Centrale Mathématiques 2 PSI 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Valeurs singulières et pseudo-inverse d’une matrice réelle

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Difficile

Valeurs singulières et pseudo-inverse d'une matrice

Le sujet porte sur l'algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n, avec une étude géométrique sur un exemple. Il montre que AB et BA ont les mêmes valeurs propres, introduit les valeurs singulières d'une matrice, étudie l'image de la sphère unité par un endomorphisme de rang 2, 3 ou 1, puis construit le pseudo-inverse d'une matrice pour résoudre au mieux un système linéaire.

1Partie I : valeurs propres de AB et BADémonstration que les matrices AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes ordres de multiplicité.
2Partie II : valeurs singulières d'une matriceIntroduction des valeurs singulières comme racines carrées des valeurs propres de A^t A, et caractérisation des matrices de mêmes valeurs singulières.
3Partie III : étude géométrique d'un exempleÉtude d'une matrice de rang 2 en dimension 3 à partir des résultats de la partie II.
4Partie IV : image de la sphère unitéÉtude de l'image de la sphère unité euclidienne par l'endomorphisme associé à une matrice de rang 3 puis de rang 1.
5Partie V : pseudo-inverse d'une matriceConstruction du pseudo-inverse d'une matrice pour résoudre au mieux un système linéaire AX = Y, avec minimisation de la norme du résidu.

Difficile. Le jury indique que moins d'un candidat sur cent a pu aborder l'ensemble du sujet et que l'écart-type est important, environ le tiers de la moyenne, ce qui rend l'épreuve très discriminante.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Théorème spectral mal énoncé · Théorèmes inventés pour sauver un raisonnement · Projecteur orthogonal confondu avec une matrice orthogonale

La première partie et le début de la seconde, qui découlent directement du cours, ont donné des notes en moyenne relativement élevées, tandis que les parties III, IV et V, plus techniques, ont permis de bien sélectionner les meilleurs candidats. Le jury regrette une rédaction qui laisse beaucoup à désirer et une orthographe souvent lamentable, pouvant changer le sens d'une assertion.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Théorème spectral mal énoncéII
Le théorème spectral, utilisé dans la seconde partie, est très mal connu des candidats, qui omettent souvent la condition d'orthonormalité de la base de diagonalisation.
« La seconde partie utilisait le « théorème spectral » qui est très mal connu des candidats. »
2
Théorèmes inventés pour sauver un raisonnement
Certains candidats n'hésitent pas à inventer des théorèmes faux qui donnent miraculeusement la réponse à une question qu'ils ne savent pas résoudre.
« certains candidats n'hésitent pas à « inventer » des théorèmes (faux) qui donnent miraculeusement réponse à la question »
3
Projecteur orthogonal confondu avec une matrice orthogonale
De nombreux candidats affirment à tort que la matrice d'un projecteur orthogonal différent de l'identité est une matrice orthogonale.
« la matrice d'un projecteur orthogonal (différent de l'identité) n'est pas une matrice orthogonale »
4
Orthonormalisation de Gram-Schmidt utilisée à tort
Pour passer d'une base orthogonale à une base orthonormée, la plupart des candidats utilisent le procédé de Gram-Schmidt, ce qui est totalement inutile dans ce contexte.
5
Orthographe fragilisant la rédaction
Le jury relève une orthographe très souvent lamentable, qui peut changer le sens d'une assertion mathématique.
« on peut se demander quelle sera la crédibilité, voire la compréhensibilité des rapports de ces futurs ingénieurs »

Ce qui a été bien réussi

Les questions de la première partie ont été largement abordées par la plupart des candidats et plutôt bien traitées.
Les très bons candidats font preuve à la fois de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux du sujet.

Conseils du jury

Apprendre à rédiger de manière concise et précise : un raisonnement obscur ou imprécis est toujours dévalorisé.
Bien connaître l'énoncé exact du théorème spectral et la condition d'orthonormalité qu'il implique.
Soigner l'orthographe, en particulier sur les termes techniques (Gram-Schmidt, théorème spectral, transposée).
Numéroter les pages et indiquer clairement le numéro de chaque question traitée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Calculatrices autorisées

Préliminaires

Dans le problème,

ℝ

désigne l'ensemble des nombres réels;

ℳ_n(ℝ)

désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients réels. L'espace vectoriel euclidien

ℝ^n

est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace vectoriel

ℝ^n

et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre

n

On peut ainsi écrire le produit scalaire

⟨X, Y⟩

de deux vecteurs

X

Y

ℝ^n

sous la forme

^t XY

et la norme

‖X‖ = \sqrt(⟨X, X⟩)

sous la forme

\sqrt(^t XX)

.
Pour

λ_1, \dots, λ_n

des réels, on note

Diag(λ_1, \dots, λ_n) \in ℳ_n(ℝ)

la matrice diagonale avec

λ_1, \dots, λ_n

comme coefficients diagonaux.
On note

O(n)

l'ensemble des matrices orthogonales de

ℳ_n(ℝ)

.
Si

ℬ

est une base de

ℝ^n

, on note

(x_1, \dots, x_n)_ℬ

le vecteur de

ℝ^n

de coordonnées

(x_1, \dots, x_n)

dans la base

ℬ

.
Si

ℬ_1 = (e_1, e_2, \dots, e_n)

ℬ_2 = (e_1^', e_2^', \dots, e_n^')

sont deux bases de

ℝ^n

, on note

P_(ℬ_1 \to ℬ_2)

la matrice de passage de

ℬ_1

vers

ℬ_2

.
Si

f

est un endomorphisme de

ℝ^n

, on note

Mat_(ℬ_1, ℬ_2)(f)

la matrice de l'endomorphisme

f

par rapport à la base

ℬ_1

au départ et

ℬ_2

à l'arrivée, c'est-à-dire la matrice
dont les colonnes sont les vecteurs

(f(e_1))_(ℬ_2), (f(e_2))_(ℬ_2), \dots, (f(e_n))_(ℬ_2)

.
En particulier, si

ℬ_1 = ℬ_2 = ℬ

, on note

Mat_ℬ(f) = Mat_(ℬ_1, ℬ_2)(f)

la matrice de l'endomorphisme

f

dans la base

ℬ

Partie I-Valeurs propres de $AB$ et $BA$

Soit

n ⩾ 2

un entier et

A, B

deux matrices appartenant à

ℳ_n(ℝ)

.
On propose de démontrer que

AB

BA

ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité.
I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de

AB

si, et seulement si,

det(AB) = 0

.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de

AB

si, et seulement si, 0 est valeur propre de

BA

.
I.B - Soit

λ

une valeur propre réelle non nulle de

AB, X \in ℝ^n

un vecteur propre de

AB

associé à cette valeur propre

λ

.
I.B.1) Démontrer que les vecteurs

ABX

BX

sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur

BX

est vecteur propre pour la matrice

BA

.
I.B.3) Démontrer que

AB

BA

ont les mêmes valeurs propres réelles.
I.C - On suppose que

A

est inversible. On note

I

la matrice identité d'ordre

n

.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice

ABA - xA

, démontrer que pour tout

x

réel ou complexe, on a :

det(AB - xI) = det(BA - xI)

.
I.C.2) En déduire que

AB

BA

ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité.

On admet que ce résultat est encore vrai si

A

n'est pas inversible.

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

Dans cette partie II, on fixe un entier

n, n ⩾ 2

, une matrice

A

appartenant à

ℳ_n(ℝ)

et on pose

r = rg(A)

.
On note

f

g

les deux endomorphismes de

ℝ^n

dont les matrices dans la base canonique

ℬ

sont respectivement

A

^t AA

.
II.A - Diagonalisation de

A^t A

de^t AA

.
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout

X \in ℝ^n, AX = 0 ⟹ ^t AAX = 0

.
b) On suppose que

X \in ℝ^n

est tel que

^t AAX = 0

Calculer

^t X^t AAX

et en déduire que

AX = 0

.
c) En déduire que

Kerg = Kerf

puis que

rg(A) = rg(^t AA)

.
II.A.2) Démontrer que

^t AA

A^t A

sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe

P, Q \in O(n)

D \in ℳ_n(ℝ)

diagonale telles que

^t AA = PD^t P et A^t A = QD^t Q

On pose

D = Diag(λ_1, \dots, λ_n)

II.A.4) Démontrer que

D

possède exactement

r

termes diagonaux non nuls.

On suppose par la suite que

λ_1, \dots, λ_r

sont non nuls et donc

λ_(r + 1) = \dots = λ_n = 0.

II.A.5)
a) En utilisant

^t AA = PD^t P

, démontrer qu'on peut écrire

D

sous la forme

^t MM

, avec

M \in ℳ_n(ℝ)

.
b) Démontrer que

λ_1, \dots, λ_n \in [0, + \infty[

Pour

i \in {1, \dots, n}

, on appelle «valeurs singulières de

A

» les

n

nombres

σ_i

définis

parσ_i = \sqrt(λ_i)

.
II.A.6) Soient

U, V \in O(n)

Démontrer que les valeurs singulières de

UAV

sont exactement celles de

A

.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que

A \in ℳ_n(ℝ)

est une matrice symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de

A

en fonction des valeurs propres de

A

.
II.B - On rappelle que

A = Mat_ℬ(f)

^t AA = Mat_ℬ(g)

et dans cette section, on note

ρ = rg(^t AA) = rg(g)

.
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de

ℝ^n

notée

ℬ_1 = (X_1, \dots, X_n)

telle que :

Pour tout entier $i \in [1, ρ], ^t AAX_i = λ_i X_i$ ;
$(X_(ρ + 1), \dots, X_n)$ soit une base de $Kerf$ .
II.B.2) Démontrer que la famille ( $AX_1, \dots, AX_ρ$ ) est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de $Im(f)$ .
II.B.3) Pour tout entier $i \in [1, ρ]$ , calculer $‖AX_i‖$ .
II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée $ℬ_2$ de $ℝ^n$ telle que $Mat_(ℬ_1, ℬ_2)(f) = Diag(σ_1, \dots, σ_n)$ .
II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales $P_1, P_2 \in O(n)$ telles que $A = P_1 \cdot Diag(σ_1, \dots, σ_n) \cdot P_2$ .
II.C -
II.C.1) Soient $σ_1, \dots, σ_n \in ℝ^+$ des réels positifs.

Démontrer qu'il existe deux matrices

Q_1

Q_2

dans

O(n)

telles que:

A = Q_1 \cdot Diag(σ_1, \dots, σ_n) \cdot Q_2 ⟺ σ_1, \dots, σ_n

sont les valeurs singulières de

A

.
II.C.2) Soient

A, B \in ℳ_n(ℝ)

deux matrices réelles. Démontrer que :

A

B

ont les mêmes valeurs singulières

⟺ \exists(R_1, R_2) \in O(n)^2, A = R_1 BR_2

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

Dans cette partie, on pose

A = (1, - 1, 0; 1, 0, 1; 0, 0, 0)

.
On note

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

canoniquement associé à

A

ℬ

la base canonique de

ℝ^3

.
III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie II.
III.A.1) Déterminer le rang de

A

et calculer

^t AA

.
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de

A

que l'on notera

σ_1, σ_2, σ_3 avecσ_1 > σ_2 > σ_3

.
III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de

^t AA

que l'on notera

ℬ_1 = (X_1, X_2, X_3)

.
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée

ℬ_2 = (Y_1, Y_2, Y_3)

telle que

Mat_(ℬ_1, ℬ_2)(f) = Diag(σ_1, σ_2, σ_3).

III.A.5) Démontrer que

A = P_(ℬ \to ℬ_2) \cdot Diag(σ_1, σ_2, σ_3) \cdot ^t P_(ℬ \to ℬ_1)

On pose pour la suite

P = P_(ℬ \to ℬ_1), Q = P_(ℬ \to ℬ_2)

D = Diag(σ_1, σ_2, σ_3)

.
III.B - On étudie la partie

S

ℝ^3

définie par

S = {AX; X ∈ ℝ^3, ‖X‖ = 1} = {f(x); x ∈ ℝ^3, ‖x‖ = 1}

C'est donc l'ensemble décrit par

f(x)

quand

x

décrit l'ensemble des vecteurs de norme 1 (sphère unité de

ℝ^3

).
III.B.1) Démontrer que

S

est une partie d'un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne.
III.B.2) Démontrer que

S = {QDX^′, X^′ ∈ ℝ^3, ‖X^′‖ = 1}

.
III.B.3) Démontrer que dans une base adaptée

ℬ^'

à déterminer,

y = (y_1, y_2, y_3)_(ℬ^′) ∈ S ⟺ {(y_1^2)/(σ_1^2) + (y_2^2)/(σ_2^2) ⩽ 1; y_3 = 0

III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble

S

Partie IV - Image de la sphère unité

Dans cette partie, comme dans la Partie III,

A

est une matrice de

ℳ_3(ℝ)

et on étudie

S

l'ensemble

S = {AX; X ∈ ℝ^3, ‖X‖ = 1}

IV.A -

Dans cette section on suppose que

rg(A) = 3

.
IV.A.1) Démontrer que

A

admet trois valeurs singulières

σ_1, σ_2, σ_3

strictement positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de

ℝ^3

notée

ℬ^'

telle que :

y = (y_1, y_2, y_3)_(ℬ^') \in 𝒮 ⟺ (y_1^2)/(σ_1^2) + (y_2^2)/(σ_2^2) + (y_3^2)/(σ_3^2) = 1

IV.A.3) Préciser la nature géométrique de

𝒮

IV.B -

Dans cette section, on suppose que

rg(A) = 1

.
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de

A

est non nulle. On la note

σ_1

.
IV.B.2) Démontrer que

𝒮

est un segment dont on donnera la longueur.

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

Soit

n

un entier,

n ⩾ 2

A \in ℳ_n(ℝ)

, qu'on écrit, comme dans la Partie II, sous la forme

A = Q_1 \cdot Diag(σ_1, \dots, σ_p, 0, \dots, 0) \cdot Q_2

, où

Q_1, Q_2 \in O(n)

sont deux matrices orthogonales et

σ_1, \dots, σ_p

des réels strictement positifs.
On définit le pseudo-inverse

A^+

A

par

A^+ = ^t Q_2 \cdot Diag(1/(σ_1), \dots, 1/(σ_p), 0, \dots, 0) \cdot ^t Q_1

On pose

P = AA^+

.
V.A - Démontrer que

rg(A) = p

.
V.B - Simplifier le produit matriciel

AA^+

et en déduire que, si

A

est une matrice inversible,

A^+ = A^(- 1)

.
V.C - On note

f

h

les endomorphismes

ℝ^n

dont les matrices dans la base canonique sont respectivement

A

P

.
Démontrer que

h

est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.
V.D - Démontrer que

Im(f) = Im(h)

.
V.E - Soit

Y \in ℝ^n

fixé.

On considère le système linéaire

AX = Y

, où

X \in ℝ^n

est l'inconnu. On suppose que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs

X

tels que la norme de

Y - AX

soit minimale.
Démontrer que

X = A^+Y

est l'un de ces vecteurs.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PSI 2009 ?

Le sujet porte sur l'algèbre des matrices carrées réelles : valeurs propres de AB et BA, valeurs singulières, image de la sphère unité et pseudo-inverse d'une matrice.

Ce sujet de maths 2 Centrale PSI 2009 est-il difficile ?

Le jury indique que moins d'un candidat sur cent a pu aborder l'ensemble du sujet, les parties III à V étant nettement plus techniques que le début de l'épreuve.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Centrale PSI 2009 ?

Le jury relève une méconnaissance du théorème spectral, des théorèmes inventés pour justifier un résultat, une confusion entre projecteur orthogonal et matrice orthogonale, et une orthographe souvent lamentable.

Quels chapitres réviser pour ce sujet Centrale maths 2 PSI 2009 ?

Il faut maîtriser la réduction des endomorphismes, le théorème spectral sur les matrices symétriques, l'orthonormalisation de Gram-Schmidt et le théorème du rang.

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Partie I-Valeurs propres de AB et BA

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

Partie IV - Image de la sphère unité

IV.A -

IV.B -

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PSI 2009 ?

Ce sujet de maths 2 Centrale PSI 2009 est-il difficile ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet Centrale PSI 2009 ?

Quels chapitres réviser pour ce sujet Centrale maths 2 PSI 2009 ?

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Partie I-Valeurs propres de $AB$ et $BA$