Centrale Mathématiques 2 PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

La représentation plane de figures tridimensionnelles suppose le choix d'une application p de ℝ^3 dans ℝ^2, grâce à laquelle une figure ℱ ⊂ ℝ^3 devient, dans ℝ^2, le croquis : p(ℱ). Ici, on fait le choix d'une application p linéaire, connue sous le nom de perspective cavalière. Toutefois, pour la commodité des calculs, on a préféré faire jouer aux vecteurs de la base canonique ( i⃗, j⃗, k⃗ ) de ℝ^3 des rôles différents de ceux qu'ils ont d'habitude dans ce type de perspective.
Dans tout le problème, les espaces ℝ^2 et ℝ^3 sont munis de leur structure euclidienne canonique orientée et pourront être considérés comme des espaces vectoriels réels de vecteurs-colonnes, ou des espaces affines réels de vecteurs-colonnes. Aussi bien pour ce qui concerne ℝ^2 que ℝ^3, le produit scalaire canonique sera noté <, > et la norme euclidienne canonique sera notée ‖ ⋅ ‖.
On donne deux réels strictement positifs α et β et on considère l'application, notée p, de ℝ^3 dans ℝ^2 qui au vecteur-colonne (x; y; z) associe ((x − αz)/(y − βz)). Si 𝒫 est une partie de ℝ^3, on dira qu'elle est représentée en vraie grandeur par p si, quels que soient M et M^′ dans 𝒫, on a ‖p(M)p(M^′)^(→−)‖ = ‖MM^′^(→−)‖.

I.A.1) Montrer que p est une application linéaire. Déterminer la matrice de p relativement aux bases canoniques de ℝ^3 et ℝ^2.
Déterminer le noyau et l'image de p.

I.A.2) Représenter sur un même dessin les images par p des vecteurs de la base canonique de ℝ^3.
Ce dessin donne une représentation en perspective de la base formée par ces trois vecteurs.

Pour cette seule question, on introduit l'endomorphisme p¯ de ℝ^3 qui au vecteurcolonne (x; y; z) associe (x − αz; y − βz; 0).
Interpréter géométriquement p grâce à p¯ (on pourra former p¯ ∘ p¯ ).
Est-il vrai que ‖p(X)‖ ⩽ ‖X‖ pour tout vecteur X ∈ ℝ^3 ?
I.C -
I.C.1) Soit M_0 un point et u⃗ un vecteur de ℝ^3.

On considère la droite affine D = M_0 + ℝu⃗ = {M_0 + λu⃗}.
Montrer que p(D) = p(M_0) + ℝp(u⃗).
I.C.2) Soit D une droite affine de ℝ^3. Montrer que son image par p est une droite affine ou est réduite à un point, en discutant selon un vecteur directeur de D.
I.C.3) Soit D et D^′ deux droites affines de ℝ^3 dont les images par p sont des droites affines de ℝ^2.
a) Si D et D^′ sont sécantes, montrer que leurs images par p le sont aussi. La réciproque est-elle vraie?
b) Si D et D^′ sont parallèles, montrer que leurs images par p le sont aussi. La réciproque est-elle vraie?
I.C.4) Soit Π un plan affine de ℝ^3. Discuter la nature de p(Π) suivant ν⃗ et Π.

Soit un vecteur X = (x; y; z) ∈ ℝ^3; on pose q(X) = ‖X‖^2 − ‖p(X)‖^2.
I.D.1) Montrer que l'ensemble des X ∈ ℝ^3 tels que q(X) = 0 est la réunion de deux plans Π_1 et Π_2 que l'on caractérisera par leurs équations cartésiennes.
En déduire que les plans affines parallèles à l'un ou l'autre de ces deux plans sont représentés en vraie grandeur par p.
I.D.2)
a) Montrer, en le déterminant, qu'il existe un unique endomorphisme autoadjoint u
de ℝ^3, tel que q(X) = ⟨u(X), X⟩ pour tout X ∈ ℝ^3.
b) Déterminer le polynôme caractéristique χ_u de u puis le signe des valeurs propres non nulles de u.

I.E.1) Soit P un plan vectoriel de ℝ^3; montrer qu'il existe une base orthonormale ℬ de ℝ^3 dont les deux premiers vecteurs soient dans P.
I.E.2) Soit u^′ un endomorphisme autoadjoint de ℝ^3; on pose q^′(X) = ⟨u^′(X), X⟩ pour tout X ∈ ℝ^3, on suppose qu'il existe P, plan vectoriel de ℝ^3, tel que q^′(X) = 0 pour tout X ∈ P et, P étant supposé choisi, on choisit ℬ comme dans la question I.E.1. Montrer que la matrice de u^′ relativement à ℬ est de la forme

I.E.3) Si(a, b) ≠ (0, 0), montrer que l'ensemble des X ∈ ℝ^3 tels que q^′(X) = 0 est la réunion de deux plans puis étudier le signe des valeurs propres non nulles de u^′.
I.E.4) Discuter le rang de u^′ en fonction de (a, b, c).

Dans les parties II et III, on se limite au cas où α = cosθ et β = sinθ pour un θ ∈ ]0, π/2[ supposé choisi et, R > 0 étant donné, on considère la sphère S d'équation cartésienne x^2 + y^2 + z^2 = R^2.

Le but de cette partie est d'étudier l'image p(S) de S par p.

II.A.1) Soit ξ = (x/y) ∈ ℝ^2. Montrer que l'image réciproque p^(− 1)({ξ}) est la droite affine D_ξ passant par le point (x; y; 0) et de vecteur directeur ν⃗. En conclure que

et que cela équivaut à dire que l'équation en t

admet au moins une racine réelle.
II.A.2) En déduire que p(S) est définie par l'inéquation Φ(x, y) ⩽ 2R^2, où l'on a posé

On désigne par ℰ la partie de ℝ^2 d'équation Φ(x, y) − 2R^2 = 0.
II.A.3) On considère le repère affine ℛ^′ déduit du repère canonique ℛ de ℝ^2 par la rotation d'angle θ autour de l'origine.
a) Soit M un point de ℝ^2 de coordonnées ( x, y ) dans ℛ et de coordonnées ( x^′, y^′ ) dans ℛ^′.
Déterminer x^′ et y^′ en fonction de x et y.
b) Montrer que ℰ est une ellipse et donner son équation cartésienne dans ℛ^′.
c) Indiquer les éléments remarquables de ℰ : axe focal, demi-longueur des axes et excentricité. Montrer que les foyers de ℰ sont les points F et F^′ dont les coordonnées relatives à ℛ^′ sont respectivement (R/0) et ((− R)/0).
d) Déterminer une inéquation de p(S) dans le repère ℛ^′ et en déduire que p(S) est le domaine borné limité par ℰ.
Représenter enfin p(S) soigneusement dans le repère ℛ^′.

II.B.1) Montrer, en le déterminant, que tout élément ξ ∈ ℰ ne possède qu'un seul antécédent par p dans S.
Indication : On pourra déterminer t_0 ∈ ℝ tel que π(ξ) = ξ + t_0 ν⃗.
Cet antécédent sera noté π(ξ) et on désignera par Σ l'ensemble des π(ξ), lorsque ξ décrit ℰ.
II.B.2) Pour chaque ξ = (x/y) ∈ ℰ, calculer < π(ξ), ν⃗ > et en déduire que Σ est inclus dans P_0, le plan vectoriel orthogonal à ν⃗.
II.B.3) Réciproquement, soit X ∈ S tel que < ν⃗, X>=0. Montrer que p(X) ∈ ℰ.

Indication : On pourra calculer Φ(p(X)) ou s'aider d'un dessin.
Conclure quant à la nature de Σ. La représentation de Σ par p est-elle en vraie grandeur? Quelle conclusion peut-on en tirer en terme de représentation cavalière d'une sphère?

II.C.1) Montrer que la restriction p_0 de p à P_0 est une bijection de P_0 sur ℝ^2.

On en notera p_1 la bijection réciproque.
II.C.2) Soit σ une application linéaire de P_0 sur lui-même, supposée involutive, c'est-à-dire vérifiant σ ∘ σ = Id_(P_0).
a) Montrer que s = p_0 ∘ σ ∘ p_1 est une involution linéaire de ℝ^2 sur lui-même.
b) Comment obtient-on les sous-espaces propres de s en fonction de ceux de σ ?
c) Montrer que s laisse stable ℰ si, et seulement si, σ laisse stable Σ.

On suppose donné un intervalle ouvert I non vide et un arc Γ de classe C^1 de I dans ℝ^3. On suppose que, pour un t_0 ∈ I, le vecteur-dérivée Γ^′(t_0) n'appartient pas à Vect (ν⃗). Dans ces conditions, montrer que le point p(Γ(t_0)) est régulier pour l'arc p ∘ Γ, de I dans ℝ^2, et donner un vecteur directeur de la tangente à l'arc en ce point.

III.B.1) Soit un réel δ ∈ [ − π/2; π/2]; montrer que l'intersection de S et du plan de ℝ^3 d'équation z = Rsinδ est le cercle C_δ paramétré par

En donner le centre et le rayon.
III.B.2) Montrer que l'intersection de P_0 et de C_δ est non vide si, et seulement si, |δ| ⩽ π/4. Montrer plus précisément que cette intersection se compose alors de deux points lorsque |δ| < π/4.
III.B.3) Soit δ ∈ [ − π/4; π/4] et un point M ∈ P_0 ∩ C_δ. On choisit un réel φ_0 tel que M = M_δ(φ_0). Montrer que M ∈ Σ puis que sont orthogonaux à OM^(→−) : le vecteur ν⃗, le vecteur [(dM_δ)/(dφ)]_(φ = φ_0) ainsi que tout vecteur tangent en M à Σ.
III.B.4) Montrer que les p(C_δ), où δ décrit [ − π/2; π/2], sont des cercles et que p(S) en est la réunion.
Déterminer le centre Ω_δ et le rayon R_δ du cercle p(C_δ).
En utilisant en particulier III.A et III.B.3, montrer que, lorsque |δ| < π/4, le cercle p(C_δ) est tangent à ℰ en deux points distincts. Étudier aussi le cas de p(C_(π/4)).
III.B.5) Lorsque 0 ⩽ δ < δ^′ ⩽ π/4, montrer que p(C_(δ^′)) et p(C_δ) sont sécants. Lorsque π/4 ⩽ δ < δ^′ ⩽ π/2, montrer que p(C_(δ^′)) est intérieur à p(C_δ).

Représenter sur un même dessin : ℰ, un cercle p(C_δ) avec 0 ⩽ δ < π/4, le cercle p(C_(π/4)) et un cercle p(C_δ) avec π/2 > δ > π/4.

Montrer qu'il existe une seconde famille de cercles inclus dans S dont les images par p soient des cercles et dont la réunion des images par p soit encore p(S).