Centrale Mathématiques 1 PSI 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

On étudie qualitativement l'évolution d'un système régi par l'équation différentielle du second ordre autonome x^(′′) = − f^′(x) où la fonction f est paire et de classe C^2 sur ℝ, x est l'état du système, fonction du temps t.
En introduisant la fonction auxiliaire y = x^′ et l'état vectoriel X = (x, y), on se ramène à l'étude d'un système différentiel autonome du premier ordre de dimension deux, avec condition initiale :

Si I est un intervalle de ℝ et φ une fonction de classe C^1 définie sur I, on dira que φ est un C^1-difféomorphisme de I sur son image si φ est une bijection de I sur φ(I) dont la fonction réciproque φ^(− 1) est aussi de classe C^1. Cela équivaut à ce que φ^′ ne s'annule pas sur l'intérieur de I. Lorsque I = ]a, b[, alors φ est un C^1-difféomorphisme de ]a, b[ sur ]α, β[ ou ]β, α[ avec α = lim_(t → a +)φ(t) et β = lim_(t → b −)φ(t). Ces limites existent dans ℝ^– en raison de la monotonie de φ.
Théorème de Cauchy-Lipschitz : soit g une fonction C^1 sur un ouvert U ⊂ ℝ; pour toute condition initiale (t_0, x_0) ∈ ℝ × U le problème de Cauchy est de résoudre

Alors il existe un réel η > 0 tel que ( E ) admet une unique solution définie sur ]t_0 − η, t_0 + η[.
Si x_1, x_2 sont deux solutions de ( E ) définies sur le même intervalle I, elles sont égales sur I.
Plan de phase et trajectoire du système : on appelle plan de phase du système l'espace P = ℝ^2 dans lequel on représentera l'état X = (x, y) = (x, x^′). Le système différentiel ( S ) est alors associé au champ de vecteurs Φ(X).
Une trajectoire du système partant du point X_0 = (x_0, y_0) est une courbe paramétrée définie par X(t) = (x(t), y(t))t ∈ I, vérifiant le système (S) avec la condition initiale X(t_0) = X_0.
On notera que le choix de t_0 est arbitraire et ne modifie pas la trajectoire.

Questions préliminaires

On prend ici f(x) = k/2x^2 avec k ∈ ℝ.
I.A - On suppose : k = ω^2 > 0.
I.A.1) Déterminer la solution t ↦ x(t) d'énergie h > 0. Quelle est la période T de cette solution?
I.A.2) Démontrer que la trajectoire associée dans l'espace des phases est une courbe fermée Γ_h dont on précisera la nature et tracera le graphe
a) Donner son équation et ses points caractéristiques en fonction de ω et h = F(X_0).
b) Indiquer sur le graphe le sens de parcours de cette trajectoire.
I.A.3) Que vaut la solution t ↦ X(t) si X_0 = (0, 0) ?

Quelles sont toutes les trajectoires d'énergie 0 ?
I.B - On suppose : k = − ω^2 < 0.
I.B.1) Calculer la solution générale t ↦ x(t).
I.B.2) Donner l'équation des trajectoires γ_h et les représenter graphiquement selon que h > 0, h < 0 ou h = 0 (on indiquera le sens de parcours de ces trajectoires).
Quelle est la nature de ces courbes, sont-elles fermées?
I.B.3) Que se passe-t-il si X_0 = (0, 0) ?

Quelles sont toutes les trajectoires d'énergie nulle?

On s'intéresse ici aux solutions de ( S ) partant à l'instant t_0 = 0 d'un point X_0 = (x_0, y_0) du demi-plan supérieur P^+ = {(x, y)|y > 0}. On pose, comme convenu, h = F(X_0).

II.A.1) Soit U = {x ∈ ℝ|f(x) < h}. Démontrer qu'il existe un unique intervalle ouvert non vide maximal I(x_0) = ]a, b[( avec a, b ∈ ℝ^–) tel que x_0 ∈ I(x_0) ⊂ U.
II.A.2) En résolvant l'équation ( H ) par rapport à y, obtenir une équation différentielle du premier ordre en x.
II.A.3) Montrer que la fonction τ, définie par

est un C^1-difféomorphisme de I(x_0) = ]a, b[ sur J(x_0) = ]α, β[.
Résoudre sur l'intervalle J(x_0) l'équation obtenue à la question précédente.
II.B - Démontrer que la fonction Ψ : t ↦ (ψ(t), ψ^′(t)) avec ψ(t) = τ^(− 1)(t) est solution de ( S ) définie sur l'intervalle J(x_0) = ]α, β[.
II.C - On considère une autre solution de (S), notée X_1 : t ↦ (x_1(t), x_1^′(t)) qui est définie sur le même intervalle J(x_0) telle que X_1(0) = (x_0, y_0).
Soit J_1 = ]u, v[ ⊂ J(x_0) l'intervalle maximal (contenant 0 ) sur lequel x_1^′(t) > 0.
II.C.1) On suppose α < u (resp. v < β ). Appliquer le théorème de CauchyLipschitz et en déduire une contradiction (examiner les signes de ψ^′(u), x_1^′(u) ).
II.C.2) En déduire que Ψ est l'unique solution de ( S ) définie sur J(x_0) satisfaisant à la condition initiale Ψ(0) = (x_0, y_0).
II.D - Démontrer que Z : t ↦ (ψ(− t), − ψ^′(− t)) est l'unique solution de (S) sur ] − β, − α[ partant à l'instant t = 0 du point Z_0 = (x_0, − y_0).
II.E - On veut ici caractériser les différents types de trajectoires possibles.
II.E.1) On suppose ici que − ∞ < a, f^′(a) ≠ 0 et b < + ∞, f^′(b) ≠ 0.

Démontrer les propriétés suivantes :
a) f(a) = f(b) = h, f^′(a) < 0, f^′(b) > 0 et α, β ∈ ℝ.
b) Déterminer lim_(t → α +)Ψ(t) et lim_(t → β −)Ψ(t), puis montrer que Ψ se prolonge sur [α, β].
c) Montrer que la trajectoire Ψ se prolonge par la fonction t ↦ Z(t − 2β) définie sur l'intervalle ]β, 2β − α[ en une solution t ↦ X(t) de (S) définie sur ]α, 2β − α[ dont les deux extrémités coïncident.
d) Montrer que t ↦ X(t) se prolonge en une solution périodique sur ℝ en posant X(α) = (a, 0). Exprimer la période T sous forme intégrale, représenter le graphe de la trajectoire Γ dans P, en précisant les temps associés aux points (a, 0), X_0, (b, 0), Z_0, (a, 0).
II.E.2) On suppose ici que − ∞ < a, f(a) = h et f^′(a) = 0, f^(′′)(a) ≠ 0.

Démontrer que f^(′′)(a) < 0 et α = − ∞. Énoncer le résultat équivalent pour b.
II.E.3) On suppose ici que a = − ∞. Que peut-on dire de la trajectoire sur l'intervalle de temps ] α, 0 [? Énoncer le résultat équivalent pour b.
II.E.4) Pour les trajectoires Γ_h ou γ_h étudiées en partie I, préciser les points a, b et leur nature (type II.E.1) ou II.E.2) ou II.E.3)).

Soit e ∈ ℝ, on dit que E = (e, 0) est un point d'équilibre du système ( S ) si

On associe alors à ( S ) le système linéarisé au voisinage de E :

Ses solutions donnent une première approximation de celles de ( S ) pour des conditions initiales proches de E.
III.A - Quelle est la solution de (S), définie sur ℝ, partant de X_0 = E ?
III.B - Déterminer les solutions de (L) (on posera f^(′′)(e) = ± γ^2 avec γ ∈ ℝ^+).
III.C - Le point d'équilibre ( e, 0 ) est dit stable si les solutions de ( L ) restent bornées lorsque t → ± ∞.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ( e, 0 ) soit un équilibre stable. On se place dans cette hypothèse pour la suite de cette partie.

Dans toute la suite de cette partie on désigne par e un nombre réel pour lequel ( e, 0 ) est un point d'équilibre stable tel que f(e) = 0.

III.D.1) Démontrer qu'il existe un intervalle [c, d] contenant e tel que la restriction de f à [c, e] (resp. [e, d] ) soit un C^1-difféomorphisme sur son image [0, f(c)] (resp. [0, f(d)] ).
III.D.2) En déduire l'existence de H > 0 tel que, pour tout h ∈ ]0, H], l'équation f(x) = h admet deux solutions x^−(h), x^+(h) avec

III.D.3) Démontrer que ( e, 0 ) est un minimum local strict de F(X), en déduire qu'il existe R > 0 tel que, pour toute condition initiale X_0 ∈ B(E, R) (disque de centre E et de rayon R ), la trajectoire associée est périodique. Déterminer la période T(h) comme intégrale fonction de h.
III.E - Soit une suite (h_n)_(n ∈ ℕ) positive avec lim_(n → ∞)h_n = 0.

On pose, pour simplifier, x_n^+ = x^+(h_n), x_n^− = x^−(h_n), T_n = T(h_n).
III.E.1) Donner le développement limité à l'ordre 2 de f(u) au voisinage de e.

En déduire une expression de h_n en fonction de x_n^+et v.
III.E.2) En paramétrant le segment [e, x_n^+]par v ∈ [0, 1], démontrer l'existence d'une suite de fonctions continues ( ε_n^+) qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, telle que

Énoncer le résultat analogue sur l'intervalle [x_n^−, e].
III.E.3) En déduire lim_(n → ∞)T_n puis lim_(h → 0)T(h) (énoncer précisément le théorème utilisé). Quelle période retrouve-t-on?

On prend ici f(x) = − cos(x). Le système ( S ) représente alors le mouvement d'un pendule non linéaire (grandes élongations). Le champ de vecteur Φ(X) est alors 2π-périodique en x.
IV.A - Déterminer tous les points d'équilibre. Lesquels sont stables?
IV.B - Démontrer que toute trajectoire du système d'énergie h ∈ ]0, 1[ est périodique. Comment sont définis les points a, b ?
IV.C - Pour une condition initiale X_0 ∈ P^+d'énergie h > 1, préciser les points a, b et leur type (cf. II.E).
Démontrer qu'alors on a α = − ∞, β = + ∞, tracer qualitativement la trajectoire en indiquant le sens du parcours.
IV.D - On prend ici une condition initiale X_0 = (0, y_0) d'énergie h = 1.

Que vaut y_0 > 0 ?
IV.D.1) Préciser les points a, b et utiliser II.E. Quelle est le type des points a, b ? Que valent ici α, β ? Interpréter le résultat par rapport au pendule.
IV.D.2) Calculer explicitement la fonction τ(x), en déduire x(t).
IV.D.3) Démontrer que la trajectoire X(t) et sa symétrique Z(t) séparent les trajectoires périodiques des trajectoires non périodiques.
IV.D.4) Représenter qualitativement les trois familles de trajectoires dans le plan P, avec les sens de parcours.
IV.E - On perturbe le pendule, et la fonction f devient ici f(x) = − cos(x) + 1/(20)x^2.
IV.E.1) Déterminer le nombre de points d'équilibre et leur stabilité.
IV.E.2) Démontrer que toutes les trajectoires sont ici du type II.E.1, à l'exception de celles passant par les équilibres instables.
IV.E.3) Établir un programme pour calculer la position du point d'équilibre ( e, 0 ) le plus proche à droite de (0, 0).