Centrale Physique Chimie PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Ondes mécaniques : équation de d'Alembert, ondes stationnaires et modes propres
Dispersion
Impédance d'une ligne et conditions aux limites
Cristallographie : maille cubique centrée, sites interstitiels
Atomistique : configuration électronique
Courbes intensité-potentiel
Diagrammes potentiel-pH et corrosion
Stéréochimie et mécanismes d'addition

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BanqueCentrale Année2013 FilièrePSI MatièrePhysique-Chimie

Annales Centrale PSI Physique-Chimie Centrale PSI 2013 PSI Physique-Chimie Physique-Chimie 2013

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Présentation du sujet

Physique et chimie du piano : cordes vibrantes, couplage au chevalet, acier, cuivre et néoprène

Le sujet étudie le piano en quatre parties indépendantes, de longueur égale entre physique et chimie. La physique établit l'équation de d'Alembert pour une corde avec ou sans raideur, puis décrit le transfert de vibration vers la table d'harmonie par le chevalet. La chimie traite la cristallographie de l'acier, l'élaboration électrochimique du cuivre, la corrosion du fer et la stéréochimie de la synthèse du néoprène.

1Partie I : vibrations d'une corde de piano fixée à ses deux extrémitésÉquation d'onde par une méthode imposée, modes propres, cordes filées et effet de la raideur (dispersion, inharmonicité).
2Partie II : couplage entre la corde et la table d'harmonieImpédance caractéristique de la corde et modélisation du chevalet par une condition aux limites, amortissement des ondes.
3Partie III : corrosion des cordes de pianoMaille cubique centrée du fer α et sites interstitiels, configuration électronique du cuivre, courbes intensité-potentiel et diagramme potentiel-pH du fer.
4Partie IV : polymères synthétiques dans le pianoStéréochimie du chloroprène et mécanisme d'addition du dichlore dans la synthèse du néoprène.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Méthode imposée non suivie · Confusions de notions de base · Modes propres et filtrage expliqués de façon floue

Le sujet, riche et varié, permettait aux candidats sérieux d'obtenir une excellente note sans tout traiter. Sa longueur a toutefois déséquilibré les résultats : 63 % des points obtenus l'ont été en physique, la dernière partie n'ayant été abordée que par un candidat sur quatre. La plupart des copies sont bien présentées, mais les copies négligées ont été pénalisées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Méthode imposée non suivieI.A
L'établissement de l'équation des ondes était guidé : une autre méthode, même juste, ne répondait pas à la question.
« Beaucoup de candidats ont préféré utiliser leur propre méthode, mathématiquement correcte, mais ils ne répondaient pas à la question posée. »
2
Confusions de notions de base
Raideur de la corde prise pour la raideur d'un ressort, propagation confondue avec diffusion, dimensions et unités mélangées, célérité de l'onde prise pour la vitesse d'un point de la corde.
« La célérité d’une onde est distincte de la vitesse d’un point de la corde. »
3
Modes propres et filtrage expliqués de façon floueII
Les explications restent vagues ou mettent des guillemets sur des termes imprécis ; peu de candidats voient le rôle de filtrage du sinus cardinal.
« l’explication des modes propres est très souvent vague quand elle n’est pas esquivée »
4
Démonstrations arrangées pour retrouver le résultat
Le jury repère les calculs forcés vers une équation donnée ; seules les démonstrations complètes et exactes rapportent les points.
« seules les réponses claires et détaillées, sans erreur ou omission, reçoivent les nombreux points qu’elles méritent »
5
Cristallographie et valeurs aberrantesIII.A
Les sites interstitiels sont mal étudiés, et des masses volumiques absurdes ne sont pas corrigées. Avec 0,035 % de carbone, la masse volumique de la ferrite reste celle du fer pur, ce que presque personne n'a remarqué.
6
Électrochimie mal maîtriséeIII.B, III.C
Cémentation et lixiviation sont souvent inconnues, le générateur est oublié dans le montage, le palier de diffusion est mal placé et les frontières acido-basiques du diagramme potentiel-pH sont rarement justifiées.

Ce qui a été bien réussi

Les domaines de la physique où apparaît l'équation d'onde sont souvent bien connus.
La notion de fuseau d'une onde stationnaire est bien connue.
Le décompte des atomes d'une maille est souvent bien fait et la règle de Klechkovski souvent bien explicitée.
Les espèces rédox sont souvent bien placées dans le diagramme potentiel-pH.
En chimie organique, les couples d'énantiomères sont en général correctement donnés.

Conseils du jury

Lorsqu'une question demande de montrer un résultat, le démontrer et non simplement le vérifier.
Faire des schémas clairs et légendés, par exemple pour le fil d'acier recouvert de cuivre.
Donner les applications numériques avec une précision cohérente avec les données.
Étudier l'influence d'un paramètre dans le sens de sa variation.
Commenter physiquement un graphe tracé, au-delà de « la courbe monte ».

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

Quelques aspects de la physique et de la chimie du piano

Le piano est un instrument de musique à cordes frappées inventé par l'italien Bartolomeo Cristofori au milieu du XVIII

è^(ème)

siècle et perfectionné principalement au XIX

è^(ème)

siècle, le piano à queue moderne ayant atteint sa maturité au début du XX

è^(ème)

siècle. Ce problème se propose d'aborder différents aspects du fonctionnement et de la conception de l'instrument. Les différentes parties sont largement indépendantes.

I Vibrations d'une corde de piano fixée à ses deux extrémités

Lorsque l'instrumentiste frappe une touche du clavier, celle-ci actionne un mécanisme, qui actionne à son tour un marteau

^1

, qui vient frapper une corde

^2

. Celle-ci entre alors en vibration libre (tant que la touche est enfoncée). On s'intéresse donc dans cette partie aux vibrations libres d'une corde du piano.
Sauf avis contraire, on supposera que la corde peut être supposée sans raideur et on négligera toujours les effets de la pesanteur.
La corde de masse linéique

μ

est tendue avec la tension

T_0

. Au repos, la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (

Ox

). On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note

y(x, t)

le déplacement du point de la corde à l'abscisse

x

à l'instant

t

. L'axe (

Oy

) est l'axe vertical ascendant.

I.A - Mise en équation du mouvement transversal d'une corde de piano sans raideur

I.A.1) Que signifie l'expression «corde sans raideur»? Qu'entend-on par «hypothèse des petits mouvements »?
I.A.2) Dans le cadre de l'approximation des petits mouvements, établir les deux équations liant les dérivées partielles par rapport à

t

et à

x

de la vitesse transversale d'un point de la corde

v_y(x, t) = (\partialy)/(\partialt)(x, t)

et de la projection sur l'axe (

Oy

) de la force de tension exercée à l'abscisse

x

par le morceau de corde situé à droite de cette abscisse sur la partie située à gauche

T_y(x, t)

. On fera apparaitre la tension

T_0

en le justifiant.
I.A.3) Montrer que la fonction

y(x, t)

vérifie l'équation aux dérivées partielles

μ_0(\partial^2 y)/(\partialt^2) = T_0(\partial^2 y)/(\partialx^2)

Identifier la célérité

c

des ondes transversales sur la corde et en donner l'expression. Comment s'appelle cette équation ? Citer au moins deux autres phénomènes régis par la même équation.
I.A.4) On peut lire dans une documentation technique que «une corde de piano est tendue à 85 kg ». Pouvez-vous en déduire un ordre de grandeur de la tension

T_0

d'une corde ? Pour une corde en acier donnant la note «La 4 », le diamètre de la corde est de

1, 1 mm

. La masse volumique de l'acier valant

7, 8 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

, calculer la célérité

c

des ondes transversales sur la corde.

I.B - Modes propres d'une corde de piano sans raideur, fixée aux deux extrémités. Position du marteau sur la corde

La corde est fixée à ses deux extrémités,

x = 0

x = L

, ce qui impose les conditions aux limites :

y(0, t) = y(L, t) = 0

.
I.B.1) Qu'appelle-t-on onde stationnaire? Montrer que les solutions en ondes stationnaires, physiquement acceptables, de l'équation (I.1) sont de la forme

y(x, t) = y_0 cos(ωt + φ)cos(kx + ψ)

. Quelle est la relation entre

ω

k

?
I.B.2) Qu'appelle-t-on «modes propres» et «fréquences propres» de la corde ? Exprimer les fréquences propres

f_n

de la corde en fonction de

c

L

. Donner l'expression de la solution

y_n(x, t)

correspondant au mode propre numéro

n

. Dessiner l'aspect de la corde à plusieurs instants bien choisis pour

n = 1, n = 2

n = 3

I.B.3) La solution générale de l'équation (I.1) correspondant aux conditions aux limites

y(0, t) = y(L, t) = 0

est une superposition des modes propres, qui s'écrit

y(x, t) = \sum_(n = 1)^\infty(a_n cos(n(πct)/L) + b_n sin(n(πct)/L))sin((πx)/L)

La corde est frappée à l'instant initial par un marteau de largeur

2a

(faible), situé à l'abscisse

x_0

(pendant un intervalle de temps supposé infiniment court). Ce marteau communique une vitesse initiale transversale à la corde. On se donne les conditions initiales suivantes (juste après l'attaque de la corde par le marteau) en tout point de la corde:

la forme initiale de la corde donnée par $y(x, 0) = 0$ ;
la vitesse initiale de la corde donnée par

(∂y)/(∂t)(x, t) = {u_0, pour x ∈ [x_0 − a, x_0 + a]; 0, en dehors de cet intervalle

a) On donne le résultat du calcul :

y(x, t) = (4u_0 ax_0)/(cL)\sum_(n = 1)^\infty(sin(n(πa)/L))/(n(πa)/L)(sin(n(πx_0)/L))/(n(πx_0)/L)sin(n(πx)/L)sin(n(πct)/L)

Quel est l'effet de la largeur

a

du marteau? Pour une corde de piano de longueur

L = 65 cm

( «Do 4 », fréquence fondamentale

f_1 = 262 Hz

), donner l'ordre de grandeur de la fréquence au-delà de laquelle cet effet est sensible. La largeur du marteau vaut

2a = 2 cm

. Commentaire?
b) Comment choisir le point d'attaque si l'on veut supprimer l'harmonique de rang

n

I.C - Conséquences sur la conception des cordes d'un piano

La hauteur du son produit par une corde est fixée par la fréquence

f

de son mode fondamental

n = 1

. Les 88 notes d'un piano moderne s'échelonnent du «La 0 » (fréquence fondamentale

f = 28 Hz

) au «Do 8 » (fréquence fondamentale

f = 4, 2kHz

).
I.C.1) Rappeler la relation liant la longueur

L

d'une corde à la fréquence de son fondamental

f

On rappelle que pour la fréquence fondamentale

f = 262 Hz

, on a une longueur de corde

L = 65 cm

. Quelles sont les valeurs extrêmes des longueurs de corde prévues dans l'extrême grave et dans l'extrême aigu?
I.C.2) Les longueurs calculées ci-dessus sont excessives dans le grave (problèmes d'encombrement et de fragilisation de la structure à cette échelle) : en pratique, la longueur d'un piano à queue de concert moderne n'excède pas 3 m (la longueur la plus courante étant autour de

2, 75 m

). La longueur des cordes obéit assez bien à la loi étudiée au I.C. 1 pour les notes au-delà du «Do 4 ». Pour les notes plus graves, on utilise des cordes filées : il s'agit de cordes d'acier, autour desquelles on a enroulé un fil de cuivre. La longueur de corde variant peu dans ce domaine du clavier, expliquer l'intérêt de ce procédé. Pourrait-on envisager de jouer sur la tension

T_0

des cordes?
I.C.3) On donne la masse volumique du cuivre:

ρ(Cu) = 9, 0 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

. En assimilant l'enroulement de cuivre à une couche homogène d'épaisseur 1 mm recouvrant le cœur d'acier de diamètre

1, 6 mm

, et pour la tension

T_0 = 850 N

, calculer la longueur de la corde du «La 0 » (note la plus grave du piano, de fréquence fondamentale

f = 28 Hz

I.D - Prise en compte de la raideur : dispersion et inharmonicité

En réalité, à cause de l'élasticité du matériau constituant une corde, il faut prendre en compte sa raideur. Cela est particulièrement vrai pour les cordes de grand diamètre

^3

. Il nous faut donc raffiner le modèle adopté jusqu'à présent. On considère toujours que les mouvements de la corde sont transversaux, et contenus dans le plan vertical

xOy

. La théorie de l'élasticité montre que la tension

T⃗(x, t)

n'est plus tangente à la corde et que pour permettre la courbure de la corde, il faut prendre en compte un couple de moment

Γ⃗ = \pm Γ(x, t)u⃗_z

dont l'expression est donnée par

Γ(x, t) = (πr^4)/4E(\partial^2 y)/(\partialx^2)

où

r

désigne le rayon de la corde.

E

, appelé «module d'Young», traduit les propriétés d'élasticité du matériau constituant la corde et s'exprime en Pascal. On considère ici une corde en acier de masse volumique

ρ(

acier

) = 7, 8 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

et de module d'Young

E = 190GPa

La portion de corde comprise entre les abscisses

x

x + dx

est donc soumise aux forces de tension et aux couples

T⃗_g(x, t) = - (T_x(x, t)u⃗_x + T_y(x, t)u⃗_y), - Γ(x, t)u⃗_z, en x; T⃗_d(x + dx, t) = T_x(x + dx, t)u⃗_x + T_y(x + dx, t)u⃗_y, Γ(x + dx, t)u⃗_z, en x + dx

I.D.1)

a) Vérifier l'homogénéité de la relation donnant

Γ(x, t)

.
b) En appliquant le théorème de la résultante cinétique à la portion

{x, x + dx}

, montrer que

T_x

ne dépend que du temps. On supposera que

T_x

est en réalité une constante notée

T_0

. Établir également une équation aux dérivées partielles liant

y(x, t)

T_y(x, t)

.
c) En appliquant le théorème du moment cinétique barycentrique à la portion

{x, x + dx}

, établir une nouvelle équation aux dérivées partielles liant

y(x, t), T_y(x, t)

Γ(x, t)

. À cette fin, on négligera en justifiant cette approximation le moment d'inertie de la portion

{x, x + dx}

par rapport à l'axe

Gz

.
d) En déduire l'équation aux dérivées partielles régissant les mouvements de la corde

μ(\partial^2 y)/(\partialt^2) - T_0(\partial^2 y)/(\partialx^2) + E(πr^4)/4(\partial^4 y)/(\partialx^4) = 0

où

μ

désigne toujours la masse linéique de la corde.
I.D.2) On s'intéresse à l'influence de la raideur sur les fréquences propres de la corde. On se place donc dans un mode propre de vibration et on suppose

y(x, t) = y_0 cos(kx + ψ)cos(ωt)

.
a) Établir la relation de dispersion

ω(k)

d'un tel mode.
b) Montrer que les fréquences propres de la corde tendue entre ses extrémités fixées en

x = 0

x = L

s'écrivent

f_n = nc/(2L)\sqrt(1 + Bn^2)

où

n

est un entier naturel non nul,

c

la célérité des ondes sur la corde sans raideur et

B

une constante qu'on exprimera en fonction de

E, T_0, r

L

. Pouvez-vous en déduire un des avantages présentés par un piano à queue par rapport à un piano droit ?
c) Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de

f_n

en fonction de

n

pour une corde sans raideur et pour la même corde avec raideur. Commenter.
d) Calculer numériquement

B

(on prendra

L = 0, 65 m, r = 0, 55 mm, T_0 = 850 N

E = 190GPa

). En déduire l'expression approchée de l'inharmonicité de raideur

i_n

, définie par le rapport

i_n = (f_n - f_n^0)/f_n^0

où

f_n^0

désigne la fréquence propre du mode

n

pour une corde sans raideur.
e) À partir de quel rang

n

la fréquence propre

f_n

de la corde avec raideur est-elle plus élevée d'un demi-ton que celle de la corde idéale,

f_n^0

? Donnée : deux notes séparées d'un demi-ton ont des fréquences fondamentales qui sont dans un rapport

2^(1/12)

II Couplage entre une corde de piano et la table d'harmonie: le rôle du chevalet

On revient ici à une corde sans raideur.
Une corde vibrante est un «radiateur» acoustique très peu efficace. Si l'on veut produire du son efficacement, il faut utiliser une structure de bien plus grande taille : il s'agit de la table d'harmonie, mince planche d'épicéa, qui par ses vibrations, rayonne du son dans l'espace environnant. On s'intéresse à la manière dont la corde vibrante peut transférer une partie de son énergie à la table d'harmonie par l'intermédiaire d'une pièce de bois collée sur la table: le chevalet.

II.A - Impédance caractéristique d'une corde vibrante

II.A.1) On considère une onde progressive sinusoïdale se propageant vers les

x

croissants le long de la corde sans raideur étudiée dans la partie I.A. On conserve les notations de la partie I. Montrer que pour cette onde progressive, le rapport

T_y(x, t)/v_y(x, t)

est constant et prend la valeur

- μc

. On appelle «impédance caractéristique » de la corde la grandeur

Z_C = μc

. Quelle est la dimension de

Z_C

?
II.A.2) Que devient ce rapport si l'onde progressive sinusoïdale se propage vers les

x

décroissants ?

II.B - Couplage corde-chevalet

La «partie utile» (ou longueur vibrante) de la corde est tendue entre l'extrémité gauche (en

x = 0

) où l'agrafe la maintient immobile :

y(0, t) = 0

, et l'extrémité droite (en

x = L

) où elle repose sur le chevalet.

Figure 1

II.B.1) On propose de modéliser l'extrémité droite de la corde (située en

x = L

) par la condition aux limites

T_y(L, t)/v_y(L, t) = - R

, où

R

est une constante positive caractérisant le couplage corde-chevalet. Cette constante

R

se nomme l'impédance mécanique de l'ensemble chevalet-table d'harmonie. Pourquoi ce modèle est-il pertinent selon vous? De quel phénomène rend-il compte ? On se contentera d'une réponse qualitative.
II.B.2) On cherche des solutions en ondes stationnaires de la forme

y(x, t) = f(x)exp(st)

où

s

est un nombre complexe. Montrer que

f(x) = Asinh(sx/c)

et que

tanh(sL/c) = - 1/r

où l'on a posé

r = R/Z_C

. Ce dernier résultat peut se récrire

exp((2Ls)/c) = (r - 1)/(r + 1)

forme que l'on adopte dorénavant.
II.B.3)

s

étant complexe, on pose

s = α + jω

, où

α

ω

sont des réels et

j^2 = - 1

. Dans le cas où

r > 1

, qui correspond au cas du piano, calculer les valeurs possibles de

ω

; commenter. Calculer également

α

en fonction de

c, L

r;

commenter.
II.B.4) Montrer que la solution précédente tenant compte du couplage avec le chevalet est de la forme

y(x, t) = exp(αt)(exp(αx/c)F(t + x/c) - exp(- αx/c)F(t - x/c))

. Qu'en dites-vous ? Est-ce toujours une onde stationnaire ?
II.B.5) L'expérience quotidienne du pianiste montre qu'une note peut persister plusieurs secondes dans l'extrême grave, tandis que dans l'extrême aigu, le son ne persiste qu'une fraction de seconde. Les calculs menés ci-dessus sont-ils en accord avec l'expérience? Quel(s) raffinement(s) pourrait-on apporter au modèle ?

III Corrosion des cordes de piano

Les cordes de piano sont en acier extrêmement solide et sont de diamètre variable, d'environ

0, 8 mm

pour les notes les plus aiguës jusqu'à

1, 5 mm

pour les notes les plus graves. Les cordes de grave sont dites filées dans la mesure où elles sont gainées d'un fil de cuivre destiné à les alourdir pour permettre une tension moindre et une plus grande flexibilité.
Chacune des trois sous-parties est indépendante et peut être traitée séparément des autres.

III.A - L'acier : constituant essentiel des cordes de piano

L'acier est constitué d'au moins deux éléments, majoritairement le fer puis le carbone dans des proportions comprises entre

0, 02%

2%

en masse. C'est essentiellement la teneur en carbone qui confère à l'alliage les propriétés du métal qu'on appelle «acier». La structure du fer + carbone évolue d'une façon complexe en fonction de la température et de la teneur en carbone.

III.A.1) Le fer $α$

Le fer peut cristalliser sous deux formes selon la température. À basse température, le fer

α

cristallise dans une structure cubique centrée cc.
a) Donner la définition d'une maille élémentaire.
b) Combien la maille conventionnelle du fer

α

contient-elle d'atomes de fer ?
c) On donne le paramètre de la maille cubique

a_α = 287pm

. Calculer alors le rayon atomique du fer

R_(Fe)

ainsi que la masse volumique du fer

α, ρ_(Feα)

.
d) Dans la représentation de la maille de fer

α

donnée figure 2 , à quel type de site intersticiel correspond

O^'

? Est-il régulier ? Justifier votre réponse.
e) Répondre aux mêmes questions pour le site intersticiel

T^'

, situé à la distance

a/4

O^'

.
f) Localiser et dénombrer les deux types de sites dans la maille conventionnelle du fer

α

.
g) Établir en fonction de

R_(Fe)

l'expression de

R_(O^')

, rayon maximal d'un atome qui s'insèrerait dans un site

O^'

sans déformation de la structure cristalline de base. Calculer

R_(O^')

.
h) Répondre à la même question pour le site

T^'

Figure 2 Sites intersticiels

O^'

T^'

dans la maille de fer

α

III.A.2) Du fer $α$ à la ferrite

La ferrite est une solution solide de carbone dans le fer

α

. Le terme ferrite désigne en effet l'acier à très faible teneur en carbone.
a) Indiquer dans quel type de site interstitiel les atomes de carbone se placeront afin d'engendrer le minimum de déformation du réseau hôte. Est-il possible que cela se fasse sans aucune déformation?
b) Le maximum de «solubilité» du carbone est de

0, 035%

en masse. Établir la formule de la ferrite

FeC_x

.
c) Déterminer le pourcentage d'occupation des sites

T^'

par les atomes de carbone.
d) Calculer la masse volumique de la ferrite en supposant que le réseau hôte n'est pas déformé.

III.B - Cordes de grave

Intéressons-nous maintenant au cuivre : l'élément ainsi que sa préparation industrielle pour les cordes de piano.

III.B.1) Le cuivre: configuration électronique, isotopes stables

a) Donner la configuration électronique attendue du cuivre dans son état fondamental en énonçant les règles utilisées. Préciser quels sont les électrons de cœur et ceux de valence.
En réalité, cet élément constitue une exception à la règle de Klechkowski, sa configuration ne laisse apparaitre qu'un seul électron de valence. Donner cette configuration et proposer une explication.
b) Donner la définition d'un élément de transition et situer avec précision ces éléments dans la classification périodique. Déduire de la configuration électronique attendue déterminée à la question III.B.1.a, la place de l'élément cuivre dans la classification périodique.

III.B.2) Préparation industrielle du cuivre

Le cuivre est un des rares métaux qui existent à l'état natif. Ce fait d'ailleurs explique probablement qu'il fut le premier métal utilisé par les hommes. Les minerais de cuivre sont essentiellement constitués de sulfures avec de nombreuses impuretés métalliques. La métallurgie du cuivre est réalisée selon deux procédés différents :

le procédé par voie sèche,
le procédé par voie humide.
a) Comment nomme-t-on ces deux types de métallurgie ?

La voie humide pour l'extraction du cuivre est de plus en plus privilégiée. Celle-ci comporte schématiquement trois étapes:

la lixiviation,
la cémentation,
l'électrolyse.
b) Expliciter les termes de lixiviation et de cémentation.

La solution de sulfate de cuivre

(Cu^(2 +) + SO_4^(2 -))

et d'acide sulfurique obtenue après les deux premières opérations subit une électrolyse.
La figure A du document réponse fournit la courbe intensité-potentiel pour une électrode de cuivre au contact d'une solution molaire d'acide sulfurique (courbe

a

) et celle obtenue avec la même électrode au contact d'une solution molaire de sulfate de cuivre (courbe

b

).
c) Décrire le montage expérimental à effectuer pour tracer une courbe intensité-potentiel.
d) Préciser les réactions électrochimiques mises en jeu dans les deux parties des deux courbes (écrire directement sur le document réponse qui sera à rendre avec la copie).
Rappel: en solution, les ions hydrogénosulfate

HSO_4^-

et sulfate

SO_4^(2 -)

ne sont pas électroactifs pour la réduction.
e) Comment peut-on qualifier le couple

Cu^(2 +)/Cu

à la réduction? À l'oxydation ?
f) Si l'on augmente la tension, on voit apparaître un palier sur l'une des branches de la courbe

b

. Compléter qualitativement le diagramme et expliquer l'origine de ce palier. De quoi dépend son ordonnée ? Pour quel type de réactions électrochimiques ce palier n'est-il pas observé ?
La solution molaire de sulfate de cuivre et d'acide sulfurique (

pH = 0

) est électrolysée dans une cuve, avec une anode en plomb passivé, sur laquelle il y a dégagement de dioxygène et une cathode en cuivre très pur sur laquelle le cuivre se dépose. La figure 3 présente la courbe intensité-potentiel enregistrée.

Figure 3

g) Quelles sont les réactions qui ont lieu aux électrodes ? (les propriétés redox du plomb n'interviennent pas). Pour qu'il y ait réaction à l'électrode, il est nécessaire que les espèces électroactives s'approchent de cette électrode. Quels sont les trois phénomènes qui assurent le transport de matière ?
h) Déterminer la tension théorique de fonctionnement

(V_a - V_c)_(i = 0)

(on admettra que les gaz se dégagent sous la pression atmosphérique).
En réalité, pour une densité de courant de

130 A \cdot m^(- 2)

, compte tenu des phénomènes de surtension et de chute ohmique dans l'électrolyseur, la tension à appliquer est de

2, 44 V

.
Sachant que le rendement faradique est de

85%

, déterminer l'énergie nécessaire pour déposer 1 kg de cuivre pur.

III.C - Corrosion de l'acier à l'air humide

Dans l'acier ordinaire, la présence de carbone améliore beaucoup les propriétés mécaniques du fer sans pour autant réduire sa vulnérabilité à la corrosion. La corrosion des cordes de piano est donc un réel problème auquel il faut remédier.
Dans cette partie, on assimilera l'acier au fer.
L'allure du diagramme E-pH du fer à

25^\circC

est donnée en figure B du document réponse. Ce document sera complété et rendu avec la copie.
Ce diagramme est établi pour une concentration de tracé totale en espèces dissoutes de

C_(tra)mol \cdot L^(- 1)

. La convention de frontière entre deux domaines de prédominance d'espèces dissoutes est l'égalité des concentrations molaires.
Les espèces prises en compte pour ce diagramme sont :

espèces solides : $Fe, Fe_2 O_3$ ;
espèces dissoutes : $Fe^(2 +), Fe^(3 +)$ .
III.C.1) Déterminer le degré d'oxydation de l'élément fer dans chaque espèce considérée.

Compléter le diagramme du document réponse en attribuant à chacune des zones l'espèce chimique correspondante. Justifier avec soin votre réponse, en particulier pour le domaine D.
Remarque: la frontière entre les domaines C et D n'est pas tracée.
III.C.2) Déduire du diagramme :

la concentration de tracé $C_(tra)$ ,
le produit de solubilité de $Fe_2 O_(3(s))$ ,
la pente de la frontière entre les domaines B et D .
III.C.3) Tracer sur le diagramme la frontière délimitant les domaines C et D . On justifiera avec soin le calcul de sa pente.
III.C.4) Tracer sur ce même diagramme le diagramme potentiel-pH de l'eau pour des pressions gazeuses égales à 1 bar. Les cordes en acier sont-elles attaquées par une eau aérée ? désaérée ? Cela dépend-il du pH ?
III.C.5) Déterminer pour chaque domaine du diagramme s'il s'agit d'un domaine d'immunité, de corrosion ou de passivité. Définir ces trois termes.
III.C.6) Expliquer pourquoi on ne pourrait pas utiliser des cordes en acier avec des raccords de cuivre ? Que se passe-t-il alors ?

IV Polymères synthétiques dans le piano

Si autrefois les touches blanches des pianos étaient recouvertes d'ivoire et les noires d'ébène, aujourd'hui les matériaux de remplacement sont le plastique ou le polymère (ivoire synthétique ou «ivoirine»). De plus, des colles en polymère sont utilisées pour réparer les pianos et coller le bois, comme le polychloroprène (encore appelé Néoprène). Intéressons-nous de plus prêt à cette colle polymère.

IV.A - Étude du monomère : le chloroprène

IV.A.1) Le néoprène est formé à partir de chloroprène, représenté figure 4. Donner son nom dans la nomenclature officielle.

Figure 4 Chloroprène

IV.A.2) La première étape de synthèse du chloroprène consiste en une chloration du buta- 1,3 -diène avec du dichlore. Les réactifs réagissent mole à mole.
a) Écrire l'équation bilan de la réaction en précisant la formule topologique du produit majoritaire obtenu (on ne tient pas compte de la stéréochimie).
b) Indiquer le mécanisme réactionnel en milieu ionique.
c) Le mélange obtenu est-il optiquement actif ? Justifier votre réponse en précisant le (ou les) stéréoisomère(s) obtenu(s) ainsi que leurs proportions relatives. Quelle relation d'isomérie existe-t-il entre eux ?
d) Indiquer pour chaque stéréoisomère la configuration absolue du (ou des) carbone(s) asymétrique(s) en la justifiant.
IV.A.3) Si cette chloration était réalisée sur le (Z)-but-2-ène, combien de stéréoisomères seraient obtenus ? Écrire leur formule topologique et indiquer les relations de stéréoisomérie qui les lient.
En réalité, cette première étape de synthèse du chloroprène est une chloration radicalaire, réalisée à

250^\circC

et sous 1 à 7 bar de dichlore gazeux. Le produit majoritaire est le 1,2 -dichlorobut- 3 -ène qui subit ensuite une déshydrochloration en solution alcaline diluée pour conduire au chloroprène.
IV.A.4) Écrire l'équation bilan de la réaction de déshydrochloration en solution alcaline.

IV.B - Polymérisation du néoprène

En principe il est possible de polymériser le chloroprène par des techniques de catalyse anionique, cationique et de Ziegler-Natta. En raison des propriétés du produit et de considérations économiques, seule la polymérisation radicalaire est employée aujourd'hui.

Figure 5 Polychloroprène ou néoprène

IV.B.1) Indiquer la stéréochimie de la double liaison en la justifiant.
IV.B.2) Un échantillon de néoprène a une masse molaire moyenne de

12500 g \cdot mol^(- 1)

. Quel est son indice de polymérisation moyen?

Données

Pour l'accélération de la pesanteur, on prendra

g = 10 m \cdot s^(- 2)

Constantes fondamentales

Constante des gaz parfaits:

R = 8, 314 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

Constante de Faraday :

F = 96500C \cdot mol^(- 1)

Constante d'Avogadro:

N_A = 6, 023 \times 10^(23) mol^(- 1)

On prendra:

(RT)/Fln10 = 0, 06 V

25^\circC

T(K) = T(^\circC) + 273, 15

Grandeurs de référence

Pression standard :

P^0 = 1

bar

= 1, 0 \times 10^5 Pa

Concentration standard :

C^0 = 1, 0 mol \cdot L^(- 1)

Élément	H	C	Cl	Fe	Cu
Numéro atomique	1	6	17	26	29
Masse molaire atomique $(g \cdot mol^(- 1))$	1,01	12,0	35,5	55,8	63,5
Rayon atomique $(pm)$	25	70	100	140	135

Grandeurs thermodynamiques à 900 K

	Cu	CuO	$Cu_2 O$	$CuSO_4$	CuS	$Cu_2 S$	$O_2$	$SO_2$
Température de fusion $(K)$	1356	1599	1508	383	1373		52	198
$Δ_f G^\circ(kj \cdot mol^(- 1))$	0	-75	-103	-438	-47	-101	0	-296
$Δ_f H^\circ(kj \cdot mol^(- 1))$	0	-151	-168	-820	-113	-130	0	-362

Potentiels standard à 298 K par rapport à l'ESH

	$Cu^(2 +)/Cu_((s))$	$H_2 O/H_(2(g))$	$O_(2(g))/H_2 O$	$Fe^(3 +)/Fe^(2 +)$	$Fe^(2 +)/Fe_((s))$	$Zn^(2 +)/Zn_((s))$	$Ni^(2 +)/Ni_((s))$	$S_2 O_8^(2 -)/SO_4^(2 -)$
$E^\circ(V)$	0,34	0,00	1,23	0,77	$- 0, 44$	$- 0, 76$	$- 0, 25$	2,00

Prénom :

Signature :

Épreuve de Physique-Chimie Filière PSI

◻

Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir rempli complètement l'en-tête

Figure A

Figure B

$^1$ Les marteaux sont réalisés en bois recouvert de feutre.
$^2$ Dans le médium et l'aigu, chaque marteau frappe simultanément deux ou trois cordes identiques pour chaque note.
$^3$ C'est d'ailleurs la raison pour laquelle on enrobes les cordes de grave avec du cuivre enroulé, plutôt que d'augmenter encore le diamètre du cœur d'acier.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique-chimie Centrale PSI 2013 ?

Sur le piano : cordes vibrantes et équation de d'Alembert, couplage avec la table d'harmonie par le chevalet, cristallographie de l'acier, élaboration du cuivre, corrosion du fer et synthèse du néoprène.

Le sujet de physique-chimie Centrale 2013 PSI était-il long ?

Oui selon le jury : la quatrième partie n'a été abordée que par un candidat sur quatre et 63 % des points obtenus l'ont été en physique. Une très bonne note restait possible sans tout traiter.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie Centrale PSI 2013 ?

Une méthode imposée ignorée, des confusions entre célérité et vitesse d'un point, des explications floues des modes propres, des démonstrations arrangées, des sites interstitiels mal traités et un palier de diffusion mal placé.

Quelles questions de chimie posaient problème à Centrale PSI 2013 ?

L'étude des sites interstitiels, les ordres de grandeur de masse volumique, les courbes intensité-potentiel, la justification des frontières acido-basiques et le mécanisme d'addition du dichlore.

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Quelques aspects de la physique et de la chimie du piano

I Vibrations d'une corde de piano fixée à ses deux extrémités

I.A - Mise en équation du mouvement transversal d'une corde de piano sans raideur

I.B - Modes propres d'une corde de piano sans raideur, fixée aux deux extrémités. Position du marteau sur la corde

I.C - Conséquences sur la conception des cordes d'un piano

I.D - Prise en compte de la raideur : dispersion et inharmonicité

I.D.1)

II Couplage entre une corde de piano et la table d'harmonie: le rôle du chevalet

II.A - Impédance caractéristique d'une corde vibrante

II.B - Couplage corde-chevalet

III Corrosion des cordes de piano

III.A - L'acier : constituant essentiel des cordes de piano

III.A.1) Le fer α

III.A.2) Du fer α à la ferrite

III.B - Cordes de grave

III.B.1) Le cuivre: configuration électronique, isotopes stables

III.B.2) Préparation industrielle du cuivre

III.C - Corrosion de l'acier à l'air humide

IV Polymères synthétiques dans le piano

IV.A - Étude du monomère : le chloroprène

IV.B - Polymérisation du néoprène

Données

Constantes fondamentales

Grandeurs de référence

Grandeurs thermodynamiques à 900 K

Potentiels standard à 298 K par rapport à l'ESH

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de physique-chimie Centrale PSI 2013 ?

Le sujet de physique-chimie Centrale 2013 PSI était-il long ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie Centrale PSI 2013 ?

Quelles questions de chimie posaient problème à Centrale PSI 2013 ?

Commentaires• Centrale Physique Chimie PSI 2013

Commentaires• Centrale Physique Chimie PSI 2013

III.A.1) Le fer $α$

III.A.2) Du fer $α$ à la ferrite