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CCINP Mathématiques 2 PSI 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Théorème de Perron-Frobenius : valeurs propres et vecteurs propres des matrices symétriques réelles à coefficients positifs
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Le problème unique de cette épreuve établit des propriétés sur les valeurs propres et vecteurs propres d'endomorphismes autoadjoints dont la matrice, dans une base orthonormale, a des coefficients tous positifs ou nuls. La partie I, calculatoire, traite un exemple concret construit à partir d'une suite récurrente et d'un déterminant tridiagonal. La partie II, indépendante de la première, démontre les résultats généraux sur la plus grande valeur propre de ce type d'endomorphisme.

  1. 1Partie I : étude d'un exempleÉtude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 paramétrée par un angle, calcul d'un déterminant tridiagonal, puis détermination des valeurs propres et d'un vecteur propre à composantes strictement positives d'une matrice particulière.
  2. 2Partie II : résultats générauxÉtude de la norme subordonnée, puis démonstration, pour un endomorphisme autoadjoint à coefficients positifs, de l'existence et des propriétés de sa plus grande valeur propre (théorème de Perron-Frobenius).

Difficulté moyenne. Le rapport distingue trois catégories de copies, des très bonnes maîtrisant l'ensemble du sujet à des copies où très peu de questions sont abordées, et qualifie certaines questions centrales (II.2, fin de II.5) d'essentielles et difficiles, tandis que d'autres sont bien réussies.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Cas particulier du discriminant nul oublié · Calculs de déterminants non achevés · Justification incomplète du nombre de valeurs propres distinctes
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Le problème unique portait sur le théorème de Perron-Frobenius pour les matrices symétriques réelles à coefficients positifs. Le jury distingue trois catégories de copies : les très bonnes, qui maîtrisent l'ensemble du programme et du sujet, les copies assez bonnes, qui traitent correctement la partie I et les points simples de la partie II par manque de temps, et les copies où très peu de questions sont abordées. La présentation est globalement satisfaisante mais les résultats ne sont pas toujours mis en évidence.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Cas particulier du discriminant nul oubliéI.1.2

    Pour la question I.1, un assez grand nombre de candidats préfère la méthode classique de résolution d'une récurrence linéaire à partir du discriminant, mais oublie d'étudier le cas particulier où ce discriminant s'annule.

  2. 2
    Calculs de déterminants non achevésI.2.1

    Le calcul des premiers déterminants ne pose pas de problème de méthode, mais le jury juge intolérable que les candidats n'aillent pas au bout de calculs simples ; un polynôme doit être présenté sous forme factorisée ou ordonnée par degré.

  3. 3
    Justification incomplète du nombre de valeurs propres distinctesI.4.2

    La question établissant que la matrice possède n valeurs propres distinctes est très rarement bien traitée : il manque presque toujours au moins un argument, alors que l'idée de départ est perçue par la majorité des candidats.

  4. 4
    Signe négatif mal géré dans l'expression des valeurs propresI.4.2

    Beaucoup d'étudiants, troublés par le signe négatif apparaissant dans l'expression des valeurs propres, l'« oublient » lors d'un changement de ligne au lieu d'utiliser la formule de changement de signe d'un cosinus.

  5. 5
    Inégalités de la norme subordonnée mal démontréesII.1.2

    La question qui nécessitait de montrer deux inégalités sur la norme subordonnée d'un endomorphisme diagonal est souvent mal abordée : certains candidats utilisent une autre norme au prétexte d'être en dimension finie, ce qui ne mène à aucun résultat.

  6. 6
    Continuité de la fonction Φ mal justifiéeII.2.1

    Beaucoup d'étudiants ont voulu montrer que la fonction Φ était linéaire ou lipschitzienne à l'origine, ce qui est faux ; il fallait invoquer la continuité de l'endomorphisme en dimension finie et celle du produit scalaire.

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul du deuxième terme de la suite, à la question I.1.1, est obtenu par presque tous les candidats.
  • La relation de récurrence entre les déterminants (question I.2.2) est trouvée par beaucoup de candidats.
  • La question II.1.1, calcul de la norme subordonnée d'un automorphisme orthogonal, est traitée correctement.
  • La troisième partie de la question II.2 (II.2.3) est correctement traitée : le résultat n'est pas donné dans l'énoncé mais beaucoup le trouvent.

Conseils du jury

  • S'appliquer à donner tous les arguments, même simples, conduisant à une conclusion.
  • Terminer les calculs et donner des résultats achevés, présentés sous forme factorisée ou ordonnée.
  • Penser à utiliser les résultats donnés dans l'énoncé pour résoudre les questions qui suivent.
  • Se placer scrupuleusement dans les hypothèses des questions dont on utilise les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 5 pages.
Notations
On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels, par ℕ l'ensemble des nombres entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble ℕ privé de 0 .
Pour n dans ℕ^∗, on note [ [1, n] ] l'ensemble des entiers k tels que 1 ≤ k ≤ n.
Pour n dans ℕ^∗, on note 𝔐_n(ℝ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans ℝ. Etant donné une matrice A de 𝔐_n(ℝ), on note det(A) le déterminant de la matrice A. La notation A = (a_(i, j)) signifie que a_(i, j) est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note I_n la matrice diagonale de 𝔐_n(ℝ) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 .

Objectifs

On considère des endomorphismes autoadjoints dont la matrice, relativement à une base orthonormale, est à coefficients tous positifs ou nuls. Avec une hypothèse supplémentaire sur les coefficients de la matrice, on fait établir des propriétés sur les valeurs propres et sur les vecteurs propres de ces endomorphismes.
La première partie est calculatoire et conduit à traiter un exemple des résultats généraux du problème.
Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés des endomorphismes autoadjoints particuliers que l'on étudie. La question II. 1 porte sur l'étude de la norme subordonnée d'applications linéaires; les questions suivantes de la partie II sont indépendantes des résultats de la question II.1.
Les deux parties sont indépendantes.
Dans tout le problème on désigne par n un entier de ℕ^∗.
Les résultats servant à résoudre une question et provenant d'une question précédente, devront être justifiés par un renvoi à la question dont ils sont déduits.

PARTIE I

I.1. Soit θ un réel. On considère la suite réelle (x_p)_(p ∈ ℕ^∗) définie par :
x_1 = sin(θ),
− 2x_1 cos(θ) + x_2 = 0,
et pour tout p ≥ 1, x_p − 2x_(p + 1)cos(θ) + x_(p + 2) = 0.
I.1.1. Déterminer x_2. Pour tout p dans ℕ^∗ expliciter x_p en fonction de p et de θ.
I.1.2. Soit n dans ℕ^∗, à quelle condition sur θ a-t-on x_(n + 1) = 0 ?
Pour t réel, on note A_n(t) = (a_(i, j)) la matrice de 𝔐_n(ℝ) telle que :
(1) pour tout i ∈ [ [1, n] ] les coefficients de la diagonale sont a_(i, i) = 2t;
(2) pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ] tel que |i − j| = 1, a_(i, j) = 1;
(3) dans tous les autres cas a_(i, j) = 0.
On note d_n(t) = det(A_n(t)).
I.2. Quelques valeurs de d_n(t).
I.2.1. Calculer d_1(t), d_2(t), d_3(t), d_4(t).
I.2.2. Pour n ≥ 3, établir une relation entre d_n(t), d_(n − 1)(t) et d_(n − 2)(t). En déduire que d_n est un polynôme en t, déterminer son degré ainsi que le coefficient du terme de plus haut degré.
I.3. On suppose |t| < 1 et on note t = cos(θ) avec 0 < θ < π.
I.3.1. Montrer que d_n(cos(θ)) = (sin((n + 1)θ))/(sin(θ)).
I.3.2. Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles d_n(cos(θ)) = 0.
I.4. On note χ_n(λ) = det(A_n(0) − λI_n) le polynôme caractéristique de la matrice A_n(0).
I.4.1. Exprimer χ_n(λ) en fonction de d_n et de λ.
I.4.2. Déduire de I.3.2. que la matrice A_n(0) possède n valeurs propres distinctes et donner ces valeurs propres. Montrer que la plus grande valeur propre est ρ = 2cos(π/(n + 1)).
I.4.3. En utilisant I.1.2, déterminer un vecteur propre de la matrice A_n(0) associé à la valeur propre ρ = 2cos(π/(n + 1)), dont toutes les composantes sont strictement positives.

PARTIE II

On considère l'espace euclidien ℝ^n rapporté à une base orthonormale 𝔅 = (e_1, …, e_n). Étant donné deux vecteurs u et v de ℝ^n, on note ( u|v ) leur produit scalaire et ‖u‖ la norme du vecteur u. Pour tout sous-espace vectoriel F de ℝ^n, on note F^⊥ l'orthogonal de F; on admettra la propriété (F^⊥)^⊥ = F.
On note S = {u ∈ ℝ^n/‖u‖ = 1}. Pour tout endomorphisme f de ℝ^n, on note Sp(f) l'ensemble des valeurs propres, réelles ou complexes, de f, c'est-à-dire le spectre de f.
II.1. Pour tout endomorphisme f de ℝ^n, on note ‖|f‖ = sup_(‖u‖ ⩽ 1)‖f(u)‖ la norme subordonnée à la norme euclidienne de ℝ^n de l'endomorphisme f.
II.1.1. Soit φ un automorphisme orthogonal de ℝ^n. Calculer ‖|φ|||.
II.1.2. Soit δ l'endomorphisme de ℝ^n représenté dans la base 𝔅 par la matrice diagonale diag(α_1, …, α_n), dont les coefficients de la diagonale sont les α_i. Montrer que ‖|δ‖| = max_(i ∈ [ [, n] ])|α_i|.
II.1.3. En déduire que lorsque f est un endomorphisme autoadjoint de ℝ^n on a |||f||| = max_(λ ∈ Sp(f))|λ|.
Les questions suivantes de la partie II sont indépendantes de la question II.1.
Dans la suite du problème, on note l un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien ℝ^n.
II.2. Propriété de la plus grande valeur propre de l. On note Φ l'application de ℝ^n dans ℝ définie par : pour tout vecteur u de ℝ^n, Φ(u) = (l(u)|u).
II.2.1. Montrer que Φ est une application continue de ℝ^n dans ℝ. En déduire que la restriction de l'application Φ à l'ensemble S admet un maximum.
On note v un vecteur de S tel que Φ(v) = max_(u ∈ S)Φ(u). Dans la suite de la question II.2, le vecteur v est fixé.
II.2.2. Soit u un vecteur de S orthogonal à v et soit t un réel.
Déterminer un scalaire α ∈ ℝ tel que w = (v + tu)/α appartienne à S.
En comparant Φ(v) et Φ(w), montrer que (l(v)|u) = 0.
En déduire que le vecteur v est un vecteur propre de l.
On note ρ la valeur propre de l associée au vecteur propre v.
II.2.3. Soit λ une valeur propre quelconque de l et soit x un vecteur de S qui est un vecteur propre de l pour la valeur propre λ.
Comparer Φ(x) et λ.
Déduire des résultats précédents que λ ≤ ρ.
On a donc montré que ρ = max_(λ ∈ Sp(l))λ = max_(u ∈ S)Φ(u) et que si un vecteur v de S vérifie Φ(v) = max_(u ∈ S)Φ(u), alors l(v) = ρv.
Dans la suite du problème, on suppose que la matrice A = (a_(i, j)) de l'endomorphisme autoadjoint l, relativement à la base orthonormale 𝔅, vérifie les deux conditions suivantes:
(1) pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ], on a a_(i, j) ≥ 0;
(2) il n'existe pas de partition de l'ensemble [ [1, n] ] vérifiant [ [1, n] ] = I ∪ J, I ∩ J = φ avec I et J non vides et telle que pour tout (i, j) ∈ I × J, on ait a_(i, j) = 0.
Étant donné un vecteur x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i, on écrit x ≥ 0 (respectivement x > 0 ) si pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a x_i ≥ 0( respectivement x_i > 0). On note x^+le vecteur x^+ = ∑_(i = 1)^n|x_i|e_i.
Dans la suite du problème, on note ρ = max_(λ ∈ Sp(l))λ.
II.3. Signe de ρ.
II.3.1. Soit x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i un vecteur de ℝ^n. Exprimer Φ(x) en fonction des scalaires a_(i, j) et x_i. En déduire l'inégalité |Φ(x)| ≤ Φ(x^+).
II.3.2. Soit x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i un vecteur de S tel que ρ = Φ(x). Montrer que ρ = Φ(x^+). En déduire que ρ ≥ 0.
II.4. Soit λ une valeur propre quelconque de l et soit x un vecteur de S tel que l(x) = λx. Montrer que |λ| ≤ ρ.
On a donc ρ = max_(λ ∈ Sp(l))|λ|.
II.5. Soit x un vecteur de S tel que l(x) = ρx. Montrer que l(x^+) = ρx^+, puis montrer que x^+ > 0 (pour montrer que x^+ > 0, on pourra raisonner par l'absurde et se souvenir que la matrice A de l'endomorphisme l vérifie la condition (2)).
II.6. Soient x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i et y = ∑_(i = 1)^n y_i e_i deux vecteurs non nuls tels que l(x) = ρx et l(y) = ρy. Justifier que y_1 ≠ 0. En considérant le vecteur z = x − (x_1)/(y_1)y, montrer que le sous-espace propre de l associé à la valeur propre ρ est de dimension 1 .
II.7. Soit x un vecteur propre de l associé à une valeur propre λ. On suppose x > 0. Montrer que λ ≥ 0. Montrer que λ = ρ.
II.8. On suppose n ≥ 3. Soit A = (a_(i, j)) ∈ 𝔐_n(ℝ) la matrice telle que
(1) a_(1, n) = a_(n, 1) = 1;
(2) pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ] × [ [1, n] ] tel que |i − j| = 1, a_(i, j) = 1;
(3) dans tous les autres cas a_(i, j) = 0.
Déduire des questions précédentes la plus grande valeur propre de la matrice A.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2009 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2009 ?

Le sujet porte sur le théorème de Perron-Frobenius : valeurs propres et vecteurs propres d'endomorphismes autoadjoints à coefficients positifs, via une partie calculatoire (suites récurrentes, déterminants) puis une partie de démonstration générale (norme subordonnée, espaces euclidiens).

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2009 ?

Le rapport ne communique aucune statistique chiffrée (moyenne, écart-type ou nombre de copies) pour cette session.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2009 ?

Le jury relève des calculs non achevés, des justifications incomplètes sur le nombre de valeurs propres distinctes, une gestion maladroite du signe des valeurs propres, et des confusions sur la continuité ou la linéarité de la fonction étudiée en partie II.

Cette épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2009 est-elle difficile ?

Le jury distingue trois groupes de copies, de très bonnes maîtrisant tout le sujet à des copies abordant très peu de questions, et qualifie certaines questions centrales d'essentielles et difficiles.

Pas de description pour le moment