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X ENS Mathématiques PSI 2011Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Systèmes différentiels linéaires et exponentielle de matrice
  • Réduction des endomorphismes et trigonalisation de Schur
  • Normes matricielles et normes euclidiennes
  • Matrices symétriques, antisymétriques et nilpotentes
  • Formes quadratiques associées à un produit scalaire
  • Topologie de l'espace des matrices (ouverts, convexité, points extrémaux)
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Systèmes différentiels linéaires : réversibilité, entropie et hypocoercivité
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Le problème étudie les systèmes différentiels linéaires U'=AU à travers la notion de réversibilité, liée au signe des parties réelles des valeurs propres de A. Il introduit ensuite la notion d'entropie, une norme associée à un produit scalaire qui décroît le long des solutions, avant d'étudier des matrices hypocoercives pour lesquelles la norme euclidienne usuelle est une entropie sans être stricte.

  1. 1Partie 1 : matrices et réversibilitéÉtablir l'existence et l'expression des solutions du système différentiel linéaire à l'aide de l'exponentielle de matrice, démontrer le théorème de trigonalisation de Schur, et caractériser les systèmes irréversibles par le signe des parties réelles des valeurs propres.
  2. 2Partie 2 : matrices et entropieDéfinir la notion d'entropie et d'entropie stricte d'un système différentiel linéaire, étudier un exemple où la norme euclidienne n'est pas une entropie, puis démontrer que tout système irréversible bien orienté admet une entropie stricte.
  3. 3Partie 3 : matrices et hypocoercivitéCaractériser par une inégalité sur la forme quadratique associée le fait que la norme euclidienne soit une entropie ou une entropie stricte, puis étudier des exemples de matrices hypocoercives construites à partir de parties symétrique, antisymétrique et nilpotente.

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Banque commune École Polytechnique - ENS de Cachan PSI
Session 2011

Épreuve de Mathématiques

Durée : 4 heures

Aucun document n'est autorisé

L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non imprimante et sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n99018 du 1^(er) février 1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Avertissement : La lecture des rappels et définitions ci-dessous n'est pas optionnelle. Le candidat devra se reporter à ce préambule à chaque fois qu'une notion nouvelle sera utilisée dans l'énoncé. Les parties 1,2 et 3 sont largement indépendantes.
On désignera par ℝ^d l'espace euclidien de dimension d ≥ 1. On notera | ⋅ | la norme euclidienne canonique
|X| = (∑_(i = 1)^d x_i^2)^(1/2) pour X = (x_1, …, x_d) ∈ ℝ^d
associée au produit scalaire canonique
⟨X, Y⟩ = ∑_(i = 1)^d x_i y_i pour X, Y ∈ ℝ^d
On considérera M_d(ℝ) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille d et M_d(ℂ) l'ensemble des matrices carrées complexes de taille d. On notera Id_d la matrice carrée identité de taille d, 0_d la matrice nulle de taille d, et Diag(λ_1, …, λ_d) la matrice carrée diagonale dont les coefficients sur la diagonale sont donnés par λ_1, …, λ_d ∈ ℂ.
On note T_d^+(ℂ) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille d sur ℂ, c'est-à-dire M ∈ T_d^+(ℂ) si et seulement si M_(i, j) = 0 pour tout i > j. On note S_d(ℝ) l'ensemble des matrices M réelles symétriques (c'est-à-dire telles que M_(i, j) = M_(j, i) pour tout i, j ), et on note A_d(ℝ) l'ensemble des matrices M réelles antisymétriques (c'est-à-dire telles que M_(i, j) = − M_(j, i) pour tout i, j).
On dira que deux matrices M_1, M_2 ∈ M_d(ℂ) sont semblables dans ℂ s'il existe une matrice P ∈ M_d(ℂ) inversible telle que M_2 = P^(− 1)M_1 P, et on dira que deux matrices M_1, M_2 ∈ M_d(ℝ) sont semblables dans ℝ s'il existe une matrice P ∈ M_d(ℝ) inversible telle que M_2 = P^(− 1)M_1 P.
On dira qu'une matrice M ∈ M_d(ℂ) est nilpotente s'il existe k ∈ ℕ∖{0} tel que M^k = 0.
On définit l'exponentielle d'une matrice A ∈ M_d(ℂ) par
exp(A) = ∑_(n = 0)^∞(A^n)/(n!)
On définit sur l'espace des matrices M_d(ℝ) la norme suivante
‖|A|‖:=sup_(X ∈ ℝ^d, X ≠ 0)(|AX|)/(|X|).
On notera ℜez la partie réelle d'un nombre complexe z ∈ ℂ.

1 Matrices et réversibilité

On considère A ∈ M_d(ℝ). On lui associe le système paramétré par U_0 ∈ ℝ^d
U^′(t) = AU(t), U(0) = U_0 ∈ ℝ^d
composé d'une équation différentielle de la variable réelle (notée t ), à valeurs dans ℝ^d, et d'une donnée en t = 0.
  1. Montrer en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz que (1) admet, pour tout U_0 ∈ ℝ^d, une unique solution sur [0, + ∞).
  2. On considère une matrice A ∈ M_d(ℝ). Montrer que la suite
S_n = ∑_(k = 0)^n(A^k)/(k!)
est une suite de Cauchy pour la norme ‖‖ ⋅ ‖ et en déduire que exp(A) est bien défini.
3. Montrer que pour A ∈ M_d(ℝ) la matrice exp(A) est inversible, et que pour P ∈ M_d(ℝ) inversible on a
exp(P^(− 1)AP) = P^(− 1)exp(A)P
  1. On admettra que pour A ∈ M_d(ℝ), la fonction
E_A : ℝ ↦ M_d(ℝ), t → exp(tA)
est C^1 sur ℝ et que sa dérivée vérifie
d/(dt)E_A(t) = AE_A(t)
Montrer que la solution de (1) est donnée par U(t) = exp(tA)U_0.
5. En utilisant un changement de variable, montrer, que pour toute donnée finale U_0 ∈ ℝ^d, l'équation (1) admet une unique solution U(t), t ≤ 0.
6. On dira que le système (1) est irréversible bien orienté si pour toute norme N sur ℝ^d on a
∀U_0 ∈ ℝ^d, lim_(t → + ∞)N(U(t)) = 0
Il sera dit irréversible mal orienté si pour toute norme N sur ℝ^d on a
∀U_0 ∈ ℝ^d, U_0 ≠ 0, lim_(t → + ∞)N(U(t)) = + ∞
On parlera simplement de système irréversible lorsque l'orientation ne sera pas précisée. Dans le cas contraire, le système sera dit non orienté. Montrer que les assertions (2) et (3) sont vérifiées pour toute norme N sur ℝ^d dès qu'elles sont vérifiées pour la norme euclidienne canonique | ⋅ |.
7. Le but de cette question est de démontrer le théorème de trigonalisation de Schur : toute matrice de M_d(ℂ) est semblable dans M_d(ℂ) à une matrice de T_d^+(ℂ) (triangulaire supérieure). Nous allons raisonner par récurrence sur la dimension d.
(a) Montrer que la propriété est vraie pour d = 1.
(b) Montrer que, pour d ≥ 2, toute matrice de M_d(ℂ) est semblable à une matrice qui s'écrit par blocs
M^′ = (λ, ⋯; 0_(d − 1), N)
avecN ∈ M_(d − 1)(ℂ).
(c) Appliquer l'hypothèse de récurrence à la matrice N et conclure.
8. Montrer que, pour tout ε > 0, toute matrice M ∈ M_d(ℂ) est semblable à une matrice de la forme D + N_ε avec D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres de M et N_ε une matrice dont tous les coefficients sont de modules plus petits que ε. On pourra utiliser la question précédente ainsi que le changement de base par la matrice de passage P = Diag(δ, δ^2, …, δ^d) pour un δ > 0 bien choisi.
9. Montrer que pour un réel α > 0 et une fonction numérique dérivable g sur un intervalle J de ℝ, l'inégalité différentielle g^′ ≤ αg implique g(t) ≤ e^(α(t − s))g(s) pour tout segment [s, t] inclus dans J.
10. On considère A = D + N_ε avec D = Diag(λ_1, …, λ_d) et N_ε une matrice dont tous les coefficients sont de modules plus petits que ε. Montrer en utilisant les questions précédentes que les solutions de (1) vérifient
|U(t)| ≤ e^((σ + dε)t)|U_0|
avec σ = max{ℜeλ_1, …, ℜeλ_d}.
11. On considère une matrice A ∈ M_d(ℝ). En utilisant les questions précédentes 5 et 6 , montrer l'équivalence entre le fait que le système (1) soit irréversible bien orienté et le fait que les valeurs propres de A soient toutes de partie réelle strictement négative. De même montrer l'équivalence entre le fait que le système (1) soit irréversible mal orienté et le fait que les valeurs propres de A soient toutes de partie réelle strictement positive.
12. Montrer qu'un système irréversible bien orienté vérifie
∀U_0 ∈ ℝ^d, U_0 ≠ 0, lim_(t → − ∞)N(U(t)) = + ∞
et qu'un système irréversible mal orienté vérifie
∀U_0 ∈ ℝ^d, lim_(t → − ∞)N(U(t)) = 0

2 Matrices et entropie

  1. On considère une norme N associée à un produit scalaire sur ℝ^d, que nous noterons ⟨U_1, U_2⟩_N pour deux vecteurs U_1, U_2 ∈ ℝ^d. On rappelle l'identité N(U) = ⟨U, U⟩_N^(1/2). On appelle entropie du système (1) une norme N associée à un produit scalaire sur ℝ^d qui vérifie
∀U_0 ∈ ℝ^d, ∀t ≥ 0, d/(dt)N(U(t)) ≤ 0
et on appelle entropie stricte du système (1) une norme N associée à un produit scalaire sur ℝ^d qui vérifie
∀U_0 ∈ ℝ^d, U_0 ≠ 0, ∀t ≥ 0, d/(dt)N(U(t)) < 0
Justifier que ces définitions ont bien un sens (justifier en particulier la dérivabilité par rapport à t ).
2. On considère la matrice suivante de M_2(ℝ) :
A = (− 1, 3; 0, − 1)
(a) Calculer explicitement la matrice exp(tA) pour tout t ∈ ℝ.
(b) Montrer que le système (1) associé à A est irréversible bien orienté.
(c) Montrer que la norme euclidienne | ⋅ | n'est pas une entropie pour ce système.
3. En vous inspirant de la question précédente, montrer que plus généralement, en toute dimension d ≥ 2, il existe des matrices A ∈ M_d(ℝ) telles que le système (1) soit irréversible bien orienté mais dont la norme euclidienne usuelle | ⋅ | sur ℝ^d n'est pas une entropie.
4. On souhaite montrer le théorème suivant : tout système irréversible bien orienté admet une entropie stricte.
(a) Montrer que pour un système irréversible bien orienté, pour toute norme N associée à un produit scalaire sur ℝ^d,
∀U_0 ∈ ℝ^d, ∀t ∈ ℝ, N(exp(tA)U_0) ≤ Ce^(− λt)N(U_0)
pour des constantes C ≥ 1 et λ > 0. On utilisera les questions 8,11 et 12 de la partie 1.
(b) Montrer que la borne supérieure λ_0 des λ pour lesquels (4) est vrai est la plus grande des parties réelles des valeurs propres (et donc qu'elle ne dépend pas de la norme N ). On pourra s'inspirer de la question 11 de la partie 1 .
(c) Cette borne inférieure est-elle toujours atteinte (i.e., (4) est-elle toujours vérifiée pour λ_0 ) ? (on démontrera la réponse).
(d) On considère une norme N associée à un produit scalaire sur ℝ^d. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
(i) La norme N est une entropie stricte du système (1).
(ii) L'inégalité (4) est vérifiée pour la norme N avec des constantes λ > 0 et C = 1.
(e) Montrer que la norme N_A définie par le produit scalaire suivant est bien définie :
∀U_1, U_2 ∈ ℝ^d, ⟨U_1, U_2⟩_(N_A):=∫_0^(+ ∞)⟨exp(sA)U_1, exp(sA)U_2⟩ds
Démontrer le théorème annoncé au début de la question 4 en utilisant N_A.
5. Dans le cas de la dimension d = 2 et de la matrice A de la question 2, calculer explicitement la norme N_A définie dans la question 4 (e).
6. On considère une fonction g de la variable réelle x, continue et bornée sur ℝ avec g(0) = 1, et un système (1) irréversible bien orienté en dimension d = 1. On note f(t, x):=g(U(t)) pour tout x ∈ ℝ et t ≥ 0, où U(t) est la solution de (1) au temps t pour la donnée initiale U_0 = x. Montrer que l'intégrale
∫_ℝ f(t, x)(e^(− (|x|^2)/2))/(√(2π))dx
est bien définie et converge vers 1 lorsque t → + ∞.

3 Matrices et hypocoercivité

On dira que le système (1) est hypocoercif s'il admet une entropie stricte N mais que la norme euclidienne usuelle | ⋅ | est une entropie mais pas une entropie stricte pour ce système.
  1. Montrer que la norme euclidienne usuelle est une entropie de (1) si et seulement si on a l'inégalité suivante :
∀X ∈ ℝ^d, ⟨AX, X⟩ ≤ 0
et qu'elle est une entropie stricte de (1) si et seulement si on a :
∀X ∈ ℝ^d, X ≠ 0, ⟨AX, X⟩ < 0.
Remarquer que cette formulation ne dépend plus du problème d'évolution. Nous parlerons donc sans ambiguïté d'hypocoercivité pour une matrice A ∈ M^d(ℝ).
2. Montrer que si A = S + K où S ∈ S_d(ℝ) de valeurs propres toutes strictement négatives et K ∈ A_d(ℝ), alors le système est irréversible bien orienté et admet la norme | ⋅ | comme entropie stricte. On utilisera le fait que toute matrice S ∈ S_d(ℝ) est semblable (dans ℝ ) à une matrice diagonale.
3. On considère, avec d = 2, la matrice A = T_0 + L_0 avec
T_0 = (0, 1; − 1, 0), L_0 = (0, 0; 0, − 1).
Montrer l'hypocoercivité de A et calculer la norme N_A de la question 4 (e), Partie 2.
4. On considère maintenant A = T + L sur R^d ( d ≥ 2 ) avec
T = (T_0, 0; 0, Id_(d − 2))
où T_0 est la matrice carrée de taille 2∗2 définie dans la question 3, L = Diag(0, λ_2, …, λ_d) est une matrice diagonale avec une valeur propre nulle et les autres strictement négatives : λ_i < 0, 2 ≤ i ≤ d. Montrer que le système (1) est irréversible bien orienté.
5. Sous les mêmes hypothèses que la question précédente, montrer l'hypocoercivité de la matrice A.
6. Montrer que si N est une matrice nilpotente non nulle sur ℝ^d, d ≥ 2, alors
{⟨NX, X⟩, X ∈ ℝ^d} = ℝ.
On pourra commencer par montrer qu'il existe deux vecteurs unitaires e_1, e_2 tels que N(e_1) = 0 et N(e_2) = e_1.
7. On considère une matrice A = S + K + κN, avec S ∈ S_d(ℝ) matrice symétrique de valeurs propres toutes strictement négatives, K ∈ A_d(ℝ) matrice antisymétrique, N ∈ M_d(ℝ) matrice réelle nilpotente non nulle, et κ ≥ 0. Montrer qu'il existe κ_0 > 0 tel que :
  • pour 0 ≤ κ ≤ κ_0, la norme euclidienne est une entropie stricte,
  • pour κ > κ_0, la norme euclidienne n'est pas une entropie,
  • pour κ = κ_0, la norme euclidienne est une entropie mais pas une entropie stricte.
  1. Montrer que les matrices irréversibles bien orientées forment un ensemble ouvert parmi les matrices (dans cette question et les suivantes, on identifiera M_d(ℝ) avec ℝ^(d^2) et on utilisera les notions de topologie de ℝ^(d^2) ).
  2. On appelle E l'ensemble des matrices qui admettent la norme euclidienne comme entropie et E^0 l'ensemble des matrices qui admettent la norme euclidienne comme entropie stricte. Montrer que E est un ensemble convexe fermé et E^o est un ensemble convexe ouvert.
  3. On appelle point extrémal d'un ensemble convexe F un point de F qui ne peut s'écrire comme barycentre de points de F distincts de lui-même. Déterminer l'ensemble des points extrémaux de l'ensemble
F = ∂E ∩ {A = (a_(ij))_(i, j = 1, …, d), ∀i, j, |a_(ij)| ≤ 1}
où on a noté ∂E = E∖E^o.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2011 ?

Il porte sur les systèmes différentiels linéaires, l'exponentielle de matrice, la réduction des endomorphismes, les normes matricielles et les formes quadratiques associées aux matrices symétriques et antisymétriques.

Les trois parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise qu'elles sont largement indépendantes, mais la partie 2 réutilise les résultats de la partie 1 sur l'exponentielle de matrice et la trigonalisation, et la partie 3 s'appuie sur la notion d'entropie introduite en partie 2.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, l'exponentielle de matrice, la réduction des endomorphismes, les normes sur les espaces vectoriels et les matrices symétriques ou antisymétriques.

Ce sujet est-il centré sur l'algèbre linéaire ou sur l'analyse ?

Il mêle les deux : l'algèbre linéaire pour la réduction et la structure des matrices, et l'analyse pour l'étude des solutions d'équations différentielles et de leur comportement asymptotique.

Pas de description pour le moment