Adaptation de l'impédance acoustique et modèle simplifié d'un silencieux automobile
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Le problème étudie la propagation des ondes acoustiques dans un fluide parfait pour aboutir au principe de fonctionnement simplifié d'un silencieux automobile. Il reprend progressivement le cours sur les ondes sonores, étudie la réflexion et la transmission d'une onde à une interface entre deux milieux ou à un changement de section, puis modélise un filtre acoustique cylindrique jouant le rôle de silencieux d'échappement.
1Première partie : onde acoustique dans un fluide parfaitÉtablissement de l'équation de propagation, célérité du son, impédances acoustique et caractéristique, intensité sonore en décibel.
2Deuxième partie : réflexion et transmission en incidence normaleCoefficients de réflexion et transmission à un raccordement de deux fluides ou de deux sections, étude d'un pavillon exponentiel comme adaptateur d'impédance.
3Troisième partie : modèle simplifié d'un silencieux d'échappementSuperposition d'ondes réfléchies dans un filtre acoustique cylindrique et calcul du coefficient de transmission global en énergie.
Difficulté moyenne. Le rapport décrit une épreuve de difficulté graduée et variable selon les questions, accessible et de longueur raisonnable, mais dont la troisième partie, sans doute la plus difficile, a été traitée de façon anarchique.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Accroissement relatif mal compris · Ordres de grandeur des célérités méconnus · Continuité de la vitesse en conduite de section variable
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L'épreuve reprenait progressivement le cours sur les ondes sonores avant d'évaluer l'ingéniosité des candidats sur un cas original, la conduite de section variable. La première partie, proche du cours, a été la plus traitée et la mieux réussie, tandis que la troisième partie a été rarement conclue. La moyenne s'élève à 9,34 sur 20 avec un écart-type de 4,38, et le bilan est jugé décevant par le jury, qui note une méconnaissance élémentaire du cours et une rédaction de plus en plus absente.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Accroissement relatif mal comprisA3
La notion d'accroissement relatif du volume échappe à la connaissance de beaucoup de candidats, qui ne précisent pas par rapport à quel terme un infiniment petit est défini.
2
Ordres de grandeur des célérités méconnusA6
Les ordres de grandeur des célérités du son sont mal connus des candidats, qui laissent parfois des résultats aberrants sans les corriger.
3
Continuité de la vitesse en conduite de section variable
L'introduction d'une conduite de section variable où la continuité de la vitesse donne des résultats aberrants visait à évaluer la faculté d'adaptation des candidats.
« une conduite de section variable où la continuité de la vitesse donnait des résultats aberrants »
4
Justification malhonnête de l'équation d'onde donnéeE2, E3
Certains candidats ont usé d'une réelle malhonnêteté intellectuelle pour retrouver coûte que coûte l'équation d'onde du pavillon exponentiel, pourtant donnée par l'énoncé.
5
Vocabulaire physique confonduE4 à E6
Les candidats maîtrisent assez mal la terminologie de la physique et confondent notamment dispersion et absorption.
6
Coefficient de transmission global peu déduitF2, F3
Si les équations de continuité de départ ont souvent été correctement écrites, le coefficient complexe de transmission global n'en a été que peu déduit.
Ce qui a été bien réussi
La première partie, calquée sur le cours, a été la plus traitée par les candidats et la mieux réussie.
L'adaptation de l'impédance est bien connue et a été appréhendée de façon satisfaisante par une grande partie des candidats.
Les candidats ayant écrit la continuité de la vitesse ont pris tous les points relatifs à cette question.
Conseils du jury
Lire attentivement l'énoncé, car les réponses à de nombreuses questions sont glissées dans les paragraphes introductifs ou de liaison.
Rédiger des parties entières plutôt que de papillonner d'une question à une autre, ce qui rapporte des points de bonus.
Vérifier l'homogénéité des résultats à chaque étape d'une démonstration pour éviter les erreurs de calcul.
Justifier systématiquement les résultats et éviter les réponses réduites à une formule ou à un mot.
Préciser les ordres de grandeur usuels, comme les célérités du son, et les confronter au bon sens physique.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Physique PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
Le problème, consacré à l'acoustique d'un silencieux automobile, se décompose en trois volets : la première partie développe l'étude générale d'une onde acoustique dans un fluide parfait, la seconde partie, plus particulièrement orientée vers l'adaptation de l'impédance, est relative au phénomène de réflexion et transmission de l'onde en incidence normale, la troisième partie propose un modèle simplifié du silencieux d'échappement.
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :
les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ;
tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ;
tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).
Sur un véhicule à moteur, le silencieux est un système conçu pour limiter le bruit produit par les gaz d'échappement. Le traitement de ces bruits a considérablement progressé ces dernières années. Dans la hiérarchie des nuisances sonores, il est passé derrière les bruits produits par le rayonnement du moteur, la vibration des accessoires, le fonctionnement du ventilateur de refroidissement et le roulage des pneus.
PREMIÈRE PARTIE ONDE ACOUSTIQUE DANS UN FLUIDE PARFAIT
Le fluide est supposé parfait, son mouvement est décrit sans prendre en compte les effets de viscosité et les échanges thermiques à l'intérieur du fluide. Les détentes et compressions locales du fluide sont isentropiques ; V(P) étant le volume du fluide et P sa pression, le coefficient de compressibilité isentropique, constant pour le fluide, s'écrit :
χ_S = − 1/V((∂V)/(∂P))_S.
La propagation des ondes sonores est associée à un écoulement irrotationnel. Les effets de pesanteur ne sont pas pris en compte.
Un tuyau cylindrique horizontal infini de section S_0 constante et d'axe x'x (figure 1) contient un fluide parfait compressible qui, au repos, possède une masse volumique μ_0 et se trouve à la pression P_0 et à la température T_0. Ces grandeurs sont uniformes dans l'espace.
L'équilibre est perturbé par le passage d'une onde acoustique plane qui se propage dans le cylindre suivant la direction Ox. La perturbation unidirectionnelle ne dépend ainsi que de l'abscisse x le long du «tuyau sonore» et du temps t. Dans le milieu perturbé, u(x,t) représente le déplacement à l'instant t du fluide situé au repos à l'abscisse x.
Figure 1
Les champs de pression et de masse volumique dans le fluide dépendent du temps et de l'espace ; ils peuvent s'écrire sous la forme :
La vitesse acoustique, ou vitesse vibratoire en un point d'abscisse x, est liée au déplacement du fluide et définie par : v⃗(x, t) = (∂u(x, t))/(∂t)e⃗_x.
L'étude est effectuée dans le cadre de «l'approximation acoustique» limitée aux mouvements de faible amplitude: le déplacement u(x, t), la vitesse acoustique v(x, t), la pression acoustique (ou surpression) p(x, t) et la variation de masse volumique du fluide μ_1(x, t) ainsi que leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre.
A / CÉLÉRITÉ DU SON
La linéarisation consiste à ne garder dans les équations que les termes d'ordre un en p, v et μ_1.
A1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de fluide de volume S_0 dx subissant la perturbation, établir à l'ordre un l'équation différentielle suivante:
(∂p)/(∂x) = − μ_0(∂v)/(∂t).
A2. Retrouver cette équation, en précisant les hypothèses, par linéarisation de l'équation d'Euler:
A3. Exprimer l'accroissement relatif δ du volume de la tranche de fluide S_0 dx entre l'état de repos et l'état perturbé. En déduire la surpression correspondante: p(x, t) = − 1/(χ_s)(∂u)/(∂x) et sa dérivée par rapport au temps : (∂p(x, t))/(∂t) = − 1/(χ_s)(∂v)/(∂x).
A4. Etablir l'équation de propagation relative à la surpression p(x, t) : (∂^2 p(x, t))/(∂x^2) = 1/(C^2)(∂^2 p(x, t))/(∂t^2). Donner l'expression de la vitesse de propagation C de l'onde acoustique le long de l'axe Ox en fonction de χ_s et μ_0.
A5. Le fluide est de l'air assimilé à un gaz parfait à la température T_0 = 293 K. Après avoir déterminé χ_s en fonction du rapport γ des capacités thermiques molaires du gaz et de la pression P_0, établir l'expression de C en fonction de T_0, du rapport γ, de la masse molaire M du fluide et de la constante R des gaz parfaits.
Dans ces conditions, la célérité du son dans l'air est C_(air) = 340 m.s^(− 1).
A6. Comparer la célérité dans l'air C_(air) à la célérité C_(eau) du son dans l'eau dont le coefficient de compressibilité isentropique est χ_s = 5.10^(− 10) Pa^(− 1) et la masse volumique μ_0 = 10^3 kg.m^(− 3). Donner un ordre de grandeur de la célérité C_(sol) du son dans un solide. De quels paramètres du solide dépend-elle? Donnée : 1/(√(0, 5)) ≈ 1, 4.
B / IMPÉDANCES EN ACOUSTIQUE
L'onde plane progressive acoustique se déplace dans le sens des x croissants au sein d'une conduite de section constante S_0. Le déplacement est de la forme : u(x, t) = f(t − x/C). - L'impédance caractéristique Z du fluide où se propage l'onde, est définie par le rapport pression acoustique / vitesse acoustique suivant : Z = (p(x, t))/(v(x, t)).
B1. Montrer que l'impédance caractéristique du fluide est une constante Z_c à préciser en fonction de μ_o et C . Donner son unité dans le Système International.
Calculer Z_(air) dans le cas de l'air à 20^∘C, sa masse volumique étant μ_(air) = 1, 3 kg.m^(− 3).
B2. Comparer, sans préciser les valeurs numériques, les impédances caractéristiques d'un gaz, d'un liquide et d'un solide.
B3. Exprimer l'impédance caractéristique du fluide pour l'onde inverse, onde plane progressive de la forme: u(x, t) = f(t + x/C), se déplaçant dans le sens des x décroissants.
L'impédance acoustique Z_a de la conduite est définie par le rapport de la pression acoustique sur le débit volumique du fluide. Pour un tuyau de section constante S_0, elle s'écrit :
Z_a = (p(x, t))/(S_0 v(x, t))
B4. Justifier à l'aide d'une analogie électrocinétique ce terme «impédance» adopté pour caractériser la propagation du son dans la conduite. Donner l'expression de l'impédance acoustique Z_a d'un tuyau sonore cylindrique, en fonction de sa section S_0, de la masse volumique μ_0 du fluide qu'il contient et de la vitesse C du son dans le fluide.
C / INTENSITÉ SONORE
La puissance sonore instantanée 𝒫(x, t) transportée par l'onde plane progressive à travers une surface S⃗ = Se⃗_x orthogonale à la direction de propagation e⃗_x, est définie par: 𝒫(x, t) = π⃗(x, t) ⋅ S⃗, où π⃗(x, t) est le vecteur densité volumique de courant d'énergie ou puissance surfacique transportée : π⃗(x, t) = p(x, t)v⃗(x, t).
L'intensité I(x) de l'onde sonore est, par définition, la valeur de la puissance moyenne temporelle transférée par l'onde sonore à travers une surface unité d'abscisse x perpendiculaire à sa direction de propagation Ox : I(x) = ⟨π⟩.
Si a (M, t) et b(M, t) sont deux fonctions sinusoïdales de même pulsation, a et bleurs représentations complexes associées, alors la valeur moyenne temporelle, notée < a.b > , du produit a( M, t ). b(M, t), est obtenue par la relation :
< a ⋅ b>=1/2ℜe[a_–b_–^∗] = 1/2ℜe[a_–^∗ b_–], et en particulier < a^2>=1/2|a_–|^2.; |a_–| = √(a_–a_–^∗) est le module de la grandeur complexe a_–.
Le domaine de fréquences accessibles à l'oreille humaine s'étend de 20 Hz à environ 20 kHz. A une fréquence de 1 kHz , l'oreille est capable de percevoir un son dont la densité de courant énergétique vaut 10^(− 12) W.m^(− 2) et la perception devient douloureuse à 1 W.m^(− 2).Vu l'énorme différence d'ordre de grandeur entre ces valeurs extrêmes, une échelle logarithmique s'impose. Le seuil de perception I_0 = 10^(− 12) W.m^(− 2) est pris comme référence et, à une densité de courant énergétique I (en W. m^(− 2) ), est associée une intensité sonore en décibel définie par :
I_(dB) = 10log(I/(I_0))
L'émetteur, en x = 0, génère une vibration sinusoïdale de pulsation ω de la forme :
u(0, t) = U_m cos(ωt)
U_m représente l'amplitude du déplacement. L'onde plane progressive qui se propage le long du tuyau supposé infini selon la direction Ox est représentée par :
C1. Déterminer le nombre d'onde k en fonction de ω et de la célérité C de l'onde. Que représente-t-il? Retrouver, en fonction de μ_0 et C , l'expression de l'impédance caractéristique du fluide: Z = (p_–(x, t))/(v_–(x, t)). Déterminer P_m et V_m, les valeurs maximales de p(x, t) et v(x, t), en fonction de ω, μ_0, C et de l'amplitude U_m.
C2. Quelle est l'expression de l'intensité acoustique I = ⟨π⟩ pour l'onde plane progressive harmonique en fonction de P_m et de l'impédance caractéristique du fluide Z ?
C3. Exprimer la puissance moyenne ⟨𝒫⟩ transportée à travers une conduite de section constante S_0, en fonction de P_m et de l'impédance acoustique de la conduite Z_a.
C4. L'onde sonore de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédance caractéristique Z_(air). Le tableau suivant donne, au seuil de perception et au seuil de douleur, les ordres de grandeur des intensités I_(dB) en décibel, ainsi que les pression, vitesse et amplitude maximales des vibrations notées respectivement P_m, V_m et U_m :
I(enW.m^(− 2))
I(endB)
P_m(enPa)
V_m(enm.s^(− 1))
U_m(enm)
seuil de perception
10^(− 12)
0
3.10^(− 5)
0, 7.10^(− 7)
10^(− 11)
seuil de douleur
1
120
30
0, 7.10^(− 1)
10^(− 5)
Justifier «l'approximation acoustique». Commenter succinctement la sensibilité de l'oreille et son domaine d'audition.
C5. Quelle est, en décibels, l'intensité sonore résultant de la superposition de deux ondes sonores émises par deux sources indépendantes d'intensité 60 dB ?
Donnée : log2 ≈ 0, 3.
DEUXIEME PARTIE REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE
D / TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT
Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respectives S_1 et S_2, de même axe x 'x et séparés par le plan x = 0. Deux fluides non miscibles se répartissent de part et d'autre de ce plan (figure 2).
x < 0 : le fluide 1 est de masse volumique μ_1; le son s'y propage à la célérité C_1;
x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique μ_2; le son s'y propage à la célérité C_2.
Figure 2
Les impédances acoustiques Z_(a1) et Z_(a2) des tubes de sections respectives S_1 et S_2 sont liées aux impédances caractéristiques Z_1 et Z_2 des milieux par les relations:
‖Z_(a1) = (μ_1 C_1)/(S_1) = (Z_1)/(S_1) pour x < 0 ‖Z_(a2) = (μ_2 C_2)/(S_2) = (Z_2)/(S_2) pour x > 0 avec α = (Z_(a1))/(Z_(a2)).
Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p_i(x, t) se propage dans le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement donne naissance en x = 0 à :
une onde de pression transmise dans le milieu 2, p_t(0, t) dont la puissance est 𝒫_t, > une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p_r(0, t) dont la puissance est 𝒫_r.
Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par: p_i(x, t) = P_(im)cos[ω(t − x/(C_1))] p_t(x, t) = P_(tm)cos[ω(t − x/(C_2))] p_r(x, t) = P_(rm)cos[ω(t + x/(C_1))]
La puissance moyenne ⟨𝒫_i⟩ est associée à l'onde incidente. Les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des rapports des puissances moyennes transportées :
R = |(⟨𝒫_r⟩)/(⟨𝒫_i⟩)| et T = |(⟨𝒫_t⟩)/(⟨𝒫_i⟩)|.
D1. Montrer que le déplacement incident, correspondant à p_i(x, t), s'écrit sous la forme : u_i(x, t) = U_(im)cos[ω(t − x/(C_1)) − π/2]. Exprimer U_(im) en fonction de P_(im), ω, C_1 et μ_1.
D2. Donner les puissances moyennes transportées ⟨𝒫_i⟩, ⟨𝒫_r⟩ et ⟨𝒫_t⟩ en fonction de P_(im), P_(rm), P_(tm) et des impédances acoustiques des tubes, notées Z_(a1) et Z_(a2).
D3. Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux fluides. En déduire deux équations reliant P_(im), P_(rm), P_(tm) et α.
D4. Déterminer, en fonction de α, les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de pression : r_p = (p_r(0, t))/(p_i(0, t)) et t_p = (p_t(0, t))/(p_i(0, t)).
D5. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers l'interface en fonction du seul coefficient α. Quelle relation existe-t-il entre R et T ? Que traduit-elle?
Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S_1 = S_2 = S_0
La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de nature entre les deux fluides.
D6. Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Z_(air2) et le milieu 1 l'intérieur du corps humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique Z_(corps1)≫Z_(air2). Evaluer r_p et t_p, puis T et R. Commenter.
Calculer l'atténuation en décibel T_(dB) = 10log(T), correspondant au coefficient de transmission T = 1, 7.10^(− 3). Pourquoi le médecin utilise-t-il un stéthoscope pour écouter les battements cardiaques ou les murmures respiratoires? Donnée: log17 ≈ 1, 2.
Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique: α = S_2/S_1
Un fluide de masse volumique au repos μ_0 dans lequel le son se propage à la célérité C occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes S_1 et S_2. La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section.
D7. Tracer l'allure de la fonction R(α). Pour quelle valeur de α, y a-t-il adaptation de l'impédance? Commenter les cas limites: S_2≪ S_1 et S_2≫ S_1.
E / PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE
Un pavillon acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de section circulaire S(x) (figure 3) contient un fluide au repos de pression P_0, de masse volumique μ_0 et de coefficient de compressibilité isentropique χ_s constant. Les effets de pesanteur sont négligés.
Figure 3
L'équilibre est perturbé par une onde sonore de faible amplitude qui se propage dans le pavillon suivant Ox. Elle est caractérisée par le déplacement longitudinal u(x, t) du fluide situé au repos à l'abscisse x, par la pression acoustique p(x, t) et par la vitesse acoustique v⃗(x, t) = (∂u(x, t))/(∂t)e⃗_x dont la composante radiale est négligée. L'équation d'Euler les relie par l'équation différentielle: (∂p(x, t))/(∂x) = − μ_0(∂v(x, t))/(∂t).
Le champ de pression dans le fluide dépend du temps et de l'espace par la relation:
P(x, t) = P_0 + p(x, t) |p(x, t)|≪P_0
E1. Exprimer l'accroissement relatif δ du volume S(x)dx de la tranche de fluide entre l'état de repos et l'état de mouvement. En déduire la surpression correspondante p(x, t) en fonction de χ_s, u, (∂u)/(∂x) et (dlnS(x))/(dx).
E2. Démontrer l'expression de l'équation d'onde à laquelle obéit p(x, t) dans le pavillon:
La section circulaire du pavillon varie selon la loi: S(x) = S(0)e^(x/a), avec a > 0.
E3. Sachant que l'onde sonore se propage à la célérité C, écrire l'équation de propagation précédente en fonction de C , a et de dérivées spatiales et temporelles de p(x, t).
L'onde sonore est considérée plane progressive harmonique, de la forme :
p_–(x, t) = P_m exp[j(ωt − k_–x)]
Le nombre d'onde k_– est, a priori, complexe : k_– = k^′ − jk^(′′), k^′ et k^(′′) étant réels.
E4. Mettre en évidence dans l'expression de p_–(x, t) les termes d'amortissement et de propagation.
E5. Etablir la relation de dispersion reliant k_–, ω, a et C .
E6. Montrer que le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ; préciser sa pulsation de coupure ω_C en fonction de a et C.
E7. Exprimer la fréquence de coupure f_c en fonction de C, L, S(0) et S(L).
La fréquence de coupure du pavillon acoustique est f_C = 150 Hz.
E8. L'onde sonore progressive se propage suivant x > 0. Déterminer le réel k ' en fonction de C, ω_C et ω, ainsi que le réel k " en fonction uniquement de a .
E9. Déterminer la puissance moyenne transférée par l'onde sonore à travers la surface S(x) perpendiculaire à sa direction de propagation, en fonction de P_m, μ_0, C, S(0), ω et ω_C. Commenter.
Le pavillon acoustique est intercalé dans le raccordement de deux conduites de sections S(0) et S(L) comme l'indique la figure 4 ci-dessous :
Figure 4
E10. Déterminer, pour ω > 10ω_C, le coefficient de transmission T_(pav) = (⟨𝒫_(transférée)⟩)/(⟨𝒫_(incidente)⟩) relatif aux puissances acoustiques incidente à l'entrée et transférée à la sortie du pavillon de longueur L. Que peut-on dire du rapport des intensités sonores transférée et incidente (I_(transférée))/(I_(incidente)) ? Commenter.
E11. Comparer T_(pav) au coefficient de transmission en puissance T de la conduite en l'absence de pavillon (situation considérée aux questions D5. et D7.) en exprimant le rapport (T_(pav))/T en fonction de α. Préciser la valeur numérique de ce rapport pour α = 9. Commenter en précisant le gain en décibel obtenu par le pavillon intercalé.
Donnée : log36 ≈ 1, 56.
TROISIEME PARTIE MODELE SIMPLIFIE D'UN SILENCIEUX D'ECHAPPEMENT
Le tuyau d'échappement d'une automobile est assimilé à une conduite cylindrique supposée infinie de section S_1 occupée par un gaz d'échappement de masse volumique μ_0 au repos. L'expulsion de ce gaz de combustion engendre des ondes sonores désagréables pour l'oreille humaine, il faut en diminuer l'intensité.
Un filtre acoustique cylindrique, ou silencieux d'échappement, de section S_2(S_2 > S_1) et de longueur L, est intercalé dans la conduite (figure 5). Il est traversé par le gaz d'échappement.
Le son se propage à la célérité C = 460 m ⋅ s^(− 1) dans l'ensemble du dispositif à une température de 250^∘C.
Le bruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane progressive harmonique de fréquence f caractérisée par la pression acoustique : p_–_i(x, t) = P_(im)exp[j(ωt − kx)].
La pression acoustique p_–_t(x, t) = P_(tm)exp[j(ωt − kx)] obtenue à la sortie du silencieux est la superposition d'une infinité d'ondes sonores transmises après réflexions successives dans le filtre acoustique en x = L et x = 0.
Dans les trois domaines, le champ des pressions associé à l'onde est de la forme :
P_(rm)exp[j(ωt + kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes qui franchissent l'interface x = 0 dans le sens des x décroissants, à l'issue d'un nombre impair de réflexions aux interfaces du filtre ;
P_m^0 exp[j(ωt − kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des x croissants, transmise à l'interface x = 0 ou après réflexions sur l'interface x = 0;
P_m^L exp[j(ωt + kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des x décroissants, après réflexions sur l'interface x = L.
F1. Donner les expressions correspondantes du champ des vitesses v_–(x, t) associé à l'onde dans les trois domaines: v_–(x < 0, t), v_–(0 < x < L, t) et v_–(x > L, t).
F2. Ecrire les quatre relations de continuité permettant de relier P_(im), P_(rm), P_m^0, P_m^L et P_(tm) pour les deux changements de section.
F3. En déduire le coefficient complexe de transmission global t_–_p = (P_(tm))/(P_(im)) en amplitude de pression en fonction de S_1, S_2 et exp(− 2jkL).
F4. Montrer que le facteur de transmission en énergie C = t_–_p t_–_p^∗ = |t_p|^2 du filtre peut se mettre sous la forme : = 1/(1 + msin^2((πf)/(f_0))).
Déterminer la fréquence caractéristique f_0 en fonction de L et de la célérité C de l'onde. Préciser l'expression de m en fonction de S_1 et S_2.
F5. Tracer l'allure de la fonction O(f) en précisant les valeurs des maxima T_(max) et des minima T_(min) ainsi que les fréquences correspondantes.
Comment le graphe est-il modifié lorsque S_2≫S_1 ? Préciser dans ce cas la finesse ou facteur de qualité Q du filtre défini pour un facteur de réduction du bruit T = (T_(max))/2.
F6. Quelle est la plus courte longueur L_m permettant de réduire au maximum le facteur C à une fréquence d'éjection des gaz de combustion de 200 Hz ?
F7. L'intensité sonore, pour cette fréquence et à la sortie du moteur, est de 80 dB . Afin de ramener ce niveau à 60 dB , un silencieux de longueur L_m et de diamètre d_2 est placé au milieu du tuyau d'échappement de diamètre d_1 = 4 cm. Quelle doit être la valeur numérique de son diamètre d_2 ? Donnée : √(20) ≈ 4, 5.
FIN DE L'ENONCE
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique PSI e3a 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique PSI e3a 2011 ?
+
Le sujet porte sur les ondes acoustiques dans les fluides, l'impédance et son adaptation, la réflexion et la transmission d'une onde à une interface, ainsi que les filtres en régime sinusoïdal forcé, à travers l'exemple d'un silencieux automobile.
Le sujet e3a physique PSI 2011 sur le silencieux automobile est-il difficile ?
+
Le rapport le décrit comme accessible et de longueur raisonnable, de difficulté graduée, mais la troisième partie sur le silencieux proprement dit, sans doute la plus difficile, a été traitée de façon anarchique.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet d'acoustique e3a PSI ?
+
Le jury relève une méconnaissance des ordres de grandeur, des confusions de vocabulaire entre dispersion et absorption, et des tentatives malhonnêtes de retrouver un résultat donné par l'énoncé.
Quelle était la moyenne à l'épreuve de physique PSI e3a 2011 ?
+
La moyenne était de 9,34 sur 20, avec un écart-type de 4,38.
Pas de description pour le moment
Commentaires• E3A Physique PSI 2011
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