Centrale Physique Chimie PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Mécanique du point et quantité de mouvement
Effet Doppler-Fizeau et relativité galiléenne
Oscillateur harmonique forcé
Cristallographie et extraction liquide-liquide
Équations de Maxwell en coordonnées cylindriques
Asservissement et boucle de rétroaction

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BanqueCentrale Année2011 FilièrePSI MatièrePhysique-Chimie

Annales Centrale PSI Physique-Chimie Centrale PSI 2011 PSI Physique-Chimie Physique-Chimie 2011

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Présentation du sujet

Difficile

Horloge atomique à césium : ralentissement d'atomes par laser, séparation du césium et du rubidium, fontaine atomique et asservissement

Le sujet étudie d'une part le fonctionnement d'une horloge atomique à césium, d'autre part une méthode de séparation du césium et du rubidium par membrane liquide. Il comporte quatre parties largement indépendantes : le ralentissement des atomes par laser, les alcalins et leur séparation par extraction liquide-liquide, le principe de l'horloge atomique au césium et de la fontaine atomique, puis la détection des atomes excités et l'asservissement en fréquence de l'horloge.

1Partie I : ralentissement des atomes par laserÉtudier la force exercée par un laser sur des atomes, la distance nécessaire pour les arrêter, l'effet Doppler-Fizeau et la technique du « chirp cooling ».
2Partie II : les alcalinsÉtudier les propriétés et la cristallographie des alcalins, puis leur séparation par extraction liquide-liquide et par membrane liquide.
3Partie III : principe de l'horloge atomique à césiumÉtudier l'interrogation de Ramsey, le principe de l'horloge atomique, la fontaine atomique et le décalage de fréquence dû au rayonnement du tube à vide.
4Partie IV : détection et asservissementÉtudier la détection optique du nombre d'atomes excités et l'asservissement de l'oscillateur macroscopique sur la fréquence atomique de référence.

Difficile. Le rapport conclut qu'à côté des erreurs classiques, il y a des erreurs graves qu'un candidat attentif devrait pouvoir corriger de lui-même, et que la méconnaissance de notions simples du cours révèle un manque de travail flagrant chez de nombreux candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Loi de conservation de la quantité de mouvement mal manipulée · Calcul d'incertitude mal maîtrisé · Facteur de qualité mal compris

Le sujet, aux quatre parties largement indépendantes, a permis aux candidats de montrer leurs qualités scientifiques dans de nombreux domaines de la physique et de la chimie. Comme les années précédentes, les meilleures notes ont récompensé les candidats qui, sans avoir traité l'intégralité du sujet, ont répondu aux questions avec précision, rigueur et clarté.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Loi de conservation de la quantité de mouvement mal manipuléeI.A
En partie I.A, les candidats se trompent souvent en voulant exprimer une égalité de normes de vecteurs puis en retrouvant le signe par des projections aléatoires, ce qui provoque des erreurs dans l'établissement de la force.
« On se trompe souvent à vouloir exprimer une égalité de normes »
2
Calcul d'incertitude mal maîtriséI.D
Le calcul d'incertitude simple à partir de la relation f = c/λ n'est pas maîtrisé, de nombreux candidats écrivant à tort que Δf/f = λ/Δλ.
3
Facteur de qualité mal comprisI.D.5
La notion de facteur de qualité d'un oscillateur est mal comprise, alors qu'un bon oscillateur est caractérisé par un facteur de qualité élevé.
« La notion de facteur de qualité d'un oscillateur est mal comprise. »
4
Taille d'un atome confondue avec le nombre d'électronsII.A
Il reste ancré chez de nombreux candidats que la taille d'un atome est une fonction croissante du nombre d'électrons dans tous les cas, alors que c'est parfois le nombre de nucléons qui détermine sa taille.
« Il reste malheureusement ancré pour de nombreux candidats que la taille d'un atome est une fonction croissante du nombre d'électrons dans tous les cas »
5
Réactions redox non reconnuesII
Les réactions d'oxydoréduction ne sont pas assez souvent reconnues par les candidats, même quand elles sont correctement écrites.
« Les réactions redox ne sont pas assez souvent reconnues, même quand elles sont bien écrites. »
6
Notion eulérienne ou lagrangienne mal maîtriséeIV.A.1
La notion de grandeur eulérienne ou lagrangienne reste très vague pour la majorité des candidats ayant abordé cette question.
« La notion de grandeur eulérienne ou lagrangienne reste très vague pour la majorité des candidats ayant abordé cette question. »

Ce qui a été bien réussi

L'étude de l'effet Doppler-Fizeau est souvent bien faite et bien interprétée.
La cristallographie est assez bien maîtrisée et appréciée, et la compacité maximale est connue.
Le potentiel chimique, la condition d'équilibre et la loi d'action de masse sont très souvent bien écrits.
Les équations de Maxwell sont bien connues, ainsi que la condition sur le champ électrique à la surface d'un conducteur parfait.

Conseils du jury

Vérifier systématiquement l'homogénéité des grandeurs, les signes et la vraisemblance des valeurs numériques obtenues.
Respecter le nombre de chiffres significatifs des données dans les applications numériques.
Préférer une résolution directe et rigoureuse plutôt qu'une méthode longue comme la variation de la constante lorsqu'une solution plus simple existe.
Éviter de papillonner d'une partie à l'autre sans entrer dans le fond des questions, cette technique étant auto-pénalisante.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Horloge atomique

De nos jours, les horloges les plus précises sont des étalons atomiques de fréquence. Depuis 1967, la seconde est ainsi définie à partir de la résonance hyperfine du niveau fondamental de l'atome de césium 133, fixée à 9192631770 Hz . Les meilleurs étalons primaires de fréquence, des horloges de type fontaine atomique, atteignent des exactitudes en fréquence relative de l'ordre de quelques

10^(- 16)

. Leur architecture, imaginée dès les années 1950, n'a pu voir le jour que grâce aux techniques de refroidissement des atomes par laser développées à la fin des années 1980.
Ce problème comprend quatre parties largement indépendantes.

I Ralentissement des atomes par laser

Dans cette partie, on étudie le ralentissement d'un jet d'atomes (de césium 133 ou de rubidium 87) par un faisceau laser se propageant dans la même direction que les atomes mais en sens opposé. On note

u⃗

le vecteur unitaire donnant la direction et le sens de propagation du laser. La longueur d'onde

λ

du laser est choisie de sorte que les atomes puissent absorber des photons du laser.

I.A - Force exercée par le laser sur les atomes

On suppose que l'intensité du laser est assez importante pour que le modèle proposé dans la suite décrive correctement l'interaction entre le laser et les atomes. Un atome dans l'état fondamental qui se situe dans le faisceau laser absorbe un photon quasi-instantanément. L'atome reste alors excité pendant une durée moyenne notée

τ

, puis il se désexcite en émettant un photon dans une direction aléatoire. En moyenne, les photons réémis ne modifient donc pas la quantité de mouvement de l'atome : seuls les photons absorbés contribuent à ralentir les atomes.
I.A.1) Les photons constituant le faisceau laser sont tous identiques, ils possèdent une quantité de mouvement dont la norme est égale à la constante de Planck

h

divisée par la longueur d'onde

λ

. Déterminer l'unité de la constante de Planck

h

en fonction des unités de base du Système International.
I.A.2) Lors de l'absorption d'un photon par un atome, l'ensemble {atome + photon} peut être considéré comme un système isolé. Quelle relation existe-t-il entre la quantité de mouvement de l'atome après l'absorption et sa quantité de mouvement avant l'absorption?
I.A.3) Déterminer la variation moyenne

δp⃗

de la quantité de mouvement d'un atome qui se situe dans le faisceau laser pendant une durée

δt

très supérieure à

τ

.
I.A.4) En déduire l'expression de la force moyenne

F⃗

exercée par le laser sur un atome en fonction de

h, λ

τ

u⃗

.
I.A.5) Pour le rubidium 87 on a

λ ≃ 0, 8μ m

τ ≃ 0, 5μ s

. Déterminer l'ordre de grandeur de la norme

a

de l'accélération subie par un atome dans le faisceau laser. Calculer numériquement le rapport de l'accélération

a

et de l'accélération de la pesanteur,

g ≃ 10 m \cdot s^(- 2)

, commenter.

I.B - Distance nécessaire pour arrêter les atomes

Dans le référentiel

R

du laboratoire, les atomes (de rubidium ou de césium) sortent du four à la vitesse

v⃗_0 = v_0 e⃗_x

. À partir de la position

x = 0

, ils sont soumis à une accélération constante

a⃗ = - ae⃗_x

. Le poids étant négligeable, le mouvement des atomes est rectiligne. On considère un atome qui passe en

x = 0

à l'instant

t = 0

, on note

x(t)

sa position et

v(t)

sa vitesse suivant

e⃗_x

. L'objectif de cette question est de déterminer la distance nécessaire pour arrêter l'atome.
I.B.1) Déterminer

v(t)

, en déduire la coordonnée

x(t)

.
I.B.2) Déterminer les expressions de la durée

T

du trajet ainsi que la longueur

L

nécessaire pour que l'atome soit arrêté.
I.B.3) On suppose que les atomes présents dans le four et ceux qui viennent juste d'en sortir sont à l'équilibre thermodynamique. Sachant que le four est porté à

120^\circC

, déterminer numériquement la vitesse quadratique moyenne à la sortie du four pour le césium et pour le rubidium.
I.B.4) En prenant

v_0

égale à la vitesse quadratique moyenne à la sortie du four, déterminer l'ordre de grandeur de

T

et de

L

(on prendra

a ≃ 10^5 m \cdot s^(- 2)

I.C - Changement de fréquence du laser

Dans cette question, nous allons montrer que la fréquence du laser «vue» par l'atome varie lorsque la vitesse de ce dernier est modifiée. On appelle

R

le référentiel du laboratoire, on note

x

la coordonnée cartésienne suivant

e⃗_x

dans

R

. On appelle

R^'

un référentiel en translation par rapport à

R

à la vitesse

v⃗ = ve⃗_x

, on note

x^'

la coordonnée cartésienne suivant

e⃗_x^' = e⃗_x

dans

R^'

. À l'instant

t = 0

, on a

x^' = x

(les origines des repères associés à

R

R^'

coïncident).
I.C.1) Déterminer l'expression de

x^'

en fonction de

x, v

et du temps

t

dans le cadre de la relativité galiléenne.
I.C.2) On considère une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant dans le sens des

x

décroissants. On note

f

sa fréquence et

λ

sa longueur d'onde dans le référentiel

R

. Écrire l'expression de la phase

φ

de cette onde en fonction de

x, t, f

λ

.
I.C.3) On considère cette même onde dans le référentiel

R^'

, on note

f^'

sa fréquence et

λ^'

sa longueur d'onde dans

R^'

. En supposant que la phase

φ

est invariante par changement de référentiel, déterminer l'expression de la fréquence

f

en fonction de

f^', λ^'

v

.
I.C.4) Avec

v > 0

, dans quel référentiel la fréquence de l'onde est-elle la plus élevée? Donner une interprétation simple de ce résultat.
I.C.5) En utilisant la relation de dispersion dans le vide, exprimer

f

en fonction de

f^'

, de

v

et de

c

, célérité de la lumière dans le vide. On constate que la fréquence de l'onde dépend de la vitesse

v

, comment nomme-t-on cet effet?
I.C.6) Une approche totalement cohérente de ce problème nécessite l'utilisation de la relativité restreinte. Vérifier que, au premier ordre en

v/c

, la formule relativiste

f = f^'\sqrt((1 - v/c)/(1 + v/c))

redonne bien la formule obtenue dans la question précédente.

I.D - Chirp cooling

Pour résoudre le problème posé par l'effet mis en évidence dans la question précédente sur le ralentissement des atomes, nous allons étudier une solution appelée «chirp cooling». On note

f_0

la fréquence de résonance correspondant à l'absorption d'un photon par un atome sur la transition utilisée pour le ralentissement. Pour qu'un photon soit absorbé, sa fréquence

f^'

dans le référentiel de l'atome doit donc être égale à

f_0

.
I.D.1) Montrer que, pour pouvoir arrêter le plus rapidement possible un atome qui passe en

x = 0

à l'instant

t = 0

, la fréquence

f

(dans le référentiel

R

du laboratoire) du laser ralentisseur doit dépendre du temps de la manière suivante :

f(t) = f_0 + f_0(v_0)/c(t/T - 1)

où

v_0

est la vitesse initiale de l'atome et

T

est le temps mis pour arrêter complètement l'atome.
I.D.2) Que se passe-t-il si la fréquence varie plus rapidement que dans la question précédente ? Que se passe-t-il si la fréquence varie moins rapidement?
I.D.3) On note

Δf

l'excursion en fréquence nécessaire pour arrêter un atome qui sort du four à la vitesse

v_0 ≃ 3 \times 10^2 m \cdot s^(- 1)

. Déterminer numériquement l'excursion relative en fréquence

Δf/f_0

du laser ralentisseur, en déduire son excursion relative en longueur d'onde

Δλ/λ_0

.
I.D.4) Pour le rubidium, la longueur d'onde de résonance est

λ_0 = 780 nm

. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette résonance? Calculer numériquement la fréquence de résonance

f_0

et l'excursion en fréquence

Δf

. Calculer, en joule puis en électron-volt, la différence d'énergie entre les niveaux utilisés pour ralentir les atomes de rubidium.
I.D.5) L'atome soumis à l'onde électromagnétique du laser peut être modélisé comme un oscillateur harmonique soumis à une excitation sinusoïdale. Le pic de la résonance en fréquence a une largeur totale à mi-hauteur

δf = 5, 9MHz

. Déterminer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet oscillateur. Déterminer la largeur totale à mi-hauteur du pic de résonance en longueur d'onde

δλ

, cette valeur vous semble-t-elle surprenante?

II Les alcalins

II.A - Propriétés des alcalins

Les alcalins, formant la première colonne de la classification périodique, doivent leur nom à leur réaction quantitative et violente sur l'eau qui conduit à la formation d'une solution basique et de dihydrogène. Le césium

(Cs)

et le rubidium

(Rb)

sont deux éléments de cette famille.
II.A.1) Citer deux autres alcalins.
II.A.2) L'hydrogène, situé dans la première colonne de la classification, n'est pas considéré comme un alcalin. Donner une propriété distinguant l'hydrogène des alcalins.
II.A.3) Donner un argument justifiant la différence entre l'enthalpie de première ionisation et l'enthalpie de deuxième ionisation des alcalins. On s'appuiera sur les valeurs données pour Cs et Rb .
II.A.4) Quel est l'ion le plus stable d'un alcalin M? Pourquoi? Quel est le type de liaison que vont former les alcalins?
II.A.5) Cet ion est stable dans l'eau. Écrire la réaction entre une mole du métal alcalin M et l'eau. Quelle est la nature de cette réaction?

II.B - Cristallographie

II.B.1) Le césium et le rubidium métalliques solides possèdent une structure cristalline cubique centrée. Quel est la coordinence de la structure? Exprimer sa compacité

C

et la calculer.

C

est-elle maximale?
II.B.2) Exprimer le paramètre de maille

a_(Cs)

puis le rayon atomique

r_(Cs)

du césium en fonction de la masse volumique

μ_(Cs)

, de la masse molaire

M_(Cs)

et du nombre d'Avogadro

N_A

. Application numérique.
II.B.3) Calculer le rayon atomique du rubidium

r_(Rb)

. Est-ce conforme à la position relative des éléments Rb et Cs dans la classification périodique, déduite des numéros atomiques?

II.C - Extraction liquide-liquide

Un soluté

S

est soluble dans deux solvants, l'un organique, l'autre aqueux. On notera avec les indices org et aq les grandeurs relatives respectivement au solvant organique et au solvant aqueux. Les deux solvants ne sont pas miscibles et forment deux phases, la phase organique surnageant sur la phase aqueuse.

V_(org)

est le volume de la phase organique,

V_(aq)

celui de la phase aqueuse (figure 1).

Figure 1

Le soluté

S

peut migrer entre les phases. Il s'établit alors l'équilibre

S_(aq) = S_(org)

, de constante

K_(ex)

, appelée constante d'extraction.
II.C.1) Soient

a_S

l'activité,

μ_S

le potentiel chimique et

μ_S^o

le potentiel chimique standard du soluté

S

en solution, à une température

T

donnée. Donner la relation entre

a_S, μ_S, μ_S^o, R

T

. Si le soluté

S

est en équilibre entre les deux phases, quelle relation existe-t-il entre les potentiels chimiques

μ_(S aq)

μ_(S org)

? En déduire l'expression de la constante d'extraction

K_(ex)

en fonction de

μ_(S aq)^o, μ_(S org)^o, R

T

.
Dans toute la suite du problème, on fait l'hypothèse que les solutions sont suffisamment diluées pour que les activités soient identifiées aux concentrations.
II.C.2) Initialement,

S

est uniquement présent dans la phase aqueuse, en quantité

N_0

(exprimée en mole). Quelle est la quantité maximale

N

du soluté

S

que l'on peut obtenir dans la phase organique ? On écrira

N

sous la forme

N = N_0/(1 + α)

et on exprimera

α

en fonction de

K_(ex), V_(org)

V_(aq)

. A.N. Pour

K_(ex) = 1, 0 \times 10^(- 5)

, calculer numériquement le rapport des volumes

V_(org)/V_(aq)

permettant d'extraire

99%

du soluté de la phase aqueuse? Commenter.
La constante d'extraction est en général très faible pour des composés comme les thiocyanates alcalins

M(SCN)

. Pour augmenter l'efficacité de l'extraction, on utilise les propriétés complexantes de ligands organiques, tels les calixarènes. Le solvant organique (dichloroéthane) contient en solution le ligand, neutre, noté

L

, susceptible de former un complexe avec le thiocyanate alcalin

M(SCN)_(org)

, selon la réaction, de constante

K_f

M(SCN)_(org) + nL_(org) = L_n M(SCN)_(org) K_f

Le ligand

L

est insoluble dans la phase aqueuse.
II.C.3) Exprimer, à l'équilibre entre les deux phases, la quantité totale

N^'

de thiocyanate alcalin extraite de la phase aqueuse, en fonction de

N_0, K_f, [L_(org)], n

α

. Montrer que la présence du ligand revient à remplacer la constante d'extraction

K_(ex)

par une nouvelle constante

K_(ex)^'

. A.N. Pour

K_f = 10^(8, 5), n = 1

et des volumes

V_(aq)

V_(org)

égaux, calculer numériquement la concentration du ligand [

L_(org)

] pour extraire

99%

du thiocyanate alcalin? Commenter.

II.D - Stœchiométrie de la complexation

On se propose de déterminer expérimentalement la valeur de l'indice de complexation

n

pour le complexe du rubidium. Le mode opératoire est le suivant :

On dissout une quantité fixée de thiocyanate de rubidium dans un volume $V$ d'eau distillée. La concentration du soluté $Rb(SCN)_(aq)$ est $c_0 = 0, 1 mol \cdot L^(- 1)$ .
La solution précédente est mise en contact avec un volume $V$ d'une solution organique contenant une concentration initiale $c_(L_0)$ de ligand $L_(org)$ . Les deux volumes sont identiques.
Après agitation, on laisse décanter le mélange puis on mesure la concentration du complexe $L_n Rb(SCN)_(org)$ dans la solution organique.
Le protocole est répété plusieurs fois, en conservant la concentration $c_0$ mais en changeant à chaque fois la concentration $c_(L_0)$ .
II.D.1) Montrer qu'à l'équilibre la concentration de $Rb(SCN)_(org)$ dans le solvant organique est indépendante de $c_(L_0)$ si $c_(L_0)≪c_0$ .
II.D.2) On note $x = [L_n Rb(SCN)]_(org)$ . En déduire que $log_(10)(x)$ est une fonction affine de $log_(10)(c_(L_0) - nx)$ , de pente $n$ (où $log_(10)$ désigne le logarithme de base 10).
II.D.3) Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

$c_(L_0)(mol \cdot L^(- 1))$	$9, 60 \times 10^(- 5)$	$2, 60 \times 10^(- 4)$	$6, 80 \times 10^(- 4)$	$1, 00 \times 10^(- 3)$
$x(mol \cdot L^(- 1))$	$3, 98 \times 10^(- 5)$	$1, 00 \times 10^(- 4)$	$2, 82 \times 10^(- 4)$	$3, 98 \times 10^(- 4)$

Vérifier graphiquement que la valeur

n = 1

est compatible avec les valeurs expérimentales. On placera les points sur un graphe où les axes seront les suivants :

en abscisse, $log_(10)(c_(L_0) - nx)$ de -5 à $- 3(3 cm$ par unité de $log_(10))$ ;
en ordonnée, $log_(10)(x)$ , de -5 à -3 ( 3 cm par unité de $log_(10)$ ).

Dans toute la suite du problème, on prendra

n = 1

II.E - Extraction par membrane liquide

Dans ce processus, trois phases liquides sont présentes, une phase organique (chloroforme) séparant deux phases aqueuses I et II (figure 2). Les interfaces entre phases sont de même aire

Σ

Figure 2

phase d'alimentation phase organique phase réceptrice

interface 1 interface 2

Figure 3

La phase aqueuse I est la phase d'alimentation, de volume

V_(aq) = 100 mL

. Elle contient le thiocyanate alcalin

M(SCN)_(aq)

à la concentration initiale

c_0 = 0, 1 mol \cdot L^(- 1)

. La phase aqueuse II est la phase réceptrice. Elle est constituée au départ d'eau distillée. Son volume est

V_(aq)

. La phase organique forme la «membrane» liquide, de volume

V_(org) = 160 mL

. Elle contient le ligand

L_(org)

à la concentration initiale

c_(L_0) = 7 \times 10^(- 4) mol \cdot L^(- 1)

. Le ligand

L_(org)

et le complexe

LM(SCN)_(org)

sont considérés ici insolubles dans les phases aqueuses. On négligera le thiocyanate alcalin dans la phase organique :

[M(SCN)_(org)] ≃ 0

.
II.E.1) Soit

c

la concentration d'un soluté,

ȷ⃗

le vecteur densité de courant de particules de ce soluté et

D

le coefficient de diffusion du soluté. Rappeler la loi phénoménologique de Fick de la diffusion. Quelles sont des unités S.I. possibles pour

‖ȷ⃗‖

D

? La valeur de

D

dépend-elle de la nature du solvant pour un soluté donné?
II.E.2) On suppose qu'il n'y a pas d'accumulation de matière aux interfaces. Par conservation d'une entité que l'on précisera, établir la relation entre les vecteurs

ȷ⃗_(M(SCN))

ȷ⃗_(LM(SCN))

à chacune des interfaces (figure 4). Déduire de l'équation II. 1 la relation entre

ȷ⃗_L

ȷ⃗_(M(SCN))

à chaque interface.

Figure 4

On note les concentrations des espèces contenant le métal alcalin

[M_I](t)

dans la phase I,

[M_(II)](t)

dans la phase II (le thiocyanate

M(SCN)_(aq)

) et

[M_(org)](t)

(le complexe

LM(SCN)_(org)

), loin des interfaces. On admet que

[LM(SCN)_(org)](int_1) = c_1

[LM(SCN)_(org)](

int

_2) = 0

, où

c_1

est une constante pour une durée limitée

0 < t < T

.
II.E.3) L'agitation mécanique permet d'homogénéiser les concentrations dans chacune des trois phases. En conséquence, les gradients de concentration sont localisés sur une épaisseur

δ

faible devant les échelles du système, de part et d'autre des interfaces (figure 5). Montrer que

ȷ⃗_(LM(SCN)1)

peut s'y exprimer sous la forme approchée

ȷ⃗_(LM(SCN)1) = - D^'(c(δ) - c(0))e⃗_x

et donner l'expression de

D^'

en fonction de

D

δ

. Quel rôle physique peut-on donner au signe moins devant

D^'

Figure 5

II.E.4) Par souci de simplicité,

D^'

sera pris par la suite identique dans tous les solvants. Montrer qu'alors l'évolution des concentrations forme le système suivant, pour

0 < t < T

(d[M_I])/(dt), = - k(c_1 - [M_(org)]); (d[M_(org)])/(dt), = k^'(c_1 - 2[M_(org)]); (d[M_(II)])/(dt), = k[M_(org)]

et exprimer

k

k^'

en fonction de

D^'

, coefficient de diffusion du complexe,

Σ, V_(org)

V_(aq)

. Donner les dimensions de

k

k^'

. Quelle est l'équation différentielle vérifiée par

[L_(org)](t)

seule?
II.E.5) Donner la solution de l'équation II. 3 et de l'équation II. 4 pour

0 < t < T

.
II.E.6) Associer, en le justifiant, les courbes (a), (b) et (c) de la figure 6 à l'espèce chimique concernée,

parmiM_I, M_(II), M_(org)

L_(org)

Figure 6

II.E.7) La vitesse de transfert

v

est définie par la pente de l'asymptote à

t

grand de la courbe (b). Déterminer numériquement les vitesses de transfert (dont on donnera l'unité) pour le rubidium et le césium :

	Rb	Cs
$k(uS.I)$ .	$5, 56 \times 10^(- 4)$	$5, 09 \times 10^(- 4)$
$c_1(mol \cdot L^(- 1))$	$1, 03 \times 10^(- 5)$	$2, 72 \times 10^(- 5)$

On considère une phase d'alimentation aqueuse contenant les ions rubidium et césium en concentrations égales

c_0 = 0, 1 mol \cdot L^(- 1)

.
II.E.8) Au bout d'un temps assez long (

t≫T

) pour que l'équilibre soit atteint entre les trois phases (saturation des solutions), quelles sont les concentrations

[Rb_(II)]

[Cs_(II)]

dans la phase réceptrice ? On pourra se contenter de donner une valeur approchée, en justifiant l'approximation.
II.E.9) Les vitesses de transfert restent celles de la question II.E.7. Si l'on veut enrichir la solution en rubidium, quel est l'ordre de grandeur de la durée durant laquelle la phase réceptrice reste en contact avec la membrane? Comment pourrait-on procéder pour éviter la saturation?

III Principe de l'horloge atomique à césium

III.A - Principe de l'interrogation de Ramsey

L'interrogation de Ramsey consiste à appliquer aux atomes deux excitations de faible durée

τ

dans des cavités électromagnétiques, espacées d'une durée longue

T

durant laquelle les atomes volent librement. Dans le modèle mécanique présenté ici, on considère un oscillateur de pulsation propre

δω

, constitué d'une masse

m

liée à un ressort horizontal de raideur

k

, de masse négligeable, et de longueur à vide

ℓ_0

. On néglige toute force de frottement sur la masse. On note

x

l'abscisse de la masse

m

, l'origine étant prise à la position d'équilibre (figure 7).
III.A.1) À partir de l'instant initial

t = 0

où la masse est au repos et

Figure 7

jusqu'à l'instant

τ

, la masse

m

est soumise à une force horizontale

F⃗ = mω_1^2 A_0 cos(ω_1 t)e⃗_x

. On prendra

ω_1 τ = π

δωτ≪1

. Établir l'équation du mouvement en

x(t)

pour

0 < t < τ

et donner sa solution. Pour

t > τ

, l'oscillateur est libre; montrer que

x_1(t) = 2A_0 cos(δωt)

est une solution approchée de l'équation du mouvement pour

t > τ

.
III.A.2) À partir d'un instant

t = T + τ

ultérieur, on exerce une force

F⃗^' = mω_1^2 A_0 cos(ω_1(t - T - τ))e⃗_x

pendant la même durée

τ

. Pourquoi

x_2(t) = x_1(t) + x_1(t - T - τ)

est-elle une solution approchée pour

t > T + 2τ

? Déterminer une expression approchée de l'amplitude positive

x_(max)

des oscillations libres pour

t > T + 2τ

en fonction de

δω, A_0

T

.
III.A.3) Représenter le signal

x(t)

t = 0

t > 2τ + T

, pour les cas

δωT = 2πn

δωT = 2πn + π

où

n

est un entier. Quelle analogie vous inspire le rôle du terme

δωT

?
III.A.4) Exprimer l'énergie mécanique

E

de l'oscillateur pour

t > T + 2τ

en fonction de

A_0, δω, k

T

. Si la largeur de la courbe donnant l'énergie

E

en fonction de

δf = δω/2π

est estimée par l'écart entre deux minima de l'énergie

E

, quelle est la plus faible variation de fréquence

δf

détectable?

III.B - L'horloge atomique

L'horloge est composée d'un oscillateur macroscopique (à quartz par exemple) de fréquence

f

asservie sur la fréquence

f_0 = 9192631770 Hz

de la transition entre deux niveaux d'énergie de l'atome de césium. On procède de la façon suivante (figure 8).

On prépare un nuage d'atomes dans l'état fondamental d'énergie minimale.
Les atomes sont sondés lors de leurs passages successifs, de durées $τ$ , dans deux cavités où règne un champ électromagnétique de fréquence $f$ . Selon l'écart de fréquence $δf = f - f_0$ , les atomes sont excités dans une plus ou moins grande proportion. L'énergie $E(δf)$ du nuage d'atomes à la sortie de la seconde cavité est maximale si $δf = 0$ . Le temps de vol $T$ entre les deux cavités est très supérieur à $τ$ .
On corrige la fréquence $f$ de l'oscillateur de manière à rester au voisinage de l'énergie maximale.

Figure 8

On admet que l'énergie

E

du nuage d'atomes est égale à la composante

S_z

d'un vecteur

S⃗

(appelé spin fictif) :

E = S⃗ \cdot e⃗_z

. Le spin fictif

S⃗

possède les propriétés suivantes (on ne cherchera pas à justifier ces équations) :

à l'entrée de la première cavité, $S⃗(t = 0) = - E_0 e⃗_z$ avec $E_0 > 0$ ;
durant la traversée de l'horloge, $S⃗(t)$ obéit à l'équation $(dS⃗)/(dt) = ω⃗ \land S⃗$ , avec $ω⃗ = ω_1 e⃗_y$ dans chacune des deux cavités et $ω⃗ = δωe⃗_z$ durant le vol libre entre les cavités.
On a $δω = δf/2π = (f - f_0)/2π$ et $ω_1$ est choisie de sorte que $ω_1 τ = π/2$ ; de plus $δω≪ω_1$ .
III.B.1) Montrer que si $ω⃗$ est constant, alors $‖S⃗(t)‖ = E_0$ et $S⃗(t) \cdot ω⃗ =$ cte. Préciser la transformation géométrique subie par le vecteur $S⃗(t)$ .
III.B.2) Tracer les vecteurs $S⃗$ aux différents instants indiqués sur la figure 9 pour $δωT = 2πn$ où $n$ est un entier. Quelle est l'énergie $E$ du nuage à la sortie de la seconde cavité? Tracer les vecteurs $S⃗$ aux mêmes instants pour $δωT = 2πn + π$ . Quelle est l'énergie $E^'$ à la sortie de la seconde cavité?

Figure 9

III.B.3) Déterminer l'énergie

E(δωT)

du nuage en sortie pour

δωT

quelconque.
III.B.4) La fontaine atomique permet de mesurer l'énergie

E

du nuage pour différentes valeurs du désaccord

δf = f - f_0

. L'incertitude

Δf

sur la fréquence

f

de l'horloge est estimée par l'écart entre deux minima d'énergie. Déterminer l'expression de

Δf

en fonction de

T

.
III.B.5) Les atomes provenant d'une source thermique se déplacent à la vitesse moyenne

v_0 = 200 m \cdot s^(- 1)

. La distance qu'ils parcourent entre les deux cavités est

d = 1, 0 m

. Quelle incertitude relative

Δτ/τ

sur la période

τ = 1/f

peut-on attendre d'une telle horloge (on donnera la réponse en secondes par année) ? Comment pourrait-on améliorer cette horloge?

III.C - La fontaine atomique

L'horloge est placée verticalement et les atomes sont lancés vers le haut, dans le vide. Les atomes traversent une première fois une cavité d'interrogation (où ils interagissent avec le champ excitateur), puis ils ralentissent sous l'effet de la pesanteur, rebroussent chemin et traversent une deuxième fois la même cavité (où ils interagissent à nouveau avec le champ). Ils sont ensuite détectés. Il s'agit donc d'une interrogation de Ramsey spatialement repliée. La zone d'interrogation est conçue de façon à préserver les atomes des fluctuations de l'environnement (figure 10).
III.C.1) Les premières fontaines utilisaient des jets thermiques d'atomes, de vitesse moyenne

v_0 = 200 m \cdot s^(- 1)

en sortie de cavité. Quelle est la hauteur

H_0

du jet et la durée

T_0

séparant les deux passages des atomes dans la cavité? Commenter. Si le jet doit avoir une hauteur

H_1 = 1, 0 m

, quelle doit être la vitesse verticale

v_1

des atomes à la sortie de la première cavité? Calculer numériquement

v_1

ainsi que le temps de vol

T_1

correspondant (on prendra

g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)

).
III.C.2) Le refroidissement laser permet d'obtenir un jet homocinétique d'une centaine d'atomes, de vitesse

v_1

. Quelle incertitude relative

Δτ/τ

(en

ms/

an ) sur la période

τ

peut-on attendre d'une horloge à atomes froids? La stabilisation en fréquence améliore ce rapport à

Δτ/τ = 10^(- 16)

Figure 10

III.D - Décalage de fréquence

Le tube à vide, protégeant le jet d'atomes, est cylindrique, de rayon

R

, de hauteur

H

grande devant

R

. Ses parois métalliques sont supposées parfaitement conductrices et sont portées à la température

θ_0

. Il règne alors dans ce tube un champ électromagnétique à symétrie cylindrique que l'on décrit par les vecteurs suivants :

E⃗ = E_z(r, t)e⃗_z; B⃗ = B_θ(r, t)e⃗_θ

.
III.D.1) Montrer que les champs proposés sont compatibles avec deux équations de Maxwell. Écrire deux équations différentielles couplées en

E_z

B_θ

. Quelles sont les conditions aux limites imposées par le cylindre?
III.D.2) En déduire une équation aux dérivées partielles du second ordre pour

E_z

. On cherche les solutions sinusoïdales complexes dans le temps en posant

E_z_-(r, t) = E(r)e^(jωt)

. Montrer que

E(r)

vérifie l'équation

r(d^2 E)/(dr^2) + (dE)/(dr) + a^2 rE = 0

où l'on donnera l'expression de

a

.
III.D.3) Les solutions de l'équation précédente s'écrivent

E(r) = J_0(ar)

où

J_0

est appelée fonction de Bessel d'ordre 0 . Le graphe de la fonction

J_0(x)

est représenté sur la figure 11. On note

x_n

è n^(ième)

zéro positif de cette fonction. Donner les pulsations

ω_n

possibles du champ électrique en fonction de

R, c

x_n

. La solution appelée «mode

n

» s'écrit

E_(z, n)(r, t) = E_n J_0(r/r_n)cos(ω_n t)

où

E_n

r_n

sont des constantes. Donner l'expression de

r_n

en fonction de

R

x_n

. Calculer numériquement la pulsation

ω_1

et la fréquence

f_1

correspondante pour

R = 5, 00 cm

(on donne

x_1 = 2, 40

Figure 11

III.D.4) On note

J_1(x) = - (dJ_0(x))/(dx)

. Exprimer le champ magnétique

B_(θ, n)(r, t)

du mode

n

en fonction de

J_1

E_n, r_n, ω_n

c

. Donner l'expression de la densité d'énergie électromagnétique

u_(EM)(r, t)

du mode

n

ainsi que sa moyenne temporelle

⟨u_(EM)(r)⟩

en fonction de

J_0, J_1, E_n, R, x_n

ε_0

.
III.D.5) On note

⟨U_(EM)⟩

l'énergie électromagnétique moyenne du mode

n = 1

dans toute la cavité. Exprimer

⟨U_(EM)⟩

en fonction de

E_n, R, H, x_n

ε_0

. On donne

\int_0^(x_1)x[J_0^2(x) + J_1^2(x)]dx ≃ 1, 56

. Quelle est la valeur maximale de l'amplitude du champ électrique du mode

n = 1si⟨U_(EM)⟩ = k_B θ_0

?
A.N.

θ_0 = 300 K, H = 1 m

.
III.D.6) L'agitation thermique des atomes de la paroi excite un nombre de modes

N

tel que

h/(2π)ω_N ≃ k_B θ_0

où

h

est la constante de Planck et

k_B

la constante de Boltzmann. En supposant que

x_n = nπ

pour

n

grand, évaluer le nombre

N

de modes excités. Les modes de champs non étudiés ici permettent d'écrire l'énergie électromagnétique

U

dans le cylindre sous la forme

U = (π^3 H)/RN^3 k_B θ_0

En déduire une évaluation du champ électrique moyen

E

dans le cylindre.
A.N. Calculer

E

.
III.D.7) Ce champ électrique moyen est responsable d'un décalage

δf_E

de la fréquence propre

f_0

des atomes de césium, donné par

δf_E = k_E E^2

où

k_E = - 2, 27 \times 10^(- 10) Hz \cdot m^2 \cdot V^(- 2)

.
Comment

δf_E

dépend-il de la température? Calculer numériquement

δf_E

|δf_E/f_0|

. Commenter, sachant que l'on peut atteindre actuellement une stabilité

δf/f_0 = 10^(- 16)

. Quelle serait l'incertitude sur la mesure du rayon

R_T

de la Terre si on avait la même précision qu'une horloge atomique? On donne

R_T = 6400 km

IV Détection et asservissement

IV.A - Détection du nombre d'atomes et mesure de l'énergie

Dans cette question, on montre comment l'énergie du nuage d'atomes est mesurée dans la fontaine atomique. Contrairement au modèle classique, on considère ici que les atomes ne peuvent se trouver que dans deux états : l'état 1 d'énergie

- E_0 < 0

ou bien l'état 2 d'énergie

+ E_0 > 0

. En tombant sous l'effet de la gravité, après avoir traversé la cavité micro-onde, le nuage d'atomes traverse le faisceau laser 1 dont la longueur d'onde est choisie pour détecter les atomes dans l'état 1 ; il passe ensuite dans le laser 2 qui permet de détecter les atomes dans l'état 2 . Pour simplifier, on suppose que le faisceau laser

i(i = 1

i = 2)

forme une « nappe de lumière» d'intensité uniforme, considérée comme infinie dans le plan horizontal, comprise entre les altitudes

z_i

z_i + e

(voir la figure 12). L'épaisseur

e

suivant la verticale est très faible devant la taille du nuage atomique (cette condition n'est pas respectée sur la figure 12). Les atomes dans l'état 1 (respectivement dans l'état 2 ) sont excités par le laser de détection 1 (resp. laser 2), puis ils émettent de la lumière en se désexcitant ; cette lumière dite de fluorescence est recueillie par un système optique pour être envoyée sur le détecteur

D_1

(resp.

D_2

Figure 12

Lors de la détection la taille du nuage reste pratiquement constante, la densité d'atomes dans l'état 1 en un point de l'espace de coordonnées (

x, y, z

) à l'instant

t

est bien modélisée par :

n_1(x, y, z, t) = (N_1)/((σ\sqrt(2π))^3)exp(- (x^2 + y^2 + (z - Z(t))^2)/(2σ^2))

où

N_1

représente le nombre d'atomes dans l'état 1 et

Z(t)

désigne la position du centre du nuage d'atomes suivant la verticale à l'instant

t

.
IV.A.1) Déterminer l'unité SI de

σ

et donner sa signification physique. Par analogie avec la mécanique des fluides, qualifieriez-vous la grandeur

n_1

de Lagrangienne ou d'Eulérienne (justifier votre réponse) ?
IV.A.2) On note

P_0

la puissance lumineuse reçue par le détecteur

D_1

due à un atome dans l'état 1 situé dans le faisceau laser 1 (on suppose que

P_0

est indépendante de la position de l'atome dans le faisceau). Déterminer la puissance totale

P_1(t)

reçue à l'instant

t

par le détecteur

D_1

en fonction de

P_0, N_1, σ, Z(t)

z_1

et de l'épaisseur

e

des faisceaux laser; on rappelle que

e

est très petit devant

σ

et on donne

\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- (u^2)/(2σ^2))du = σ\sqrt(2π)

IV.A.3) Tracer l'allure de la fonction

P_1(t)

enregistrée par le détecteur. Est-elle rigoureusement symétrique par rapport à son maximum? Pourquoi?
IV.A.4) La puissance lumineuse

P_2(t)

reçue à l'instant

t

par le détecteur

D_2

a la même expression que

P_1(t)

à condition de remplacer

z_1

par

z_2

N_1

par le nombre

N_2

d'atomes dans l'état 2 . À l'aide d'un ordinateur, on détermine l'aire sous la courbe

P_i(t)

notée

A_i

. Montrer que l'énergie totale du nuage d'atomes est proportionnelle à

(A_2 - A_1)/(A_1 + A_2)

(on suppose que la vitesse du nuage reste pratiquement constante sur toute la zone de détection). Sachant que cette mesure va être répétée à chaque cycle de fonctionnement de la fontaine pour différentes valeurs de la fréquence micro-onde, quel est l'intérêt de diviser

A_1 + A_2

IV.B - Asservissement de l'oscillateur macroscopique sur la fréquence atomique

Le signal de l'Horloge est donné par un Oscillateur macroscopique de fréquence

f_H

. Bien que très stable, la fréquence

f_H(t)

de cet oscillateur est susceptible d'évoluer dans le temps sous l'effet de différentes perturbations, c'est pourquoi il est nécessaire de l'asservir sur une fréquence atomique de référence

f_0

Le schéma fonctionnel de l'asservissement est représenté sur la figure 13. Le signal d'erreur

ε_k

est construit dans le bloc Détection à partir de la mesure de la fluorescence de l'énergie

E

du nuage atomique. L'énergie

E(δf)

dépend du désaccord

δf = f - f_0

entre la fréquence micro-onde

f

et fréquence atomique

f_0

(interrogation Ramsey). Comme nous le verrons dans la suite, pour asservir l'horloge sur la fréquence atomique

f_0

, il n'est pas possible d'utiliser une fréquence micro-ondes

f

simplement égale à la fréquence

f_H

de l'horloge (comme cela était le cas dans la partie III).

Figure 13

L'horloge atomique fonctionne par cycles de durées

T_0

, on note

f_k = f_H(t = kT_0)

la fréquence de l'oscillateur macroscopique au début du

è k^(ième)

cycle (pour

t = kT_0

). Au cours de chaque cycle, une première expérience est réalisée avec une fréquence micro-onde

f = f_k + Δ

, puis une seconde avec une fréquence micro-onde

f = f_k - Δ

, où

Δ

est une constante positive choisie pour optimiser l'asservissement. On construit ainsi un signal d'erreur

ε_k

(homogène à une fréquence) pour le

è k^(ième)

cycle :

ε_k = G \times (E(f_k + Δ - f_0) - E(f_k - Δ - f_0))

où

G

est un facteur de gain constant.
Enfin, on admet que près de la résonance (pour des valeurs pas trop élevées du désaccord

δf = f - f_0

), l'énergie totale du nuage est donnée par

E(δf) = E_0 cos(2πTδf)

où

T

est le temps de vol des atomes dans la fontaine et

E_0

une constante positive.
IV.B.1) Montrer que pour

|f_k - f_0|≪1/T

, le signal d'erreur

ε_k

est proportionnel à

δf_k = f_k - f_0

. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de

G

et de la pente

P = (dE)/(d(δf))(Δ)

calculée en

δf = + Δ

(on rappelle que l'énergie

E

est une fonction paire de

δf

). Pourquoi n'est-il pas possible de générer un signal d'erreur sur le sommet de la frange centrale

δf = 0

?
IV.B.2) Pour optimiser l'asservissement, on choisit de prendre

Δ = 1/4T

. Justifier ce choix. Donner alors l'expression du signal d'erreur

ε_k

en fonction de

G, E_0, T

δf_k

.
IV.B.3) Déterminer la fréquence

f_(k + 1)

de l'oscillateur macroscopique pour le cycle

k + 1

en fonction de

G

E_0, T, f_0

f_k

. Quel doit être le signe du gain

G

pour que l'asservissement fonctionne correctement (justifier votre réponse) ? On observe l'évolution de la fréquence

f_H(t)

de l'horloge sur des durées très grandes devant

T_0

; on rappelle que

f_H(kT_0) = f_k

. Dans l'hypothèse où

GE_0 T≪1

, déterminer l'équation différentielle vérifiée par

f_H

, on introduira une constante de temps

τ

à exprimer en fonction de

G, E_0, T

T_0

.
IV.B.4) L'hypothèse

GE_0 T≪1

n'est pas vérifiée dans les vraies horloges atomiques car le gain est choisi pour avoir une constante de temps de l'ordre de 3 cycles; on suppose néanmoins que l'équation différentielle obtenue à la question précédente peut s'appliquer. La fréquence de l'oscillateur macroscopique subit une perturbation extérieure qui cesse à l'instant

t_0

, on note

Δf_H = f_H(t_0) - f_0

. Déterminer l'expression de la fréquence

f_H

de l'horloge pour

t > t_0

en fonction de

f_0, Δf_H, τ, t_0

t

Formulaire

cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2)

Opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques :

grad^(\to-)f, = e⃗_r(\partialf)/(\partialr) + e⃗_θ 1/r(\partialf)/(\partialθ) + e⃗_z(\partialf)/(\partialz); divA⃗, = 1/r(\partial(rA_r))/(\partialr) + 1/r(\partialA_θ)/(\partialθ) + (\partialA_z)/(\partialz); rot^(\to-)A⃗, = e⃗_r(1/r(\partialA_z)/(\partialθ) - (\partialA_θ)/(\partialz)) + e⃗_θ((\partialA_r)/(\partialz) - (\partialA_z)/(\partialr)) + e⃗_z(1/r(\partial(rA_θ))/(\partialr) - 1/r(\partialA_r)/(\partialθ))

Constantes physiques :

é é é è é é é Célérité de la lumière dans le vide, c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1); Charge élémentaire, e = 1, 60 \times 10^(- 19)C; Permittivité du vide, ε_0 = 8, 85 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1); Constante de Planck, h = 6, 63 \times 10^(- 34)U.S.I.; Constante de Boltzmann, k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1); Nombre d'Avogadro, N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)

Données relatives au rubidium et au césium :

	Rb	Cs
Numéro atomique Z	37	55
Masse molaire $M(g \cdot mol^(- 1))$	87	133
Masse volumique $μ(kg \cdot m^(- 3))$	1532	1879
Enthalpies de première ionisation $(kJ \cdot mol^(- 1))$	403,0	375,7
Enthalpies de deuxième ionisation $(kJ \cdot mol^(- 1))$	2633	2234

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique-chimie Centrale PSI 2011 sur l'horloge atomique ?

Elle porte sur la mécanique du point et la quantité de mouvement, l'effet Doppler-Fizeau, l'oscillateur harmonique forcé, la cristallographie et l'extraction liquide-liquide, les équations de Maxwell et l'asservissement en fréquence.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique-chimie Centrale PSI 2011 ?

Une manipulation incorrecte de la loi de conservation de la quantité de mouvement, un calcul d'incertitude mal maîtrisé, une confusion sur la taille des atomes, des réactions redox non reconnues, et une notion eulérienne ou lagrangienne mal comprise.

Ce sujet de physique-chimie Centrale PSI 2011 sur l'horloge atomique est-il difficile ?

Oui, le rapport conclut qu'à côté des erreurs classiques, des erreurs graves et une méconnaissance de notions simples du cours révèlent un manque de travail chez de nombreux candidats.

Faut-il traiter tout le sujet Centrale physique-chimie PSI 2011 pour avoir une bonne note ?

Non, le rapport précise que les meilleures notes ont récompensé les candidats qui, sans avoir traité l'intégralité du sujet, ont répondu aux questions abordées avec précision, rigueur et clarté.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie PSI 2011

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