CCINP Mathématiques 1 PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2010 FilièrePSI MatièreMathématiques

Annales CCINP PSI Mathématiques CCINP PSI 2010 PSI Mathématiques Mathématiques 2010

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Interpolation polynomiale d'une fonction : estimation de l'erreur et formules barycentriques

Ce problème de mathématiques 1, filière PSI, étudie l'interpolation polynomiale d'une fonction. La partie I définit les polynômes d'interpolation à l'aide d'une structure euclidienne sur les polynômes, puis établit une estimation de l'écart entre une fonction et son polynôme d'interpolation grâce au théorème de Rolle. La partie II étudie une fonction auxiliaire pour majorer cet écart lorsque les points d'interpolation sont équidistants. La partie III établit des formules barycentriques à coefficients entiers, utilisées pour obtenir des valeurs approchées d'une fonction trigonométrique.

1Partie IDéfinition d'une structure euclidienne sur les polynômes, des polynômes d'interpolation, calcul d'une norme subordonnée et estimation de l'écart entre une fonction et son polynôme d'interpolation via le théorème de Rolle.
2Partie IIÉtude d'une fonction auxiliaire pour majorer l'écart entre une fonction et son polynôme d'interpolation en n+1 points équidistants.
3Partie IIIÉtablissement de formules barycentriques à coefficients entiers, appliquées à l'obtention de valeurs approchées d'une fonction trigonométrique.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les trois parties du sujet, qui couvrait une large part du programme des deux années de classes préparatoires, ont pu être abordées et l'ont été très largement par les candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Caractère défini de la forme bilinéaire mal identifié · Justification incorrecte du caractère libre d'une famille de polynômes · Confusion d'indices entre deux sommes

Le jury observe que le sujet a permis de se faire une idée du niveau d'assimilation de diverses notions d'analyse, de l'aisance technique et de l'esprit de synthèse des candidats. La partie II, jugée plus accessible, a eu la préférence des candidats, tandis que la partie I sur l'interpolation de Lagrange aurait pu être mieux exploitée.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Caractère défini de la forme bilinéaire mal identifiéPartie I
De nombreux candidats sont déroutés par une question sur le produit scalaire et ne parviennent pas à faire ressortir l'essentiel, à savoir le caractère défini ou non de la forme bilinéaire.
2
Justification incorrecte du caractère libre d'une famille de polynômesPartie I
Pour montrer qu'une famille de polynômes est une base orthonormale, certains candidats affirment à tort, faute d'argument, que la famille est libre parce que les polynômes sont échelonnés en degrés.
3
Confusion d'indices entre deux sommesI.5.1
Une erreur très systématique consiste à ne pas remarquer que les termes d'une somme ne sont pas les mêmes d'une étape à l'autre lors du calcul de la différence entre deux polynômes d'interpolation successifs.
4
Étude du maximum sans recours à la continuitéPartie II
L'étude du maximum de la fonction auxiliaire devient difficile lorsque le candidat ne pense pas à utiliser la continuité et cherche à tout prix à utiliser la dérivée.
5
Manipulation approximative des inégalités et valeurs absoluesII.5.2
Contrairement aux calculs sur les égalités, qui se passent très bien, les manipulations sur les inégalités et les valeurs absolues sont souvent mal maîtrisées, avec une justification très partielle de l'inégalité attendue.

Ce qui a été bien réussi

La définition des polynômes d'interpolation ne pose guère de difficulté aux candidats.
Les questions II.2, II.3 et II.4 ont dans l'ensemble été très favorables aux candidats.
La partie III, assez calculatoire, n'a pas découragé les candidats, nombreux à l'aborder avec succès au moins sur le début.
Les meilleurs candidats ont obtenu la majoration attendue en fin de partie III.

Conseils du jury

Bien identifier ce qu'il faut réellement démontrer (par exemple le caractère défini d'une forme bilinéaire) plutôt que de se disperser.
Ne pas confondre les indices ou les termes d'une somme lorsqu'on manipule des expressions successives proches.
Penser à utiliser la continuité, pas seulement la dérivée, pour étudier un maximum.
Soigner la manipulation des inégalités et des valeurs absolues, souvent plus délicate que celle des égalités.
Prendre quelques minutes pour réfléchir et raisonner avant de proposer une solution, afin d'éviter des résultats aberrants comme un écart tendant vers l'infini pour une approximation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 8 pages.

Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend trois parties.
Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation.
Dans la deuxième partie, on étudie une fonction définie sur un segment. La troisième partie conduit à une formule barycentrique.

On désigne par $N$ l'ensemble des entiers naturels, par $ℕ^*$ l'ensemble $ℕ$ privé de 0 et par $ℝ$ l'ensemble des nombres réels.
Dans tout le problème, on désigne par $n$ un entier naturel, $n \geq 2$ .
Étant donné deux entiers naturels $m \leq n$ , on note $[ [m, n] ]$ l'ensemble des entiers naturels $k$ tels que $m \leq k \leq n$ .
On note $ℝ_n[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $n$ . Pour simplifier l'écriture, lorsque $P$ est un polynôme de $ℝ_n[X]$ , on notera de la même façon $P$ la fonction polynôme associée.
Étant donné un intervalle $I$ de $ℝ$ et un entier naturel $p$ , on note $C^p(I, ℝ)$ le $ℝ$ - espace vectoriel des fonctions $f$ définies sur $I$ à valeur dans $ℝ, p$ fois dérivables sur $I$ et à dérivée $p$ -ième, notée $f^((p))$ , continue sur $I$ . Le $ℝ$ - espace vectoriel des fonctions continues de $I$ dans $ℝ$ est, quant à lui noté $C(I, ℝ)$ . Lorsque $I$ est le segment $[a, b]$ , on considère sur l'espace vectoriel $C([a, b], ℝ)$ la norme $N_\infty$ définie par :

pour tout f ∈ C([a, b], ℝ) : N_∞(f) = sup{|f(x)|; x ∈ [a, b]}

On note $Πu_k$ le produit des termes $u_k$ pour l'entier $k$ décrivant l'ensemble indiqué.
Pour $m$ et $p$ dans $ℕ$ avec $p \leq m$ , on note $(m/p)$ l'entier $(m!)/(p!(m - p)!)$ .

PARTIE I

Dans cette partie, on considère

n + 1

nombres réels, deux à deux distincts, notés

x_0, x_1, \dots, x_n

, et on définit la forme bilinéaire

B

sur

C(ℝ, ℝ)

par :

pour tout (f, g) \in C(ℝ, ℝ) \times C(ℝ, ℝ), B(f, g) = \sum_(i = 0)^n f(x_i)g(x_i)

Pour

k

entier,

k \in [ [0, n] ]

, on définit les polynômes

L_k

ℝ_n[X]

par :

L_k(X) = \prod_(i = 0; i \neq k)^n(X - X_i)/(X_k - X_i)

I.1. Définition d'une structure euclidienne sur $ℝ_n[X]$ .

I.1.1. Justifier rapidement l'affirmation :

B

définit un produit scalaire sur

ℝ_n[X]

mais pas sur

C(ℝ, ℝ)

.
I.1.2. Pour

j

k

entiers de

[ [0, n] ]

, calculer

L_k(x_j)

. Montrer que la famille

(L_k)

, pour

k \in [ [0, n] ]

, est une base orthonormale de l'espace euclidien

ℝ_n[X]

pour le produit scalaire

B

.
I.2. Définition de

P_n(f)

A toute fonction

f

appartenant à

C(ℝ, ℝ)

on associe le polynôme

P_n(f)

défini par :

P_n(f) = \sum_(i = 0)^n B(f, L_i)L_i

I.2.1. Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, exprimer

B(f, L_k)

en fonction de

f(x_k)

. En déduire que

P_n(f)

vérifie

P_n(f)(x_k) = f(x_k)

pour tout

k \in [ [0, n] ]

.
I.2.2. Montrer que

P_n(f)

est l'unique polynôme

P \in ℝ_n[X]

, vérifiant

P(x_k) = f(x_k)

pour tout

k \in [ [0, n] ]

.
I.2.3. Expliciter

P_n(f)

lorsque

f \in ℝ_n[X]

. Préciser le polynôme

\sum_(k = 0)^n L_k(X)

et, pour

x

réel, la valeur de la somme

\sum_(k = 0)^n L_k(x)

Pour

f \in C(ℝ, ℝ)

, on dira que

P_n(f)

est le polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à

n

, de la fonction

f

aux points

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

. Lorsqu'aucune confusion n'est possible, on notera simplement

P_n

au lieu de

P_n(f)

.
Dans la suite de cette partie, on considère un segment

[a, b]

contenant les points

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

I.3. Une application linéaire.

Soit

Λ

l'application linéaire de

C([a, b], ℝ)

dans

ℝ_n[X]

définie par :

pour tout f \in C([a, b], ℝ) : Λ(f) = P_n(f)

On considère l'espace vectoriel

C([a, b], ℝ)

muni de la norme

N_\infty

. En identifiant tout polynôme de

ℝ_n[X]

avec la fonction polynôme associée, on munit également

ℝ_n[X]

de la même norme

N_\infty

. On définit la norme subordonnée à la norme

N_\infty

de l'application linéaire

Λ

par:

‖Λ‖ = sup{N_∞(Λ(f)); N_∞(f) ≤ 1}

On note

Φ

la fonction appartenant à

C([a, b], ℝ)

, définie par :

pour tout t \in [a, b] : Φ(t) = \sum_(k = 0)^n|L_k(t)|

I.3.1. Justifier l'inégalité :

‖Λ‖ \leq N_\infty(Φ)

.
I.3.2. Montrer qu'il existe un nombre réel

τ \in [a, b]

tel que

N_\infty(Φ) = Φ(τ)

.
I.3.3. Soit

τ \in [a, b]

tel que

N_\infty(Φ) = Φ(τ)

. Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, on définit

ε_k

par

ε_k = 0

lorsque

L_k(τ) = 0

ε_k = (|L_k(τ)|)/(L_k(τ))

lorsque

L_k(τ) \neq 0

. Soit

ψ

la fonction définie sur

[a, b]

vérifiant les propriétés suivantes :

$ψ$ est continue sur $[a, b]$ ,
pour tout $k \in [ [0, n] ], ψ(x_k) = ε_k$ ,
pour tout $k \in [ [0, n - 1] ]$ la restriction de $ψ$ à chaque intervalle $[x_k, x_(k + 1)]$ est de la forme $ψ(t) = a_k t + b_k$ où $a_k$ et $b_k$ sont des réels. Les restrictions de $ψ$ à $[a, x_0]$ et à $[x_n, b]$ sont constantes.
En calculant $Λ(ψ)(τ)$ déterminer $‖Λ‖$ .

I.4. Un résultat auxiliaire.

Soit

p

un entier naturel non nul et soit

g \in C^p([a, b], ℝ)

une fonction s'annulant en

p + 1

points distincts

c_0 < c_1 < \dots < c_p

de l'intervalle

[a, b]

.
I.4.1. Montrer que la fonction dérivée

g^'

s'annule en au moins

p

points de

[a, b]

.
I.4.2. En déduire qu'il existe un point

α \in [a, b]

tel que

g^((p))(α) = 0

.
I.5. Une expression de

f - P_n

On note

T_(n + 1)

le polynôme de

ℝ_(n + 1)[X]

défini pour

x

réel par

T_(n + 1)(x) = \prod_(i = 0)^n(x - x_i)

. Soit

f

une fonction appartenant à

C^(n + 1)([a, b], ℝ)

et soit

y

un réel de

[a, b]

, distinct de tous les

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

. On note

P_n

(respectivement

P_(n + 1)

) le polynôme d'interpolation de

f

de degré inférieur ou égal à

n

(respectivement inférieur ou égal à

n + 1

) aux points

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

(respectivement au point

y

et aux points

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

).
I.5.1. Montrer qu'il existe un réel

r

tel que, pour tout

x \in ℝ

, on ait :

P_(n + 1)(x) - P_n(x) = rT_(n + 1)(x)

I.5.2. En appliquant à la fonction

g = f - P_(n + 1)

un résultat obtenu en I.4., montrer qu'il existe un réel

β \in [a, b]

tel que :

f^((n + 1))(β) = r(n + 1)

!
En déduire que pour tout

y \in [a, b]

, il existe

β \in [a, b]

tel que :

(1) f(y) - P_n(y) = 1/((n + 1)!)T_(n + 1)(y)f^((n + 1))(β).

I.5.3. Montrer que l'égalité (1) est aussi vérifiée lorsque l'on remplace

y

par l'un des

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

PARTIE II

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère la fonction

φ

définie sur le segment

[0, n]

par :

φ(t) = |t(t - 1)\dots(t - n)|

II.1. Étude du maximum de $φ$ .

II.1.1. Montrer que la fonction

φ

admet un maximum sur l'intervalle

[0, n]

.
II.1.2. Soit

t \in [0, n]

: comparer

φ(n - t)

φ(t)

.
II.1.3. On suppose

t > 1

t \notin ℕ

. Calculer

(φ(t - 1))/(φ(t))

En déduire que pour

t \in [1, n/2]

, on a

φ(t - 1) \geq φ(t)

.
II.1.4. On suppose

n

pair et on note

n = 2p

. Montrer que

φ

atteint son maximum en un point de l'intervalle

[0, 1]

en supposant d'abord que

p = 1

puis

p \geq 2

On admettra que pour

n

impair,

φ

atteint son maximum en un point de

[0, 1]

II.2. Abscisse du maximum de la fonction $φ$ .

II.2.1. Soit

t \notin ℕ

, expliciter

ln(φ(t))

, où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire

(φ^'(t))/(φ(t))

en fonction de

\sum_(k = 0)^n 1/(t - k)

.
II.2.2. Pour

t \in [1/2, 1[

, déterminer le signe de la somme

\sum_(k = 2)^n 1/(t - k)

. En déduire que

φ^'(t)

est strictement négatif sur l'intervalle

[1/2, 1[

.
II.2.3. Calculer la dérivée de la fonction définie sur

]0, 1[par : g(t) = \sum_(k = 0)^n 1/(t - k)

Déterminer le sens de variation de la fonction

g

. En déduire que la fonction

φ^'

s'annule en au plus un point de

]0, 1[

.
II.2.4. Montrer que le maximum de

φ

est atteint en un point et un seul de

]0, 1/2[

, noté

t_n

. Quelle est la valeur de la somme

\sum_(k = 0)^n 1/(t_n - k)

II.3. Étude de l'abscisse $t_n$ du maximum de $φ$ .

II.3.1. On suppose

k \in ℕ^*

, justifier l'inégalité

1/(k - t_n) > 1/k

En déduire une minoration de

1/(t_n)

.
II.3.2. Préciser la nature de la série

\sum_(k \geq 1)1/k

En déduire la limite de

1/(t_n)

et par suite, celle de

t_n

lorsque

n \to + \infty

II.4. Une majoration de $φ$ .

II.4.1. Montrer l'inégalité

\int_1^(n + 1)(dt)/t < \sum_(k = 1)^n 1/k

.
II.4.2. Montrer l'inégalité

t_n < 1/(ln(n + 1))

.
II.4.3. En déduire, que pour tout

t \in [0, n]

, on a la majoration

φ(t) < (n!)/(ln(n + 1))

II.5. Une majoration de $N_\infty(f - P_n)$ .

Dans cette question, on reprend les notations de la partie

I

.
Soit

[a, b]

un segment, on note

h = (b - a)/n

et on considère les

n + 1

points équidistants

x_i = a + ih

[a, b]

, pour

i \in [ [0, n] ]

.
II.5.1. Pour

x \in [a, b]

, on note

t = (x - a)/h \in [0, n]

. On note

T_(n + 1)

le polynôme défini en I.5. par

T_(n + 1)(x) = \prod_(i = 0)^n(x - x_i)

. Exprimer

|T_(n + 1)(x)|

en fonction de

h

et de

φ(t)

.
II.5.2. Soit

f \in C^(n + 1)([a, b], ℝ)

et soit

P_n

son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à

n

, aux points équidistants

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

, défini en I.2.
Montrer l'inégalité :
(2)

N_\infty(f - P_n) \leq (h^(n + 1))/((n + 1)ln(n + 1))N_\infty(f^((n + 1)))

PARTIE III

On conserve les notations des parties

I

II

, avec en particulier des réels

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

, distincts. On définit les

n + 1

réels

w_k = 1/(\prod_(i = 0; i \neq k)^n(x_k - x_i))

, pour

k \in [ [0, n] ]

.
III.1. Soit

x

un réel et soit

k

un entier de

[ [0, n] ]

Exprimer

T_(n + 1)(x)

en fonction de

L_k(x), x - x_k

w_k

.
III.2. Soit

f \in C(ℝ, ℝ)

et soit

P_n

son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à

n

, aux points

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

. On suppose

x

différent de tous les

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

Montrer l'égalité :
(3)

P_n(x) = T_(n + 1)(x)\sum_(k = 0)^n(W_k f(x_k))/(x - x_k)

Calculer

T_(n + 1)(x)\sum_(k = 0)^n(W_k)/(x - x_k)

.
En déduire la formule barycentrique :
(4)

P_n(x) = (\sum_(k = 0)^n(W_k f(x_k))/(x - x_k))/(\sum_(k = 0)^n(W_k)/(x - x_k))

.
III.3. Dans cette question, on suppose les points

x_i

équidistants. On note

h = (x_n - x_0)/n

x_i = a + ih

, pour

i \in [ [0, n] ]

. On se propose d'établir une formule barycentrique en remplaçant les

w_k

par des coefficients entiers relatifs.
III.3.1. Exprimer

w_k

en fonction de

h

, de

n

et de

k

Soit

w_k^* = (- 1)^n h^n n!w_k

. Exprimer

w_k^*

à l'aide d'un entier de la forme

(m/p)

, où

m

p

sont à préciser en fonction de

n

k

.
III.3.2. On suppose

x

différent de tous les

x_i

, pour

i \in [ [0, n] ]

. Montrer la formule :
(5)

P_n(x) = (\sum_(k = 0)^n(- 1)^k(n/k)(f(x_k))/(x - x_k))/(\sum_(k = 0)^n(- 1)^k(n/k)1/(x - x_k))

.
III.4. Une valeur approchée de

cos((πx)/2)

On suppose que

f(x) = cos((πx)/2)

et on considère les

4n + 1

points équidistants compris entre

x_0 = - 2n

x_(4n) = 2n

.
III.4.1. Déterminer

X_k

pour

k \in [ [0, 4n] ]

.
III.4.2. Montrer que :
(6)

P_(4n)(x) = (\sum_(k = - n)^n(- 1)^k((4n)/(2n + 2k))1/(x - 2k))/(\sum_(k = - 2n)^(2n)(- 1)^k((4n)/(2n + k))1/(x - k))

est, pour

x

différent de tous les

x_k

,
la valeur en

x

d'un polynôme d'interpolation de la fonction

cos((πx)/2)

, en des points équidistants que l'on précisera.
III.4.3. Soit

x \in [ - 2n, 2n]

et soit

p

la partie entière de

x

Montrer l'inégalité :

\prod_(k = - 2n)^(2n)|x - k| \leq (2n + p + 1)!(2n - p)

!
III.4.4. Montrer que pour

x

fixé dans

[ - 2n, 2n]

et non entier, on a :

|f(x) - P_(4n)(x)| \leq (2n + p + 1)!(2n - p)!((π/2)^(4n + 1))/((4n + 1)!) = θ(n, p)

Quelle est la limite

deθ(n, p)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

?
Fin de l'énoncé.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PSI 2010 ?

Elle porte sur l'interpolation polynomiale d'une fonction : structure euclidienne sur les polynômes, théorème de Rolle, normes subordonnées et formules barycentriques, en mobilisant une large part du programme des deux années de prépa.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths 1 CCINP PSI ?

Le jury signale des difficultés à identifier le caractère défini d'une forme bilinéaire, une justification erronée du caractère libre d'une famille de polynômes, et des manipulations approximatives des inégalités et valeurs absolues.

Ce sujet CCINP PSI 2010 sur l'interpolation polynomiale est-il difficile ?

Le rapport indique que les trois parties, qui couvrent une large part du programme, ont pu être abordées et l'ont été très largement par les candidats, ce qui en fait un sujet de difficulté modérée.

Quelle partie de ce sujet CCINP PSI 2010 a été la plus appréciée des candidats ?

La partie II, sur l'étude du maximum d'une fonction auxiliaire, a eu la préférence des candidats, certains n'ayant même traité que cette partie.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2010

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet comporte 8 pages.

PARTIE I

I.1. Définition d'une structure euclidienne sur ℝ_n[X].

I.3. Une application linéaire.

I.4. Un résultat auxiliaire.

PARTIE II

II.1. Étude du maximum de φ.

II.2. Abscisse du maximum de la fonction φ.

II.3. Étude de l'abscisse t_n du maximum de φ.

II.4. Une majoration de φ.

II.5. Une majoration de N_∞(f − P_n).

PARTIE III

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PSI 2010 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths 1 CCINP PSI ?

Ce sujet CCINP PSI 2010 sur l'interpolation polynomiale est-il difficile ?

Quelle partie de ce sujet CCINP PSI 2010 a été la plus appréciée des candidats ?

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2010

Commentaires• CCINP Mathématiques 1 PSI 2010

I.1. Définition d'une structure euclidienne sur $ℝ_n[X]$ .

II.1. Étude du maximum de $φ$ .

II.2. Abscisse du maximum de la fonction $φ$ .

II.3. Étude de l'abscisse $t_n$ du maximum de $φ$ .

II.4. Une majoration de $φ$ .

II.5. Une majoration de $N_\infty(f - P_n)$ .