CCINP Mathématiques 2 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels, par ℕ l'ensemble des entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble ℕ privé de 0 .

Dans tout le problème n est un entier de ℕ^∗. On note [ [1, n] ] l'ensemble des entiers k tels que 1 ≤ k ≤ n. Dans l'ensemble des matrices à coefficients réels, on note M_n(ℝ) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes, S_n(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ) et M_(n, 1)(ℝ) l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. O(n) désigne le groupe des matrices orthogonales de M_n(ℝ).

On rappelle que toute matrice de S_n(ℝ) est semblable à une matrice diagonale de M_n(ℝ), avec une matrice de passage orthogonale.

On note diag (α_1, …, α_n) la matrice diagonale de M_n(ℝ) qui admet pour coefficients diagonaux les réels α_1, …, α_n dans cet ordre. L'écriture A = (a_(i, j)) signifie que a_(i, j) est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. On note ^t A la matrice transposée de la matrice A et tr(A) la trace de la matrice carrée A.

Dans tout le problème, on considère l'espace euclidien ℝ^n rapporté à une base orthonormale B = (e_1, …, e_n). Le produit scalaire de deux vecteurs x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i et y = ∑_(i = 1)^n y_i e_i est noté (x|y) = ∑_(i = 1)^n x_i y_i et ‖x‖ désigne la norme du vecteur x. Soient X et Y les matrices de M_(n, 1)(ℝ) des composantes de x et y dans B, le produit ^t XY appartient à M_1(ℝ) et son unique coefficient est (x|y). On écrira (x|y) = ^t XY qui est le produit scalaire canonique des matrices X et Y de M_(n, 1)(ℝ).

Dans le problème, on définit les ensembles S_n^+(respectivement S_n^(+ +)) des matrices symétriques positives (respectivement des matrices symétriques définies positives) ainsi que les endomorphismes autoadjoints associés et on en donne quelques propriétés.

Dans la première partie, on traite deux exemples et on démontre une propriété de compacité d'une partie de ℝ^n liée au signe des valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint.

Dans les deux parties suivantes, on définit les ensembles S_n^+et S_n^(+ +)et on démontre différentes propriétés de leurs éléments : caractérisation par le signe des valeurs propres, racine carrée, propriété de la trace.

Dans la dernière partie, on fait établir des inégalités vérifiées par les endomorphismes autoadjoints associés aux matrices de S_n^(+ +). Les parties III et IV sont indépendantes l'une de l'autre.

L'espace euclidien ℝ^n est rapporté à une base orthonormale B = (e_1, …, e_n). Soit s un endomorphisme autoadjoint de ℝ^n. On considère l'ensemble Σ = {x ∈ ℝ^n; (x|s(x)) = 1}.
I.1. Dans cette question, on suppose n = 2. On considère le plan euclidien muni du repère orthonormal R = (O, e_1, e_2) où O est un point du plan. À tout vecteur x = x_1 e_1 + x_2 e_2 de ℝ^2, on associe le point M du plan de coordonnées ( x_1, x_2 ) dans le repère R. On note σ l'ensemble des points du plan ainsi associés aux vecteurs de Σ. Soit S la matrice de l'endomorphisme s relativement à la base B.
I.1.1. On suppose que S = (2, √3; √3, 4). Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice S. Pour x = x_1 e_1 + x_2 e_2 dans ℝ^2, calculer le produit scalaire (x|s(x)). Montrer que l'ensemble σ est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni du repère R.
I.1.2. On suppose que S = (2, 2√2; 2√2, 4). Déterminer les valeurs propres de S. Déterminer l'ensemble σ et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère R.
I.2. On suppose n entier quelconque de ℕ^∗. On note λ_1, …, λ_n les n valeurs propres réelles (distinctes ou confondues) de s, chaque valeur propre figurant avec son ordre de multiplicité. On veut montrer que Σ est une partie compacte de ℝ^n si et seulement si tous les λ_i sont strictement positifs. On ordonne les λ_i dans l'ordre croissant, λ_1 ≤ ⋯ ≤ λ_n, et on considère une base orthonormale (ε_1, …, ε_n) de ℝ^n formée de vecteurs propres de s avec, pour tout i ∈ [ [1, n] ], s(ε_i) = λ_i ε_i.
I.2.1. On suppose λ_1 > 0. Pour x = ∑_(i = 1)^n a_i ε_i ∈ ℝ^n, calculer (x|s(x)). Montrer que l'ensemble Σ n'est pas vide. Montrer que Σ est une partie bornée de ℝ^n. Montrer que l'application x ↦ (x|s(x)) de ℝ^n dans ℝ est continue. En déduire que Σ est une partie compacte de ℝ^n.
I.2.2. On suppose que Σ est une partie compacte non vide de ℝ^n.
I.2.2.1. Montrer que l'inégalité λ_n ≤ 0 est impossible.
I.2.2.2. On suppose λ_1 ≤ 0 et λ_n > 0 et, pour tout r ∈ ℝ, on considère le vecteur x_r = rε_1 + √((1 − λ_1 r^2)/(λ_n))ε_n.
Montrer que x_r ∈ Σ. Calculer ‖x_r‖^2 et déterminer sa limite lorsque r tend vers + ∞. En déduire une contradiction avec l'hypothèse Σ compacte.

Dans la suite du problème, on note S_n^+(respectivement S_n^(+ +)) l'ensemble des matrices S de S_n(ℝ) qui vérifient: pour tout X non nul de M_(n, 1)(ℝ), ^t XSX ≥ 0 (respectivement ^t XSX > 0 ). Pour S ∈ S_n(ℝ), soit s l'endomorphisme autoadjoint de ℝ^n et soit x le vecteur de ℝ^n de matrices S et X relativement à la base B. On a donc ^t XSX = (x|s(x)).

Soit S ∈ S_n(ℝ). On note λ_1, …, λ_n les n valeurs propres réelles de S comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. Soit (X_1, …, X_n) une base orthonormale de M_(n, 1)(ℝ) formée de vecteurs propres de S avec : pour tout i ∈ [ [1, n] ], SX_i = λ_i X_i.
II.1. On veut montrer que S ∈ S_n^+si et seulement si pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a λ_i ≥ 0.
II.1.1. On suppose que S ∈ S_n^+. Montrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a λ_i ≥ 0.
II.1.2. On suppose que pour tout i ∈ [ [1, n] ] on a λ_i ≥ 0. Montrer que S ∈ S_n^+.

On montre de même, et on admettra, qu'une matrice S ∈ S_n(ℝ) appartient à S_n^(+ +)si et seulement si ses valeurs propres sont strictement positives.
II.1.3. On suppose que S ∈ S_n^(+ +)et donc que pour tout i ∈ [ [1, n] ], λ_i > 0. Montrer que S est inversible et que son inverse S^(− 1) ∈ S_n^(+ +).
II.2. On suppose de plus que S ∈ S_n^+.
II.2.1. Soient D = diag(λ_1, …, λ_n) et Δ = diag(√(λ_1), …, √(λ_n)), calculer Δ^2.

On suppose que N ∈ S_n^+vérifie N^2 = D. On note (C_1, …, C_n) la base canonique de M_(n, 1)(ℝ) où C_i est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne i est égal à 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Soient Y = ∑_(i = 1)^n y_i C_i et μ ∈ ℝ avec μ ≥ 0 tels que NY = μY. Montrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a μ^2 y_i = λ_i y_i puis μy_i = √(λ_i)y_i. En déduire que N = Δ.
II.2.2. Soit U ∈ O(n) telle que S = UD^t U. Déterminer une matrice T ∈ S_n^+telle que T^2 = S. Montrer que T est unique.

On notera T = √S l'unique matrice T de S_n^+telle que T^2 = S.
II.3. Une détermination de √S. On suppose que S ∈ S_n^+et que λ_1, …, λ_n sont les valeurs propres de S. On note 0 ≤ μ_1 < ⋯ < μ_p les valeurs propres distinctes de S. Pour k ∈ [ [1, p] ], on définit les polynômes d'interpolation de Lagrange aux points μ_1, …, μ_p par:

II.3.1. Pour i ∈ [ [1, n] ], calculer L_k(S)X_i en distinguant les cas μ_k = λ_i et μ_k ≠ λ_i (on rappelle que les X_i définis au début de la partie II, appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de S avec : pour tout i ∈ [ [1, n] ], SX_i = λ_i X_i).
II.3.2. Soit P le polynôme de degré inférieur ou égal à p − 1, à coefficients réels tel que : pour tout k ∈ [ [1, p] ], P(μ_k) = √(μ_k). Exprimer P comme une combinaison linéaire des polynômes L_k. Calculer P(S)X_i et en déduire que P(S) ∈ S_n^+. Montrer que P(S) = √S.
II.3.3. En application des questions précédentes, on prend S = (7, 2, − 2; 2, 4, − 1; − 2, − 1, 4). Montrer que S ∈ S_3^+. Exprimer √S comme une combinaison linéaire des matrices S et I_3 = diag(1, 1, 1).

III.1. Soit S ∈ S_n^+.
III.1.1. On considère la matrice δ = diag(α_1, …, α_n) avec : pour tout i ∈ [ [1, n] ], α_i ≥ 0. Soit V = (v_(i, j)) ∈ O(n). Montrer que tr(δV) ≤ tr(δ).
III.1.2. En déduire que pour tout U ∈ O(n), on a : tr(SU) ≤ tr(S).
III.2. Réciproque de la propriété III.1. Soit A = (a_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) telle que pour tout U ∈ O(n), on a tr(AU) ≤ tr(A). On veut montrer que A ∈ S_n^+.
III.2.1. Un lemme technique. Soient a, b, θ des réels. Montrer qu'il existe un réel φ indépendant de θ, tel que acos(θ) + bsin(θ) = √(a^2 + b^2)sin(θ + φ).
En déduire que l'inégalité «pour tout θ ∈ ℝ, acos(θ) + bsin(θ) ≤ a» entraîne b = 0.
III.2.2. On considère l'espace euclidien ℝ^n rapporté à la base orthonormale B = (e_1, …, e_n). Pour p et q entiers tels que 1 ≤ p < q ≤ n, on note Π le plan vectoriel de ℝ^n engendré par les vecteurs e_p et e_q. Soit u l'isométrie de ℝ^n telle que u induit sur le plan Π, orienté par la base ( e_p, e_q ), la rotation d'angle θ et telle que u induit l'identité sur l'orthogonal de Π. Écrire la matrice U de u relativement à la base B. Calculer tr(AU). En déduire que A ∈ S_n(ℝ).
III.2.3. D'après III.2.2, la matrice A est symétrique. On note l l'endomorphisme de ℝ^n de matrice A relativement à la base orthonormale B. On considère une base orthonormale de ℝ^n, V = (v_1, …, v_n) formée de vecteurs propres de l. Pour i ∈ [ [1, n] ], on notera l(v_i) = β_i v_i. On suppose qu'une valeur propre de l est strictement négative et on ordonne la base V pour que β_1 < 0. Soit u l'isométrie de ℝ^n définie sur la base V par u(v_1) = − v_1 et pour i ≠ 1, u(v_i) = v_i. En notant U la matrice de u relativement à la base B, montrer que l'inégalité tr(AU) ≤ tr(A) conduit à une impossibilité et en déduire que A ∈ S_n^+.

Soit S ∈ S_n^(+ +)et soit T ∈ S_n^(+ +)telles que T^2 = S. On note s et t les automorphismes de ℝ^n de matrices S et T relativement à la base orthonormale B. Soient s^(− 1) et t^(− 1) les applications réciproques de s et de t. On note 0 < λ_1 ≤ ⋯ ≤ λ_n les n valeurs propres de s.
IV.1. Soit x ∈ ℝ^n. Montrer l'inégalité (1) :

À quelle condition sur x a-t-on égalité ?
IV.2. On considère le polynôme P défini sur ℝ par :

Pour chaque i ∈ [ [1, n] ], déterminer le signe de P(λ_i).
Soit v l'endomorphisme de ℝ^n défini par v = − P(s) ∘ s^(− 1). Soit x ∈ ℝ^n, x ≠ 0, tel que s(x) = λ_i x. Calculer v(x) et montrer que x est vecteur propre de v. En déduire que la matrice V de v relativement à la base B vérifie V ∈ S_n^+.
IV.3. Soit x un vecteur non nul de ℝ^n. On considère le polynôme Q défini sur ℝ par :

Déterminer le signe de Q(0) et celui de Q(1). En déduire l'inégalité (2) :
(2) (s(x)|x)(s^(− 1)(x)|x) ≤ ((λ_1 + λ_n)^2)/(4λ_1 λ_n)‖x‖^4.
IV.4. On suppose que λ_1 < λ_n. Soient v_1 et v_n des vecteurs de norme 1 tels que s(v_1) = λ_1 v_1 et s(v_n) = λ_n v_n. Soit x = v_1 + v_n. Calculer les produits scalaires (s(x)|x) et (s^(− 1)(x)|x). Montrer que le vecteur x vérifie l'égalité dans l'inégalité (2).

Fin de l'énoncé