X ENS Physique PSI 2011Sujet et corrigé

Pas encore noté

Gravitation et analogie avec l'électrostatique
Statique des fluides et équilibre hydrostatique
Thermodynamique des gaz parfaits et théorème du viriel
Équations de Maxwell et propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma
Mécanique des fluides (équation d'Euler, équation de Navier-Stokes)
Diffusion thermique et convection

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Formation d'une étoile par condensation nébulaire

Le problème modélise la formation d'une étoile à partir d'une nébuleuse gazeuse. La première partie étudie un système auto-gravitant à l'équilibre hydrostatique et met en évidence, via la catastrophe gravothermale, la séparation spontanée du gaz en un cœur dense et un halo diffus. La deuxième partie étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans ce halo assimilé à un plasma. La troisième partie modélise l'apparition de cellules de convection dans le halo, mécanisme proposé par Weizsäcker pour la formation des planètes.

1Partie I.A : répartition de masse dans un système auto-gravitantÉtablir, par analogie avec l'électrostatique, l'équation liant le champ de gravitation à la masse volumique, puis déterminer le profil de pression et de masse volumique d'un gaz auto-gravitant à l'équilibre hydrostatique.
2Partie I.B : catastrophe gravothermaleÉtablir le théorème du viriel pour un système de particules en interaction gravitationnelle, en déduire une capacité thermique négative, puis expliquer la séparation du système en un cœur et un halo en contact thermique.
3Partie II.A et II.B : propagation d'ondes électromagnétiques dans le haloModéliser le halo comme un plasma d'électrons, établir les équations couplées de propagation pour la densité électronique et le champ électrique, puis étudier les ondes de densité et les ondes électromagnétiques transversales et longitudinales dans ce milieu.
4Partie II.C : limites de validité du modèleDiscuter les conditions de validité de l'approximation du milieu continu et du phénomène d'écrantage électrostatique, en introduisant la longueur de Debye.
5Partie III.A et III.B : formation de tourbillons dans le haloÉtudier le profil statique de température et de pression dans un halo modélisé par un tore en contact avec le cœur chaud, puis analyser les conditions de démarrage de cellules de convection à partir de l'équation de Navier-Stokes.

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Épreuve de Physique

Durée : $4$ heures

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L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n 99018 du

1^(er)

février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Autour de la formation d'une étoile par condensation nébulaire

Nous aborderons dans ce problème quelques aspects élémentaires relatifs à la formation des étoiles et des systèmes planétaires à partir d'une nébuleuse gazeuse sphérique peu dense.

Dans la première partie nous étudierons la formation d'une étoile et nous montrerons, via une modélisation mécanique et thermodynamique simple, la possibilité d'une séparation spontanée d'un gaz initialement homogène en un cœur dense et un halo diffus.
Dans la deuxième partie, nous étudierons quelques aspects de la propagation d'ondes électromagnétiques dans le halo, considéré comme un plasma.
Enfin, nous nous intéresserons à l'établissement de «rouleaux» de matière au sein du halo, étape fondamentale dans la théorie de Weizsäcker donnant un mécanisme possible pour la formation des planètes autour du soleil.
Ces trois parties sont largement indépendantes.

Données numériques :

Constante de gravitation universelle :
Charge élémentaire :
Masse de l'électron :
Célérité de la lumière dans le vide :
Permittivité diélectrique du vide :
Perméabilité magnétique du vide :
Constante de Boltzmann :

G = 6, 67 \cdot 10^(- 11) N \cdot m^2 \cdot kg^(- 2); e = 1, 60 \cdot 10^(- 19)C; m_e = 9, 10 \cdot 10^(- 31) kg; c = 300000 km \cdot s^(- 1); ε_0 = 8, 85 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1); μ_0 = 4π \cdot 10^(- 7)H \cdot m^(- 1); k_B = 1, 38 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

Formulaire :

div(fA^(\to-)) = fdiv(A⃗) + A⃗ \cdot grad^(\to-)(f)

div(grad^(\to-)(f)) = Δ(f)

rot^(\to-)(rot^(\to-)(A⃗)) = grad^(\to-)(div(A⃗)) - Δ⃗(A⃗)

Coordonnées sphériques :

div(A⃗) = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2 A_r) + 1/(rsin(θ))\partial/(\partialθ)(sin(θ)A_θ) + 1/(rsin(θ))(\partialA_φ)/(\partialφ)

grad^(\to-)(f) = (\partialf)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e⃗_θ + 1/(rsin(θ))(\partialf)/(\partialφ)e⃗_φ

Δf = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2(\partialf)/(\partialr)) + 1/(r^2 sin(θ))\partial/(\partialθ)(sin(θ)(\partialf)/(\partialθ)) + 1/(r^2 sin^2(θ))(\partial^2 f)/(\partialφ^2)

Coordonnées cylindriques :

Δf = 1/r\partial/(\partialr)(r(\partialf)/(\partialr)) + 1/(r^2)(\partial^2 f)/(\partialθ^2) + (\partial^2 f)/(\partialz^2)

grad^(\to-)(f) = (\partialf)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e⃗_θ + (\partialf)/(\partialz)e⃗_z

I. Formation d'une étoile : étude d'un système auto-gravitant

On sait aujourd'hui que les étoiles naissent par accrétion de matière au cœur de nébuleuses, nuages de gaz et de poussières dans le vide interstellaire. Dans toute cette partie nous modéliserons une nébuleuse primitive par une boule de gaz, dont les constituants sont uniquement en interaction gravitationnelle. Ce système est isolé thermiquement et mécaniquement et constitue ce que l'on appelle un système auto-gravitant.

A. Répartition de masse dans un système auto-gravitant

On repère un point

M

de l'espace par ses coordonnées sphériques (

r, θ, φ

). L'origine du repère est placée au centre de la boule de gaz, et on introduit la base locale (

M; e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ

).
Dans un premier temps, on considère le gaz comme un milieu continu, à symétrie sphérique, pour lequel on peut introduire la masse volumique

ρ(r)

et la pression

P(r, θ, φ)

. On note

𝒰^(\to-)(r, θ, φ)

le champ de gravitation créé par le système en tout point de l'espace.

Justifier que $𝒰^(\to-) = 𝒰(r)e⃗_r$ et que la pression ne dépend que de $r$ .
En utilisant une analogie entre la structure du champ gravitationnel et celle du champ électrique $E⃗$ , justifier que l'on a

div(𝒰^(\to-)) = Kρ(r)

Déterminer K. En déduire que

∯ ∯ _Σ 𝒞\to \cdot dS^(\to-) = KM

, où

M = ∭_V ρdτ

. Quel est le lien entre le volume V et la surface

Σ

? Que représente alors M ?
3. On considère que le gaz est à l'équilibre hydrodynamique et que l'on peut donc utiliser l'équation de la statique des fluides. D'autre part, le gaz est supposé incompressible, c'est-à-dire que

ρ = ρ_0

est constante dans la boule de rayon

R

et nulle au-delà.
Déterminer la loi de pression

P(r)

pour

r < R

. En déduire

P_c

la pression au centre de la boule.
Application Numérique : calculer

P_c

pour Jupiter.

M = 1, 9.10^(27) kg, R = 7, 1.10^7 m

Nous recherchons à présent un profil

ρ(r)

pouvant décrire un gaz compressible et demeurant compatible avec une situation statique. Pour cela, il est nécessaire de trouver une relation entre

ρ

P

, caractéristique du gaz.
4. Montrer que lors d'une transformation infinitésimale adiabatique réversible d'une masse

δm

de gaz parfait, on peut écrire

(P(r))/(ρ(r)^γ) = A

, où

γ = (c_p)/(c_v)

avec

c_v

c_p

les capacités calorifiques massiques à volume et pression constants, et A une constante qu'on ne cherchera pas à déterminer. En déduire

(dP)/(dr)

Nous considèrerons dans la suite que cette relation est vérifiée pour le système auto-gravitant en prenant

γ = 2

.
5. Montrer que

d/(dr)((r^2)/ρ(dP)/(dr)) = Kρr^2

, et en déduire l'équation différentielle vérifiée par

ρ

.
6. En utilisant le changement de fonction

f(r) = rρ(r)

et en remarquant que

r(d^2 ρ)/(dr^2) + 2(dρ)/(dr) = (d^2)/(dr^2)(ρr)

, montrer que

f

est solution d'une équation différentielle homogène à coefficients constants. En déduire la forme des solutions pour

ρ

(on ne cherchera pas ici à déterminer les constantes d'intégration). Sur quel intervalle de

r

cette solution est-elle raisonnable ? Tracer l'allure de

ρ

sur cet intervalle.

B. Catastrophe gravothermale

Nous considérons à présent le gaz comme un ensemble de

N

particules de masse

m_i

, isolé et à l'équilibre thermique. On repère les particules par leur position

r⃗_i

, elles sont animées d'une vitesse

v⃗_i

dans le référentiel barycentrique, ici galiléen. Chaque particule

i

est soumise à la résultante des forces gravitationnelles dues aux autres particules, notée

F⃗_i

.
7. Justifier que le référentiel barycentrique est galiléen et appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique à une particule

i

.
8. Donner l'expression de l'énergie cinétique en fonction des vitesses

v⃗_i

et des masses

m_i

dans ce même référentiel. Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :

E_c = 1/2\sum_(i = 1)^N d/(dt)(m_i v⃗_i \cdot r⃗_i) - 1/2\sum_(i = 1)^N(F⃗_i \cdot r⃗_i)

Montrer que $⟨1/2\sum_(i = 1)^N d/(dt)(m_i v⃗_i \cdot r⃗_i)⟩ = 0$ où la notation $⟩$ désigne la valeur moyenne temporelle. On rappelle que pour une fonction $f, ⟨f⟩ = lim_(T \to \infty)(1/T\int_0^T f(t)dt)$ . En déduire l'expression de $⟨E_c⟩$ en fonction de $r⃗_i$ et $F⃗_i$ .
Ecrire la force $F⃗_(j \to i)$ qu'exerce la particule $j$ sur la particule $i$ en fonction de $m_i, m_j, r⃗_i, r⃗_j$ , et $|r⃗_j - r⃗_i|$ . Exprimer l'énergie potentielle totale du système $E_p$ en fonction des variables précédentes. Démontrer que

⟨E_c⟩ = - 1/2⟨E_p⟩

Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, on montre que $⟨E_c⟩ = 3/2Nk_B T$ . Déterminer $C_v$ la capacité calorifique à volume constant du système.
On suppose ce système en contact avec un thermostat à une température $T_0$ différente de sa température initiale. Ce système peut-il se thermaliser à $T_0$ ? Conclure sur sa stabilité thermique.

On observe que le système isolé se scinde en deux phases : un cœur dont le comportement reste décrit par le modèle précédent et un halo peu dense modélisable par un gaz parfait. Ces deux phases restent en contact thermique par leur surface. On note

C_c

C_h

les capacités calorifiques à volume constant respectivement du cœur et du halo,

U_c

U_h

leurs énergies internes.
12. Connaissez-vous un autre modèle de gaz menant dans certaines conditions à une instabilité du système et à l'apparition de deux phases distinctes?
13. En partant d'une situation d'équilibre thermique, c'est-à-dire qu'à l'instant initial la température du cœur est la même que celle du halo, on considère une fluctuation

δU_c > 0

de l'énergie interne du cœur. Déterminer le signe de

δ(T_h - T_c)

en distinguant les cas

|C_c| > C_h

|C_c| < C_h

. Laquelle de ces deux situations peut être qualifiée de catastrophe gravothermale ?

Figure 1 : Séparation de la nébuleuse en un cœur et un halo.

II. Propagation d'ondes électromagnétiques dans le halo

Dans cette partie, le halo est considéré comme un plasma, gaz d'hydrogène totalement ionisé par le rayonnement du cœur. Nous y étudions la propagation d'ondes électromagnétiques dans le modèle suivant :

Les noyaux, de charge $+ e$ , forment un réseau fixe. Leur nombre par unité de volume $n_p = n_0$ est constant.
Les électrons forment un gaz parfait non relativiste. On note $v⃗(r⃗, t)$ le champ de vitesse dans ce gaz, avec $‖v⃗‖≪c$ . $n_e$ est le nombre d'électrons par unité de volume et $ρ_e = n_e m_e$ la masse volumique du gaz d'électrons. Il règne dans ce gaz une pression $P(r⃗, t)$ .
On néglige toutes les interactions électrostatiques et gravitationnelles entre le gaz d'électrons et les noyaux, ainsi que celles entre les électrons.

A. Equations de propagation couplées

Ecrire les équations de Maxwell dans le vide. En déduire l'équation de propagation pour le champ $E⃗$ . Rappeler la structure d'une onde plane progressive monochromatique dans le vide.
Plaçons-nous maintenant dans le modèle décrit précédemment. Donner l'expression de $q_v$ , densité volumique de charge dans le milieu, en fonction de $n_e, n_p$ et $e$ . Ecrire les équations de Maxwell dans ce modèle.
Rappeler l'expression de $j⃗$ , densité de courant. Etablir alors l'équation locale de conservation de la charge :

(\partial(- n_e e))/(\partialt) + div(j⃗) = 0

On note $F⃗_v$ la force par unité de volume s'exerçant sur le fluide d'électrons lorsqu'il est soumis à un champ électromagnétique ( $E⃗, B⃗$ ), donner son expression. En déduire l'équation d'Euler pour ce fluide.
Simplifier cette équation en justifiant que $‖(v⃗ \cdot grad^(\to-))(v⃗)‖≪‖(\partialv⃗)/(\partialt)‖$ et $‖v⃗ \land B⃗‖≪‖E⃗‖$ .

Nous nous intéressons au cas où le gaz d'électrons est faiblement perturbé par rapport à une distribution homogène. On écrit alors :

n_e = n_0 + n_1(r⃗, t) avec |n_1|≪n_0

Simplifier les équations de Maxwell et l'équation d'Euler en ne gardant que l'ordre le plus bas. Montrer qu'à l'ordre le plus bas l'équation de conservation de la charge devient :

(\partialn_1)/(\partialt) + n_0 div(v⃗) = 0

On admet que $grad^(\to-)(P) = ((\partialP)/(\partialn))_0 grad^(\to-)(n)$ , avec $((\partialP)/(\partialn))_0 = ((\partialP)/(\partialn))_(T, V)(n_0)$ . Démontrer alors que $n_1$ vérifie l'équation différentielle suivante :

(\partial^2 n_1)/(\partialt^2) - χ^2 Δ(n_1) + ω_p^2 n_1 = 0

Donner l'expression de

ω_p

et de

χ

. Quelle est la dimension de

χ

? En donner une interprétation physique.
Application numérique : calculer

ω_p

avec

n_0 = 10^(15) cm^(- 3)

.
21. En supposant que l'écoulement du fluide d'électrons est irrotationnel, montrer que

v⃗

E⃗

sont liés par l'équation différentielle suivante :

(\partial^2 v⃗)/(\partialt^2) - χ^2 Δ⃗(v⃗) + e/(m_e)(\partialE⃗)/(\partialt) = 0\to

Montrer que $E⃗$ vérifie l'équation différentielle :

(\partial^2 E⃗)/(\partialt^2) - c^2 Δ⃗(E⃗) + ω_p^2 E⃗ = e/(ε_0)(c^2 - χ^2)grad^(\to-)(n_1)

B. Etude des solutions

On munit l'espace d'un repère cartésien (

O; e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z

). Recherchons à présent des solutions progressives, monochromatiques, se propageant selon la direction

e⃗_x

, sous la forme complexe :

n_1_-(x, t) = n_(1_0)_-e^(i(ωt - kx)); v⃗_-(x, t) = v_0_-e⃗_x e^(i(ωt - kx)); E⃗_-(x, t) = E⃗_0 e^(i(ωt - kx))

Nous nous intéressons, dans un premier temps, aux oscillations de la densité d'électrons. En utilisant la forme donnée à $n_1_-$ , déterminer la relation entre $k$ et $ω$ . La propagation est-elle possible à tout $ω$ ?
Exprimer la vitesse de phase $v_φ$ et la vitesse de groupe $v_g$ en fonction de $χ$ et de $x = ω/(ω_p)$ . Tracer dans un même graphe l'allure de $v_φ$ et $v_g$ en fonction de $x$ . On souhaite transmettre de l'information via une onde de densité d'électrons dans le plasma, à quelle vitesse celle-ci se propage-telle ? Quelle est la valeur maximale de cette vitesse, notée $v_(max)$ ? En déduire l'intervalle des valeurs de $ω$ tel que cette vitesse reste supérieure à $(v_(max))/(\sqrt2)$ ?

A présent, étudions la propagation de

E⃗

. On distingue deux situations :

On considère d'abord un champs $E⃗$ dont la polarisation vérifie $E⃗_0 \cdot k⃗ = 0$ . Dans ce cas on admet que $n_e(x, t) = n_0$ est constant.

Donner la structure de l'onde et écrire l'équation de dispersion pour $E⃗$ . Quelle est la forme des solutions pour $ω < ω_p$ ? Que peut-on observer sur le spectre d'émission d'une étoile entouré d'un tel halo ?

Prenons maintenant $E⃗_0 = E_0 e⃗_x$ . Dans ce cas, on prend à nouveau $n_1_-(x, t) = n_(1_0)_-e^(i(ωt - kx))$ .

Donner la structure de l'onde électrique. Déterminer l'équation de dispersion pour $E⃗$ et la comparer à celle trouvée pour $n_1$ à la question 23 . Relier $n_(1_0)_-$ et $E_0$ . En déduire le déphasage entre $n_1$ et $E⃗$ .
Déterminer la relation entre $v_0_-$ et $E_0$ dans le cas $E⃗_0 = E_0 e⃗_x$ . En déduire la valeur moyenne de la puissance volumique dissipée par effet Joule.

C. Limites de validité du modèle

Dans le modèle utilisé pour décrire le plasma, nous avons supposé que le milieu était continu et qu'il n'y avait pas d'interaction électrostatique. Nous cherchons ici dans quel domaine de fréquences ces hypothèses sont valides.
28. Donner l'ordre de grandeur de la distance moyenne

d

entre deux électrons en fonction de

n_0

. Faire l'application numérique avec

n_0 = 10^(15) cm^(- 3)

. En déduire une condition sur la longueur d'onde

λ

d'une onde électromagnétique pour que l'hypothèse d'un milieu continu soit raisonnable.

Le fait de négliger l'interaction électrostatique dans un plasma s'appuie sur le phénomène d'écrantage du potentiel électrostatique créé par une charge du fait de la présence des autres charges. Nous déterminerons ici la distance caractéristique à laquelle le potentiel est écranté dans le plasma.
Plaçons-nous dans le plasma à l'équilibre, en l'absence de champs extérieurs

E⃗

B⃗

. Le milieu est supposé continu et à symétrie sphérique. On attache l'origine

O

d'un repère sphérique à un ion de charge

+ e

. Notons

V(r)

le potentiel créé en tout point par la distribution de charges de tous les ions et électrons du plasma. Dans le cas d'un plasma à la température

T

, les densités volumiques en électrons et protons s'écrivent respectivement :

n_e(r) = n_0 e^((eV(r))/(k_B T)) et n_p(r) = n_0 e^(- (eV(r))/(k_B T))

Donner l'expression de $q_v$ , en déduire que $V$ vérifie :

Δ(V) = A_1 \cdot sh((eV)/(k_B T))

Déterminer

A_1

.
30. En supposant que

(eV)/(k_B T)≪1

, linéariser l'équation différentielle précédente et la résoudre en montrant que les solutions peuvent se mettre sous la forme :

V(r) = (k_B T)/e(l_B)/rf(r/(λ_D))

.
Déterminer

λ_D, l_B

ainsi que la fonction

f

. Donner une interprétation physique des grandeurs

λ_D

l_B

. Application numérique : calculer

λ_D

avec

n_0 = 10^(15) cm^(- 3)

.
Lors de la propagation d'une onde électromagnétique, pour pouvoir négliger les interactions électrostatiques, comment doit être la longueur d'onde par rapport à

λ_D

? Comparer cette condition à celle trouvée à la question 28. Le modèle est-il adapté à l'étude de la propagation de la lumière visible?

III. Formation de "tourbillons" dans le halo

Dans sa théorie formulée en 1946, Karl von Weizsäcker propose une explication de la rupture de symétrie dans le halo menant à la formation des planètes du système solaire par accrétion, basée sur un modèle de convection hydrodynamique. Des cellules de convection apparaissent dans le halo peu dense du fait de son maintien entre une source chaude, le cœur, et une source froide, le vide interstellaire.
Après la séparation en deux phases (cœur et halo) décrite dans la partie I, le système passe d'une forme de boule à celle d'une galette sous l'effet d'une rotation propre qu'on ne prendra pas en compte dans la suite (voir la figure 2). La géométrie du halo est modélisée par un tore à section rectangulaire d'épaisseur

ε

, de rayon intérieur

R_1

et de rayon extérieur

R_2

. On repère tout point

M

du halo par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, z

), l'axe (

Oz

) étant l'axe de symétrie du tore, et on introduit la base locale

(M; e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z)

,
L'épaisseur

ε

du tore est très petite devant

R_1

, et on considère donc que toutes les grandeurs physiques du système, ainsi que toutes leurs dérivées, sont indépendantes de la coordonnée

z

et ne possèdent pas de composante sur

e⃗_z

Figure 2 : Aplatissement d'une nébuleuse initialement sphérique sous l'effet de sa rotation propre. Vue de dessus de sa modélisation par un tore.

Le halo est modélisé par un fluide continu de masse volumique

ρ

, de capacité thermique massique

c_v

, et de viscosité dynamique

η

. La pression dans le fluide est notée

P(r, θ, t)

. On suppose que le fluide est à l'équilibre thermodynamique local, ce qui permet de définir une température

T(r, θ, t)

en tout point. On note

T_1

la température à la surface du cœur (

r = R_1

), considérée ici comme constante. La température et la pression sont prises nulles pour

r > R_2

. On suppose de plus que les transports de chaleur suivent la loi de Fourier:

j⃗_(th) = - λgrad^(\to-)(T)

, où

λ

est la conductivité thermique et

j⃗_(th)

le vecteur densité surfacique de flux thermique. On négligera tout flux thermique à travers les surfaces du tore orthogonales à l'axe de symétrie.

A. Etude du cas statique

Nous étudions dans un premier temps la situation statique pour laquelle le champ de vitesses est nul en tout point du fluide. Dans ce cas, le système est invariant par rotation de centre

O

. Toutes les grandeurs physiques du système statique seront notées avec un indice 0 . On supposera dans cette partie

ρ_0

indépendant du temps.
31. En isolant un volume infinitésimal de tore, établir que

T_0

vérifie :

(\partialT_0)/(\partialt) = κΔ(T_0)

où

Δ()

désigne l’opérateur laplacien en coordonnées polaires. Déterminer

κ

, quelle est son unité?
32. Lorsque le régime permanent est atteint, trouver la loi de variation de la température

T_0(r)

.
33. Les particules du halo n'étant en interaction gravitationnelle qu'avec le cœur, de masse totale

M_c

, l'équation de la statique des fluides s'écrit :

grad^(\to-)(P_0) = - (ρ_0 GM_c)/(r^2)

En déduire la loi

P_0(r)

B. Démarrage de la convection

A partir de la situation statique précédente, on étudie l'apparition de cellules de convection. On constate expérimentalement que les cellules adoptent la géométrie schématisée par la figure 3.
Afin de déterminer les conditions de démarrage, on suppose que le système est faiblement perturbé par rapport au cas statique. On considère une perturbation en vitesse de la forme suivante:

v⃗(r, θ, t) = v(r, θ, t)e⃗_r

pour

R_1 + δr < r < R_2 - δr

avec

δr≪R_1

(voir la figure 4). On cherche alors à savoir si une telle perturbation croit ou décroit.

Figure 3 : Modélisation des cellules de convection dans le halo.

Figure 4 : Détail de la frontière entre deux cellules.

Décrire les mécanismes responsables de la mise en rotation du fluide. Donner un exemple de phénomène de convection dans la vie courante.
On observe que le temps caractéristique d'établissement de ces structures, noté $τ$ , est petit devant la période de rotation d'une particule de fluide dans la cellule, notée $T_(rot)$ . On rappelle l'équation de Navier-Stokes :

ρ((\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))(v⃗)) = - grad^(\to-)(P) - ρ(GM_c)/(r^2)e⃗_r + ηΔ⃗(v⃗)

A quoi correspondent chacun des termes de cette équation ? Justifier que

‖(v⃗ \cdot grad^(\to-))(v⃗)‖≪‖(\partialv⃗)/(\partialt)‖

.
36. Nous admettrons que dans un fluide en mouvement l'équation de la chaleur devient :

(\partialT)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))T = κΔ(T)

où la constante

κ

est celle déterminée à la question 31 .
Justifier l'ajout d'un terme supplémentaire par rapport à la situation statique.
On se place à

r

tel que

R_1 + δr < r < R_2 - δr

. On décrit la perturbation de la façon suivante, les indices 0 désignant toujours la solution statique:

T(r, θ, t), = T_0(r) + δT(θ, t) avec δT≪T_0; P(r, θ, t), = P_0(r) + δP(θ, t) avec δP≪P_0; ρ(r, θ, t), = ρ_0(r) + δρ(θ, t) avec δρ≪ρ_0

On suppose également que

δρ

dépend linéairement de la température selon la loi :

ù δρ = ρ_0 α(T_0 - T) où α est une constante positive

En ne gardant que les termes à l'ordre le plus bas par rapport à la perturbation, établir les équations différentielles suivantes :

(\partialv)/(\partialt) - (αGM_c)/(ρ_0 r^2)δT = η/(ρ_0)Δ(v)

(\partial(δT))/(\partialt) - B/rv = κΔ(δT)

Déterminer

B

.
On recherche les solutions des équations précédentes sous la forme :

v = v_0 e^(γt)cos(βθ); δT = Γ_0 e^(γt)cos(βθ)

À quelle condition la perturbation croit-elle ? Que représente $β$ ? Que doit valoir $β$ pour avoir la situation de la figure 3 ?
Quelle équation sur $γ$ est imposée par l'existence de ce couple de solutions?
A la limite de démarrage, c'est-à-dire pour $γ = 0$ , déterminer la température de la surface du cœur $T_(1_c)$ . Que se passe-t-il lorsque $T_1 < T_(1_c)$ et $T_1 > T_(1_c)$ ? Commenter la dépendance de $T_(1_c)$ vis à vis des paramètres $η, κ, α$ et $M_c$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS PSI 2011 ?

Il porte sur la gravitation, la statique des fluides, la thermodynamique des gaz, la propagation des ondes électromagnétiques dans un plasma, et la mécanique des fluides appliquée à la convection.

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise qu'elles sont largement indépendantes, même si la partie III reprend le contexte physique (cœur et halo) introduit dans la partie I.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Le théorème de Gauss gravitationnel, la statique des fluides, les équations de Maxwell, l'équation d'Euler pour un fluide chargé, et l'équation de Navier-Stokes.

Ce sujet est-il centré sur l'astrophysique ?

Le contexte est astrophysique, mais les outils mobilisés sont ceux du programme de physique de PSI : mécanique des fluides, thermodynamique, électromagnétisme et gravitation.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Physique PSI 2011

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