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MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 5 pages.

Notations:

Pour tout nombre réel x tel que l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)(1 − cost)/(t^2)e^(− xt)dt converge, on note φ(x) la valeur de cette intégrale.
Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)((sint)^m)/tdt converge, on désigne par J_m sa valeur.

Objectifs:

L'objet de ce problème est d'étudier l'existence et un procédé de calcul éventuel de J_m.
La partie I est consacrée à l'étude de la fonction φ pour obtenir un résultat qui concerne J_1.
L'étude de l'existence de J_m fait l'objet de la partie II.
La partie III voit la mise en œuvre d'un procédé de calcul des intégrales J_m (lorsqu'elles convergent).

PARTIE I
Étude de la fonction φ

Rappel : φ(x) = ∫_0^(+ ∞)(1 − cost)/(t^2)e^(− xt)dt.
On désigne par d (respectivement δ ) la fonction définie sur [ 0; + ∞[ par : d(t) = t − 1 + cost( respectivement δ(t) = (t^2)/2 − 1 + cost).

I.1/ Étude des fonctions d et δ.

I.1.1/ Étudier la fonction d; en déduire qu'il existe un nombre réel α tel que, pour tout nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité : 0 ≤ (1 − cost)/t ≤ α.
I.1.2/ Étudier la fonction δ; en déduire qu'il existe un nombre réel β tel que, pour tout nombre réel t strictement positif, on ait l'inégalité : 0 ≤ (1 − cost)/(t^2) ≤ β.

I.2/ Existence de la fonction φ sur [0; + ∞[.

Établir la convergence de l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)(1 − cost)/(t^2)dt. En déduire que φ(x) existe pour tout x appartenant à [0; + ∞[.

I.3/ Limite de la fonction φ en + ∞.

I.3.1/ Préciser le signe de φ(x_1) − φ(x_2) pour 0 ≤ x_1 ≤ x_2. En déduire que la fonction φ admet une limite finie λ en + ∞.
I.3.2/ Déterminer la valeur de λ (on pourra utiliser I.1.2).

I.4/ Caractère C^k de la fonction φ.

I.4.1/ Montrer que la fonction φ est continue sur [0; + ∞[.
I.4.2/ Montrer que la fonction φ est de classe C^1 sur ]0; + ∞[ (on pourra utiliser I.1.1).
I.4.3/ Montrer que la fonction φ ' admet une limite finie (que l'on précisera) en + ∞.
I.4.4/ Montrer que la fonction φ est de classe C^2 sur ]0; + ∞[.
I.4.5/ Expliciter φ^(′′)(x) pour x appartenant à ]0; + ∞[.
I.4.6/ Expliciter φ^′(x) pour x appartenant à ]0; + ∞[. La fonction φ est-elle dérivable en 0 ?

I.5/ Expression explicite de fonction φ(x).

I.5.1/ Déterminer la limite de xln((x^2)/(x^2 + 1)) lorsque x tend vers + ∞.
I.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction : x ↦ ln(x^2 + 1) (on pourra utiliser une intégration par parties).
I.5.3/ Expliciter φ(x) pour x appartenant à ]0; + ∞[.
I.5.4/ Déterminer φ(0).

PARTIE II

Étude de l'existence de J_m

Rappel : J_m = ∫_0^(+ ∞)((sint)^m)/tdt et φ(x) = ∫_0^(+ ∞)(1 − cost)/(t^2)e^(− xt)dt.
II.1/ Étude de ∫_0^(π/2)((sint)^m)/tdt.
Justifier la convergence de l'intégrale généralisée ∫_0^(π/2)((sint)^m)/tdt pour tout entier naturel non nul m. Pour tout entier relatif k tel que l'intégrale généralisée ∫_(π/2)^(+ ∞)(e^(ikt))/tdt converge, on note I_k la valeur de cette intégrale.

II.2/ Étude de J_1.

Justifier l'existence de J_1 et établir une relation entre J_1 et φ(0) (on pourra utiliser une intégration par parties, en remarquant que (1 − cos)^′ = sin).

II.3/ Étude de l'existence de I_k.

Préciser la nature de l'intégrale généralisée I_k selon la valeur de l'entier relatif k (on pourra utiliser une intégration par parties).

II.4/ Étude de la nature de J_m

Pour tout x appartenant à [π/2; + ∞[ et tout entier relatif k, on note : I_k(x) = ∫_(π/2)^x(e^(ikt))/tdt.
II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul m et pour tout nombre réel x appartenant à [π/2; + ∞[, l'intégrale ∫_(π/2)^x((sint)^m)/tdt à l'aide des intégrales I_k(x).
II.4.2/ En déduire l'existence de J_(2p + 1) pour tout entier naturel p.
II.4.3/ Quelle est la nature de l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)((sint)^(2p))/tdt pour p entier naturel non nul?

PARTIE III

Calcul de J_(2p + 1)

III.1/ Un développement de Fourier.

On désigne par x un nombre réel fixé, non multiple entier de π, par h_x la fonction définie surℝ, à valeurs réelles, 2π-périodique et vérifiant : h_x(t) = cos(x/πt) pour tout t ∈ ] − π; π].
III.1.1/ Calculer les coefficients de Fourier réels a_n(h_x) et b_n(h_x) de la fonction h_x.
On rappelle que pour tout entier naturel n :
a_n(h_x) = 1/π∫_π^π h_x(t)cos(nt)dt et b_n(h_x) = 1/π∫_π^π h_x(t)sin(nt)dt.
III.1.2/ Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(− 1)^n(2xsinx)/(x^2 − n^2 π^2) et déduire de III.1.1 la valeur de la somme : (sinx)/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(− 1)^n(2xsinx)/(x^2 − n^2 π^2).

III.2/ Étude d'un procédé de calcul.

On désigne par f une fonction définie et continue sur [ − 1; 1] à valeurs réelles; on suppose de plus que f est impaire et dérivable en 0 .
Pour tout entier naturel non nul n on pose:
  • γ_n = ∫_(π/2 + (n − 1)π)^(π/2 + nπ)(f(sint))/tdt,
    . u_n l'application de [0; π/2] dans ℝ définie par u_n(t) = (− 1)^n(2tf(sint))/(t^2 − n^2 π^2),
  • μ_n = ∫_0^(π/2)u_n(t)dt.
    III.2.1/ Déterminer la limite de γ_n lorsque n tend vers + ∞.
    III.2.2/ Etablir (pour tout entier naturel non nul n ) une relation entre γ_n et μ_n.
    III.2.3/ Établir la convergence, pout tout t appartenant à [0; π/2] de la série ∑_(n ≥ 1)u_n(t).
Désormais on note S(t) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(t) pour tout t appartenant à [0; π/2].
III.2.4/ Montrer que la fonction S est continue sur[0; π/2].
III.2.5/ Justifier la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)γ_n et l'égalité ∫_0^(π/2)S(t)dt = ∑_(n = 1)^(+ ∞)γ_n.
III.2.6/ Justifier la convergence de l'intégrale généralisée ∫_(π/2)^(+ ∞)(f(sint))/tdt et l'égalité ∫_0^(π/2)S(t)dt = ∫_(π/2)^(+ ∞)(f(sint))/tdt.
III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées ∫_0^(π/2)(f(sint))/(sint)dt et ∫_0^(π/2)(f(sint))/tdt.
III.2.8/ Exprimer la différence ∫_0^(+ ∞)(f(sint))/tdt − ∫_0^(π/2)(f(sint))/(sint)dt à l'aide de l'intégrale d'une fonction continue sur le segment [0; π/2].

III.3/ Application au calcul de J_(2p + 1).

III.3.1 / En utilisant les résultats obtenus en III. 1 et III. 2 retrouver la valeur de J_1 (déjà obtenue en II.2).
III.3.2/ Calculer J_3.
III.3.3/ Plus généralement expliciter J_(2p + 1) pour tout entier naturel p.

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