X ENS Mathématiques PSI 2010Sujet et corrigé

Étude de quelques équations aux dérivées partielles

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Équations aux dérivées partielles de transport, équation de Burgers et séries entières associées

Le problème étudie des équations aux dérivées partielles simples issues du transport : l'équation linéaire du premier ordre puis celle du second ordre (équation des ondes), en caractérisant leurs solutions par une méthode de caractéristiques. Il se poursuit par une équation quasi-linéaire non linéaire de type Burgers, puis termine par l'étude d'une suite de polynômes définie par récurrence et de la série entière associée, liée à une solution particulière de l'équation non linéaire.

1Première partie : équations de transport linéaires d'ordre 1 et 2Décrire toutes les solutions de l'équation D1f + cD2f = 0 par la méthode des caractéristiques, puis étendre l'étude à l'équation des ondes D11f - c²D22f = 0.
2Deuxième partie : équation quasi-linéaire non linéaireÉtudier l'équation D1f + fD2f = 0 par la méthode des courbes caractéristiques et construire des solutions explicites à partir d'une donnée initiale croissante.
3Troisième partie : suite de polynômes et série entièreÉtudier une suite de polynômes définie par récurrence à partir d'une équation différentielle, puis la série entière associée et son rayon de convergence, en lien avec une solution de l'équation non linéaire de la deuxième partie.

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Épreuve de Mathématiques

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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Préambule

Dans ce problème, on désigne par

R

l'ensemble des nombres réels. On note

R^∗ = R∖{0}

R_+ = [0, + \infty[, R_- = ] - \infty, 0]

R_+^* = ]0, + \infty[

. On note

Z

l'ensemble des entiers relatifs.

x

est un réel, on note

⌊x⌋

le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

x

.
Pour tout couple (

k, n

) d'entiers supérieurs à 1 , on notera

C^k(R^n)

l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles sur

R^n

qui sont de classe

C^k

f

est une fonction de classe

C^1

sur un ouvert de

R^2

, on notera respectivement

D_1 f

D_2 f

les dérivées partielles de

f

par rapport à la première et la deuxième coordonnée. Si

f

est de classe

C^2

, on utilisera, pour tout

(i, j) ∈ {1, 2}^2

, la notation

D_(ij)^2 f = D_i(D_j f)

. On a alors pour tout

(i, j) ∈ {1, 2}^2

l'égalité

D_(ij)^2 f = D_(ji)^2 f

sur l'ouvert où

f

est définie.

Pour la résolution du problème, on pourra utiliser sans démonstration tout théorème du programme qui semblera utile après s'être assuré explicitement que ses hypothèses sont vérifiées.

Première partie

Soit

c

un nombre réel. On considère l'équation suivante :

f \in C^1(R^2), D_1 f + cD_2 f = 0

1.a. Soit

f

une solution de l'équation (A). Montrer que pour tout

(t_0, x_0) \in R^2

, la fonction

φ : R \to R

définie par

φ(t) = f(t_0 + t, x_0 + ct)

est constante. En déduire une expression de

f

en fonction de

u : R \to R

définie par

u(x) = f(0, x)

.
1.b. À tout

u \in C^1(R)

on associe la fonction

E(u) : R^2 \to R

définie par

\forall(t, x) \in R^2, E(u)(t, x) = u(x - ct)

Montrer que l'application linéaire

E

qui à

u

associe

E(u)

envoie

C^1(R)

dans

C^1(R^2)

. Montrer que

E

est injective et que son image est l'ensemble des solutions de (A).

On note

q : R^2 \to R

la fonction définie par

q(t, x) = x

-ct. Soit

Ω

une partie de

R^2

.
2. a. On suppose que

R∖q(Ω)

ne contient aucun intervalle ouvert non vide. Montrer que tout élément de

R

est limite d'une suite d'éléments de

q(Ω)

. En déduire que deux solutions de (A) qui coïncident en tout point de

Ω

sont égales.
2. b. Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

. Montrer qu'il existe une fonction de classe

C^1

sur

R

qui est nulle hors de

]a, b[

mais qui n'est pas identiquement nulle. Indication : on pourra chercher une fonction dont la restriction à

[a, b]

soit polynomiale.
2. c. Montrer que si

R∖q(Ω)

contient un intervalle ouvert non vide, alors il existe deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur

Ω

.
3. a. Soit

k

un entier supérieur ou égal à 2 . Soient

s_1, \dots, s_k

des éléments deux à deux distincts de l'intervalle

[0, 1[

. Montrer qu'il existe

i

j

appartenant à

{1, \dots, k}

tels que

0 < |s_i - s_j| < 1/(k - 1)

.
3. b. Soit

α

un nombre irrationnel. Montrer que si

m

n

sont deux entiers relatifs distincts, alors

mα - ⌊mα⌋ \neq nα - ⌊nα⌋

. En déduire que pour tout

r > 0

, l'ensemble

T = {n_1 α + n_2 : (n_1, n_2) ∈ Z^2}

contient deux éléments

t_1

t_2

tels que

0 < |t_1 - t_2| < r

, puis que

R∖T

ne contient aucun intervalle ouvert non vide.
3. c. Discuter, en fonction de la valeur de la constante

c

, l'existence de deux solutions distinctes de (A) qui coïncident sur

Z^2

On suppose désormais

c \neq 0

. On considère l'équation suivante :

f \in C^2(R^2), D_(11)^2 f - c^2 D_(22)^2 f = 0

Soit

f

une solution de (B).
4. a. On pose

g = D_1 f - cD_2 f

. Montrer qu'il existe une fonction

u \in C^1(R)

telle que

g(t, x) = u(x - ct)

.
4. b. Montrer qu'il existe une fonction

v \in C^2(R)

telle que la fonction

h = E(v)

satisfasse l'équation

D_1 h - cD_2 h = g

.
4. c. Montrer qu'il existe des fonctions

v_+ \in C^1(R)

v_- \in C^2(R)

telles que

f(t, x) = v_+(x + ct) + v_-(x - ct)

, puis montrer que

v_+ \in C^2(R)

.
4. d. Énoncer un résultat analogue à celui établi à la question 1. b. et le démontrer.
5. a. Montrer que si

f_1

f_2

sont deux solutions de (B) qui coïncident sur

{0} \times R

et qui sont telles que

D_1 f_1

D_1 f_2

coïncident sur

{0} \times R

, alors

f_1 = f_2

. Montrer que cette conclusion n'est pas toujours vraie si l'on suppose seulement que

f_1

f_2

coïncident sur

{0} \times R

.
5. b. Déterminer toutes les fonctions

f \in C^2(R^2)

qui sont solution de (B) et qui satisfont

f(0, 0) = 1

et les conditions suivantes :

\forallx \in R, f(0, x) = D_2 f(0, x) et f(0, x)D_1 f(0, x) = c

Deuxième partie

On considère l'équation suivante :

Ω ouvert de R^2, f \in C^1(Ω), D_1 f + fD_2 f = 0

a. Soit $Ω$ un ouvert de $R^2$ et $f$ une solution de (C) sur $Ω$ . Soit ( $t_0, x_0$ ) un point de $Ω$ . Montrer qu'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $t_0$ et une fonction $X$ de classe $C^1$ sur $I$ telle que $X(t_0) = x_0$ et telle que pour tout $t \in I$ , on ait $(t, X(t)) \in Ω$ et $X^'(t) = f(t, X(t))$ .
b. Montrer que la fonction $ψ : I \to R$ définie par $ψ(t) = f(t, X(t))$ est constante. Décrire la nature géométrique de l'arc $(t, X(t))$ .
c. Soit $J$ un intervalle ouvert contenant $t_0$ . Pour tout $t$ appartenant à $J$ , on pose $Z(t) = x_0 + (t - t_0)f(t_0, x_0)$ . On suppose que pour tout $t \in J$ , le point $(t, Z(t))$ appartient à $Ω$ . On pose

T = sup{t ∈ J : ∀s ∈ [t_0, t[, f(s, Z(s)) = f(t_0, x_0)}

Montrer que

T > t_0

, puis que

T

n'appartient pas à

J

. Indication : on pourra supposer le contraire et calculer

f(T, Z(T))

. En déduire que

T

est la borne supérieure de

J

, puis que

f(t, Z(t)) = f(t_0, x_0)

pour tout

t

dans

J

.
7. a. On suppose que

Ω = R^2

. Montrer que les seules solutions de (C) sont les fonctions constantes.
7. b. Déterminer toutes les fonctions de la forme

(t, x) \mapsto (P(x))/(Q(t))

, où

P

Q

sont des polynômes, qui sont solution de ( C ) sur leur ensemble de définition. Déterminer une solution non constante de (C) lorsque

Ω = R^* \times R

.
8. a. On se donne une fonction

u \in C^1(R)

croissante. Montrer que pour tout

t \in R_+

et tout

x \in R

, il existe un unique réel

a(t, x)

tel que

x = a(t, x) + tu(a(t, x))

On admettra pour tout le reste du problème que la fonction

a : R_+ \times R \to R

ainsi définie est continue, qu'elle est de classe

C^1

sur

R_+^* \times R

et que ses dérivées partielles sont
données sur cet ouvert par les formules

\forall(t, x) \in R_+^* \times R, D_1 a(t, x) = - (u(a(t, x)))/(1 + tu^'(a(t, x))), D_2 a(t, x) = 1/(1 + tu^'(a(t, x)))

b. Montrer que la fonction $f : R_+ \times R \to R$ définie par $f(t, x) = u(a(t, x))$ est continue sur $R_+ \times R$ , de classe $C^1$ sur $R_+^* \times R$ , qu'elle est solution de (C) sur $R_+^* \times R$ et vérifie, pour tout $x \in R$ , l'égalité $f(0, x) = u(x)$ . On notera $F(u)$ la fonction $f$ ainsi construite à partir de $u$ .
c. Montrer que si une fonction $g : R_+ \times R \to R$ est continue sur $R_+ \times R$ , de classe $C^1$ sur $R_+^* \times R$ et de plus est une solution de (C) sur $R_+^* \times R$ , alors la fonction $v \in C^1(R)$ définie par $v(x) = g(0, x)$ est croissante, et vérifie $g = F(v)$ .
a. Soit $u$ la fonction définie par $u(x) = x$ . Déterminer $F(u)$ et comparer le résultat obtenu avec celui de la deuxième partie de la question 7. b.
b. En considérant la fonction $u$ définie par

u(x) = {0, si x < 0; x^2, si x ⩾ 0

déterminer une solution non constante de (C) sur l'ouvert

Ω = R^2∖({0} × R_+)

Troisième partie

Soit

(c_n)_(n ⩾ 1)

une suite de réels telle que pour tout

n ⩾ 1

on ait

|c_n| ⩽ 1/(2n^2)

. On définit par récurrence une suite

(P_n)_(n ⩾ 1)

de polynômes en posant

P_1 = c_1

puis, pour tout

n ⩾ 2

P_n^'(t) = - n/2\sum_(k = 1)^(n - 1)P_k(t)P_(n - k)(t), P_n(0) = c_n

Dans ce qui suit, on pourra utiliser, sans les démontrer, les inégalités

e ⩾ 2

e\sqrte ⩾ 3

.
10. a. Soit

n

un entier supérieur ou égal à 2 . Montrer qu'on a l'égalité

\sum_(k = 1)^(n - 1)1/(k^2(n - k)^2) = 2/(n^2)\sum_(k = 1)^(n - 1)1/(k^2) + 4/(n^3)\sum_(k = 1)^(n - 1)1/k

Indication : on pourra chercher une écriture plus simple de la fonction

x \mapsto 1/(x(n - x))

.
10. b. Montrer que

2lnn ⩽ n

, puis qu'on a l'inégalité

\sum_(k = 1)^(n - 1)1/(k^2(n - k)^2) ⩽ 8/(n^2)

c. Montrer que pour tout $n ⩾ 1$ et tout $t \in R$ , on a l'inégalité

|P_n(t)| ⩽ 1/(n^2)e^(8n|t|)

d. En déduire que la série $\sum_(n ⩾ 1)P_n(t)x^n$ converge, pour ( $t, x$ ) appartenant à un ouvert $Ω$ contenant $(0, 0)$ qu'on précisera, vers une fonction $f$ de classe $C^1$ qui satisfait l'équation

\forall(t, x) \in Ω, D_1 f(t, x) + xf(t, x)D_2 f(t, x) = 0.

a. On suppose $c_1 \neq 0$ . Déterminer le degré de $P_n$ pour tout $n ⩾ 1$ . On pourra discuter selon le signe de $c_1$ .
b. Pour tout $n ⩾ 1$ , on note $d_n$ le coefficient dominant de $P_n$ . Établir une relation de récurrence satisfaite par la suite $(d_n)_(n ⩾ 1)$ . Soit $(e_n)_(n ⩾ 1)$ la suite définie par récurrence par $e_1 = 1$ et

\foralln ⩾ 2, e_n = \sum_(k = 1)^(n - 1)e_k e_(n - k)

Montrer que pour tout

n ⩾ 1

, on a

|d_n| ⩽ e_n

.
11. c. On considère la série entière

H(s) = \sum_(n ⩾ 1)e_n s^n

et on note

R

son rayon de convergence. Montrer que

R = 1/4

. Indication : on pourra commencer par supposer

R > 0

et calculer, sous cette hypothèse, la valeur de

H

sur

] - R, R[

.
11. d. Montrer que sur l'intervalle ] -

1/4, 1/4[

, la fonction

G(s) = \sum_(n ⩾ 1)d_n s^n

est solution de l'équation différentielle

sy^'(s)(1 + y(s)) - y(s) = 0.

e. Montrer que pour tout $s \in [ - e^(- 1), + \infty[$ , il existe un unique $w(s) \in [ - 1, + \infty[$ tel que $w(s)e^(w(s)) = s$ . Montrer que la fonction $w$ ainsi définie est solution de (E) sur $] - e^(- 1), + \infty[$ . Exprimer en fonction de $w$ une solution de (E) qui a même valeur et même dérivée en 0 que $G$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X-ENS PSI 2010 ?

Il porte sur les équations aux dérivées partielles de transport, résolues par la méthode des caractéristiques, puis sur les séries entières à travers l'étude d'une suite de polynômes.

Le sujet demande-t-il des connaissances en équations non linéaires ?

Oui, la deuxième partie étudie une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire de type Burgers, dont les solutions sont construites via des droites caractéristiques.

Quelles parties sont indépendantes ?

La troisième partie, consacrée aux polynômes et à la série entière, réutilise les résultats de la deuxième partie ; les deux premières parties s'enchaînent également.

Faut-il maîtriser les dérivées partielles pour ce sujet ?

Oui, l'ensemble du problème repose sur la manipulation de fonctions de deux variables et de leurs dérivées partielles d'ordre 1 et 2.

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