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Centrale Mathématiques 2 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Représentation de points connaissant les distances mutuelles : centrage de matrices et matrices de distances
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Le sujet étudie le lien entre une matrice de distances mutuelles au carré entre des points et la matrice des produits scalaires associée, en s'appuyant d'abord sur un endomorphisme de centrage. Il en tire une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice donnée soit une matrice de distances mutuelles au carré, avant d'étudier un exemple géométrique dans R3 puis le cas où aucun point ne représente exactement la matrice donnée.

  1. 1I. Centrage de matricesÉtude de l'endomorphisme de centrage associé à la matrice P, sur Rn puis sur Mn(R).
  2. 2II. Produit scalaire à partir des distances mutuelles (relation de Torgerson)Lien entre la matrice des distances mutuelles au carré et celle des produits scalaires.
  3. 3III. Condition pour qu'une matrice soit une matrice de distances mutuelles au carréÉtablissement d'une condition nécessaire et suffisante.
  4. 4IV. Étude d'un exemple dans l'espace R3Partie géométrique puis algébrique sur un exemple concret.
  5. 5V. Cas où il n'existe pas de points représentant une matrice de distances mutuellesTrois transformations, par moindres carrés puis par décalage, pour obtenir une matrice de distances mutuelles au carré valide.

Difficile. Le rapport indique que les milieux et fins de parties étaient plus difficiles, que le sujet présentait une certaine originalité demandant un effort de réflexion, et que l'écart-type est très important, ce qui rend l'épreuve discriminante.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre projecteur et projecteur orthogonal · Théorème spectral énoncé de façon approximative · Confusion sur S+n(R) dans la partie V.A
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Le sujet comportait des parties faciles découlant directement du cours, mais devenait plus difficile en milieu et fin de parties, ce qui a permis de bien sélectionner les candidats. Le jury relève une certaine originalité du sujet et une longueur qui a pu surprendre, ainsi que des fautes de raisonnement graves chez certains candidats à côté de bonnes copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre projecteur et projecteur orthogonalpremière question

    Plus de 80 à 90% des candidats affirment à tort qu'un endomorphisme égal à son carré est nécessairement un projecteur orthogonal, alors qu'un projecteur orthogonal n'est pas un endomorphisme orthogonal.

    « égal à son carré n'est pas nécessairement un projecteurorthogonal »
  2. 2
    Théorème spectral énoncé de façon approximative

    De nombreux candidats énoncent un théorème spectral flou ou faux à propos des matrices symétriques réelles.

    « On voit majoritairement énoncer un théorème spectral très approximatif, voire faux »
  3. 3
    Confusion sur S+n(R) dans la partie V.AV.A

    Certains candidats pensent à tort que l'ensemble des matrices symétriques positives est un sous-espace vectoriel de Mn(R), alors qu'il est ailleurs jugé compact car fermé et borné.

    « certains candidats ont parlé de projection orthogonale sur S »
  4. 4
    Affirmations non justifiées

    Des formules toutes faites comme « il est clair que » ou « il est évident que », utilisées pour éviter une démonstration attendue, se soldent par un zéro.

    « Il est clair que, Il est évident que, On voit immédiatement que »
  5. 5
    Copies mal numérotées

    La plupart des candidats ne numérotent ni les feuilles ni les questions, ce qui rend la correction difficile.

    « la plupart des candidats ne numérotent pas les feuilles »

Ce qui a été bien réussi

  • Les bons candidats font preuve à la fois de maîtrise du cours et d'ingéniosité, notamment dans la partie IV.
  • Le jury a vu de bonnes copies montrant des candidats qui dominent la moitié du sujet environ pour les meilleurs.

Conseils du jury

  • Justifier chaque affirmation par une démonstration complète plutôt que par une formule d'évidence non prouvée.
  • Numéroter les feuilles et les questions pour faciliter la correction.
  • Ne pas viser à tout résoudre : un candidat peut réussir brillamment sans avoir traité l'intégralité du problème.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Représentation connaissant les distances mutuelles

Notations

Dans tout le problème, n et p désignent des entiers naturels ⩾ 1.
On note la matrice colonne Z = (1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℝ).
On définit les deux matrices suivantes de M_n(ℝ)
J = Z^t Z et P = I_n − 1/nJ
On considère l'espace vectoriel ℝ^p muni du produit scalaire canonique que l'on notera < ⋅, ⋅ > et l'espace de matrices M_n(ℝ) muni du produit scalaire ( ⋅ | ⋅ ) défini par
∀(M, N) ∈ (M_n(ℝ))^2, (M|N) = tr(^t MN)
On note ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne associée au produit scalaire < ⋅, ⋅ > et ‖ ⋅ ‖_(M_n(ℝ)) la norme euclidienne sur M_n(ℝ) associée au produit scalaire (⋅ | ⋅).
S_n(ℝ) désigne le sous-espace de M_n(ℝ) des matrices symétriques réelles et S_n^+(ℝ) le sous-ensemble de S_n(ℝ) des matrices à valeurs propres positives ou nulles.
O_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ).

I Centrage de matrices

I. A - Soit π l'endomorphisme de ℝ^n dont la représentation dans la base canonique est la matrice P.
Montrer que π est un projecteur orthogonal et en préciser les éléments caractéristiques.
I.B - On considère l'endomorphisme Φ de M_n(ℝ) défini par :
∀M ∈ M_n(ℝ), Φ(M) = PMP
I.B.1) Montrer que Φ est un projecteur orthogonal dans l'espace euclidien ( M_n(ℝ), (⋅ | ⋅) ).
I.B.2) Montrer que ImΦ = {M ∈ M_n(ℝ)|MZ = 0 et ^t MZ = 0}.
I.C − Soit M = (m_(ij)) ∈ S_n(ℝ). On pose
S(M) = MZ = (∑_(i = 1)^n m_(1i); ⋮; ∑_(i = 1)^n m_(ni)) = (S(M)_1; ⋮; S(M)_n) et σ(M)=<Z, S(M) >
Montrer que
Φ(M) = M − 1/n(S(M)^t Z + Z^t S(M)) + (σ(M))/(n^2)J

II Produit scalaire à partir des distances mutuelles (relation de Torgerson)

Soient U_1, U_2, ⋯, U_n, n éléments de ℝ^p vérifiant ∑_(i = 1)^n U_i = 0.
Géométriquement, U_1, U_2, ⋯, U_n désignent des points d'isobarycentre l'origine.
On définit la matrice des distances mutuelles au carré, élément de S_n(ℝ), de la façon suivante :
M = (m_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) = (‖U_i − U_j‖^2)_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2)
On note U la matrice de M_(p, n)(ℝ) admettant pour vecteurs colonnes les éléments U_1, U_2, ⋯, U_n de ℝ^p. (On pourra noter commodément U = (U_1|U_2|⋯|U_n)).
II.A - Montrer que ^t UU = − 1/2Φ(M)
II. B - En déduire, pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, une expression du produit scalaire < U_i, U_j>=^t U_i U_j en fonction de
α_(ij) = − 1/n(S(M)_i + S(M)_j) + 1/(n^2)σ(M)
et de m_(ij) (relation de Torgerson).
Ainsi la matrice des distances mutuelles au carré permet de retrouver la matrice des produits scalaires ^t UU ∈ M_n(ℝ).

III Condition pour qu'une matrice soit une matrice de distances mutuelles au carré

Soit M = (m_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) ∈ S_n(ℝ) telle que pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(ij) ⩾ 0 et m_(ii) = 0.
III.A - On suppose dans cette question qu'il existe U_1, U_2, ⋯, U_n éléments de ℝ^p tels que pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(ij) = ‖U_i − U_j‖^2.
III.A.1) Montrer que les valeurs propres de Φ(M) sont toutes réelles et négatives ou nulles.
III.A.2) On suppose de plus (quitte à effectuer une translation) que les (U_i)_(i ∈ [ [1, n] ]) sont centrés, c'est-à-dire que ∑_(i = 1)^n U_i = 0.
Montrer que rg(U) = rg(U_1|U_2|⋯|U_n) = rg(Φ(M)) et que p ⩾ rg(Φ(M)).
III.B - Réciproquement, on suppose que les valeurs propres de Φ(M) sont toutes négatives ou nulles et on pose Ψ(M) = − 1/2Φ(M) et r = rg(Ψ(M)).
III.B.1) Montrer qu'il existe une matrice U ∈ M_(r, n)(ℝ) telle que ^t UU = Ψ(M).
III.B.2) On note U_1, U_2, ⋯, U_n les colonnes de la matrice U.
On cherche à montrer que pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(ij) = ‖U_i − U_j‖^2.
a) Montrer que les (U_i) sont centrés, c'est-à-dire que ∑_(i = 1)^n U_i = 0.
b) Montrer que la matrice N = (n_(ij)) définie par :
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, n_(ij) = ‖U_i − U_j‖^2
vérifie Ψ(N) = Ψ(M).
c) Montrer que M = N et conclure.

IV Étude d'un exemple dans l'espace ℝ^3

Dans cette partie, on considère quatre points distincts A, B, C et D dans l'espace euclidien canonique ℝ^3 tels que AB = BC = CD = DA = 1. On pose AC = a > 0 et BD = b > 0.
On se propose de trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que ces quatre points existent, dans un premier temps par un raisonnement géométrique puis en utilisant les résultats des parties précédentes.

IV.A - Étude géométrique

On suppose que les quatre points A, B, C et D existent.
IV.A.1) On suppose que les quatre points A, B, C et D sont coplanaires. Quelle relation vérifient alors a et b ?
IV.A.2) On suppose que les quatre points distincts A, B, C et D ne sont pas coplanaires. On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
a) Montrer que ( IJ ) est la perpendiculaire commune aux droites ( AC ) et ( BD ).
b) En projetant les points B et D sur le plan contenant ( AC ) et perpendiculaire à ( IJ ), montrer que a^2 + b^2 < 4.
On étudie maintenant la réciproque.
IV.A.3) Montrer que si des réels strictement positifs a et b vérifient la relation a^2 + b^2 ⩽ 4, alors il existe bien quatre points distincts A, B, C et D dans l'espace euclidien canonique ℝ^3 vérifiant AB = BC = CD = DA = 1, AC = a et BD = b.

IV.B - Étude algébrique

On se propose de retrouver les résultats précédents en utilisant les parties II et III.
Pour simplifier l'écriture des relations, on notera U_1, U_2, U_3 et U_4 les quatre points A, B, C et D de l'espace ℝ^3 vérifiant U_1 U_2 = U_2 U_3 = U_3 U_4 = U_4 U_1 = 1, U_1 U_3 = a et U_2 U_4 = b.
IV.B.1) On reprend les notations des parties précédentes avec ici n = 4.
On pose M = (‖U_i − U_j‖^2)_((i, j) ∈ [ [1, 4] ]^2) ∈ S_4(ℝ).
Écrire la matrice M puis calculer S(M) et σ(M).
IV.B.2) Montrer que les vecteurs
(1; 0; − 1; 0), (0; 1; 0; − 1), (− 1; 1; − 1; 1), (1; 1; 1; 1)
forment une base de vecteurs propres de la matrice Ψ(M) et déterminer les valeurs propres de la matrice Ψ(M).
IV.B.3) Déterminer le rang de Ψ(M) selon les valeurs prises par a et b.
IV.B.4) Quelle égalité vérifie les réels a et b lorsque les points U_1, U_2, U_3 et U_4 sont coplanaires?
IV.B.5) Retrouver que les réels strictement positifs a et b vérifient a^2 + b^2 ⩽ 4.
IV.B.6) Réciproquement, si a^2 + b^2 ⩽ 4, donner une famille de points U_1, U_2, U_3 et U_4 vérifiant les contraintes de distances mutuelles.

V Cas où il n'existe pas de points représentant une matrice de distances mutuelles

On considère dans cette partie une matrice M = (m_(ij)) ∈ S_n(ℝ) telle que pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, m_(ij) ⩾ 0 et m_(ii) = 0.
On suppose que Ψ(M) possède au moins une valeur propre strictement négative. Dans la suite, on étudie trois transformations permettant de modifier «légèrement» la matrice M pour obtenir une nouvelle matrice de distances mutuelles au carré.

V.A - Par les moindres carrés

V.A.1) On cherche à prouver qu'il existe une unique matrice symétrique T_0 à valeurs propres positives ou nulles qui minimise ‖Ψ(M) − T‖_(M_n(ℝ)) lorsque T décrit S_n^+(ℝ).
a) Montrer que
∀Q ∈ O_n(ℝ), ∀A ∈ M_n(ℝ), ‖^t QAQ‖_(M_n(ℝ)) = ‖A‖_(M_n(ℝ))
b) Justifier l'existence d'une matrice Q_0 ∈ O_n(ℝ) telle que la matrice ^t Q_0 Ψ(M)Q_0 soit diagonale.
c) Montrer qu'une condition nécessaire pour que ‖Ψ(M) − T_0‖_(M_n(ℝ)) minimise ‖Ψ(M) − T‖_(M_n(ℝ)) lorsque T décrit S_n^+(ℝ) est que la matrice ^t Q_0 T_0 Q_0 soit diagonale.
d) Prouver l'existence et l'unicité de la matrice T_0 cherchée.
V.A.2) On suppose dans cette question que T_0 est non nulle. On veut montrer qu'il existe un entier p ∈ [ [1, n − 1] ] minimal que l'on précisera tel que l'on puisse déterminer des vecteurs U_1, U_2, ⋯, U_n éléments de ℝ^p satisfaisant la condition ∑_(i = 1)^n U_i = 0 et pour lesquels la matrice M˜ = (‖U_i − U_j‖^2)_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) vérifie la relation Ψ(M˜) = T_0.
On reprend les notations de la partie II et on note U = (U_1|U_2|⋯|U_n).
a) Montrer que l'entier p vérifie p ⩾ rg(T_0) et que rg(T_0) ∈ [ [1, n − 1] ].
b) Construire une matrice U ∈ M_(r, n)(ℝ) telle que ^t UU = T_0 pour r = rg(T_0).
Indication. En supposant que ^t Q_0 T_0 Q_0 soit de la forme (Δ; 0_(n − r)) avec Δ ∈ M_r(ℝ), diagonale à valeurs non nulles, on cherchera U sous la forme U = ((Δ_1)(0)) × Q_0 ∈ M_(r, n)(ℝ) avec Δ_1 ∈ M_r(ℝ), diagonale.
c) Montrer que ∑_(i = 1)^n U_i = 0 (on pourra étudier le vecteur UZ ).
d) En déduire que Ψ(M˜) = T_0 avec M˜ = (‖U_i − U_j‖^2)_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) et conclure.

V. B - Par décalage de la distance au carré

On pose ξ_i^j = {0, si i = j; 1, sinon et N_k = (m_(ij) + kξ_i^j) avec k un nombre réel strictement positif.
V.B.1) Soit A ∈ M_n(ℝ). Montrer que l'hyperplan H de vecteur normal Z (et d'équation x_1 + ⋯ + x_n = 0 ) est stable par l'endomorphisme canonique associé à la matrice Ψ(A).
V.B.2) Exprimer la matrice N_k en fonction des matrices M, J, I_n et du réel k.
V.B.3) Montrer qu'il existe un réel k_0 minimal que l'on précisera en fonction des valeurs propres de Ψ(M), tel que la matrice Ψ(N_(k_0)) soit à valeurs propres positives ou nulles.

V.C - Par décalage de la distance (résultat dû à F. Cailliez, 1983)

On pose D = (d_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) = (√(m_(ij)))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2) ∈ M_n(ℝ). On cherche à construire une matrice
M_c = ((d_(ij) + cξ_i^j)^2)
avec c > 0 telle que Ψ(M_c) soit à valeurs propres positives ou nulles.
V.C.1) Montrer que, pour tout X ∈ ℝ^n, ^t XΨ(M_c)X = ^t XΨ(M)X + 2c^t XΨ(D)X + (c^2)/2^t XPX.
V.C.2) Montrer que si λ_(min) et μ_(min) désignent les valeurs propres minimales respectives de Ψ(M) et Ψ(D), alors
∀X ∈ H, ^t XΨ(M)X ⩾ λ_(min)^t XX et ^t XΨ(D)X ⩾ μ_(min)^t XX
(L'hyperplan H a été défini à la question V.B.1.)
V.C.3) En déduire que pour c = c˜ = − 2μ_(min) + √(4μ_(min)^2 − 2λ_(min)) > 0, Ψ(M_c) est à valeurs propres positives ou nulles et que pour tout c > c˜ et pour tout vecteur non nul X ∈ H, ^t XΨ(M_c)X > 0.
V.C.4) Nous allons chercher la constante c^∗ > 0 minimale (si elle existe) vérifiant
  • Ψ(M_(c^∗)) est à valeurs propres positives ou nulles,
  • pour tout c > c^∗ et pour tout vecteur non nul X ∈ H, ^t XΨ(M_c)X > 0.
On sait que c^∗ est majoré par c˜.
On considère A = {X ∈ H|‖X‖ = 1 et 4(^t XΨ(D)X)^2 − 2^t XΨ(M)X ⩾ 0} et on définit l'application
α : {A ⟶ ℝ; X ⟼ − 2^t XΨ(D)X + √(4(^t XΨ(D)X)^2 − 2^t XΨ(M)X)
Montrer qu'il existe X^∗ ∈ A tel que α(X^∗) = sup_(X ∈ A)α(X) et α(X^∗) > 0.
On notera α^∗ = α(X^∗).
V.C.5) Montrer que
  • ^t X^∗ Ψ(M_(α^∗))X^∗ = 0,
  • Ψ(M_(α^∗)) est à valeurs propres positives ou nulles,
  • pour tout c > α^∗ et pour tout vecteur non nul X ∈ H, ^t XΨ(M_c)X > 0.
En conclure que c^∗ = α^∗.

V.C.6) Calcul de c^∗

a) Montrer que Ψ(M_(c^∗))X^∗ = 0.
On pose Y^∗ = 2/(c^∗)Ψ(M)X^∗.
b) Montrer que le vecteur colonne ((Y^∗)/(X^∗)) est vecteur propre de la matrice de taille 2n(0, 2Ψ(M); − I_n, − 4Ψ(D)) et que c^∗ est valeur propre de cette matrice.
V.C.7) On considère γ une valeur propre réelle de la matrice (0, 2Ψ(M); − I_n, − 4Ψ(D)) et ((X_1)/(X_2)) un vecteur propre associé.
a) Montrer que ^t X_2 Ψ(M_γ)X_2 = 0 et que X_2 ≠ 0. En conclure que γ ⩽ c^∗.
b) Quelle conclusion en déduit-on sur le calcul de la plus petite constante additive c^∗ ?
Ce sujet s'inspire des techniques du «positionnement multidimensionnel» (Multi Dimensional Scaling en anglais) dans le domaine de l'analyse des données (une branche des mathématiques). Ces méthodes furent particulièrement utilisées avec les avancées de l'informatisation en psychométrie et en biologie (en écologie des populations pour visualiser les associations entre espèces par exemple).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PSI 2011 ?

Le sujet porte sur le centrage de matrices, les matrices symétriques et les projecteurs orthogonaux, en lien avec les distances mutuelles entre points.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

La confusion entre un endomorphisme égal à son carré et un projecteur orthogonal, un théorème spectral énoncé de façon approximative, et des affirmations non démontrées comme « il est clair que ».

Ce sujet de maths 2 Centrale PSI 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme discriminant, avec des débuts de parties faciles mais des milieux et fins plus difficiles, et un écart-type important entre les candidats.

Faut-il traiter tout le sujet de maths 2 Centrale PSI 2011 pour réussir ?

Non, le rapport rappelle qu'il s'agit d'un concours et non d'un examen, et que des candidats ont pu réussir brillamment sans résoudre l'intégralité du problème.

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