du code et la modélisation effectuée :

• A correspond au tableau des abscisses des données expérimentales, soit :

  \mathbf{A} = \texttt{X} \quad (\text{représentant } T^2)

• B correspond au tableau des ordonnées des données expérimentales, soit :

  \mathbf{B} = \texttt{Y} \quad (\text{représentant } a^3)

• C correspond aux abscisses utilisées pour le tracé de la droite de régression, soit :

  \mathbf{C} = \texttt{X} \quad (\text{ou un tableau de valeurs discrétisées sur l'intervalle de } X)

• D correspond aux ordonnées modélisées par la régression linéaire, soit :

  \mathbf{D} = \texttt{Y\_mod} \quad (\text{ou directement } \texttt{alpha * X + beta})

• E est la chaîne de caractères décrivant l'axe des abscisses, qui doit préciser la grandeur physique ainsi que son unité, par exemple :

  \mathbf{E} = \texttt{"T\textasciicircum 2 (s\textasciicircum 2)"} \quad \text{ou} \quad \texttt{"Carré de la période } T^2 \text{ (s}^2\text{)"}

• F est la chaîne de caractères décrivant l'axe des ordonnées, précisant la grandeur physique et son unité, par exemple :

  \mathbf{F} = \texttt{"a\textasciicircum 3 (m\textasciicircum 3)"} \quad \text{ou} \quad \texttt{"Cube du demi-grand axe } a^3 \text{ (m}^3\text{)"}

En synthèse :

L'observation attentive de la figure 12 révèle plusieurs oublis commis par l'élève :

1. Dans la fonction XY : l'absence de conversion vers le Système International d'unités (SI)

   • En abscisse, la valeur maximale atteint X_{\max} \approx 2{,}06 \cdot 10^6, ce qui correspond à T_{\max}^2 = (1436{,}2)^2. L'élève a donc laissé les périodes de révolution en minutes au lieu de les convertir en secondes (\times 60).
   • En ordonnée, la valeur maximale atteint Y_{\max} \approx 7{,}5 \cdot 10^{13}, ce qui correspond à a_{\max}^3 = (42167)^3. L'élève a donc laissé les demi-grands axes en kilomètres au lieu de les convertir en mètres (\times 10^3).
   • Conséquence : la pente \alpha obtenue ne sera pas dans les unités SI, ce qui faussera directement le calcul de la masse de la Terre M_T si l'on utilise la valeur tabulée de G en \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}.

2. Dans le code du document 3 : l'absence d'étiquettes et d'unités sur les axes

   • Les axes ne comportent ni le nom des grandeurs physiques représentées, ni leurs unités respectives : l'élève a oublié de renseigner convenablement les instructions plt.xlabel() et plt.ylabel().
   • Remarque informatique : l'élève a tracé la droite de modélisation en reliant directement les couples (X, Y_{\text{mod}}) sans s'assurer au préalable que les valeurs de X étaient triées par ordre croissant, ce qui peut occasionner des retours en arrière lors d'un tracé de type ligne ("r-").

L'observation des données du document 2 met en évidence une très grande disparité d'échelles entre les orbites :

• Satellites en orbite basse (LEO) : satellites 1, 3, 7, 8 et 9.
  Leurs périodes sont comprises entre 92{,}9\text{ min} et 118{,}4\text{ min}, ce qui donne des abscisses X = T^2 \lesssim 1{,}4\cdot 10^4\text{ min}^2 et des ordonnées Y = a^3 \lesssim 5\cdot 10^{11}\text{ km}^3. Rapportées à l'échelle du graphique (qui s'étend jusqu'à X \approx 2{,}1\cdot 10^6\text{ min}^2 et Y \approx 7{,}5\cdot 10^{13}\text{ km}^3), ces valeurs représentent moins de 1\,\% de la pleine échelle. Ces 5 satellites sont donc indiscernables et regroupés en un unique point apparent au voisinage immédiat de l'origine (0,0).
• Satellite en orbite moyenne (MEO) : satellite 5.
  Avec T = 631{,}1\text{ min}, on a X = T^2 \approx 4{,}0\cdot 10^5\text{ min}^2 et Y = a^3 \approx 1{,}4\cdot 10^{13}\text{ km}^3. Il forme le deuxième point visible (vers X \approx 0{,}4\cdot 10^6).
• Satellite en orbite haute : satellite 6.
  Avec T = 1214{,}4\text{ min}, on a X = T^2 \approx 1{,}47\cdot 10^6\text{ min}^2 et Y = a^3 \approx 5{,}4\cdot 10^{13}\text{ km}^3. Il constitue le troisième point visible (vers X \approx 1{,}5\cdot 10^6).

• Satellites géostationnaires / géosynchrones : satellites 2 et 4.
  Ils possèdent des caractéristiques quasi-identiques :

  \begin{aligned} T_2 &= 1436{,}1\text{ min} \quad \text{et} \quad a_2 = 42\,164\text{ km} \\ T_4 &= 1436{,}2\text{ min} \quad \text{et} \quad a_4 = 42\,167\text{ km} \end{aligned}

  Leurs couples (X, Y) sont tellement proches qu'à la résolution du tracé, ces deux points se superposent exactement à l'extrémité supérieure droite (X \approx 2{,}06\cdot 10^6, Y \approx 7{,}5\cdot 10^{13}), formant le quatrième point visible.

Ainsi, les 9 points se répartissent en :

Dans une méthode de Monte-Carlo appliquée à l'évaluation des incertitudes :

• D'un point de vue statistique, la convergence des estimateurs (moyenne et écart-type) est gouvernée par le théorème central limite. L'incertitude relative sur l'estimation de l'incertitude-type décroît en 1/\sqrt{2 N_{\text{sim}}}. Pour obtenir une précision statistique de l'ordre de 1\,\% sur l'incertitude-type, il faut :

  \frac{1}{\sqrt{2 N_{\text{sim}}}} \sim 10^{-2} \implies N_{\text{sim}} \sim \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5 \times 10^3
• D'un point de vue informatique, chaque itération effectue un tirage aléatoire et un ajustement polynomial (np.polyfit) sur 9 points. Pour N_{\text{sim}} = 10^4, le temps d'exécution sur un ordinateur standard reste très court (de l'ordre de la seconde).

On choisit donc typiquement :

Le document 4 présente l'implémentation de la méthode de Monte-Carlo appliquée à la régression linéaire issue de la troisième loi de Kepler.

Analysons les différents termes ligne par ligne :

• Lignes 2 et 3 – Initialisation des listes : Les listes sont initialisées à vide afin d'accumuler les résultats à chaque tirage :

  \mathbf{G} = \texttt{[]}, \quad \mathbf{H} = \texttt{[]}, \quad \mathbf{I} = \texttt{[]} \quad \text{et} \quad \mathbf{J} = \texttt{[]}, \quad \mathbf{K} = \texttt{[]}

• Ligne 5 – Boucle de tirages aléatoires : La boucle itère sur le nombre de simulations fixé (estimé à la question Q33) :

  \mathbf{L} = \texttt{N\_sim} \quad (\text{ou } 10000)

• Lignes 6 et 7 – Tirages aléatoires des mesures : Les tirages s'effectuent autour des valeurs mesurées contenues dans les listes initiales converties en tableaux NumPy :

  \mathbf{M} = \texttt{np.array(a\_sat)} \quad (\text{ou } \texttt{a\_sat}) \quad \text{et} \quad \mathbf{N} = \texttt{np.array(T\_sat)} \quad (\text{ou } \texttt{T\_sat})

• Lignes 8 et 9 – Calcul des variables du modèle en unités SI : Sachant que Y = a^3 (\text{m}^3) et X = T^2 (\text{s}^2), avec a en km et T en min :

  \mathbf{O} = \texttt{(a\_tir * 1e3)**3} \quad \text{et} \quad \mathbf{P} = \texttt{(T\_tir * 60)**2}

  Remarque : si l'on utilise la fonction XY définie à la question Q28, on peut aussi écrire \mathbf{O} = \texttt{XY(T\_tir, a\_tir)[1]} et \mathbf{P} = \texttt{XY(T\_tir, a\_tir)[0]}.

• Lignes 10 et 11 – Sauvegarde des données tirées : On ajoute les tableaux tirés aux listes list_Y et list_X :

  \mathbf{Q} = \texttt{Y\_tir} \quad \text{et} \quad \mathbf{R} = \texttt{X\_tir}

  Le commentaire AA explicite cette opération :

  AA : # Enregistrement des valeurs tirées de Y (et X) (ou # Mémorisation du tirage)

• Ligne 12 – Régression linéaire : La fonction np.polyfit(x, y, deg) prend en premier argument la variable d'abscisse x = X_{\text{tir}} et en second celle d'ordonnée y = Y_{\text{tir}} :

  \mathbf{S} = \texttt{X\_tir} \quad \text{et} \quad \mathbf{U} = \texttt{Y\_tir}

• Lignes 13 et 14 – Enregistrement des paramètres de régression : D'après l'annexe, p[0] correspond au coefficient du terme de plus haut degré (la pente \alpha) et p[1] au terme constant (l'ordonnée à l'origine \beta) :

  \mathbf{V} = \texttt{p[0]} \quad \text{et} \quad \mathbf{W} = \texttt{p[1]}

• Termes X et Y de la consigne : Les lettres \mathbf{X} et \mathbf{Y} ne figurent pas comme variables à trous en gras dans le document 4 (l'énoncé a sauté directement de \mathbf{W} à \mathbf{Z}). S'il s'agit d'expliciter les grandeurs associées dans le contexte :

  \mathbf{X} = T^2 \quad (\text{en } \text{s}^2) \quad \text{et} \quad \mathbf{Y} = a^3 \quad (\text{en } \text{m}^3)

• Ligne 15 – Enregistrement de la masse de la Terre : D'après le résultat de la question Q24, M_T = \frac{4\pi^2 \alpha}{G} :

  \mathbf{Z} = \texttt{4 * np.pi**2 * p[0] / G} \quad (\text{ou } \texttt{4 * np.pi**2 * list\_alpha[-1] / G})

À l'issue des tirages de Monte-Carlo, les grandeurs recherchées sont évaluées par la moyenne et l'écart-type des échantillons simulés list_MT et list_beta, conformément aux fonctions NumPy données en annexe :

M_T = np.mean(list_MT)
u_M = np.std(list_MT, ddof=1)

beta_sim = np.mean(list_beta)
u_beta = np.std(list_beta, ddof=1)

Pour comparer deux mesures d'une même grandeur M_1 et M_2, associées à leurs incertitudes-types u(M_1) et u(M_2), on définit le critère de compatibilité par l'écart normalisé (ou z-score) :

Au niveau de confiance usuel de 95\,\%, les deux mesures sont considérées comme compatibles si :

D'après le document 5 et les données de l'énoncé :

• Valeur obtenue par simulation : M_T \approx 5{,}9758 \cdot 10^{24}\text{ kg} avec u_M \approx 7{,}71 \cdot 10^{20}\text{ kg} ;
• Valeur de la littérature : M_{T,\text{pub}} = 5{,}97223 \cdot 10^{24}\text{ kg} avec u_T = 5{,}9 \cdot 10^{20}\text{ kg}.

Calculons l'écart absolu :

L'incertitude combinée vaut :

On en déduit l'écart normalisé :

Discussion et conclusion :

• Sur la précision : les incertitudes-types u_M et u_T sont du même ordre de grandeur (\sim 10^{21}\text{ kg}, soit une précision relative d'environ 0{,}01\,\%). La méthode d'évaluation de la dispersion est donc en excellent accord avec les incertitudes publiées.

• Sur la valeur : comme E_n \approx 3{,}7 > 2, les deux valeurs ne sont pas strictement compatibles au sens du critère statistique à 95\,\%. Néanmoins, l'écart relatif est minime :

  \frac{|M_T - M_{T,\text{pub}}|}{M_{T,\text{pub}}} \approx 0{,}06\,\%

  Ce léger écart s'explique par des biais systématiques non pris en compte dans le modèle purement képlérien (la Terre n'est pas rigoureusement sphérique, existence du potentiel perturbateur J_2, calcul approché du demi-grand axe à la question Q27).

Les deux rayons émergents proviennent de la réflexion élastique (diffusion sans changement de fréquence) sur deux plans réticulaires successifs d'un même faisceau issu d'une unique source monochromatique de longueur d'onde \lambda.

• Égalité des pulsations : La source étant monochromatique de longueur d'onde \lambda dans le vide (ou l'air), elle présente une pulsation unique :

  \omega = \frac{2\pi c}{\lambda}

  La diffusion par les atomes du réseau cristallin étant élastique, le rayonnement réémis conserve la même fréquence et la même pulsation, d'où :

  \boxed{\omega_1 = \omega_2 = \omega}
• Cohérence des ondes : Deux ondes sont dites cohérentes si leur déphasage relatif \Delta\varphi(M) = \varphi_2(M) - \varphi_1(M) en un point M est constant au cours du temps, ce qui conditionne la visibilité d'une figure d'interférences stable. Puisque les deux rayons sont issus par division du front d'onde d'une même source primaire, tout saut ou fluctuation aléatoire de phase à la source est transmis à l'identique sur les deux trajets. Pourvu que la différence de marche \delta reste très inférieure à la longueur de cohérence temporelle de la source (\delta \ll \ell_c), ces fluctuations s'annulent dans la différence de phase, assurant la cohérence mutuelle des ondes émergentes.

Considérons deux plans réticulaires successifs distants de a_c. Le premier rayon se réfléchit sur un atome A_1 du plan supérieur, et le second rayon se réfléchit sur un atome A_2 situé directement sous A_1 dans le plan inférieur.

Traçons les surfaces d'onde passant par A_1 :

• le front d'onde incident coupe le rayon 2 en H_1 tel que (A_1 H_1) soit perpendiculaire au rayon incident ;
• le front d'onde réfléchi coupe le rayon 2 émergent en H_2 tel que (A_1 H_2) soit perpendiculaire au rayon réfléchi.

En amont de la surface d'onde (A_1 H_1) et en aval de la surface d'onde (A_1 H_2), les chemins optiques des deux rayons sont identiques. La différence de marche \delta entre le rayon 2 et le rayon 1 s'écrit donc :

Dans le triangle rectangle A_1 H_1 A_2, l'angle \widehat{H_1 A_1 A_2} vaut \theta (angles à côtés perpendiculaires : (A_1 A_2) est perpendiculaire au plan réticulaire et (A_1 H_1) est perpendiculaire au rayon incident). On a donc :

De même, par symétrie dans le triangle rectangle A_1 H_2 A_2 :

La différence de marche géométrique entre les deux rayons renvoyés dans la direction \theta vaut ainsi :

Le retard de phase de l'onde 2 par rapport à l'onde 1 en tout point M d'observation à l'infini dans la direction \theta est donné par :

soit :

D'après le principe de superposition, l'amplitude de l'onde scalaire résultante au point M s'écrit :

En utilisant la formule trigonométrique \cos p + \cos q = 2 \cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \cos\left(\frac{p+q}{2}\right), avec p = \omega t - \varphi_1 et q = \omega t - \varphi_2, il vient :

où l'on a posé \varphi_0 = \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{2} et \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1.

L'intensité lumineuse est définie par I = 2\,\langle s^2(t, M) \rangle (la moyenne temporelle d'un signal étant nulle, l'énoncé fait référence à la moyenne du carré du signal) :

Sachant que la moyenne temporelle d'un cosinus au carré sur une ou plusieurs périodes est \langle \cos^2(\omega t - \varphi_0) \rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

En posant I_0 = 2\langle s_1^2 \rangle = s_0^2 l'intensité associée à un rayon incident isolé, et en rappelant d'après la question Q38 que \Delta\varphi = \frac{4\pi a_c \sin\theta}{\lambda}, on déduit :

(avec I_0 = s_0^2).

D'après l'expression établie à la question Q39, l'intensité s'écrit :

L'intensité est maximale (I_{\max} = 4 I_0) lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire pour des interférences constructives :

Comme \delta = 2 a_c \sin\theta (d'après la question Q38) et que l'angle d'incidence rasant \theta est compris dans l'intervalle ]0, \, \pi/2], l'ordre d'interférence p est un entier strictement positif (p \in \mathbb{N}^*).

On en déduit la loi de Bragg :

Les valeurs de l'angle \theta correspondant aux maxima d'intensité sont donc :

Détermination du paramètre de maille a_c :

La longueur d'onde \lambda de la source de rayons X étant connue, la mesure expérimentale de l'angle \theta_p associé au maximum d'ordre p (par exemple le premier pic pour p = 1) permet d'isoler directement a_c :

Si l'on dispose de la mesure de plusieurs angles \theta_p pour différents ordres p, on peut tracer \sin\theta_p en fonction de p. On obtient alors une droite passant par l'origine de pente \alpha = \frac{\lambda}{2a_c}, ce qui donne une détermination plus précise : a_c = \frac{\lambda}{2\alpha}.

Le montage optique adapté à l'observation d'interférences à distance finie pour des rayons interférant initialement à l'infini comprend les éléments suivants :

• Une source lumineuse monochromatique ponctuelle (ou une fente source éclairée par une source spectrale).
• Une première lentille convergente \mathcal{L}_1 de distance focale f'_1 (collimateur) : la source est placée en son foyer principal objet F_1. La lentille forme un faisceau de rayons parallèles (onde plane) qui éclaire le dispositif sous l'angle d'incidence \theta.
• Le dispositif diffractant / réseau cristallin : il réfléchit et diffracte les faisceaux dans différentes directions sous forme d'ondes planes (rayons mutuellement parallèles pour chaque direction \theta).
• Une seconde lentille convergente \mathcal{L}_2 de distance focale f'_2 (lentille de projection ou objectif) : elle collecte les rayons émergents parallèles inclinés de l'angle \theta.
• Un écran d'observation (ou détecteur) : il est placé dans le plan focal image de la lentille \mathcal{L}_2, à une distance f'_2 derrière celle-ci.

Ainsi, tous les rayons émergeant avec une même inclinaison \theta se coupent en un point unique du plan focal image de \mathcal{L}_2, matérialisant sur l'écran les franges ou taches d'interférences avec un contraste optimal.