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Centrale Mathématiques 1 PSI 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La fonction Gamma d'Euler : formule de Stirling, identité d'Euler, et application à la distribution de Boltzmann
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Ce problème de mathématiques I, filière PSI, étudie la fonction Gamma d'Euler définie sur les réels strictement positifs. Il établit une variante affaiblie de la formule de Stirling, l'identité d'Euler pour la fonction Gamma, puis la formule donnant sa dérivée logarithmique, avant de retrouver la distribution de Maxwell-Boltzmann de la mécanique statistique à partir d'un problème de maximisation de l'entropie à masse et énergie fixées.

  1. 1I. La fonction GammaDéfinition et premières propriétés de la fonction Gamma d'Euler : classe C1, stricte positivité, relation de récurrence.
  2. 2II. Formule de StirlingÉtablissement d'une variante affaiblie de la formule de Stirling.
  3. 3III. L'identité d'EulerDémonstration de l'identité d'Euler exprimant la fonction Gamma comme limite d'un produit.
  4. 4IV. Une intégrale à paramètreÉtude d'une intégrale à paramètre liée à la fonction Gamma.
  5. 5V. Une autre identité due à EulerÉtablissement d'une seconde identité d'Euler et calcul de la dérivée logarithmique de la fonction Gamma.
  6. 6VI. Distribution de BoltzmannRetrouver la distribution de Maxwell-Boltzmann de la mécanique statistique à partir d'un problème de maximisation de l'entropie à masse et énergie fixées, par calcul différentiel à plusieurs variables.

Difficulté moyenne. Le jury note que, jusqu'à la partie VI, assez peu de groupes de questions ont été systématiquement délaissés, ce qui suggère un sujet de longueur appropriée. En revanche, la partie VI sur le calcul différentiel à plusieurs variables a révélé qu'une majorité de candidats restent très mal à l'aise avec cette notion.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Intégrabilité mal comprise · Erreur de dérivation · Hypothèse de domination oubliée
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Le jury constate que le sujet a été globalement bien abordé jusqu'à la partie VI, mais que le calcul différentiel à plusieurs variables y met en difficulté une majorité de candidats, presque aucun n'ayant compris l'intérêt de ramener le problème d'extrémums liés à un problème de minimisation sur un ouvert. La rédaction de la plupart des copies est par ailleurs jugée insuffisante.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Intégrabilité mal comprise

    Trop de candidats n'ont pas compris qu'une fonction de la forme t vers t^x n'est jamais intégrable sur les réels strictement positifs.

  2. 2
    Erreur de dérivation

    Trop de candidats croient à tort connaître la dérivée de la fonction x vers t^(x-1)e^(-t).

  3. 3
    Hypothèse de domination oubliéePartie IV

    Dans les questions portant sur la régularité des intégrales à paramètres, les candidats oublient trop souvent certaines hypothèses, en particulier celle de domination.

  4. 4
    Justifications frôlant la malhonnêteté intellectuelleII.A-B-C, IV.B, V.B

    Dans plusieurs questions, certains candidats avancent des affirmations fausses non justifiées, comme le fait qu'une primitive d'une fonction périodique serait elle-même périodique.

  5. 5
    Problème d'extrémums liés non ramené à un problème d'ouvertVI.A.2

    Presque aucun candidat n'a compris que l'intérêt de la question était de ramener le problème initial d'extrémums liés à un problème de minimisation sur un ouvert.

    « presque aucun candidat n’a compris que l’intérêt de la question VI.A.2 était de ramener le problème initial d’extrémums liés en un problème de minimisation »

Ce qui a été bien réussi

  • Assez peu de groupes de questions ont été systématiquement délaissés par les candidats jusqu'à la partie VI.
  • Les candidats ont bien compris qu'il y a un lien entre extrémum local d'une fonction de plusieurs variables et annulation de ses dérivées partielles.

Conseils du jury

  • Réaliser toute intégration par parties sur un segment, en justifiant soigneusement le passage à la limite des bornes.
  • Vérifier systématiquement toutes les hypothèses d'un théorème sur les intégrales à paramètres, en particulier la domination.
  • Ne jamais avancer une affirmation sans justification precise, même si elle semble intuitivement vraie.
  • Préciser que le lien entre extrémum local et annulation des dérivées partielles ne vaut que sur un ouvert.
  • Rédiger de manière concise et précise : une rédaction obscure ou imprécise est toujours dévalorisée par la notation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Mathématiques 1

Le but de ce problème est d'établir partie V une identité relative à la fonction Gamma, due à Euler, puis d'en présenter partie VI une application à la distribution de Bolzmann dans un gaz de particules.

I La fonction Gamma

On définit la fonction Γ d'Euler, pour tout réel x > 0, par :
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1)dt
IA - Montrer que la fonction t → e^(− t)t^(x − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[ si, et seulement si, x > 0.
I.B - Justifier que la fonction Γ est de classe C^1 et strictement positive sur ]0, + ∞[.
I. C - Exprimer Γ(x + 1) en fonction de x et de Γ(x).
I. D - Calculer Γ(n) pour tout entier naturel n, n ⩾ 1.

II Formule de Stirling

Pour tout entier k ⩾ 2, on pose:
u_k = lnk − ∫_(k − 1)^k lntdt
II. A - À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que :
u_k = 1/2(lnk − ln(k − 1)) − 1/2∫_(k − 1)^k((t − k + 1)(k − t))/(t^2)dt
II.B - Pour tout entier k ⩾ 2, on note :
w_k = 1/2∫_(k − 1)^k((t − k + 1)(k − t))/(t^2)dt
Justifier la convergence de la série ∑_(k ⩾ 2)w_k.
En déduire qu'il existe un nombre réel a tel que :
lnn! = nlnn − n + 1/2lnn + a + v_n
où v_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)w_k.
II.C - En utilisant encore une intégration par parties, montrer que :
|w_k − 1/(12)∫_(k − 1)^k(dt)/(t^2)| ⩽ 1/6∫_(k − 1)^k(dt)/(t^3)
II.D - En déduire que
|v_n − 1/(12n)| ⩽ 1/(12n^2)
puis que :
lnn! = nlnn − n + 1/2lnn + a + 1/(12n) + O(1/(n^2))
Dans la suite on admettra que a = 1/2ln(2π) et on pourra utiliser la formule de Stirling :
lnn! = nlnn − n + 1/2lnn + 1/2ln(2π) + 1/(12n) + O(1/(n^2))

III L'identité d'Euler

Dans cette partie, nous allons établir l'identité d'Euler suivante :
∀x > 0, Γ(x) = lim_(n → + ∞)(n!n^x)/(x(x + 1)⋯(x + n))
On désigne par (f_n)_(n ⩾ 1) la suite de fonctions définies sur ]0, + ∞[ par :
f_n(t) = {(1 − t/n)^n t^(x − 1), si t ∈ ]0, n[; 0, si t ⩾ n
et on définit pour tout réel x > 0 les suites (I_n(x))_(n ⩾ 1) et (J_n(x))_(n ⩾ 0) par :
I_n(x) = ∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1)dt; J_n(x) = ∫_0^1(1 − t)^n t^(x − 1)dt
III. A - Montrer que pour tout entier n, n ⩾ 1, la fonction f_n est continue et intégrable sur ]0, + ∞[.
III. B - Montrer que, pour tout x > 0,
lim_(n → + ∞)I_n(x) = Γ(x)
III. C - Montrer que, pour tout entier n, n ⩾ 0,
∀x > 0, J_(n + 1)(x) = (n + 1)/xJ_n(x + 1)
III. D − En déduire que, pour tout x > 0,
J_n(x) = (n!)/(x(x + 1)⋯(x + n − 1)(x + n))
III. E - Établir l'identité d'Euler (III.1).

IV Une intégrale à paramètre

Dans toute la suite, on définit une fonction h sur ℝ par
h : ℝ, ⟶ ℝ; u ⟼ u − [u] − 1/2
où la notation [u] désigne la partie entière de u.
IV. A - Dessiner soigneusement le graphe de l'application h sur l'intervalle [ − 1, 1].
IV.B - Montrer que la fonction H définie sur ℝ par :
H(x) = ∫_0^x h(t)dt
est continue, de classe C^1 par morceaux et périodique de période 1.
IV.C - À l'aide d'une intégration par parties, justifier, pour x > 0, la convergence de l'intégrale suivante :
∫_0^(+ ∞)(h(u))/(u + x)du
IV. D - L'application u ⟼ (h(u))/(u + x) est-elle intégrable sur ℝ_+?
IV.E - Soit φ l'application définie pour tout x > 0 par :
φ(x) = ∫_0^(+ ∞)(h(u))/(u + x)du
En reprenant l'intégration par parties de la question IV.C, démontrer que l'application φ est de classe C^1 sur ℝ_+^∗ et que pour tout x > 0,
φ^′(x) = − ∫_0^(+ ∞)(h(u))/((u + x)^2)du

V Une autre identité due à Euler

Nous allons maintenant établir une autre formule importante due à Euler, valable pour tout x > 0 :
lnΓ(x + 1) = (x + 1/2)lnx − x + ln√(2π) − ∫_0^(+ ∞)(h(u))/(x + u)du
où h est l'application définie à la partie IV.
On fixe donc x > 0 et pour tout entier naturel n, on définit F_n(x) par :
F_n(x) = ln((n!n^(x + 1))/((x + 1)(x + 2)…(x + n + 1)))
V.A − Montrer que pour tout entier naturel i :
∫_(x + i)^(x + i + 1)lntdt = ln(x + i) − ∫_i^(i + 1)(u − i − 1)/(u + x)du
V.B - En déduire que :
F_n(x) = G_n(x) − ∫_0^(n + 1)(h(u))/(u + x)du
où
G_n(x) = lnn! + (x + 1)lnn − (x + n + 3/2)ln(x + n + 1) + n + 1 + (x + 1/2)lnx
V.C −
V.C.1) En utilisant la formule de Stirling, montrer que :
lim_(n → + ∞)G_n(x) = (x + 1/2)lnx − x + ln√(2π)
V.C.2) En déduire que :
lnΓ(x + 1) = (x + 1/2)lnx − x + ln√(2π) − ∫_0^(+ ∞)(h(u))/(u + x)du
V. D - Montrer que pour tout réel x strictement positif,
(Γ^′(x + 1))/(Γ(x + 1)) = lnx + 1/(2x) + ∫_0^(+ ∞)(h(u))/((u + x)^2)du

VI Distribution de Bolzmann

VI.A - Soient ε_1, ε_2, ε_3, ε_4 quatre nombres réels strictement positifs deux à deux distincts et deux nombres réels strictement positifs E et N. Soit Ω la partie, supposée non vide, formée des quadruplets x = (x_1, x_2, x_3, x_4) de ℝ_+^4 vérifiant :
{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = N; ε_1 x_1 + ε_2 x_2 + ε_3 x_3 + ε_4 x_4 = E
VI.A.1) Soit f une fonction de classe C^1 sur ℝ_+^4.
Montrer que f admet un maximum sur Ω.
On note alors a = (a_1, a_2, a_3, a_4) ∈ Ω un point en lequel ce maximum est atteint.
VI.A.2) Montrer que si (x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ Ω alors x_3 et x_4 peuvent s'écrire sous la forme
x_3 = ux_1 + vx_2 + w; x_4 = u^′ x_1 + v^′ x_2 + w^′
où l'on donnera explicitement u, v, u^′, v^′ en fonction de ε_1, ε_2, ε_3, ε_4.
VI.A.3) En supposant qu'aucun des nombres a_1, a_2, a_3, a_4 n'est nul, déduire que
(∂f)/(∂x_1)(a) + u(∂f)/(∂x_3)(a) + u^′(∂f)/(∂x_4)(a) = 0; (∂f)/(∂x_2)(a) + v(∂f)/(∂x_3)(a) + v^′(∂f)/(∂x_4)(a) = 0
VI.A.4) Montrer que le sous-espace vectoriel de ℝ^4 engendré par les vecteurs ( 1, 0, u, u^′ ) et ( 0, 1, v, v^′ ) admet un sous-espace supplémentaire orthogonal engendré par les vecteurs (1, 1, 1, 1) et (ε_1, ε_2, ε_3, ε_4).
VI.A.5) En déduire l'existence de deux réels α, β tels que pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4} on ait
(∂f)/(∂x_i)(a) = α + βε_i
VI.B - On définit la fonction F pour tout x = (x_1, x_2, x_3, x_4) de ℝ_+^4 par
F(x_1, x_2, x_3, x_4) = − ∑_(i = 1)^4 lnΓ(1 + x_i)
On suppose qu'il existe N¯ = (N_1, N_2, N_3, N_4) ∈ Ω, les nombres N_1, N_2, N_3, N_4 étant tous les quatre non nuls, tel que
max_(x ∈ Ω)F(x) = F(N¯)
Montrer l'existence de deux nombres réels λ et μ vérifiant pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4} :
lnN_i + 1/(2N_i) + ∫_0^(+ ∞)(h(u))/((u + N_i)^2)du = λ + με_i
VI. C − Pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}, on pose
θ(N_i) = 1/(2N_i) + ∫_0^(+ ∞)(h(u))/((u + N_i)^2)du
VI.C.1) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}
0 < θ(N_i) < 1/(N_i)
VI.C.2) Montrer l'existence d'un réel K strictement positif tel que pour tout i ∈ {1, 2, 3, 4}
N_i = Ke^(με_i)e^(− θ(N_i))

Commentaire

Les calculs précédents interviennent dans la modélisation de gaz de particules : ε_1, …, ε_4 correspondent à quatre niveaux différents d'énergies et N_1, …, N_4 aux nombres de particules qui se trouvent respectivement au niveau ε_1, …, ε_4 (pour un total de N particules et une énergie totale E ). Sous réserve d'équiprobabilité des répartitions, la probabilité d'être dans la configuration ( x_1, x_2, x_3, x_4 ) est donnée par N!/(N_1!N_2!N_3!N_4!).
En mécanique statistique, on pose comme principe que les particules vont se répartir de manière à ce que cette probabilité soit maximale. Cela revient à chercher la répartition qui maximise la somme − ∑_(i = 1)^4 ln(N_i!), assujettie aux conditions de VI.A. Il découle alors du dernier résultat établi dans le problème, la loi de répartition de Bolzmann, à savoir que pour tous j, k, j ≠ k, si N_j et N_k sont assez grands : N_j/N_k ≃ e^(μ(ε_j − ε_k)). D'autre part, un calcul utilisant conjointement la formule de Bolzmann donnant l'expression statistique de l'entropie S = − k_B ln(N!/(N_1!⋯N_4!)) et la relation dS = dE/T (pour une transformation à volume constant) permet d'établir que μ = − 1/k_B T.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I de Centrale PSI 2011 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I de Centrale PSI 2011 ?

Elle porte sur les intégrales à paramètres, les séries numériques et le calcul différentiel à plusieurs variables, à travers l'étude de la fonction Gamma d'Euler et son application à la distribution de Maxwell-Boltzmann.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths I Centrale PSI ?

Le jury signale des erreurs d'intégrabilité et de dérivation, l'oubli fréquent de l'hypothèse de domination pour les intégrales à paramètres, et des justifications parfois proches de la malhonnêteté intellectuelle.

La dernière partie de ce sujet de Centrale PSI 2011 sur la distribution de Boltzmann est-elle difficile ?

Oui, le jury indique qu'une majorité de candidats reste très mal à l'aise avec le calcul différentiel à plusieurs variables requis dans cette partie, contrairement aux parties précédentes plus largement abordées.

Faut-il bien maîtriser les intégrales à paramètres pour ce sujet de Centrale PSI sur la fonction Gamma ?

Oui, une grande partie du problème repose sur l'étude rigoureuse d'intégrales à paramètres, avec vérification précise des hypothèses de continuité et de domination.

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