Centrale Mathématiques 1 PSI 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Réorganisation des termes d'une série semi-convergente et suites vérifiant des propriétés de convergence, avec algorithmique

L'épreuve porte exclusivement sur les séries numériques. La première partie montre que la permutation des termes de la série harmonique alternée peut faire converger la série vers n'importe quel réel choisi à l'avance. La seconde partie caractérise les suites de terme général an telles que la série de terme général an·un converge, selon que un est bornée ou terme général d'une série convergente. L'énoncé accorde une place importante à l'écriture d'algorithmes pour illustrer numériquement ces propriétés.

1Partie I : Réorganisation des termes d'une série semi-convergenteÉtude de la permutation des termes de la série harmonique alternée pour obtenir une somme égale à n'importe quel réel fixé.
2Partie II : Suites vérifiant (P1) et (P2)Caractérisation des suites de terme général an pour lesquelles la série de terme général an·un converge selon les propriétés de un.

Difficile. Le rapport signale un énoncé assez long (38 questions), avec des questions cruciales de la partie I délaissées par la majorité des candidats et des questions de la partie II traitées de façon satisfaisante dans seulement un petit nombre de copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre limite et égalité à partir d'un certain rang · Erreur classique sur les suites de Cauchy et la convergence · Étourderie sur l'inégalité du maximum

L'énoncé, assez long avec 38 questions, a conduit une majorité de candidats à délaisser certaines questions clés de la partie I. Les questions les plus exigeantes de la partie II n'ont été traitées de façon satisfaisante que dans un petit nombre de copies. Les correcteurs jugent que la rédaction de la plupart des copies laisse beaucoup à désirer.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre limite et égalité à partir d'un certain rang
Des candidats affirment à tort que si une suite tend vers L, elle est égale à L à partir d'un certain rang.
2
Erreur classique sur les suites de Cauchy et la convergence
Des erreurs classiques apparaissent sur le lien entre le comportement de an+1 - an et la convergence ou le caractère de Cauchy de la suite.
3
Étourderie sur l'inégalité du maximumIC1
Une erreur grave consiste à affirmer que la somme de deux termes est majorée par leur maximum, ce qu'un simple exemple numérique suffit à réfuter.
4
Hypothèses admises sans justificationIC1
Pour traiter la question IC1, de nombreux candidats admettent sans justification que la limite d'une suite d'entiers est un entier.
« pour traiter la question IC1, de nombreux candidats admettent sans justification le fait que la limite d’une suite d’entiers est un entier »
5
Énoncé utilisé sans être démontréIC1
L'affirmation selon laquelle toute suite convergente d'entiers est monotone à partir d'un certain rang est utilisée pour répondre à la question IC1 sans être justifiée.

Conseils du jury

Bien assimiler la partie du cours sur les suites et séries numériques pour éviter les erreurs classiques.
Tester une affirmation sur un exemple numérique simple avant de l'utiliser dans une démonstration.
Rédiger de manière concise et précise, sans omettre d'arguments intermédiaires.
Rédiger clairement les étapes d'un raisonnement, ce qui aide aussi à en comprendre le déroulement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Définitions et notations

On rappelle le résultat suivant : Toute partie

X

non vide de

N

possède un plus petit élément noté

minX

On rappelle les points suivants de Maple :

La liste contenant l'unique élément $a$ est notée $[a]$ .
Le couple $(a, b)$ sera représenté par la liste $[a, b]$ .
Pour ajouter l'élément $x$ (qui peut être un couple) en queue de la liste $L$ on invoque : $L:=[op(L), x]$

Et pour Mathematica :

La liste contenant l'unique élément $a$ est notée ${a}$ .
Le couple $(a, b)$ sera représenté par la liste ${a, b}$ .
Pour ajouter l'élément $x$ (qui peut être un couple) en queue de la liste $L$ on invoque : $L =$ Append [ $L, x$ ]

On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument.

On dira qu'une suite

(a_n)_(n \in N)

à valeurs complexes vérifie la propriété

(P_1)

si pour toute suite complexe

(u_n)_(n \in N)

bornée, la série

\suma_n u_n

converge.

On dira qu'une suite

(a_n)_(n \in N)

à valeurs réelles vérifie la propriété

(P_2)

si pour toute suite réelle

(u_n)_(n \in N)

, la convergence de la série

\sumu_n

entraîne celle de la série

\suma_n u_n

.
L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient

(P_1)

(P_2)

.
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices.

Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente

On se donne un réel

x

. On note, pour

n \in N^*, u_n = ((- 1)^n)/n

et on se propose de construire une bijection

s

N^*

dans

N^*

telle que

\sum_(n = 1)^\inftyu_(s(n)) = x

.
I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels

(p_n)_(n ⩾ 0)

(q_n)_(n ⩾ 0)

(s_n)_(n ⩾ 1)

et une suite

(S_n)_(n ⩾ 0)

de réels de la manière suivante :

$p_0 = q_0 = 0, S_0 = 0$
pour tout $n \in N$ , si $S_n > x$ alors :

q_(n + 1) = 1 + q_n, p_(n + 1) = p_n, s_(n + 1) = 2q_(n + 1) - 1

sinon :

q_(n + 1) = q_n, p_(n + 1) = 1 + p_n, s_(n + 1) = 2p_(n + 1)

Dans les deux cas :

S_(n + 1) = S_n + u_(s_(n + 1))

On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction suite qui prend en argument

x

et l'entier

n

et qui renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère)

[s_1, s_2, \dots, s_n]

.
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées

(n, S_n)_(n ⩽ 70)

et de la droite horizontale d'ordonnée

x

(on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour

x = - 1, n = 70

le dessin suivant:

Que constate-t-on pour la suite

(S_n)_(n \in N)

? Expliquer le principe de l'algorithme.
I.B - On pose dorénavant, pour tout

n \in N, s(n) = s_n

Prouver, pour

n ⩾ 1

, les propriétés suivantes:

{s(1), s(2), …, s(n)} = {2, 4, …, 2p_n} ∪ {1, 3, …, 2q_n − 1}; p_n + q_n = n; S_n = u_(s(1)) + ⋯ + u_(s(n))

En déduire que

s

est injective.
I.C -
I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite

(p_n)_(n \in N)

croît vers

+ \infty

.
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.

Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier

n_0

tel que pour

n ⩾ n_0

S_n > x et S_n = S_(n_0) - \sum_(k = n_0)^(n - 1)1/(2q_(n_0) + 2k - 2n_0 + 1)

En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite

(p_n)_(n \in N)

diverge vers

+ \infty

.
I.C.3) Justifier rapidemment que

(q_n)

tend vers

+ \infty

.
I.C.4) Déduire de ce qui précède que

s

est une bijection de

N^*

sur lui-même.
I.D -
I.D.1) Démontrer que, pour tout entier

n ⩾ 0

, on a :

|S_(n + 1) - x| ⩽ |S_n - x| ou |S_(n + 1) - x| ⩽ |u_(s(n + 1))|

I.D.2) En déduire que pour tout naturel

N

, il existe un entier

n > N

tel que

|S_(n + 1) - x| ⩽ |u_(s(n + 1))|

I.D.3) Justifier l'existence d'un entier

n_0

tel que pour

n ⩾ n_0, p_n ⩾ 1

q_n ⩾ 1

.
I.D.4) Soit

n ⩾ n_0

. On note

v_n = max(|S_n - x|, |u_(2p_(n + 1))|, |u_(2q_(n + 1) - 1)|)

Démontrer que

(v_n)_(n ⩾ n_0)

est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que (

S_n

) converge vers

x

et conclure.
I.E -
I.E.1) Démontrer l'existence d'une constante

γ > 0

telle que :

\sum_(k = 1)^n 1/k = lnn + γ + o(1) quand n \to + \infty.

I.E.2) Donner un développement analogue pour

\sum_(k = 1)^n 1/(2k - 1)

en fonction de

γ

.
I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel

n

tel que

p_n ⩾ 1

q_n ⩾ 1

, l'égalité :

S_n = \sum_(k = 1)^(p_n)1/(2k) - \sum_(k = 1)^(q_n)1/(2k - 1)

b) En déduire que :

S_n = 1/2ln((p_n)/(n - p_n)) - ln2 + o(1)

c) En déduire un équivalent simple de

p_n

et de

q_n

.
d) Déterminer la limite de :

(|u_(s(1))| + |u_(s(2))| + \dots + |u_(s(n))|)/(|u_1| + |u_2| + \dots + |u_n|) quand n \to + \infty

Partie II - Suites vérifiant ( $P_1$ ) et ( $P_2$ )

II.A - Montrer qu'une suite complexe

(a_n)_(n \in N)

telle que la série

\suma_n

converge absolument vérifie

(P_1)

.
II.B - Soit

(a_n)_(n \in N)

une suite réelle telle que la série

\sum|a_(n + 1) - a_n|

converge.
II.B.1) Prouver que la suite

(a_n)_(n \in N)

possède une limite.
II.B.2) Soit

(u_n)_(n \in N)

une suite réelle telle que la série

\sumu_n

converge.

On note

U_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n

. Prouver, pour tout entier naturel

N

, la relation:

\sum_(n = 0)^N a_n u_n = \sum_(n = 0)^(N - 1)(a_n - a_(n + 1))U_n + a_N U_N

En déduire que la suite

(a_n)_(n \in N)

vérifie

(P_2)

.
II.C - Soit

(a_n)_(n \in N)

une suite de nombres complexes telle que la série

\sum|a_n|

diverge. Construire une suite

(u_n)_(n \in N)

de nombres complexes de module 1 telle que la série

\suma_n u_n

diverge. Caractériser les suites complexes

(a_n)_(n \in N)

vérifiant

(P_1)

.
II.D - Soit

(a_n)_(n \in N)

une suite de réels positifs telle que la série

\suma_n

diverge. On se propose de construire une suite

(ε_n)_(n \in N)

tendant vers 0 telle que la série

\suma_n ε_n

diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites

(p_n)_(n \in N), (ε_n)_(n \in N)

(A_n)_(n \in N)

comme suit:

$p_0 = 0, ε_0 = 1, A_0 = a_0$ .
Pour $n ⩾ 1 : {p_n = 1 + p_(n − 1) et ε_n = (ε_(n − 1))/2, si A_(n − 1) ⩾ p_(n − 1); p_n = p_(n − 1) et ε_n = ε_(n − 1), sinon$

Dans tous les cas :

A_n = A_(n - 1) + a_n ε_n

.
II.D.1) Dans cette question seulement on suppose que

a_0 = 1

et, pour tout

n ⩾ 1

a_n = 9/(4(n + 1))

.
Déterminer les 6 premiers termes des suites

(p_n)_(n \in N), (ε_n)_(n \in N)

(A_n)_(n \in N)

.
Ecrire une procédure exemple qui prend en argument l'entier

n

et retourne la liste :

en Maple : $[[0, p_0, ε_0, A_0], [1, p_1, ε_1, A_1], \dots, [n, p_n, ε_n, A_n]]$
en Mathematica : ${{0, p_0, ε_0, A_0}, {1, p_1, ε_1, A_1}, …, {n, p_n, ε_n, A_n}}$
II.D.2)
a) Démontrer que pour tout naturel $N$ , il existe un entier $n > N$ tel que : $p_n = 1 + p_(n - 1)$ (on pourra raisonner par l'absurde).
En déduire qu'on peut définir une suite $(n_k)_(k \in N)$ strictement croissante d'entiers par:

{n_0 = 0; n_(k + 1) = min{n ∈ N/n > n_k et p_n = 1 + p_(n − 1)} pour k ⩾ 0

b) Dans le cas général, calculer

p_(n_k), ε_(n_k)

Prouver que la suite

(ε_n)_(n \in N)

tend vers 0 et que la série

\sumε_n a_n

diverge.
c) Déterminer

n_1, n_2

n_3

pour l'exemple de la question III.B.1).
II.D.3) Dans cette question seulement on suppose que:

\foralln \in N, a_n = 1/(n + 1)

.
a) Écrire une fonction indexer qui prend en argument l'entier

n

et qui retourne :

en Maple, la liste $[[0, n_0], [1, n_1], \dots, [q, n_q]]$
en Mathematica la liste ${{0, n_0}, {1, n_1}, …, {q, n_q}}$
où $q$ est le plus grand des entiers $k$ tel que $n_k ⩽ n$ . Par exemple l'appel de indexer(10000) retourne :

[[0, 0], [1, 1], [2, 2], [3, 51]] (resp.{{0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 51}})

b) Soit

k ⩾ 3

un indice tel que

n_k - 2 > n_(k - 1)

. Prouver l'inégalité:

é k - 1 ⩽ A_(n_k - 1) ⩽ k - 1 + 1/(2^(k - 1)n_k) En déduire que n_(k + 1) - 2 > n_k

c) Calculer explicitement la différence

A_(n_(k + 1) - 1) - A_(n_k - 1)

en fonction de

k, n_k

n_(k + 1)

. En déduire, pour

k ⩾ 3, l^'

inégalité :

1/(2^k)ln((n_(k + 1) + 1)/(n_k + 1)) ⩽ A_(n_(k + 1) - 1) - A_(n_k - 1) ⩽ 1/(2^k)ln((n_(k + 1))/(n_k))

d) Déduire des deux questions précédentes, pour

k ⩾ 3

, l' inégalité :

2^k - 2/(n_k) ⩽ ln((n_(k + 1))/(n_k)) ⩽ 2^k + 1/(n_(k + 1)) - ln(1 + 1/(n_(k + 1))) + ln(1 + 1/(n_k)).

e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme général (

lnn_k - 2^k

); puis prouver l'existence d'une constante

C > 0

telle que :

n_k \sim _(k \to + \infty)Cexp(2^k)

en déduire que:

A_(n_k) \sim _(k \to + \infty)(ln(lnn_k))/(ln2).; A_n \sim _(n \to + \infty)(ln(lnn))/(ln2).

puis que :

Que peut-on penser de l'exécution de la fonction indexer?
II.E - Soit

(a_n)_(n \in N)

une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite

(ε_n)_(n \in N)

de réels tendant vers 0 , la série

\sumε_n a_n

converge.
a) Prouver que la série

\sumε_n|a_n|

converge.
b) En déduire que la série

\sum|a_n|

converge.
II.F - Soit maintenant

(a_n)_(n \in N)

une suite de réels telle que, pour toute suite

(x_n)_(n \in N)

, la convergence de la série

\sumx_n

entraîne la convergence de la série

\suma_n x_n

.
II.F.1) Prouver que la suite

(a_n)_(n \in ℕ)

est bornée.
II.F.2) Soit

(ε_n)_(n \in N)

une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence de la série

\sumε_n(a_(n + 1) - a_n)

.
II.F.3) Prouver que la série

\sum|a_(n + 1) - a_n|

converge.
II.F.4) Caractériser les suites vérifiant (

P_2

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Centrale PSI 2009 ?

Le sujet porte exclusivement sur les séries numériques, avec une partie sur la réorganisation des termes d'une série semi-convergente et une partie sur des suites vérifiant des propriétés de convergence, incluant de l'algorithmique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 PSI 2009 ?

Le jury relève des erreurs classiques sur les suites et séries numériques (confusion entre limite et égalité à partir d'un rang, erreur sur l'inégalité du maximum) ainsi que des hypothèses admises sans justification, propres au sujet de cette année.

Le sujet Centrale maths 1 PSI 2009 est-il long ?

Oui, le rapport indique un énoncé assez long de 38 questions, ce qui a conduit une majorité de candidats à délaisser certaines questions clés.

Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2009 est-il bien réussi par les candidats ?

Non, le jury juge que la rédaction de la plupart des copies laisse beaucoup à désirer et que plusieurs questions cruciales n'ont été traitées de façon satisfaisante que dans un petit nombre de copies.

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Partie II - Suites vérifiant ( P_1 ) et ( P_2 )

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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques I Centrale PSI 2009 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 PSI 2009 ?

Le sujet Centrale maths 1 PSI 2009 est-il long ?

Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2009 est-il bien réussi par les candidats ?

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