Centrale Mathématiques 2 PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Distance au groupe orthogonal O3(R) et décomposition polaire des matrices

Le problème étudie la distance d'un point ou d'un sous-espace vectoriel au groupe orthogonal O3(R), dans l'espace des matrices réelles 3x3. Il débute par des généralités sur ces distances, puis étudie la décomposition polaire d'une matrice, met en évidence une matrice privilégiée dans O3(R), et termine en montrant qu'un sous-espace de dimension 6 est nécessairement à distance au plus 1 du groupe orthogonal.

1Partie I - Généralités sur les distancesÉtudie la distance d'une matrice, puis d'un sous-espace vectoriel, au groupe orthogonal O3(R).
2Partie II - Décomposition polaireÉtudie la décomposition polaire d'une matrice 3x3, en particulier la positivité des valeurs propres de M^tM.
3Partie III - Distance à O3(R)Met en évidence une matrice privilégiée dans O3(R) et établit une formule pour la distance d'une matrice diagonale à ce groupe.
4Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6Montre que tout sous-espace vectoriel de dimension 6 de l'espace des matrices 3x3 est à distance au plus 1 du groupe orthogonal.

Difficile. Le rapport indique que la dernière partie exige des qualités de compréhension et n'a été abordée, pour les questions difficiles, que par un nombre très restreint d'élèves, et que l'écart-type est particulièrement important.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

O3(R) confondu avec un sous-espace vectoriel · Distance d'un sous-espace à O3(R) jamais bien traitée · Droites et plans crus bornés

Le spectre des candidats est très étendu : les très bons candidats font preuve de maîtrise du cours et de compréhension des enjeux du sujet, tandis que d'autres copies contiennent des fautes de raisonnement grossières sur des notions de base. Le jury estime que ce sujet a très bien rempli son rôle de sélection.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
O3(R) confondu avec un sous-espace vectorielI
Plus de la moitié des candidats affirment à tort que O3(R) est un sous-espace vectoriel et appliquent le théorème de Pythagore.
« et utilisé le théorème de Pythagore (cette erreur n’était pas prévue !) »
2
Distance d'un sous-espace à O3(R) jamais bien traitéeI
Cette question, pourtant largement abordée, n'a jamais été traitée correctement par les candidats.
« Cette question n’a jamais été traitée correctement »
3
Droites et plans crus bornésI
Près d'un candidat sur trois raisonne comme si les droites et les plans de l'espace étaient des ensembles bornés.
« Nous assistons à l’apparition d’une nouvelle géométrie où les droites et les plans sont bornés pour près d’un candidat sur trois »
4
Positivité des valeurs propres mal justifiéeII
Des candidats déduisent à tort la positivité des valeurs propres de la seule positivité de leur somme et de leur produit.
« Il a souvent été dit que, si la somme et le produit des valeurs propres était positifs, alors celles-ci étaient positives »
5
Erreur sur une dérivée élémentaireIV.C
Un calcul de dérivée élémentaire en fin de partie IV a révélé une erreur de base chez plus de la moitié des candidats.
« pour plus de la moitié des candidats, la dérivée de 1 est 1 ! »

Ce qui a été bien réussi

Les très bons candidats font preuve, tout à la fois, de maîtrise du cours dans son ensemble et de compréhension des enjeux du sujet.
La première partie a été largement abordée par la plupart des candidats.
Les bonnes copies obtiennent des notes en correspondance avec les qualités de compréhension et de connaissances manifestées.

Conseils du jury

Bien connaître les propriétés de base du groupe orthogonal avant de les utiliser dans un raisonnement.
Vérifier la vraisemblance géométrique d'une affirmation : une droite ou un plan ne sont jamais bornés.
Ne pas conclure la positivité de valeurs propres à partir de la seule positivité de leur somme et de leur produit.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Notations et définitions

On désigne la matrice $(a, 0, 0; 0, b, 0; 0, 0, c)$ par la notation $diag(a, b, c)$ . Ainsi diag(1, 1, 1) est la matrice identité $I_3$ .
L'espace vectoriel des matrices réelles $3 \times 3$ , noté $M_3(ℝ)$ est muni du produit scalaire usuel $⟨A, B⟩ = Tr((^t A)B) = \sum_(i = 1)^3\sum_(j = 1)^3 a_(i, j)b_(i, j)$ .
On note $‖‖$ la norme associée : $‖A‖^2 = ⟨A, A⟩$ .
On note $O_3(ℝ)$ le groupe des matrices orthogonales, $S_3(ℝ)$ l'espace des matrices symétriques, et $S_3^+(ℝ)$ l'ensemble des matrices symétriques positives de $M_3(ℝ)$ , c'est-à-dire des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.
Si $A \in M_3(ℝ)$ , et $P$ est une partie non vide de $M_3(ℝ)$ , la distance de $A$ à $P$ est, par définition :

d(A, P) = inf_(B \in P)‖A - B‖

Si $P$ et $Q$ sont deux parties non vides de $M_3(ℝ)$ , la distance entre $P$ et $Q$ est :

d(P, Q) = inf_(A \in P, B \in Q)‖A - B‖

On a aussi (et on l'admettra)

d(P, Q) = inf_(A \in P)d(A, Q)

Partie I-Généralités sur les distances

I.A - Si

A \in O_3(ℝ)

, calculer

‖A‖

.
I.B - Démontrer que

O_3(ℝ)

est une partie bornée. En déduire que

O_3(ℝ)

est un compact de

M_3(ℝ)

.
I.C - Démontrer que l'application

M \mapsto ‖M‖

, de

M_3(ℝ)

dans

ℝ

est continue.
I.D - Soit

A \in M_3(ℝ)

. Démontrer qu'il existe

U \in O_3(ℝ) tel que d(A, O_3(ℝ)) = ‖A - U‖.

I.E - Soit

Φ

l'application de

M_3(ℝ)

dans

ℝ

définie par

Φ(M) = d(M, O_3(ℝ))

.
I.E.1) Soient

M, N \in M_3(ℝ)

Démontrer que :
puis que :

\forallU \in O_3(ℝ), d(M, O_3(ℝ)), ⩽ ‖N - U‖ + ‖N - M‖; d(M, O_3(ℝ)), ⩽ d(N, O_3(ℝ)) + ‖N - M‖.

I.E.2) En déduire que

Φ

est continue.
I.F - Soit

P

un sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

. Si

r \in ℝ^+

, on pose

B_r = {M ∈ M_3(ℝ)|‖M‖ ⩽ r}.

I.F.1) Démontrer qu'il existe

r > 0

tel que

d(P, O_3(ℝ)) = d(P \cap B_r, O_3(ℝ))

.
I.F.2) Démontrer qu'il existe

A \in P

telle que

d(P, O_3(ℝ)) = d(A, O_3(ℝ))

Partie II-Décomposition polaire

Soit

M \in M_3(ℝ)

.
II.A - Démontrer que

^t MM

est symétrique à valeurs propres positives.
II.B - Démontrer qu'il existe

S \in M_3(ℝ)

symétrique à valeurs propres positives telle que

^t MM = S^2

.
II.C - Démontrer que si

M

est inversible, il existe

U \in O_3(ℝ)

telle que

M = US

On admettra que le résultat reste vrai si

M

est non inversible, c'est-à-dire :

_(≪ Si)M \in M_3(ℝ)

, il existe

U \in O_3(ℝ)

S \in S_3^+(ℝ)

, telles que

M = US

(décomposition polaire)

≫

.
II.D - Étude d'un exemple

On considère la matrice

M = (1, 0, 0; 0, 1, - \sqrt2; 0, \sqrt2, 0)

.
En appliquant la méthode décrite ci-dessus déterminer

U \in O_3(ℝ)

S \in S_3^+(ℝ)

telles que

M = US

Partie III-Distance à $O_3(ℝ)$

III.A -

III.A.1) Soient

A \in M_3(ℝ)

U \in O_3(ℝ)

. Démontrer que

‖UA‖ = ‖AU‖ = ‖A‖

. En déduire que, pour tout

A \in M_3(ℝ)

, il existe une matrice

D

diagonale à coefficients positifs telle que :

d(A, O_3(ℝ)) = d(D, O_3(ℝ))

III.A.2) En déduire que si

V

est un sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

, il existe

W

sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

vérifiant :

$dim(W) = dim(V)$
$d(W, O_3(ℝ)) = d(V, O_3(ℝ))$
Il existe $D = diag(λ_1, λ_2, λ_3) \in W$ où les $λ_i$ sont dans $ℝ^+$ , telle que $d(W, O_3(ℝ)) = d(D, O_3(ℝ))$ .
III.B - Soit $D = diag(λ_1, λ_2, λ_3)$ , où les $λ_i$ sont dans $ℝ^+$ .
III.B.1) Si $U \in O_3(ℝ)$ , montrer que $‖D - U‖^2 = (\sum_(i = 1)^3 λ_i^2) - 2⟨U, D⟩ + 3$ .
III.B.2) Si $U \in O_3(ℝ)$ , montrer que $⟨U, D⟩ ⩽ \sum_(i = 1)^3 λ_i$ .
III.B.3) En déduire que $d(D, O_3(ℝ)) = ‖D - I_3‖$ .

III.C - Étude d'un exemple

Pour la matrice

M = (1, 0, 0; 0, 1, - \sqrt2; 0, \sqrt2, 0)

définie dans la question II.D, calculer la distance

d(M, O_3(ℝ))

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

IV.A - Dans cette question seulement,

V = {(a, b, 0; c, d, 0; e, f, 0)| (a, b, c, d, e, f) ∈ ℝ^6}}}{{

.
IV.A.1) Soit

A \in V

. En considérant les valeurs propres de

^t AA

, démontrer l'inégalité :

d(V, O_3(ℝ)) ⩾ 1

.
IV.A.2) Calculer

d(I_3, V)

, puis en déduire la valeur de

d(V, O_3(ℝ))

Dans toute la suite du problème

V

désigne un sous-espace vectoriel de dimension 6 quelconque de

M_3(ℝ)

. On se propose de démontrer que

d(V, O_3(ℝ)) ⩽ 1

À l'aide de la partie III, on se ramène au cas où

d(V, O_3(ℝ)) = ‖D - I_3‖

, avec

D = diag(x, y, z) \in V, et x, y, z \in ℝ^+.

On suppose

D \neq I_3

, sinon,

d(V, O_3(ℝ)) = 0

, et l'inégalité est vraie.
Pour

t \in ℝ

, on note

R_1(t) = (cos(t), - sin(t), 0; sin(t), cos(t), 0; 0, 0, 1), R_2(t) = (cos(t), 0, - sin(t); 0, 1, 0; sin(t), 0, cos(t))

,
et

R_3(t) = (1, 0, 0; 0, cos(t), - sin(t); 0, sin(t), cos(t))

IV.B - Comparer

(D - I_3)^⊥

V

.
IV.C - Vérifier que

(R_1^'(0), R_2^'(0), R_3^'(0))

est une famille libre formée de matrices orthogonales à

I_3 - D

.
Démontrer qu'il existe

a, b, c \in ℝ

non tous nuls tels que

aR_1^'(0) + bR_2^'(0) + cR_3^'(0) \in V

a, b, c

sont ainsi fixés pour la suite, et on pose

f : t \in ℝ \mapsto R_1(at)R_2(bt)R_3(ct)

.
IV.D - Démontrer que

f

a un développement limité du type :

f(t) = I_3 + tA + t^2(B + C) + t^2 ε(t)

avec

ε(t)\to-_(t \to 0)^0

où

A, B, C \in M_3(ℝ)

vérifient :

$A \in V$
$B$ orthogonale à $I_3 - D$
$C = 1/2diag(- a^2 - b^2, - a^2 - c^2, - b^2 - c^2)$ .

Dans la suite,

ε

est la fonction apparaissant dans ce développement limité de

f

.
IV.E - Justifier que :

‖I_3 + t^2(B + C + ε(t)) - D‖ ⩾ ‖I_3 - D‖

.
IV.F - Établir que :

‖I_3 + t^2(B + C + ε(t)) - D‖^2 = ‖I_3 - D‖^2 + 2t^2⟨I_3 - D, C⟩ + t^2 ε_2(t)

avec

ε_2(t)\to-_(t \to 0)^0

. Qu'en déduire sur

⟨I_3 - D, C⟩

?
IV.G - Démontrer que l'un au moins des trois réels

2 - x - y, 2 - y - z, 2 - x - z

est négatif ou nul.
On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que

2 - x - y ⩽ 0

.
IV.H - Démontrer que

x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z

.
IV.I - Identifier géométriquement les ensembles suivants :

$E = {(x, y, z) ∈ ℝ^3|x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z}$ ,
$F = {(x, y, z) ∈ ℝ^3|x + y = 2}$ ,
$G = {(x, y, z) ∈ ℝ^3|x + y ⩾ 2}$ .

Justifier que

E \cap F

est un cercle dont on déterminera le rayon.
Quel est le diamètre de

E \cap G

(c'est-à-dire la distance maximum entre deux de ses points)?
IV.J - Démontrer que

d(V, O_3(ℝ)) ⩽ 1

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Centrale PSI 2008 ?

Le sujet porte sur le groupe orthogonal O3(R), la distance à un sous-espace, la décomposition polaire d'une matrice et les espaces vectoriels de matrices.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 2 Centrale PSI 2008 ?

Une confusion entre O3(R) et un sous-espace vectoriel, une croyance erronée que droites et plans sont bornés, et une justification incorrecte de la positivité de valeurs propres.

Le sujet Mathématiques 2 Centrale PSI 2008 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique que la dernière partie n'a été abordée, pour ses questions difficiles, que par un nombre très restreint d'élèves, avec un écart-type particulièrement important.

Le sujet Mathématiques 2 Centrale PSI 2008 est-il progressif ?

Oui, le rapport le décrit comme très bien gradué, débutant par une partie facile et se terminant par une partie beaucoup plus géométrique et exigeante.

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Partie II-Décomposition polaire

Partie III-Distance à O_3(ℝ)

III.A -

III.C - Étude d'un exemple

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Centrale PSI 2008 ?

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