Mines Physique 1 PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

PHYSIQUE I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique en arctique

I. - Pôles géographiques et magnétiques

I.A. - Boussole, champ géomagnétique et dipôle central

Figure 1 - Boussole de navigation

vecteur e⃗_r local et formant un pivot à faible frottement (cf. fig. 1).
1- Pourquoi la boussole à l'équilibre indique-t-elle le nord ? Cet équilibre est-il stable ?
On note I le moment d'inertie de l'aiguille aimantée relativement à son axe de rotation ( Δ ); légèrement écartée de sa position d'équilibre (cf. fig. 1), l'aiguille aimantée oscille avec une pseudo-période τ_(osc).

• 2 - Montrer que la connaissance de m, τ_(osc) et I permet de déterminer une des composantes du champ géomagnétique. Laquelle?
  On étudie un modèle de champ géomagnétique créé par un dipôle magnétique M⃗ = M_0 e⃗_z disposé au centre O de la Terre (assimilée à une sphère de rayon R_T ), l'axe ( Oz ) étant l'axe polaire géographique dirigé du pôle sud de cet axe vers son pôle nord (cf. fig. 5). On rappelle d'une part qu'un point de la surface est caractérisé par ses coordonnées géographiques φ (longitude) et λ = π/2 − θ (latitude) et d'autre part qu'à l'équateur le champ magnétique terrestre est horizontal, dirigé vers le pôle nord géographique et y a pour intensité B_E.
  ◻3 - Exprimer, en un point de la surface de la Terre et en coordonnées sphériques, le champ géomagnétique en fonction de μ_0 (perméabilité du vide), M_0 et R_T.
• 4 - Préciser le signe de M_0 puis estimer sa valeur numérique. Quelles sont la direction et l'intensité du champ géomagnétique aux pôles magnétiques nord et sud?
  En un point P de la surface terrestre, on appelle nord magnétique local la direction e⃗_N du champ géomagnétique B⃗, projeté dans le plan horizontal, et déclinaison magnétique l'angle D formé par B⃗ avec le nord magnétique local; la déclinaison magnétique est positive si B⃗ est dirigé vers le haut (vers le ciel) et négative s'il est dirigé vers le bas (vers le sol).
  ◻5 - Dans l'hémisphère nord, quel est le signe de D ? Calculer tan(D) en fonction de la latitude λ puis tracer l'allure de la courbe donnant D en fonction de λ pour toutes les valeurs de λ du pôle sud au pôle nord. Pourquoi lisait-on parfois que les boussoles ≪ s'affolent à proximité des pôles ≫ ? Peut-on déterminer, au moyen d'une boussole, si on se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud?

I.B. - Aurores polaires

• 6 - Montrer que le mouvement est uniforme et exprimer la vitesse angulaire ω_c du mouvement. Le cercle est-il parcouru dans le sens direct ou rétrograde?

• 7 - Montrer que l'énergie cinétique E_c du mouvement vérifie E_c = − M⃗ ⋅ B⃗_0. Pour la suite de cette partie, on considérera que ce résultat reste applicable, même si B⃗_0 n'est plus exactement uniforme.
  On étudie maintenant le mouvement d'un proton dans un champ non uniforme, B⃗_0 = − B_0(z)e⃗_z; on notera G_m(z) = (dB_0)/(dz) l'intensité du gradient associé. On admet l'expression de la résultante des forces exercées sur cette particule, en fonction du moment magnétique M⃗ équivalent à son mouvement moyen : F⃗ = (M⃗ ⋅ grad ^(→−))B⃗_0 soit aussi F⃗ = − M_z(dB_0)/(dz)e⃗_z. Le proton, issu du vent solaire, s'approche du pôle terrestre nord.
• 8 - À l'approche du pôle nord et en justifiant votre réponse, préciser la direction et le sens des trois vecteurs B⃗_0, M⃗ et F⃗. Le proton est-il freiné ou accéléré?
• 9 - L'hypothèse G_m(z) ≠ 0 est-elle compatible avec l'équation de Maxwell assurant la conservation du flux magnétique le long d'un tube de courant?
  ◻10 - Compte tenu du caractère dipolaire du champ géomagnétique, évaluer G_m(z) puis l'accélération d'un proton d'énergie E_c = 0, 50keV à l'approche immédiate du pôle; comparer aux effets de la pesanteur. Que peut-on en conclure?

II. - La glace de la banquise

• quelques propriétés mécaniques d'un traîneau glissant sur sa surface (partie II.A);
• un modèle simple de croissance de l'épaisseur de la glace en hiver (partie II.B).

II.A. - Un traîneau sur la glace

• 13 - Déterminer la valeur minimale de F_0 permettant le démarrage du traîneau.
• 14 - La vitesse du traîneau en régime stationnaire est v_0 = 3 m ⋅ s^(− 1), atteinte à 5% près au bout d'un temps t_1 = 5 s. Exprimer d'une part β en fonction de M et t_1 et d'autre part F_0 en fonction de β, v_0, μ_d, M et g. Calculer leurs valeurs respectives.

• 15 - Déterminer en fonction des données la tension T⃗ de la corde et l'angle θ entre la force de traction et la

Figure 2 - Trajectoire circulaire du traîneau

II.B. - Croissance hivernale de l'épaisseur de glace

Figure 3 - L'océan sous la banquise en formation

• 17 - Déterminer une expression donnant l'ordre de grandeur de la durée Δt de la diffusion thermique au sein de la glace sur une hauteur Δz. Quelle durée doit-on attendre afin de pouvoir considérer que, pour des évolutions assez lentes, la température T_g ne dépend pratiquement plus du temps? Préciser ce que l'on entend par ≪ assez lentes ≫.
  On se place dans ce cas dans toute la suite : dans l'eau comme dans la glace, les répartitions de température seront supposées quasi-statiques.
  ◻18 - Définir et exprimer les résistances thermiques R_g et R_e, pour une aire donnée S, des couches de glace et d'eau refroidie sous la glace.
  Les transferts thermiques à travers la surface supérieure de la banquise sont décrits par la loi de Newton des transferts pariétaux (radiatifs et convecto-conductifs) : la puissance échangée par unité d'aire de cette surface vérifie |P_u| = h|T_s − T_2| où T_s est la température au sommet de la couche de glace; le coefficient h > 0 de la loi de Newton est supposé connu et constant.
• 19 - Exprimer la résistance thermique R_i, pour une aire S, de l'interface entre l'air et la glace.
• 20 - Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de glace peut être décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser l'expression du << courant >> Φ du ≪ générateur de courant ≫ en fonction notamment de l_f, ρ_g et de la vitesse de croissance v_g = (dz_g)/(dt) de la couche de glace.
• 21 - En électricité, connaissez-vous un dispositif D permettant d'assurer une différence de potentiel nulle sans appel de courant? Si oui, comment faut-il le brancher? En thermodynamique, pour quelle raison la différence de température aux bornes de D est-elle maintenue nulle?
• 22 - Établir l'équation différentielle vérifiée par z_g(t). On suppose que pour toutes les valeurs de t considérées on a e/(λ_e)≫(z_g)/(λ_g) + 1/h, en déduire la loi d'évolution de l'épaisseur de la couche de glace sous la forme τ_g[ℓ_g z_g(t) + z_g^2(t)] = ℓ_g^2 t où l'exprimera les grandeurs τ_g et ℓ_g en

Figure 4 - Circuit électrique équivalent à la croissance de la couche de glace

Données et formulaire utiles pour l'ensemble du sujet

Données numériques et constantes fondamentales

Lois de Coulomb du glissement

Coordonnées sphériques et géographiques

Figure 5 - Coordonnées sphériques et géographiques

Données et formules relatives aux dipôles magnétiques

FIN DE L'ÉPREUVE